第12章結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)

第十二章結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)§12-1概述§12-2結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度§12-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)§12-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的受迫振動(dòng)§12-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)§12-5單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的受迫振動(dòng)§12-10地震作用計(jì)算§12-11無限自由度結(jié)構(gòu)的振動(dòng)§12-9多自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的受迫振動(dòng)§12-12計(jì)算頻率的近似法§12-8振型分解法§12-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的受迫振動(dòng)§12-1概述動(dòng)力荷載作用下，結(jié)構(gòu)將發(fā)生振動(dòng)，各種量值均隨時(shí)間而變化，要考慮慣性力的影響。動(dòng)力荷載的種類(1)周期荷載：隨時(shí)間按一定規(guī)律變化的周期性荷載，如按正弦(或余弦)規(guī)律變化的稱為簡諧周期荷載，也稱為

振動(dòng)荷載。(2)沖擊荷載：很快地把全部量值加于結(jié)構(gòu)而作用時(shí)間很短即行消失的荷載。(3)突加荷載：在一瞬間施加于結(jié)構(gòu)上并繼續(xù)留在結(jié)構(gòu)上的荷載。§12-1概述(4)快速移動(dòng)的荷載。高速移動(dòng)的列車、汽車等。(5)隨機(jī)荷載：變化規(guī)律不能用確定的函數(shù)關(guān)系表示的荷載。如風(fēng)的脈動(dòng)作用、地震等。結(jié)構(gòu)振動(dòng)的形式(1)自由振動(dòng)：結(jié)構(gòu)受到外部因素干擾發(fā)生振動(dòng)，而在振動(dòng)過程中不再受外部干擾力作用。(2)強(qiáng)迫振動(dòng)：在振動(dòng)過程中不斷受外部干擾力作用?！?2-2結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度：結(jié)構(gòu)在彈性變形過程中確定全部質(zhì)點(diǎn)位置所需的獨(dú)立參數(shù)的數(shù)目。圖a所示簡支梁跨中固定一個(gè)重量較大的物體，如果梁本身的自重較小可略去，把重物簡化為一個(gè)集中質(zhì)點(diǎn)，得到圖b所示的計(jì)算簡圖。梁在振動(dòng)中的自由度=1單自由度結(jié)構(gòu)—具有一個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)。多自由度結(jié)構(gòu)—自由度大于1的結(jié)構(gòu)。§12-2結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度圖a所示結(jié)構(gòu)有三個(gè)集中質(zhì)點(diǎn)。自由度=1圖b所示簡支梁上有三個(gè)集中質(zhì)量。自由度=3圖c所示剛架有一個(gè)集中質(zhì)點(diǎn)。自由度=2自由度的數(shù)目不完全取決于質(zhì)點(diǎn)的數(shù)目§12-2結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度圖d所示剛架上有四個(gè)集中質(zhì)點(diǎn)，但只需要加三根鏈桿便可限制全部質(zhì)點(diǎn)的位置。如圖e。自由度=3圖f所示梁，其分布質(zhì)量集度為m，可看作有無窮多個(gè)mdx的集中質(zhì)量，是無限自由度結(jié)構(gòu)。自由度的數(shù)目與結(jié)構(gòu)是否靜定或超靜定無關(guān)圖a所示機(jī)器的塊式根底，當(dāng)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，假設(shè)只考慮根底的垂直振動(dòng)，可用彈簧表示地基的彈性，用一個(gè)集中質(zhì)量代表根底的質(zhì)量。使結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為圖示的單自由度結(jié)構(gòu)?！?2-2結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度圖b所示的水塔，頂部水池較重，塔身重量較輕，略去次要因素后，可簡化為圖示的直立懸臂梁在頂端支承集中質(zhì)量的單自由度結(jié)構(gòu)。實(shí)際結(jié)構(gòu)針對(duì)具體問題可以進(jìn)行簡化§12-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)如下圖在跨中支承集中質(zhì)量的簡支梁，把質(zhì)點(diǎn)m拉離原有的彈性平衡位置，然后突然放松，那么質(zhì)點(diǎn)將在原有平衡位置附近往復(fù)振動(dòng)。在振動(dòng)過程中不受外來干擾，這時(shí)的振動(dòng)即是自由振動(dòng)?！?2-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)圖a所示為一個(gè)簡單的質(zhì)點(diǎn)彈簧模型。取重物的靜力平衡位置為計(jì)算位移y的原點(diǎn)，規(guī)定位移y和質(zhì)點(diǎn)所受的力都已向下為正。(1)列動(dòng)力平衡方程。取振動(dòng)任一時(shí)刻的質(zhì)點(diǎn)為隔離體如圖b。彈簧拉力(恢復(fù)力)Fe=－k11y慣性力質(zhì)點(diǎn)處于動(dòng)力平衡狀態(tài)命可得單自由度結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)微分方程則有(a)1、不考慮阻尼時(shí)的自由振動(dòng)§12-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)(2)列位移方程。如圖c。質(zhì)點(diǎn)m振動(dòng)時(shí)，把慣性力FI看作是靜力荷載作用在體系上，那么質(zhì)點(diǎn)處的位移為對(duì)單自由度結(jié)構(gòu)有式(a)為一常系數(shù)線性齊次微分方程，其通解為可得與(1)相同的結(jié)果振動(dòng)的初始條件為則有可得(b)§12-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)式中y0—初位移，—初速度。結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)由兩部分組成：一部分是初位移y0引起的，為余弦規(guī)律；一部分是初速度引起的，為正弦規(guī)律。如圖a、b?！?2-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)令則有式(b)可寫為(c)簡諧振動(dòng)如圖ca—為振幅，表示質(zhì)點(diǎn)的最大位移；—為初相角?！芷凇こ填l率—角頻率或頻率§12-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)可得(d)g—重力加速度；Δst—重量mg所產(chǎn)生靜力位移。式(d)說明：ω隨Δst的增大而減小，即把質(zhì)點(diǎn)放在結(jié)構(gòu)最大位移處，那么可得到最低的自振頻率和最大的振動(dòng)周期。例12-1當(dāng)不考慮梁的自重時(shí)，比較圖中所示三種支承情況的梁的自振周期?！?2-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)解：由式(d)可知，應(yīng)先求結(jié)構(gòu)在重量作用下的靜力位移，有代入式(d)可得據(jù)此有說明：隨著結(jié)構(gòu)剛度的增大，其自振頻率也相應(yīng)地增高。§12-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)2、考慮阻尼作用時(shí)的自由振動(dòng)阻尼力的產(chǎn)生：外部介質(zhì)的阻力，支承的摩擦等；物體內(nèi)部的作用，材料分子之間的摩擦等。粘滯阻尼力：阻尼力與其振動(dòng)的速度成正比，與速度的方向相反?！路Q為阻尼系數(shù)考慮阻尼力時(shí)，質(zhì)點(diǎn)m的受力圖如下圖由動(dòng)力平衡得即令§12-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)線性常系數(shù)齊次微分方程則有(f)設(shè)其解為代入式(f)得特征方程兩個(gè)根為討論(1)

k<ω—小阻尼情況：r1、r2是兩個(gè)復(fù)數(shù)，式(f)的通解為式中—有阻尼自振頻率由初始條件可得則有§12-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)可寫為(g)式中式(g)的位移-時(shí)間曲線如下圖?！p的正弦曲線k—衰減系數(shù)§12-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)設(shè)阻尼比則有一般建筑結(jié)構(gòu)中ξ=0.01~0.1，可認(rèn)為某一時(shí)刻tn振幅為yn，經(jīng)過一個(gè)周期后的振幅為yn+1，那么有等式兩邊取對(duì)數(shù)得振幅的對(duì)數(shù)遞減量經(jīng)過j個(gè)周期后，有§12-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)(2)

k>ω—大阻尼情況：r1、r2是兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)，式(f)的通解為是非周期函數(shù)，不會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)，結(jié)構(gòu)偏離平衡位置后將緩慢回復(fù)到原有位置。(3)

k=ω—臨界阻尼情況：r1=r2=-k，式(f)的通解為—非周期函數(shù)，不發(fā)生振動(dòng)。此時(shí)阻尼比ξ=1，k=m，可得臨界阻尼系數(shù)故有—阻尼比為阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)之比。§12-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)—結(jié)構(gòu)在外來干擾力作用下產(chǎn)生的振動(dòng)。如下圖，干擾力F(t)直接作用在質(zhì)點(diǎn)m上，可得即或(h)微分方程(h)的解有兩局部：一是相應(yīng)齊次方程的通解y0，二是與干擾力F(t)相應(yīng)的特解當(dāng)干擾力為簡諧荷載時(shí)：θ為干擾力的頻率F為干擾力的最大值§12-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的受迫振動(dòng)振動(dòng)方程(h)成為(i)設(shè)式(i)的一個(gè)特解為代入式(i)解出將y0與特解合并，由初始條件可得(j)§12-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的受迫振動(dòng)由式(j)可知，振動(dòng)由三局部組成：(1)由初始條件決定的自由振動(dòng)；(2)伴隨干擾力的作用發(fā)生的振動(dòng)頻率為ω’，稱為伴生自由振動(dòng)；(3)按干擾力頻率θ振動(dòng)，稱為純強(qiáng)迫振動(dòng)或穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)如圖。前兩局部振動(dòng)很快衰減掉，最后只剩下純強(qiáng)迫振動(dòng)。過渡階段—振動(dòng)開始的一段時(shí)間內(nèi)幾種振動(dòng)同時(shí)存在的階段；平穩(wěn)階段—純強(qiáng)迫振動(dòng)階段。§12-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的受迫振動(dòng)1、不考慮阻尼的純受迫振動(dòng)此時(shí)ξ=0，由式(j)的第三項(xiàng)可知純受迫振動(dòng)方程為最大動(dòng)力位移即振幅為因yst=Fδ11：F作為靜力荷載引起的靜力位移—位移動(dòng)力系數(shù)，最大動(dòng)力位移與靜力位移之比值?！?2-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的受迫振動(dòng)當(dāng)θ<ω時(shí)：μ為正，動(dòng)力位移與動(dòng)力荷載同向；當(dāng)θ>ω時(shí)：μ為負(fù)，動(dòng)力位移與動(dòng)力荷載反向。對(duì)單自由度結(jié)構(gòu)，當(dāng)干擾力與慣性力的作用點(diǎn)重合時(shí)，位移動(dòng)力系數(shù)與內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)是相同的，統(tǒng)稱為動(dòng)力系數(shù)。μ隨θ/ω而變化，當(dāng)干擾力頻率θ接近于結(jié)構(gòu)的自振頻率ω時(shí)，動(dòng)力系數(shù)迅速增大；θ=ω時(shí)，理論上μ無窮大，此時(shí)內(nèi)力和位移都將無限大→共振。工程設(shè)計(jì)中應(yīng)盡量避免發(fā)生共振§12-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的受迫振動(dòng)2、考慮阻尼的純受迫振動(dòng)將式(j)的第三項(xiàng)寫為振幅相位差振幅A可寫為—?jiǎng)恿ο禂?shù)§12-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的受迫振動(dòng)動(dòng)力系數(shù)μ與θ/ω及ξ的關(guān)系如下圖?！?2-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的受迫振動(dòng)討論(1)μ<<ω時(shí)，θ/ω很小，μ接近于1?？山频貙sinθt作為靜力荷載。此時(shí)振動(dòng)很慢，因而FI、FR都很小。無阻尼時(shí)，位移與荷載是同步的；有阻尼時(shí)，位移與荷載根本上同步。(2)μ>>ω時(shí)，μ很小，質(zhì)量近似于不動(dòng)或作振幅很微小的顫抖。結(jié)構(gòu)的Fe、FR可以忽略，位移與荷載的相位差為180°。(3)μ→ω時(shí)，μ增加很快，μ受阻尼的影響很大。當(dāng)阻尼較小時(shí)，μ值很大，共振現(xiàn)象仍很危險(xiǎn)。工程設(shè)計(jì)中一般常取§12-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的受迫振動(dòng)例12-2如圖發(fā)電機(jī)的重量G=35kN，梁的I=8.8×10-5m4，E=210GPa，發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)離心力的垂直分力幅值F=10kN。不考慮阻尼，試求當(dāng)發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)數(shù)為n=500r/min時(shí)，量的最大彎矩和撓度〔不計(jì)梁的自重〕。解：在G作用下，梁中點(diǎn)的最大靜位移為自振頻率為干擾力頻率為求得動(dòng)力系數(shù)梁中點(diǎn)的最大彎矩梁中點(diǎn)最大撓度§12-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的受迫振動(dòng)圖a所示簡支梁，干擾力不作用在質(zhì)點(diǎn)上。建立質(zhì)點(diǎn)m的振動(dòng)方程。F=1作用在點(diǎn)1時(shí)使點(diǎn)1產(chǎn)生的位移為δ11，如圖b。F=1作用在點(diǎn)2時(shí)使點(diǎn)1產(chǎn)生的位移為δ12，如圖c。作用在質(zhì)點(diǎn)m上的慣性力為在慣性力FI和干擾力F(t)共同作用下，任一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)m處的位移為即§12-5單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的受迫振動(dòng)瞬時(shí)沖量：荷載F(t)在極短的時(shí)間Δt≈0內(nèi)給與振動(dòng)物體的沖量瞬時(shí)沖量作用下的振動(dòng)問題圖a所示荷載大小為F，作用時(shí)間為Δt，其沖量I=FΔt，即圖中陰影局部的面積。瞬時(shí)沖量作用下質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量增值為由可得當(dāng)質(zhì)點(diǎn)獲得初速度后沖量即時(shí)消失，質(zhì)點(diǎn)在這種沖擊下將產(chǎn)生自由振動(dòng)。將初始條件代入式(g)可得瞬時(shí)沖量I作用下質(zhì)點(diǎn)m的位移方程為§12-5單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的受迫振動(dòng)假設(shè)瞬時(shí)沖量不是在t=0而是在t=τ時(shí)加于質(zhì)點(diǎn)上，其位移方程為圖b所示一般形式的干擾力F(t)可認(rèn)為是一系列微小沖量F(τ)dτ連續(xù)作用的結(jié)果，應(yīng)此有(k)不考慮阻尼ξ=0，ω’=ω那么有(m)式(k)及式(m)—稱為杜哈梅積分§12-5單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的受迫振動(dòng)假設(shè)在t=0質(zhì)點(diǎn)原來還具有初始位移和初始速度，那么質(zhì)點(diǎn)位移為假設(shè)不考慮阻尼那么有(n)§12-5單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的受迫振動(dòng)〔1〕突加荷載。變化規(guī)律如圖a所示。設(shè)：加載前結(jié)構(gòu)處于靜止?fàn)顟B(tài)，將

F(τ)=F代入式(k)求得其振動(dòng)曲線如圖b。時(shí)最大動(dòng)位移yd為動(dòng)力系數(shù)為不考慮阻尼§12-5單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的受迫振動(dòng)〔2〕短期荷載。變化規(guī)律如下圖。當(dāng)t=0時(shí)，有突加荷載參加并一直作用在結(jié)構(gòu)上；當(dāng)t=t0時(shí)，有一個(gè)大小相等方向相反的突加荷載參加。利用〔1〕得到的突加荷載作用下的計(jì)算公式按疊加法求解：自由振動(dòng)當(dāng)t0<T/2時(shí)，最大位移發(fā)生在后一階段。動(dòng)力系數(shù)為與荷載作用時(shí)間長短有關(guān)當(dāng)t0>T/2時(shí)，最大位移發(fā)生在前一階段。短期荷載的最大動(dòng)力效應(yīng)與突加荷載相同?！?2-5單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的受迫振動(dòng)§12-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)1、振動(dòng)微分方程的建立剛度法圖a所示無重量簡支梁，略去梁的軸向變形和質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，為n個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)。參加附加鏈桿阻止所有質(zhì)點(diǎn)的位移，如圖b。各質(zhì)點(diǎn)的慣性力為各鏈桿的反力為§12-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)令各鏈桿發(fā)生與各質(zhì)點(diǎn)實(shí)際位置相同的位移，如圖c。各鏈桿上所需施加的力為不計(jì)阻尼，各鏈桿上的總反力應(yīng)等于零。以質(zhì)點(diǎn)mi為例有kii、kij為剛度系數(shù)其物理意義見圖d、e?？傻胕質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力平衡方程為§12-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)對(duì)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都列出一個(gè)動(dòng)力平衡方程，于是可得寫成矩陣形式為多自由度結(jié)構(gòu)無阻尼自由振動(dòng)微分方程§12-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)簡寫為式中：M為質(zhì)量矩陣，在集中質(zhì)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)中是對(duì)角矩陣；

K為剛度矩陣，是對(duì)稱矩陣；為加速度列向量；Y為位移列向量。柔度法將各質(zhì)點(diǎn)的慣性力看作是靜荷載如圖a。結(jié)構(gòu)上任一質(zhì)點(diǎn)mi處的位移應(yīng)為§12-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)δii、δij為柔度系數(shù)其物理意義見圖b、c。由此，可以建立n個(gè)位移方程多自由度結(jié)構(gòu)無阻尼自由振動(dòng)微分方程§12-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)寫成矩陣形式為簡寫為δ為結(jié)構(gòu)的柔度矩陣，是對(duì)稱矩陣?？赏频萌岫染仃嚺c剛度矩陣是互為逆陣。2、按柔度法求解§12-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)設(shè)位移方程的特解為代入位移方程可得振幅方程§12-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)寫成矩陣形式式中—振幅列向量單位矩陣要得到振幅不全為零的解答，振幅方程組的系數(shù)行列式為零。頻率方程或?qū)憺椤?2-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)將行列式展開→含的n次代數(shù)方程，從而可得到n個(gè)自振頻率ω1，ω2，…，ωn，將頻率從小到大排列，分別稱為第一，第二，…，第n頻率。將任一ωk代入特解得此時(shí)各質(zhì)點(diǎn)按同一頻率ωk作同步簡諧振動(dòng)，各質(zhì)點(diǎn)位移的比值為任何時(shí)刻結(jié)構(gòu)的振動(dòng)都保持同一形狀。主振動(dòng)—多自由度結(jié)構(gòu)按任一自振頻率ωk進(jìn)行的簡諧振動(dòng)。主振型—相應(yīng)的特定振動(dòng)形式，簡稱振型?！?2-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)將ωk代回振幅方程得可寫為系數(shù)行列式為零，n個(gè)方程中只有(n-1)個(gè)是獨(dú)立的，不能確定各質(zhì)點(diǎn)的幅值，但可確定其比值即振型。§12-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)—振型向量設(shè)，即可求出其余各元素的值，此時(shí)振型稱為標(biāo)準(zhǔn)化振型。主振動(dòng)的線性組合構(gòu)成振動(dòng)微分方程的一般解：各主振動(dòng)分量的振幅、初相角由初始條件確定。自振頻率、振型：與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量分布和柔度系數(shù)有關(guān)；反映了結(jié)構(gòu)本身固有的動(dòng)力特性。§12-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)兩個(gè)自由度結(jié)構(gòu)的振幅方程為頻率方程為令解得§12-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)可得兩個(gè)自振頻率求第一陣型將ω=ω1代入振幅方程可得求第二陣型將ω=ω2代入振幅方程可得§12-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)例12-3試求圖a所示等截面簡支梁的自振頻率并確定主振型。解：自由度=2，由圖b、c可得求得得到§12-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)第一陣型第二陣型如圖d，振型是正對(duì)稱的。如圖e，振型是反對(duì)稱的。結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量分布是對(duì)稱的，那么其主振型是正對(duì)稱的或反對(duì)稱的。取一半結(jié)構(gòu)計(jì)算?！?2-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)例12-4圖a所示剛架各桿EI都為常數(shù)，假設(shè)其質(zhì)量集中于各結(jié)點(diǎn)處，m2=1.5m1。試確定其自振頻率和相應(yīng)的振型。解：結(jié)構(gòu)是對(duì)稱的，其振型為正、反對(duì)稱兩種。由受彎直桿的假定，判定不可能發(fā)生正對(duì)稱形式的振動(dòng)，其振型只能是反對(duì)稱的?？扇Db所示一半結(jié)構(gòu)計(jì)算。超靜定結(jié)構(gòu)§12-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)作超靜定結(jié)構(gòu)在F1=1和F2=1作用下的彎矩圖，如圖a、b。取靜定的基本結(jié)構(gòu)作圖，如圖c、d。計(jì)算得§12-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)有可得第一陣型第二陣型反對(duì)稱振動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)同向振動(dòng)反對(duì)稱振動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)反向振動(dòng)§12-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)3、按剛度法求解利用柔度矩陣與剛度矩陣互為逆陣的關(guān)系，通過變換可得振幅方程頻率方程由頻率方程可解出n個(gè)自振頻率，代回振幅方程得確定相應(yīng)的n個(gè)主振型§12-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)兩個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)頻率方程為展開解得兩個(gè)主振型為例12-5圖a所示三層剛架橫梁的剛度可視為無窮大，設(shè)剛架的質(zhì)量集中在各層的橫梁上。試確定其自振頻率和主振型?！?2-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)解：剛架振動(dòng)時(shí)各橫梁只能水平移動(dòng)，自由度=3，結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)如圖b、c、d?！?2-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)建立剛度矩陣為質(zhì)量矩陣為§12-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)有由頻率方程得展開解得自振頻率§12-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)確定主振型將ωk=ω1即ηk=η1=0.392代入振幅方程有設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化的第一振型為同理可求得§12-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)第一、二、三振型分別如圖a、b、c?！?2-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)4、主振型的正交性n個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)有n個(gè)自振頻率及n個(gè)主振型，每一頻率及相應(yīng)的主振型均滿足振幅方程即：—分別設(shè)k=i，k=j，可得兩邊左乘以兩邊左乘以那么有(1)(2)K、M均為對(duì)稱矩陣，將式(2)兩邊轉(zhuǎn)置有(3)§12-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)將式(1)減去式(3)得當(dāng)i≠j時(shí)，ωi

≠ωj，應(yīng)有對(duì)于質(zhì)量矩陣M，不同頻率的兩個(gè)主振型是彼此正交的。將此關(guān)系代入式(1)得對(duì)于剛度矩陣K，不同頻率的兩個(gè)主振型是彼此正交的。主振型的正交性是結(jié)構(gòu)本身固有的特性，可以用來簡化結(jié)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)算，可用以檢驗(yàn)所得主振型是否正確?！?2-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的受迫振動(dòng)平穩(wěn)階段的純受迫振動(dòng)圖(a)所示無重量簡支梁，用柔度法建立振動(dòng)微分方程。任一質(zhì)點(diǎn)mi的位移yi為式中各動(dòng)力荷載幅值在質(zhì)點(diǎn)mi處引起的靜力位移對(duì)n個(gè)質(zhì)點(diǎn)有§12-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的受迫振動(dòng)寫成矩陣形式式中—荷載幅值引起的靜力位移向量純受迫振動(dòng)的解答為為質(zhì)點(diǎn)mi的振幅。代入位移方程可得—振幅方程§12-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的受迫振動(dòng)或?qū)憺槭街蠭是單位矩陣，Y0是振幅向量。求解此方程即得各質(zhì)點(diǎn)在純受迫振動(dòng)中的振幅，從而得各質(zhì)點(diǎn)的慣性力為—慣性力的最大值結(jié)論：位移、慣性力、干擾力將同時(shí)到達(dá)最大值。計(jì)算最大動(dòng)力位移和內(nèi)力時(shí)，可將慣性力、干擾力的幅值作為靜力荷載加于結(jié)構(gòu)上計(jì)算，如圖b?！?2-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的受迫振動(dòng)將振幅方程改寫為可寫為最大慣性力向量當(dāng)θ=ωk(k=1,2,…,n)，振幅、慣性力、內(nèi)力值均為無限大—共振§12-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的受迫振動(dòng)例12-6圖a為一等截面剛架，m1=1kN，m2=0.5kN，F(xiàn)=5kN，每分鐘振動(dòng)300次，l=4m，EI=5×103kN·m2。試作剛架的最大動(dòng)力彎矩圖。解：此對(duì)稱剛架承受反對(duì)稱荷載，可取圖b所示半剛架計(jì)算。三個(gè)自由度：m1的水平位移m2的水平位移m3的豎向位移§12-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的受迫振動(dòng)—m1的最大慣性力—m2沿水平、豎向最大慣性力那么有(1)§12-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的受迫振動(dòng)求系數(shù)和自由項(xiàng)，作相應(yīng)彎矩圖如圖c~f。由圖乘法得§12-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的受迫振動(dòng)集中質(zhì)量的數(shù)值為振動(dòng)荷載的頻率為代入式(1)得解得由疊加法最大動(dòng)力彎矩圖如圖g?！?2-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的受迫振動(dòng)圖a所示n個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)，當(dāng)干擾力均作用在質(zhì)點(diǎn)處時(shí)，可得動(dòng)力平衡方程為寫成矩陣形式假設(shè)干擾力為同步簡諧荷載式中F=(F1

F2…Fn)T，為荷載幅值列向量。（a）§12-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的受迫振動(dòng)在平穩(wěn)階段各質(zhì)點(diǎn)均按頻率θ作同步簡諧振動(dòng)。代入動(dòng)力平衡方程整理得求得各質(zhì)點(diǎn)振幅值各質(zhì)點(diǎn)的慣性力為可得求得慣性力幅值位移、慣性力、干擾力同時(shí)到達(dá)最大值，將FI、F(t)最大值作為靜力荷載作用于結(jié)構(gòu)，計(jì)算最大動(dòng)力位移和內(nèi)力?！?2-8振型分解法多自由度結(jié)構(gòu)無阻尼受迫振動(dòng)微分方程為只有集中質(zhì)量的結(jié)構(gòu)，M為對(duì)角陣，K不是對(duì)角陣—方程耦聯(lián)各質(zhì)點(diǎn)的位移向量—幾何坐標(biāo)坐標(biāo)變換結(jié)構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)化的主振型向量表示為設(shè)—位移向量按主振型分解展開§12-8振型分解法簡寫為把幾何坐標(biāo)Y變換成數(shù)目相同的另一組新坐標(biāo)—正那么坐標(biāo)—主振型矩陣，幾何坐標(biāo)與正那么坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換矩陣令—第i個(gè)主振型的廣義質(zhì)量—廣義質(zhì)量矩陣，對(duì)角矩陣§12-8振型分解法—廣義剛度矩陣，對(duì)角矩陣主對(duì)角線上的任一元素利用振型正交性可得令i=j，可得或與單自由度結(jié)構(gòu)的頻率公式相似§12-8振型分解法設(shè)有—廣義荷載向量—相應(yīng)第i個(gè)主振型的廣義荷載振動(dòng)方程變換為—解除藕聯(lián)，各自獨(dú)立§12-8振型分解法整理得—與單自由度結(jié)構(gòu)無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)方程形式相同。初位移、初速度為零時(shí)，由杜哈梅積分求得—n個(gè)自由度結(jié)構(gòu)的計(jì)算簡化為n個(gè)單自由度計(jì)算問題振型分解法〔振型疊加法〕：將位移Y分解為各主振型的疊加§12-8振型分解法振型分解法計(jì)算步驟(1)求自振頻率和振型(2)計(jì)算廣義質(zhì)量和廣義荷載(3)求解正那么坐標(biāo)的振動(dòng)微分方程(4)計(jì)算幾何坐標(biāo)求出各質(zhì)點(diǎn)位移→計(jì)算其他動(dòng)力反響。與單自由度問題一樣求解?！?2-8振型分解法例12-7圖a所示結(jié)構(gòu)在結(jié)點(diǎn)2處受有突加荷載作用，試求兩結(jié)點(diǎn)的位移和梁的彎矩。解：(1)結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型(圖b、c)(2)廣義質(zhì)量§12-8振型分解法廣義荷載(3)求正那么坐標(biāo)(4)求位移§12-8振型分解法兩質(zhì)點(diǎn)位移圖形狀如圖d?！?2-8振型分解法(5)求彎矩兩質(zhì)點(diǎn)的慣性力為由圖e可求梁的動(dòng)彎矩，如§12-9多自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的受迫振動(dòng)1、振動(dòng)微分方程的建立圖示結(jié)構(gòu)有n個(gè)自由度，各質(zhì)點(diǎn)受任意荷載Fi(t)及黏滯阻尼力FDi作用。由前述知識(shí)，可得動(dòng)力平衡方程為：§12-9多自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的受迫振動(dòng)上式寫成矩陣形式為：簡寫為：〔1〕2、振動(dòng)微分方程組的解耦引入正那么坐標(biāo)及主振型矩陣，全式左乘主振型矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，式〔1〕變?yōu)椋骸?〕§12-9多自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的受迫振動(dòng)非對(duì)角矩陣，將改造成對(duì)角矩陣，解除耦聯(lián)。由瑞利阻尼假設(shè)，設(shè)各項(xiàng)左乘φT右乘φ得對(duì)角矩陣，方程組完全解耦。3、確定待定常數(shù)a、bξi—與振型i對(duì)應(yīng)的阻尼比，常用參數(shù)。經(jīng)推導(dǎo)得§12-9多自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的受迫振動(dòng)4、求解步驟〔1〕計(jì)算自振頻率ωi和振型Φ〔i〕：i=1，2，…，n〔2〕計(jì)算廣義質(zhì)量和廣義荷載：〔3〕由ω1、ω2、ξ1、ξ2確定a、b后，計(jì)算ξi?！?〕求解正那么坐標(biāo)表示的振動(dòng)微分方程：〔5〕計(jì)算幾何坐標(biāo)：§12-9多自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的受迫振動(dòng)例12-8圖示結(jié)構(gòu)在各層橫梁處受有水平方向的突加荷載作用，試求各層柱頂位移。考慮阻尼，ξ1=ξ2=0.05。解：〔1〕計(jì)算自振頻率和振型〔2〕計(jì)算廣義質(zhì)量和廣義荷載§12-9多自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的受迫振動(dòng)〔3〕計(jì)算阻尼比ξ〔4〕正那么坐標(biāo)表示的振動(dòng)微分方程為§12-9多自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的受迫振動(dòng)可求得正那么坐標(biāo)〔略〕，由此計(jì)算得各層柱頂位移為：§12-10地震作用計(jì)算地震作用〔earthquakeaction〕—由地震動(dòng)引起的結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)作用，包括水平地震作用和豎向地震作用。1、單自由度結(jié)構(gòu)的地震作用計(jì)算圖(a)為單自由度結(jié)構(gòu)地震時(shí)的位移和變形示意圖。yg(t)—地震引起的地面位移，實(shí)測得到；y(t)—質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于地面的位移反響，未知的。§12-10地震作用計(jì)算取質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)為隔離體，如圖(b)，由達(dá)朗貝爾原理得動(dòng)力平衡方程為：慣性力展開平衡方程得或振動(dòng)微分方程當(dāng)初始位移、初始速度均為0時(shí)，應(yīng)用杜哈梅積分可求得有阻尼自振頻率§12-10地震作用計(jì)算經(jīng)推導(dǎo)可得結(jié)構(gòu)受到的地震作用為：抗震設(shè)計(jì)中最有意義的是地震作用的最大值Fmaxamaxα—地震影響系數(shù)2、多自由度結(jié)構(gòu)的地震作用計(jì)算§12-10地震作用計(jì)算—線彈性結(jié)構(gòu)、滿足瑞利阻尼假設(shè)剛度法多自由度結(jié)構(gòu)地震作用時(shí)的振動(dòng)微分方程為：I—單位矩陣振型分解法求解用正那么坐標(biāo)α和振型矩陣Φ表示振動(dòng)微分方程：§12-10地震作用計(jì)算推導(dǎo)得對(duì)應(yīng)第i振型的單自由度振動(dòng)微分方程為：振型參與系數(shù)由杜哈梅積分可得零初始條件時(shí)正那么坐標(biāo)的解答為：→第i振型廣義位移§12-10地震作用計(jì)算結(jié)構(gòu)第i自由度的相對(duì)位移反響為：用矩陣表示為：質(zhì)點(diǎn)i的地震作用為：由振型的正交性，可推得：第j振型廣義加速度反響函數(shù)§12-10地震作用計(jì)算αj(t)—地震影響函數(shù)第j振型對(duì)應(yīng)第i自由度的地震作用函數(shù)第j振型的地震最大作用為：第i質(zhì)點(diǎn)的重量第j振型地震影響系數(shù)的最大值§12-10地震作用計(jì)算§12-11無限自由度結(jié)構(gòu)的振動(dòng)圖a所示具有均布質(zhì)量的單跨梁，其振動(dòng)時(shí)彈性曲線上任一點(diǎn)的位移y是橫坐標(biāo)x和時(shí)間t的函數(shù)：設(shè)：梁的均布自重為q，單位長度的質(zhì)量m=q/g，

慣性力的集度為取微段隔離體如圖b。由材料力學(xué)可得如梁上承受均布簡諧荷載psinθt，那么梁的振動(dòng)微分方程為或微分方程的解有兩局部：相應(yīng)齊次方程的一般解-梁的自由振動(dòng)特解-梁的強(qiáng)迫振動(dòng)(1)梁的自由振動(dòng)微分方程為設(shè)位移y為坐標(biāo)位置函數(shù)F(x)和時(shí)間函數(shù)T(t)之積，即代入微分方程有§12-11無限自由度結(jié)構(gòu)的振動(dòng)上式可寫為左邊為變量t的函數(shù)右邊為變量x的函數(shù)可設(shè)得(1)(2)方程(1)的解為令或頻率特征值式(2)可寫為§12-11無限自由度結(jié)構(gòu)的振動(dòng)上式通解為位移為振幅曲線為A、B、C、D—待定任意常數(shù)引入新的常量代入yx式中有—克雷洛夫函數(shù)§12-11無限自由度結(jié)構(gòu)的振動(dòng)克雷洛夫函數(shù)有如下關(guān)系由這些關(guān)系可寫出梁的撓度yx、角位移、彎矩和剪力的公式(3)§12-11無限自由度結(jié)構(gòu)的振動(dòng)當(dāng)x=0時(shí)，設(shè)有可得全解為各特解的線性組合(4)§12-11無限自由度結(jié)構(gòu)的振動(dòng)例12-8試求圖a所示等截面梁的自振頻率和振型。解：由梁的邊界條件，由式(4)可得—系數(shù)行列式為零展開化簡為§12-11無限自由度結(jié)構(gòu)的振動(dòng)由雙曲函