分段低次插值與樣條

4.4分段低次插值例：在[5,5]上考察的Ln(x)。取

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

n

越大，端點附近抖動越大，稱為Runge現(xiàn)象Ln(x)

f(x)

分段低次插值

分段線性插值在每個區(qū)間上，用1階多項式

(直線)逼近f(x):記，易證：當時，一致失去了原函數(shù)的光滑性。yxoy=f(x)y=p(x)分段Hermite插值給定在上利用兩點的y及y’構(gòu)造3次Hermite函數(shù)導數(shù)一般不易得到。還有許多應用不僅要求插值函數(shù)具有足夠高階的整體光滑性,還要求在某些結(jié)點處轉(zhuǎn)折靈活.例如若干點處加載集中力的桿、梁或板彎曲.這就導致本節(jié)要討論的樣條函數(shù)(Spline)插值.數(shù)學里的樣條(Spline)一詞來源于它的直觀幾何背景：繪圖員或板金工人常用彈性木條或金屬條加壓鐵(構(gòu)成樣條!)來繪制或者放樣成光順曲線或者曲面.但它之所以成為數(shù)值分析的標志性成果之一并且在數(shù)學物理的廣泛領(lǐng)域獲得非常成功的應用,還在于它的明確的物理背景.請看下面的例子.4.5樣條函數(shù)插值例.考察梁彎曲方程

進行加載集中力,只是兩端點除給零位移約束外還要加一階或二階導數(shù)約束.于是集中力作用下的梁彎曲方程成為此時我們得到:圖4.8.2

①②

在內(nèi)結(jié)點上脈沖間斷;③

為階梯函數(shù);④

在每個子區(qū)間上是三次多項式;

⑤

和都是上的連續(xù)函數(shù).這便是后面我們要著重討論的三次樣條.

此例展示了三次樣條的如下特征:

○

它分段三次光滑;

○

整體二次光滑(足夠光滑);

○

在內(nèi)結(jié)點處三階導數(shù)間斷(轉(zhuǎn)折靈活).4.5.1樣條函數(shù)插值要求：插值曲線即要簡單，又要在曲線的連接處比較光滑。這樣的分段插值函數(shù)在分段上要求多項式次數(shù)低，而在節(jié)點上不僅連續(xù)，還存在連續(xù)的低階導數(shù)，我們把滿足這樣條件的插值函數(shù)，稱為樣條插值函數(shù)，它所對應的曲線稱為樣條曲線，其節(jié)點稱為樣點，這種插值方法稱為——樣條插值。CubicSplineInterpolationLagrangInterpolation4.5.23次樣條插值問題的提法：給定數(shù)據(jù)表構(gòu)造3次樣條函數(shù)滿足插值條件

構(gòu)造方法：應具有如下形式并且滿足條件(4.2)和因是分段3次多項式,故在每個區(qū)間上都是3次多項式,從而共須個獨立條件確定.①和在個內(nèi)結(jié)點連續(xù),即滿足條件(4.4),因而

(4.4)給出了個條件；②(4.2)提供了個獨立條件;③還差2個條件,有多種給法.最常見的給法是:(i)（簡支邊界，導致三彎矩關(guān)系式,關(guān)系式）,

特別地,(自然邊界,三次自然樣條);(ii)

(固支邊界,導致三轉(zhuǎn)角關(guān)系式,關(guān)系式).注意：上述①給出的個條件是問題本身隱含的，②和③共個獨立條件須提供，故

結(jié)點三次樣插值.問題只有個自由度.(請與分段三次Hermite插值比較!)定義：設對y=f(x)在區(qū)間[a,b]上給定一組節(jié)點

a=x0<x1<x2<…<xn

=b和相應的函數(shù)值y0,y1,…,yn，如果s(x)具有如下性質(zhì)：（1）在每個子區(qū)間[xi-1,xi](i=1,2,…,n)上s(x)是不高于三次的多項式； （2）s(x)，s’(x)，s

(x)在[a,b]上連續(xù)；則稱s(x)為三次樣條函數(shù)。如再有（3）(i=0,1,2,…,n)，則稱s(x)為y=f(x)的三次樣條插值函數(shù)。f(x)H(x)S(x)注：三次樣條與分段Hermite

插值的根本區(qū)別在于S(x)自身光滑，不需要知道f的導數(shù)值（除了在2個端點可能需要）；而Hermite

插值依賴于f在所有插值點的導數(shù)值。三次樣條插值的存在唯一性和計算方法設f(x)是定義在

[a,b]區(qū)間上的一個二次連續(xù)可微函數(shù)，

為分劃：S

(x)在

[xi-1,xi]上的表達式為：令i=0,1,2,…,n在每一個小區(qū)間[xi-1,xi]i=1,…,n

上都是三次多項式，（6.7）其中，將（6.7）兩次積分得：Ai和Bi為積分常數(shù)。

因為所以它滿足方程：（6.8）求

Mi，確定S(x)的表達式。微分（6.8）式于是由

得各項除以hi+hi+1，并記則（6.9）可以寫為（6.9）端點條件最后一個方程。若取M0=Mn=0，稱為三次自然樣條。（1）給定補充（6.9）的第一個和有（2）給定兩端點導數(shù)值

分別補充為方程組（6.9）的第一個和最后一個方程組。

解方程組經(jīng)補充后的方程組（6.9）為其中，對端點條件（1），有（6.9）對端點條件（2），有（6.10）是一個三對角方程組，可用追趕法解之。此方程組系數(shù)嚴格對角占優(yōu)！從而存在唯一解。求出了Mi(i=0,1,…,n)，也就求得了S(x)在各個小區(qū)間的表達式Si(x)（i=0,1,2,…,n）若取等距節(jié)點

hi=h,i=1,…,n–1算法：

（1）

i=1,2,…,nhi=xi–xi-1（2）i=1,2,…,n（3）解n–1階三對角方程組，得M1,M2,…,Mn-1

代入端點條件計算M0,Mn（4）

若取，計算上機實習題設函數(shù)

試用三次樣條函數(shù)作插值，并與L10(