大學(xué)物理之力學(xué)

大學(xué)物理

力學(xué)力學(xué)內(nèi)容第一章、質(zhì)點運動學(xué)第二章、牛頓運動定律第三章、功和能第四章、動量和角動量第五章、剛體力學(xué)基礎(chǔ)第一章質(zhì)點運動學(xué)1.1.1、參考系(referenceframe)和坐標系(coordinate)參考系：為了描述物體的運動而選取的參考標準物體。（運動描述的相對性）在運動學(xué)中，參考系的選擇是任意的；在動力學(xué)中則不然坐標系：直角坐標系、自然坐標系、極坐標系、球坐標系等.說明1.1運動學(xué)的一些基本概念1.1.2、時間和空間的計量時間表征物理事件的順序性和物質(zhì)運動的持續(xù)性。時間測量的標準單位是秒。1967年定義秒為銫—133原子基態(tài)的兩個超精細能級之間躍遷輻射周期的9192631770倍。量度時間范圍從宇宙年齡1018s(約200億年）到微觀粒子的最短壽命10-24s.極限的時間間隔為普朗克時間10-43s,小于此時間，現(xiàn)有的時間概念就不適用了。1、時間及其計量2、空間及其計量空間反映物質(zhì)運動的廣延性。在巴黎國際標準局—標準米尺；1983年定義米為真空中光在1/299792458s時間內(nèi)所行經(jīng)的距離?？臻g范圍從宇宙范圍的尺度1026m(約200億光年）到微粒的尺度10-15m.極限的空間長度為普朗克長度10-35m,小于此值，現(xiàn)有的空間概念就不適用了。1.1.3、質(zhì)點（masspoint）相對性；理想模型；質(zhì)點運動是研究物質(zhì)運動的基礎(chǔ).具有物體的質(zhì)量，沒有形狀和大小的幾何點。說明在不能把物體當(dāng)作質(zhì)點時，可把整個物體視為由許多個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，弄清每個質(zhì)點的運動情況，就可以了解整個物體的運動。1.2.1、位置矢量(positionvector)位置矢量的方向:位置矢量的大?。涸谥苯亲鴺讼抵形恢檬噶繛?

1.2描述質(zhì)點運動的基本物理量參考系—坐標系—原點和坐標軸—鐘在直角坐標系中，在t時刻某質(zhì)點在點P的位置可用坐標系原點O指向點P的有向線段表示，矢量稱為位置矢量，簡稱位矢.1.2.2、運動方程質(zhì)點的位置隨時間變化的函數(shù)關(guān)系，稱為質(zhì)點的運動方程。在直角坐標系中，根據(jù)軌跡的形狀，質(zhì)點運動分為直線運動和曲線運動。質(zhì)點在空間連續(xù)經(jīng)過的各點連成的曲線即質(zhì)點的運動軌跡。軌跡方程(trajectory)從運動方程中消去t，則可得：或：在直角坐標系中：從質(zhì)點初位置到質(zhì)點末位置所引的矢量定義為位移。位移矢量的大小位移矢量的方向1.2.3、位移矢量(displacement)路程1）

和

是兩個不同的概念。4）位移只取決于初末位置，與原點的選擇無關(guān)（位矢與原點的選擇有關(guān)）。3）位移與路程的區(qū)別：2）位移大小與位矢大小增量的區(qū)別：說明思考：1.2.4、速度矢量（Velocity）:表示質(zhì)點運動快慢及方向的物理量1、平均速度2、速度方向沿切向，并指向前進方向。在直角坐標系中：速度大小平均速度和平均速率；瞬時速度和瞬時速率定義：定義：平均加速度=大小：瞬時加速度:方向：

t0時的極限方向。在曲線運動中，總是指向曲線的凹側(cè)。1.2.5、加速度矢量（acceleration）:表示速度變化快慢的物理量在直角坐標系中：加速度的方向加速度的大小其中分量為

運動學(xué)中的兩類問題1、已知質(zhì)點的運動學(xué)方程求質(zhì)點的速度、加速度等問題常稱為運動學(xué)第一類問題．2、由加速度和初始條件求速度方程和運動方程的問題稱為運動學(xué)的第二類問題．微分積分解根據(jù)質(zhì)點速度的定義則有速度的大小根據(jù)質(zhì)點加速度的定義例題1-1

已知質(zhì)點的運動方程是式中R,ω都是正值常量。求質(zhì)點的速度和加速度的大小，并討論它們的方向。加速度的大小則有根據(jù)矢量的點積運算，分別計算質(zhì)點做勻速率圓周運動。質(zhì)點的速度沿圓的切線方向，加速度沿半徑指向圓心；速度和加速度互相垂直。結(jié)論

例題1-2一質(zhì)點作平面運動，已知加速度為，其中A、B、ω均為正常數(shù)，且A≠B,A≠0,B≠0。初始條件為t=0時，。求該質(zhì)點的運動軌跡。

解這個問題是已知加速度和初始條件求運動方程，進而求出軌跡方程的問題。

由加速度三個分量

的定義可得

從x,y的表示式中消去ωt，即可得質(zhì)點的運動軌跡方程為:結(jié)果表明，質(zhì)點的運動軌跡為橢圓。例題1-3一質(zhì)點沿x軸正向運動，其加速度與位置的關(guān)系為a=3+2x。若在x=0處，其速度v0=5m/s，求質(zhì)點運動到x=3m處時所具有的速度。

解

已知，由加速度的定義式得：

根據(jù)初始條件作定積分

速度的方向沿x軸正向。

解選取豎直向上為y軸的正方向，坐標原點在拋點處。設(shè)小球上升運動的瞬時速率為v，阻力系數(shù)為k，則空氣阻力為此時小球的加速度為即作變換整理則得例題1-4以初速度v0由地面豎直向上拋出一個質(zhì)量為m的小球，若上拋小球受到與其瞬時速率成正比的空氣阻力，求小球能升達的最大高度是多大？根據(jù)初始條件，作定積分可得當(dāng)小球達到最大高度H

時，v=0。可得例題1-5已知一質(zhì)點由靜止出發(fā)，它的加速度在x軸和y軸上的分量分別為ax=10t和ay=15t

2。求t=5s時質(zhì)點的速度和位置。解取質(zhì)點的出發(fā)點為坐標原點，由定義得根據(jù)題意，初始條件為t=0,v0x=0,v0y=0，對上式進行積分，得

t=5s代入上式得利用初始條件t=0,x0=0,y0=0，對vx,vy進行積分，得s代入上式得切向（tangential）單位矢量法向（normal）單位矢量1.3.1、自然坐標系1.3平面曲線運動其方向都是隨位置（時間）變化的在質(zhì)點運動的軌跡上任取一點O作為自然坐標系的原點，沿軌跡規(guī)定一個弧長正方向,則可以用由原點到質(zhì)點所在位置的弧長S來描述質(zhì)點的位置在自然坐標系中弧長s是可正可負的坐標量，當(dāng)質(zhì)點P位于O點弧長正方向一側(cè)時取正值，處于O點另一側(cè)時去負值。稱為切向加速度稱為法向加速度速度矢量表示為加速度矢量表示為1.3.2、質(zhì)點作圓周運動時的切向加速度和法向加速度由加速度的定義是矢量，方向垂直于并指向圓心，與的方向一致。的長度等于1，于是有

由于

質(zhì)點速率變化的快慢質(zhì)點速度方向變化的快慢切向加速度法向加速度加速度的大小1.3.4、圓周運動的角量描述1、角位置（angularposition）：θ

3、角位移(angulardisplacement)：△θ

1.3.3一般平面曲線運動中的切向加速度和法向加速度曲線上任一點P的附近極短的一段曲線上，可用與它相切處曲率半徑為ρ的圓弧來代替,則一般平面曲線運動的切向加速度和法向加速度。

2、運動方程曲率半徑：（瞬時）角速度4、角速度(angularvelocity)平均角速度5、角加速度(angularacceleration)平均角加速度（瞬時）角加速度角速度是矢量，其方向垂直于質(zhì)點運動的平面，指向由右手螺旋法則確定：當(dāng)四指沿運動方向彎曲時，大拇指的指向就是角速度的方向。勻速率圓周運動：角速度是恒量，角加速度為零；變速率圓周運動：角速度不是恒量，角加速度一般也不是恒量。角加速度是恒量時，質(zhì)點作勻變速圓周運動。在勻變速圓周運動中的角位置、角速度和角加速度間的關(guān)系與勻加速直線運動中的位移、速度和加速度間的關(guān)系形式上完全類似，它可寫為

1.3.5、角量與線量的關(guān)系在dt

時間內(nèi)質(zhì)點的位移質(zhì)點的速度由加速度的定義切向加速度法向加速度圓周運動的第二類運動學(xué)問題積分積分切向加速度at和初始條件速率方程和自然坐標表示的運動方程角加速度β

和初始條件角速度方程和以角量表示的運動方程解（1）由角速度和角加速度的定義，得把t=2s代入運動方程、角速度和角加速度方程，可得例題1-6一質(zhì)點作半徑為R=1.0m的圓周運動，其運動方程為θ=2t3+3t，其中θ

以rad計，t以s計。試求：（1）t=2s時質(zhì)點的角位置、角速度和角加速度。（2）t=2s時質(zhì)點的切向加速度、法向加速度和加速度。（2）根據(jù)線量與角量的關(guān)系，可得加速度加速度的大小設(shè)加速度與法向加速度的夾角為α，則例題1-7如圖所示，汽車以5m/s的勻速率在廣場上沿半徑為R=250m的環(huán)形馬路上行駛。當(dāng)汽車油門關(guān)閉以后，由于與地面的摩擦作用，汽車沿馬路勻減速滑行50m而停止，試求：（1）汽車在關(guān)閉油門前運動的加速度。（2）汽車在關(guān)閉油門后4s時運動的加速度。解（1）汽車關(guān)閉油門前時作勻速率圓周運動，其切向加速度和法向加速度分別為則，其方向指向環(huán)心O。

（2）汽車在關(guān)閉油門后滑行50m而停止。汽車的切向加速度為油門關(guān)閉4（s）時，汽車的速率為此時法向加速度為:

總加速度的大小為:

總加速度與速度的夾角為

例題1-8一飛輪以n=1500r/min的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動，受到制動而均勻地減速，經(jīng)t=50s后靜止。（1）求角加速度β和從制動開始到靜止時飛輪的轉(zhuǎn)數(shù)N為多少？(2）求制動開始t=25s時飛輪的角速度ω(3）設(shè)飛輪的半徑R=1m時，求t=25s時，飛輪邊緣上一點的速度、切向加速度和法向加速度解（1）由勻變速圓周運動基本公式從開始制動到靜止，飛輪的角位移Δθ及轉(zhuǎn)數(shù)N分別為

(2）t=25s時飛輪的角速度ω為(3）t=25s時，飛輪邊緣上一點的速度為切向加速度和法向加速度為解設(shè)加速度與速度方向的夾角為α，則即所以兩邊積分例題1-9質(zhì)點沿半徑為R的圓軌道運動，初速度為v0，加速度與速度方向的夾角恒定，如圖所示．求速度的大小與時間的關(guān)系．解:取t=0時質(zhì)點的位置O′為自然坐標系原點，以質(zhì)點運動的方向為自然坐標正向，并設(shè)任意時刻t質(zhì)點的速度為v，自然坐標為s.（1）代入t=1s，可得質(zhì)點的速度和加速度的大小為

例題1-10質(zhì)點沿半徑R=3m的圓周運動，如圖所示。已知切向加速度at=3m/s2,t=0時質(zhì)點在O’點，其速度v0=0，試求：（1）t=1s時質(zhì)點速度和加速度的大??；（2）第2秒內(nèi)質(zhì)點所通過的路程。

利用初始條件作定積分（2）由得，利用初始條件作定積分代入數(shù)據(jù)可得第2秒內(nèi)質(zhì)點通過的路程為

1.4相對運動同一質(zhì)點在不同參考系中的位置矢量、速度和加速度等物理量之間的關(guān)系的規(guī)律。物體運動的描述依賴于觀察者所處的參考系S’（ox’y’)系和S(oxy)系在t=0時重合，P,P’點重合。在Δt時間內(nèi)S’相對S位移ΔD，則伽利略速度相加原理若u為常量，則在相對作勻速直線運動的不同參考系中觀察同一質(zhì)點的運動，所得的加速度相同。位移相加原理而位移相加原理是相對同一參考系來說的。這里默認了長度和時間的測量與參考系的相對運動無關(guān)。說明長度和時間的測量是絕對的—牛頓時空觀。適用條件:宏觀、低速情況

例題1-11一帶蓬卡車高h=2m，它停在馬路上時雨點可落在車內(nèi)到達蓬后沿前方d=1m處，當(dāng)它以15km/h速率沿平直馬路行駛時，雨滴恰好不能落入車內(nèi)，如圖所示。求雨滴相對地面的速度及雨滴相對車的速度。

解選地面為S系，車為S′系，S′系相對S系運動速率為u=15km/h。所求雨滴相對地面的速度為，雨滴相對車的速度為。根據(jù)伽利略速度相加定理，則有由已知條件得與地面的夾角

且與u垂直，故可得

例題1-12在相對地面靜止的坐標系內(nèi)，A，B兩船都以2m/s的速率勻速行駛，A船沿x軸正向，B船沿y軸正向，今在A船上設(shè)置與靜止坐標系方向相同的坐標系（x，y單位矢量分別用表示），求在A船上看B船的速度。解選地面為S系，A船為S′系，B船為運動物體，S′系相對S系運動速度為根據(jù)伽利略速度相加定理，則B船對S′系的運動速度為B船對S系的運動速度為解選地面為S系，劈形物體為S?系。在兩參考系上建如圖所示的坐標系。木塊相對S?系的加速度為S'系相對S系的加速度為根據(jù)加速度疊加原理，木塊對地面的加速度為例題1-13傾角θ=300的劈形物體放在水平地面上。當(dāng)斜面上的物體沿斜面下滑時，劈形物體以加速度4ms-2為向右運動。又知道木塊相對斜面的加速度為6ms-2，求木塊相對地面的加速度。小結(jié)一、基本概念：位矢：運動學(xué)方程。位移：速度：加速度：二、兩類基本問題：三、運動的描述1、基本物理量位置矢量位移速度加速度線量角量2、線量與角量的關(guān)系四、運動的相對性伽利略速度相加原理位移相加原理加速度相加關(guān)系預(yù)習(xí)第2章內(nèi)容第二章牛頓運動定律2.1.1、牛頓第一定律任何物體都保持靜止或勻速直線運動的狀態(tài)，直到其他物體所作用的力迫使它改變這種狀態(tài)為止。數(shù)學(xué)表達：說明1）慣性2）力的涵義3）慣性參考系2.1牛頓運動定律任何物體都具有保持其運動狀態(tài)不變的特性，這個性質(zhì)叫做慣性。改變物體的運動狀態(tài)，必有其它物體對它作用，這種物體和物體之間的相互作用被稱之為力

一個不受合力作用的物體將保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)不變，這樣的參考系稱為慣性參考系，簡稱為慣性系。2.1.2、牛頓第二定律數(shù)學(xué)表達：說明1）定義力2）力的瞬時作用規(guī)律3）矢量性5）適用條件：質(zhì)點、宏觀、低速、慣性系4）說明了質(zhì)量的實質(zhì)：物體慣性大小的量度物體受到力作用時，它所獲得的加速度的大小與合力的大小成正比，與物體的質(zhì)量成反比，加速度的方向與合力的方向相同。在直角坐標系中，牛頓第二定律的分量式為m為恒量時：在自然坐標系中，牛頓第二定律的分量式為2.1.3、牛頓第三定律1）瞬時性2）矢量性3）性質(zhì)相同

當(dāng)物體A以力F1作用在物體B上時，物體B也必定同時以力F2作用在物體A上，F(xiàn)1和F2在同一直線上，大小相等，方向相反，這就是牛頓第三定律。數(shù)學(xué)表達：（1）只適用于慣性系．（2）只適用于v<<c，否則，須應(yīng)用相對論力學(xué)處理．（3）一般僅適用于宏觀物體的宏觀運動．微觀粒子的微觀運動，要用量子力學(xué)處理．2.1.4、牛頓運動定律的適用條件是：注意

AB牛頓三大愛情定律:

1、第一定律(物體在沒有外力作用的情況下會保持原有的狀態(tài))；

推論：當(dāng)你不去追求一個美眉，這個美眉就會待在那里不動。

2、第二定律(F=ma，物體的加速度，與施加在該物體上的外力成正比)；

推論：當(dāng)你強烈地追求一個美眉，這個美眉也會有強烈的反應(yīng)。

評述：這個顯然也是錯誤的！如果你是一只蛤蟆，那么公主是不會動心的。你的鮮花送得越勤，電話費花得越多，可能對方越是反感，還可能肥了不費力氣的對手。更可能的情況是，當(dāng)多個人同時在追求一個美眉時，該美眉反而無動于衷，心想：機會多著呢，再挑一挑。所以，緊了繃，輕了松，火候要拿捏得好。

3、第三定律(作用力與反作用力大小相等，方向相反)；

推論：當(dāng)你愛一個美眉，這個美眉也一定愛你。

至此，偉大的牛頓的三大愛情定律全數(shù)推翻。

2.2.1、基本的自然力1．引力：2．電磁力：靜止的電荷之間存在著電力（庫侖力），運動的電荷之間不僅有電力，而且有磁力。這兩種力有其本質(zhì)上的聯(lián)系，總稱為電磁力。

電磁力、萬有引力的作用距離可以很大，所以稱為長程力。3．強力：作用于質(zhì)子、中子、介子等強子之間的力稱為強力。4．弱力：弱力是存在于各種粒子之間的另一種相互作用

強力和弱力是種短程力。

2.2相互作用力慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量引力常數(shù)：G=6.67

10–11m3/(kg2?s2)強力>電磁力>弱力>引力2.2.2、力學(xué)中常見的幾種力1重力：地球表面附近物體受到地球的萬有引力2彈性力：發(fā)生形變的物體，由于要恢復(fù)原狀，對與它接觸的物體會產(chǎn)生力的作用叫彈力.一些彈性體（如彈簧）在形變不超過一定的限度時，其彈性力遵從胡克定律。萬有引力：繩或線對物體的拉力，是由繩發(fā)生形變而產(chǎn)生的，其大小取決于繩被拉緊的程度。繩產(chǎn)生拉力時，繩的內(nèi)部各段之間也有相互的彈力作用，這種內(nèi)部的彈力作用稱為張力。繩子每段的質(zhì)量為△mi

應(yīng)用牛頓第二定律得

說明繩中不同點處張力不相等，張力的大小與加速度a有關(guān)。

3摩擦力：當(dāng)兩個接觸物體相對運動或有相對運動趨勢時，在接觸面上產(chǎn)生的阻礙它們相對運動的力。滑動摩擦力：靜摩擦力：大?。悍较颍嚎偸桥c該物體相對運動趨勢的方向相反大小：方向：總是與受力物體的相對運動的方向相反4流體阻力（也稱流體內(nèi)摩擦力）

當(dāng)物體在流體內(nèi)運動時會受到流體的阻力，流體包含氣體和液體。質(zhì)點所受阻力與質(zhì)點運動方向相反，當(dāng)運動速率較小時，阻力的大小與速率成正比，即當(dāng)運動速率較大時，阻力與速率的平方成正比，即和為比例系數(shù)，與物體的形狀、大小和流體性質(zhì)等因素有關(guān)，可由實驗測定。

原則上，由牛頓運動定律可以解決所有力學(xué)問題。常見的力學(xué)問題分為兩類：一類是已知力求運動；另一類是已知一些力和運動求另一些力。正確地分析物體（質(zhì)點）所受的力是解決問題的關(guān)鍵選對象、看運動、分析力、建坐標和列方程解題步驟一般是：2.3牛頓運動定律的應(yīng)用分析：已知初始條件求速率和路程，需先求出加速度。結(jié)論：用牛頓運動定律求出加速度后，問題變成已知加速度和初始條件求速度方程或運動方程的第二類運動學(xué)問題。1)以桌面為參考系，建立自然坐標系解：

2)分析受力,其中豎直方向重力與桌面的支持力相互平衡，與運動無關(guān)。3)應(yīng)用牛頓第二定律設(shè)物體的質(zhì)量為m例題2-1光滑桌面上放置一固定圓環(huán)，半徑為R，一物體貼著環(huán)帶內(nèi)側(cè)運動，如圖所示。物體與環(huán)帶間的滑動摩擦系數(shù)為μ。設(shè)在某一時刻質(zhì)點經(jīng)A點時的速度為v0

。求此后t時刻物體的速率和從A點開始所經(jīng)過的路程。切向：法向：聯(lián)立1）-3）得:4)積分運算進行求解即例2-2一條長為質(zhì)量均勻分布的細鏈條AB，掛在半徑可忽略的光滑釘子上，開始處于靜止狀態(tài)。已知BC段長為,釋放后鏈條作加速運動，如圖所示。試求時，鏈條的加速度和速度。

解建立如圖所示坐標系，設(shè)任意時刻BC長度為x，則有得

積分得由，當(dāng)時，分離變量得：解

1）取地面為參考系，y軸正方向向下．2）受力分析：重力、浮力、阻力3）應(yīng)用牛頓第二定律例題2-3一個小球在粘滯性液體中下沉，已知小球的質(zhì)量為m，液體對小球的有浮力為，阻力為。若t=0時，小球的速率為v0，試求小球在粘滯性液體中下沉的速率隨時間的變化規(guī)律。做定積分，并考慮初始條件有故有在時，極限速率為分析：初始條件，時的速度為只要求出速率方程“不會返回地球”的數(shù)學(xué)表示式為：當(dāng)時，

結(jié)論：用牛頓運動定律求出加速度后，問題變成已知加速度和初始條件求速度方程或運動方程的第二類運動學(xué)問題。解∶地球半徑為R，地面引力=重力=mg，物體距地心r處引力為F，則有：例題2-4不計空氣阻力和其他作用力，豎直上拋物體的初速v0最小應(yīng)取多大，才不再返回地球?由牛頓第二定律得：當(dāng)r0=R

時，v=v0，作定積分，得：由上可知,當(dāng)時,只要物體就不會返回地面。的條件為：所以物體不返回地面的最小速度——第二宇宙速度(逃逸速度)宇宙速度甲牛頓定律在該參照系中不適用—非慣性系觀察者甲：即觀察者乙：有力和加速度即有力但沒有加速度牛頓定律在該參照系中適用—慣性系2.4.1、慣性系與非慣性系非慣性參考系：相對于慣性系作加速運動的參考系。ml0乙牛頓運動定律適用的參考系稱為慣性參考系。2.4慣性系和非慣性系以加速度運動的車廂內(nèi)吊一重物m。地面觀測者來看，小球作加速運動：車廂內(nèi)的觀測者以車廂為參考系來看，小球是靜止的。要在m上給它假定一個向左的力：與合力不為零。1、作直線運動的加速參考系2.4.2、非慣性系中的力學(xué)定律2加速車廂中光滑桌面上的小球開始時車廂和小球靜止，當(dāng)車廂作加速直線運動時地面觀察：小球在水平方向不受力，車廂運動后，小球仍保持原位不動，牛頓定律成立。車廂觀察：小球水平方向不受力，但以

向后運動，故牛頓定律不成立。若給小球加上一虛擬力則牛頓定律成立。慣性力：為了使牛頓定律在非慣性系中形式上成立，而引入的假想的力。m為研究對象的質(zhì)量；其中：為非慣性系相對于慣性系的加速度定義：慣性力不是真實力，無施力物體，無反作用力。為物體相對非慣性系的加速度注意非慣性系中的動力學(xué)方程物體相對慣性系的加速度2、轉(zhuǎn)動參考系轉(zhuǎn)動參考系為非慣性系由于轉(zhuǎn)動參考系中的坐標軸的方向轉(zhuǎn)動著，比較復(fù)雜。故這里僅考慮勻角速轉(zhuǎn)動參考系，且只考慮物體相對轉(zhuǎn)動參考系靜止的情況。2)勻角速轉(zhuǎn)動參考系在地球參考系：轉(zhuǎn)動平臺以ω轉(zhuǎn)動，彈簧被拉長了彈簧對小球施力牛頓定律成立。1)相對于慣性系轉(zhuǎn)動的參考系，叫轉(zhuǎn)動參考系。

在轉(zhuǎn)動參考系中觀察，小球受力為-kx,小球靜止，為了用牛頓第二定律解釋這一現(xiàn)象，必須引入慣性力，方向與的方向相反，叫慣性離心力。3.地球自轉(zhuǎn)對物體的影響一般認為地面為較好的慣性參考系。但由于地球的公轉(zhuǎn)與自轉(zhuǎn)，嚴格地說，地球是一個非慣性系。精確地研究地面上物體運動時，應(yīng)考慮慣性力。如圖，設(shè)地面上一質(zhì)量為m

的物體靜止于緯度為θ的地方，設(shè)地球半徑為R，地球的萬有引力FG；慣性力Fi。慣性力T

為地球自轉(zhuǎn)周期萬有引力：重力：重力不指向地心可計算得：∴重力加速度隨緯度而增大，北極達最大值。例題2-5

升降機以加速度上升，質(zhì)量為m1

=2m2的物體用滑輪聯(lián)系起來。求∶1)機內(nèi)觀察者看到的m1、m2

的加速度；

2)機外地面上的人，觀察到的兩物體的加速度(無摩擦)。解∶1)升降機作加速運動，所以是非慣性系。在此非慣性系中討論問題必須考慮慣性力。設(shè)繩中張力為T，m1、m2受力如圖所示。對m1

：（1）（2）對m2

：（3）解得：2)在機外的觀察者(慣性系)，m1

的加速度：m2

的加速度：例題2-6如圖所示，地球的半徑質(zhì)量為。若考慮地球自轉(zhuǎn)，其自轉(zhuǎn)角速度。有一質(zhì)量為m的物體靜止在緯度為處的地面上，求物體所受到的重力。解若以地球為參考系，由于地球的自轉(zhuǎn)，所以它是個非慣性系，物體除了受到地心引力和地面支撐力外，還要加上一個慣性離心力，其方向與物體繞地軸轉(zhuǎn)動的向心加速度方向相反。

重力P為地心引力與慣性離心力F0的矢量和，即2.5.1、伽利略變換(Galileantransformation)2.5伽利略變換力學(xué)的相對性原理

1.伽利略坐標變換如有一個事件在點P發(fā)生在S和S’系中看，事件發(fā)生的時空坐標分別為:(x,y,z,t)這兩組坐標和時間之間的變換關(guān)系為:2、伽利略速度變換3、加速度變換關(guān)系在不同慣性系中，觀察同一物體的加速度是相同的。

2.5.2、力學(xué)的相對性原理：S系中S

系中

對力學(xué)規(guī)律而言，所有慣性系都是等價的?；颍涸谒袘T性系中，運動物體所遵循的力學(xué)規(guī)律都是完全相同的。力學(xué)的相對性原理經(jīng)典力學(xué)中所有基本定律都具有伽利略不變性。1、時間的絕對性2、空間的絕對性和長度不變或

在兩個慣性系S和S’

在兩個慣性系S和S’

由伽利略變換得3、牛頓的絕對時空觀

2.5.3、經(jīng)典力學(xué)的時空觀“絕對的真正的和數(shù)學(xué)的時間自己流逝著，并由于它的本性而均勻地與任何外界對象無關(guān)地流逝著。”“絕對空間，就其本質(zhì)而言，與外界任何事物無關(guān)，而永遠是相同的和不動的?！边@就是牛頓的絕對時空觀。時間象一條河。絕對、真實、數(shù)學(xué)的時間本身，均勻流逝與外界任何事物無關(guān)?？臻g象一個大容器。與外界的任何事物無關(guān),總是相似的,不可移動的,也就是空間是客觀存在的

在這種絕對時空觀念下,時間和空間分離,即時間間隔和空間間隔的測量是絕對的。

該時空觀認為:時間和空間是相互獨立的,與任何物質(zhì)的運動無關(guān)。在牛頓看來:絕對空間和絕對時間的定義的特征是：空間和時間分離，空間和時間與物質(zhì)及物質(zhì)的運動分離。小結(jié)1、牛頓運動定律

2．牛頓運動定律應(yīng)用：

3．慣性系與非慣性系：

非慣性系中的動力學(xué)方程：

確定研究對象；分析受力情況畫出受力圖；選取坐標系；列方程求解；討論。1)、牛頓第一定律（慣性定律）2)、牛頓第二定律3)、牛頓第三定律適用范圍：質(zhì)點、宏觀、低速、慣性系4．伽利略變換

第三章功和能3.1功保守力力對空間的積累

？3.1.1、功（work）由所作的功∶1、外力對質(zhì)點的功元功：直角坐標下：2、多個力作用時的功（對質(zhì)點）合力對質(zhì)點所作的功，等于每個分力所作的功的代數(shù)和。（1）功是標量（可正、可負、可為零）（2）功與路徑有關(guān)，是過程的函數(shù)（過程量）（3）功是力對空間的積累（4）功的單位為焦耳（J）說明1彈簧彈力的功。解當(dāng)物體處于

x處時所受的彈力為：物體由x1移動到x2處時彈性力所作的功為：由此可見：彈簧伸長時，彈力作負功；彈簧收縮時，彈力作正功。 彈性力的功A的大小僅與始末狀態(tài)有關(guān)，而與路徑無關(guān)。3.1.2、幾種常見力的功2重力的功

作用于質(zhì)點上的重力

位移元

在由P1到P2的過程中重力做功為:

重力的功只與始、末位置有關(guān)，與具體路徑無關(guān)。質(zhì)點下降時重力作正功，質(zhì)點上升時重力作負功。

3萬有引力的功。m1

在m2的引力場沿其橢圓軌道由ra移到rb。求引力對m1所作的功。解：討論①萬有引力的功A的大小僅與始末狀態(tài)有關(guān),而與路徑無關(guān)。②在不同的位置，其功的正負和數(shù)值不同。③軌道為圓形時，A=0.功是力對空間的積分力是位置的函數(shù)是可直接積分，當(dāng)力是時間的函數(shù)時如何求力的功呢？

例質(zhì)量為2kg的質(zhì)點在力

(SI)的作用下，從靜止出發(fā)，沿x軸正向作直線運動。求前三秒內(nèi)該力所作的功。解：4摩擦力的功

質(zhì)量為m的質(zhì)點，在固定的粗糙水平面上由初始位置P1沿某一路徑L1運動到末位置P2，路徑長度為s，如圖所示。由于摩擦力的方向總是與速度的方向相反。所以元功質(zhì)點由P1點沿L1運動到P2點的過程中，摩擦力所做的功為:摩擦力的功不僅與始、末位置有關(guān)，而且與具體的路徑有關(guān)。

3.1.3、保守力與非保守力特點：功只與初、末位置有關(guān)，而與質(zhì)點的具體路徑無關(guān)．1、保守力：作功只與物體的始末位置有關(guān)，而與路徑無關(guān)的力。例：重力、萬有引力、彈性力、靜電力等保守力的環(huán)流等于零。3、非保守力：力所做的功與路徑有關(guān)，或力沿閉合路徑的功不為零。這種力為非保守力。

如摩擦力、沖力、火箭的推動力等2、保守力沿任何一閉合路徑所作的功為零。證明：平均功率：瞬時功率：3.1.4、功率(power)表示作功快慢的物理量定義：功隨時間的變化率.SI單位:焦耳/秒(瓦特)§3.2勢能3.2.1勢能(potentialenergy)在保守力場中與相互作用的物體間的相對位置有關(guān)的能量。積分路徑是任意的。r0為零勢能點位矢的大小。質(zhì)點從M點移到零勢能點M0的過程中，保守力作的功。2、幾個典型力場的勢能1）重力勢能：a、b兩點間重力勢能差為：1、勢能的定義選無限遠為零勢能點，則某點的勢能為：引力場中的勢能為負值，有限遠處的勢能表示皆小于無窮遠處的勢能。a、b兩點間引力勢能差為：2）萬有引力勢能自由伸長處O為零勢能點：x1

、x2

兩點間的勢能差為：③只有保守力場才能引入勢能的概念。①勢能是屬于整個系統(tǒng)的。②勢能只有相對的意義，在零勢能點確定之后，各點的勢能才具有唯一的確定值。3）彈力勢能說明3、勢能與保守力的功A保守的關(guān)系（勢能定理）保守力在某一過程所作的功，等于該過程中勢能增量的負值。證明：3.2.2、保守力與勢能梯度在保守力場中，質(zhì)點在某點所受的保守力等于該點勢能梯度矢量的負值?！茴D算符3.3.1、質(zhì)點的動能定理末態(tài)的狀態(tài)量初態(tài)的狀態(tài)量導(dǎo)致狀態(tài)量變化1.質(zhì)點的動能標量由于運動而具有的能量狀態(tài)量3.3動能定理2.質(zhì)點的動能定理合外力對質(zhì)點做的功等于該質(zhì)點動能的增量?！|(zhì)點的動能定理①功是動能變化的量度 外力作正功，質(zhì)點動能增加

外力作負功，質(zhì)點動能減少②A為過程量，與過程有關(guān)，而Ek為狀態(tài)量③A與v應(yīng)對應(yīng)同一慣性系說明3.用動量表示動能mpEK22=動能定理的微分形式動能定理的積分形式例題3.1

質(zhì)量為m、線長為l的單擺，可繞o點在豎直平面內(nèi)擺動。初始時刻擺線被拉至水平，然后自由放下，求擺線與水平線成角時，擺球的速率和線中的張力。解擺球受擺線拉力T和重力mg,合力作的功為由動能定理牛頓第二定律的法向分量式為:

證明：由牛頓第二定律：又由于故有：即：亦即：補充例題在光滑的水平桌面上平放有半圓形屏障。質(zhì)量為m的滑塊以速度v0沿切線方向進入屏障內(nèi)，滑塊與屏障間的摩擦系數(shù)為μ，試證明：當(dāng)滑塊從屏障的另一端滑出時，摩擦力所作的功為：作定積分，得：即：故：由質(zhì)點的動能定理得：質(zhì)點系所有內(nèi)力之和為零1、質(zhì)點系外力：質(zhì)點系以外的物體對系統(tǒng)的作用力稱為外力。內(nèi)力：質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點之間的相互作用力稱為內(nèi)力。注意:質(zhì)點系中任意一個質(zhì)點，例如第i個質(zhì)點受的系統(tǒng)內(nèi)其它質(zhì)點作用力的矢量和不一定為零。

質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點受的外力的矢量和稱為質(zhì)點系受的合外力，即3.3.2、質(zhì)點系的動能定理：含兩個或兩個以上質(zhì)點的力學(xué)系統(tǒng)。

對m1:對m2:對各質(zhì)點應(yīng)用動能定理：兩式相加，得：即2、質(zhì)點系的動能定理：2、n個質(zhì)點的系統(tǒng)：推廣：所有外力對系統(tǒng)做的功與內(nèi)力對系統(tǒng)做的功之和等于質(zhì)點系總動能的增量。4、內(nèi)力能改變系統(tǒng)的總動能，但不改變系統(tǒng)的總動量。1、功是動能變化的量度。功為過程量，動能為狀態(tài)量。2、動能是質(zhì)點因運動而具有的做功本領(lǐng)。3、功與動能必須對應(yīng)同一慣性系。說明質(zhì)點系動能定理的微分形式質(zhì)點系動能定理的積分形式兩質(zhì)點間的一對作用力和反作用力所做功之和等于其中一個質(zhì)點受的力沿著該質(zhì)點相對于另一質(zhì)點所移動的路徑所做的功。一對作用力和反作用力的功m1、m2組成一個封閉系統(tǒng)在t時間內(nèi)om1m2TA作負功、T

B作正功，其代數(shù)和為零。由動能定理得∶解得：系統(tǒng)初態(tài)動能為：例題3.2物體mA和mB通過一不能伸縮的細繩相連，mA由靜止下滑，mB

上升，mA滑過S的距離時，mA和mB的速率v=?(摩擦力及滑輪的質(zhì)量不計)。

解選取物體A、B與細繩組成一系統(tǒng)，系統(tǒng)所受外為重力GA、、GB

支持力N；內(nèi)力為繩子的拉力。未態(tài)動能為：3.4機械能守恒定律能量守恒定律3.4.1、質(zhì)點系的功能原理質(zhì)點系的動能定理的微分形式和積分形式分別為

內(nèi)力做的功包含保守內(nèi)力所做的功和非保守內(nèi)力所做的功，則

而則質(zhì)點系的功能原理的微分形式和積分形式可以寫成：E表示動能和勢能之和稱為機械能。

系統(tǒng)機械能的增量等于外力和非保守內(nèi)力對它做的功?！|(zhì)點系的功能原理質(zhì)點系的功能原理與質(zhì)點系的動能定理所含的物理內(nèi)容一樣，但表達方式不同。它對于不同的慣性系也保持其形式不變。需要指出的是:在動能定理中,功包括所有外力功和內(nèi)力功。在功能原理中的功,包括外力功和非保守內(nèi)力功。決不能把保守內(nèi)力的功,在功能原理中計算在內(nèi),因為它已用勢能的形式考慮在內(nèi)。說明3.4.2、機械能守恒定律只有每一微小過程中外力作的功和非保守內(nèi)力作的功之和為零時，則此過程中的機械能守恒。語言表述：如果一個系統(tǒng)所受的外力和非保守內(nèi)力對它所作的總功始終為零，或只有保守內(nèi)力作功而其它內(nèi)力和外力都不作功，則系統(tǒng)各物體的動能和勢能可以相互轉(zhuǎn)換，但其和為一恒量。上式是不是機械能守恒定律的條件和表示式？問：3.4.3、能量守恒定律：各種形式的能量可以相互轉(zhuǎn)換，但無論如何轉(zhuǎn)換，能量既不能產(chǎn)生，也不能消滅，總量保持不變。例題3.3如圖所示，有一質(zhì)量略去不計的輕彈簧，其一端系在鉛直放置的圓環(huán)的頂點P，另一端系一質(zhì)量為m的小球，小球穿過圓環(huán)并在圓環(huán)上作摩擦可略去不計的運動。設(shè)開始時小球靜止于A點，彈簧處于自然狀態(tài)，其長度為圓環(huán)的半徑R。當(dāng)小球運動到圓環(huán)的底端B點時，小球?qū)A環(huán)沒有壓力。求此彈簧的勁度系數(shù)。解

取彈簧、小球和地球為一個系統(tǒng)，小球與地球間的重力、小球與彈簧間的作用力均為保守內(nèi)力。而圓環(huán)對小球的支持力和P點對彈簧的拉力雖都為外力，但都不做功，所以，小球從A運動到B的過程中，系統(tǒng)的機械能守恒。取彈簧為自然狀態(tài)時的彈性勢能為零；取B點處的重力勢能為零，由機械能守恒定律可得B點時由牛頓第二定律得方程

例題3-4要使物體脫離地球的引力范圍，求從地面發(fā)射該物體的速度最小值為多大？

解：由機械能守恒定律得到

例題3.5

目前，天體物理學(xué)家預(yù)言有一類天體，其特征是它的引力非常之大，以至包括光在內(nèi)的任何物質(zhì)都不能從它上面發(fā)射出來，這種天體被稱為黑洞（blackhole)。若由于某種原因，太陽變成了一個黑洞，它的半徑必須小于何值？

解

由機械能守恒定律當(dāng)時m要從M上逃逸，有：逃逸速度為v與m無關(guān)，與R,M有關(guān).光也不能從此天體上逃逸出來，成為黑洞若一個質(zhì)量M的天體，只要半徑R縮小到某一臨界值此天體就稱為黑洞。對太陽M=1.99×1030kg,R=6.96×108m成為黑洞。小結(jié)1.元功：總功：2.保守力

做功只與始末位置有關(guān)，而與路徑無關(guān)的力。

非保守力：做功不僅與始末位置有關(guān)，而且與路徑有關(guān)的力。

3.勢能勢能差

4.質(zhì)點的動能定理

5.質(zhì)點系的動能定理

6.質(zhì)點系的功能原理

7.機械能守恒定律

第四章動量和角動量本章主要內(nèi)容：1.動量定理及守恒定律

2.角動量定理及守恒定律

3.質(zhì)心運動定理

4.碰撞

一、動量質(zhì)點動力學(xué)問題度量質(zhì)點運動的量動量與質(zhì)量和速度有關(guān)的狀態(tài)量1、瞬時性2、矢量性3、相對性在直角坐標系中在國際單位制（SI）千克·米/秒（kg·m/s）討論§4.1動量定理二、質(zhì)點的動量定理(動量的變化與作用量的關(guān)系）由牛頓第二定律：表示力的時間累積，叫時間dt內(nèi)合外力的沖量。1）微分形式：2）積分形式：若為恒力：1、沖量(impulse)力對時間的積累產(chǎn)生的效果是什么呢？沖量是力對時間的積累。2、動量定理1）微分形式：由得：—動量定理的微分式在一個過程中，質(zhì)點所受合外力的沖量等于質(zhì)點動量的增量。2）積分形式：對上式積分，—動量定理的積分式即：1、反映了過程量與狀態(tài)量的關(guān)系。3、只適用于慣性系。說明

從動量定理可以知道，在相等的沖量作用下，不同質(zhì)量的物體，其速度變化是不相同的，但它們的動量的變化卻是一樣的，所以從過程角度來看，動量比速度能更恰當(dāng)?shù)胤从沉宋矬w的運動狀態(tài)。因此，一般描述物體作機械運動時的狀態(tài)參量，用動量比用速度更確切些。動量和位矢是描述物體機械狀態(tài)的狀態(tài)參量。3、動量定理分量形式即系統(tǒng)所受合外力的沖量在某一方向上的分量等于系統(tǒng)動量在該方向上分量的增量。在直角坐標系中，動量定理的分量式為∶在低速運動情況下，質(zhì)點的質(zhì)量是恒量，動量定理可寫為1)沖力:碰撞過程中物體間相互作用時間極短，相互作用力很大，而且往往隨時間變化，這種力通常稱為沖力。若沖力很大,其它外力可忽略時,則：若其它外力不可忽略時,則是合外力的平均。2)平均沖力:沖力對碰撞時間的平均值。即：4、動量定理的應(yīng)用增大、減小沖力作用例題4-1人在跳躍時都本能地彎曲關(guān)節(jié)，以減輕與地面的撞擊力。若有人雙腿繃直地從高處跳向地面，將會發(fā)生什么情況？解設(shè)人的質(zhì)量為M，從高h處跳向地面，落地的速率為v0，與地面碰撞的時間為t，重心下移了s。由動量定理得：設(shè)人落地后作勻減速運動到靜止，則：設(shè)人從2m處跳下，重心下移1cm，則：可能發(fā)生骨折。討論設(shè)人的體重為70kg，此時平均沖力：

例4-2質(zhì)量為m=0.2kg的皮球，向地板落下，以8m/s的速率與地板相碰，并以近似相同的速率彈回，接觸時間為10-3s。求∶1)地板對球的平均沖力2)沖力的沖量和重力的沖量。解1)取地板為參考系，向上為正，由得：中的F實為合外力，除沖力外還有重力。即∶2)沖力的沖量：重力的沖量：外力的沖量可忽略由兩個質(zhì)點組成的質(zhì)點系：n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系：—質(zhì)點系的動力學(xué)方程即：即∶質(zhì)點系所受合外力等于系統(tǒng)總動量的變化率。三、質(zhì)點系的動力學(xué)方程ddpFt=vv外1、微分形式：動量定理的微分式它表明∶在一個過程中，系統(tǒng)所受合外力的沖量等于系統(tǒng)在同一時間內(nèi)動量的增量。2、積分形式：由得：對上式積分，動量定理的積分式即：四、質(zhì)點系的動量定理：內(nèi)力可以改變一個質(zhì)點的動量，但對系統(tǒng)總動量的改變無貢獻。說明3、動量定理分量形式即系統(tǒng)所受合外力的沖量在某一方向上的分量等于系統(tǒng)動量在該方向上分量的增量。在直角坐標系中，動量定理的分量式為∶

解選取車廂和車廂里的煤m和即將落入車廂的煤dm為研究的系統(tǒng)。取水平向右為正。t時刻系統(tǒng)的水平總動量：t+dt時刻系統(tǒng)的水平總動量:dt時間內(nèi)水平總動量的增量：由動量定理得：例題4-3一輛裝煤車以v=3m/s的速率從煤斗下面通過，每秒落入車廂的煤為⊿m=500kg。如果使車廂的速率保持不變，應(yīng)用多大的牽引力拉車廂？（摩擦忽略不計)一、動量守恒定律對質(zhì)點系，由知，當(dāng)時——動量守恒定律應(yīng)用動量守恒定律時應(yīng)注意∶①系統(tǒng)的動量守恒.并不意味著每個質(zhì)點的動量不變，在內(nèi)力的作用下，每個質(zhì)點一般均不斷改變著其動量。但總的動量和保持不變，即內(nèi)力不改變總動量，這一結(jié)論與內(nèi)力的性質(zhì)無關(guān)。②若外力與內(nèi)力相比較小得多時，可認為近似滿足動量守恒條件。例如碰撞、打擊、爆炸等現(xiàn)象中重力和摩擦力等可忽略不計。當(dāng)質(zhì)點系所受的合外力為零時，質(zhì)點系的總動量就保持不變?！?.2動量定理守恒定律不受外力。外力矢量和為零③動量守恒定律由牛頓定律導(dǎo)出，但它比牛頓定律應(yīng)用的范圍更廣泛。不僅適用于宏觀現(xiàn)象而且適用于微觀現(xiàn)象。④動量和力是矢量，可沿坐標軸分解，當(dāng)沿某坐標方向所受合外力為零時，總動量沿該方向的分量守恒。⑤動量守恒定律只適用于慣性系。例題4-4質(zhì)量為M，仰角為α的炮車發(fā)射了一枚質(zhì)量為m的炮彈，炮彈發(fā)射時相對炮身的速率為u，不計摩擦，求∶(1)炮彈出口時炮車的速率；(２)發(fā)射炮彈過程中，炮車移動的距離(炮身長為L)。解(１)選炮車和炮彈為系統(tǒng),地面為參考系,系統(tǒng)所受合外力為N,mg,Mg都沿豎直方向，水平方向合外力為零，系統(tǒng)總動量x分量守恒。設(shè)炮彈出口時相對于地面的水平速度為vx,炮身的反沖速度為v’x,對地面參考系有由相對速度的概念可得得負號表示炮車反沖速度與x軸正向相反。（２）若以u(t)表示炮彈在發(fā)射過程中任一時刻炮彈相對炮車的速率，則此時炮車相對地面的速率設(shè)炮彈經(jīng)t1s出口，在t1s內(nèi)炮車沿水平方向移動了解得負號表示炮身沿x軸負向后退。例題4-5：光滑水平面與半徑為R的豎直光滑半圓環(huán)軌道相接，兩滑塊A,B的質(zhì)量均為m,彈簧的倔強系數(shù)為k，其一端固定在O點，另一端與滑塊A接觸，開始時滑塊B靜止于半圓環(huán)軌道的底端，今用外力推滑塊A,使彈簧壓縮一段距離x后再釋放，滑塊A脫離彈簧后與B作完全彈性碰撞，碰后B將沿半圓環(huán)軌道上升，升到C點與軌道脫離，O’C與豎直方向成α＝60°，求彈簧被壓縮的距離x.解：①設(shè)滑塊A離開彈簧時速度為v,在彈簧恢復(fù)原形的過程中機械能守恒②A脫離彈簧后速度不變，與B作完全彈性碰撞，交換速度，A靜止，B以初速v沿圓環(huán)軌道上升。③B在圓環(huán)軌道上運動時，它與地球系統(tǒng)的機械能守恒當(dāng)滑塊B沿半圓環(huán)軌道上升到C點時，滿足

（4）

（1）、（2）、（3）、（4）聯(lián)立求解可得

例題4-5如圖，兩個帶理想彈簧緩沖器的小車A和B，質(zhì)量分別為m1和m2．B不動，A以速度與B碰撞，如已知兩車的緩沖彈簧的勁度系數(shù)分別為k1和k2，在不計摩擦的情況下，求兩車相對靜止時，其間的作用力為多大？（彈簧質(zhì)量略而不計）解：兩小車碰撞為彈性碰撞，在碰撞過程中當(dāng)兩小車相對靜止時，兩車速度相等。在碰撞過程中，以兩車和彈簧為系統(tǒng)，動量守恒，機械能守恒。x1、x2分別為相對靜止時兩彈簧的壓縮量．由牛頓第三定律相對靜止時兩車間的相互作用力一、質(zhì)心質(zhì)點系運動時，各質(zhì)點的運動情況可能是各不相同的，很復(fù)雜的，為了簡潔描述質(zhì)點系的運動狀態(tài)，引入質(zhì)量中心(簡稱質(zhì)心：質(zhì)點系的質(zhì)量中心)的概念。N個質(zhì)點組成的系統(tǒng)∶位矢分別為

質(zhì)點系的動量為∶§4.3質(zhì)心質(zhì)心運動定理取質(zhì)量為并與質(zhì)點系具有相同動量的質(zhì)點C其位矢為,其速度為，則有C稱為質(zhì)點系的質(zhì)心，稱為質(zhì)心的位矢?？梢宰C明：質(zhì)心相對質(zhì)點系的位置與坐標系的選取無關(guān)，即質(zhì)心相對于質(zhì)點系本身是一個特定的位置。引入質(zhì)心后，質(zhì)點系的動量與質(zhì)點的動量表示式一樣簡潔。得質(zhì)心C的坐標對質(zhì)量連續(xù)分布的質(zhì)點系∶

(1)幾何形狀對稱的均勻物體，質(zhì)心就是幾何對稱中心。(2)有些物體的質(zhì)心可能不在所求的物體上，但有明確的物理意義。(3)重心是重力合力的作用點，尺寸不大的物體，質(zhì)心與重心重合。說明二、質(zhì)心運動定理由質(zhì)心位矢對t求導(dǎo)，得為質(zhì)心運動的加速度。由于

———質(zhì)心運動定理作用于質(zhì)點系的合外力等于質(zhì)點系的總質(zhì)量乘上質(zhì)心的加速度說明∶①質(zhì)心的運動只由質(zhì)點系所受的合外力決定，內(nèi)力對質(zhì)心的運動不產(chǎn)生影響。時，④質(zhì)點系受的合外力在某個方向為零時，在該方向的投影等于恒矢量，該方向動量守恒。②質(zhì)心運動定理不能描述各質(zhì)點的運動情況，每個質(zhì)點的實際運動應(yīng)是質(zhì)心的運動和質(zhì)點相對質(zhì)心運動的疊加。③質(zhì)點系各質(zhì)點由于內(nèi)力和外力的作用，其運動情況可能很復(fù)雜，但質(zhì)心的運動可能很簡單。時，質(zhì)心的加速度與把全部質(zhì)量集中在質(zhì)心的質(zhì)點的加速度相同。

例題4-6一長為L，密度分布不均勻的細棒，其質(zhì)量線密度λ=λ0x/L.λ0為常量，x從輕端算起，求其質(zhì)心。解∶取坐標原點與輕端相重合，x軸沿棒長方向，如圖，取質(zhì)元x例題4-7質(zhì)量分別為m1和m2的兩質(zhì)點組成的質(zhì)點系，質(zhì)心處于靜止狀態(tài)。質(zhì)量為m1的質(zhì)點以半徑r1，速率v1繞質(zhì)心作勻速圓周運動，求質(zhì)點m2的運動規(guī)律。解如圖所示，取質(zhì)心為坐標系的原點，可得兩質(zhì)點的位矢滿足如下方程

由于質(zhì)心靜止，所以質(zhì)心的動量為零，即即動量的大小為如何描述質(zhì)點系的運動？SI中：kg·m2/s的方向：用右手螺旋法則確定。b）、相對性

(1)參考系不同，矢徑不同，動量不同，角動量也不同。

(2)原點O選取的不同，則位置矢量不同，角動量也不同。 ——質(zhì)點對參考點的角動量一、角動量（動量矩）大小a）、矢量性qsinrpL=§4.4角動量定理1.質(zhì)點的角動量

C）、的直角坐標系中的分量式1、做圓周運動質(zhì)點m對圓心O的角動量方向：與同向，垂直于轉(zhuǎn)動平面，與質(zhì)點轉(zhuǎn)動繞向成右手螺旋關(guān)系結(jié)論：做勻速圓周運動的質(zhì)點對圓心的角動量是恒量。方向：由右手螺旋定則確定。質(zhì)點對O’點的角動量為：3）若O取在直線上，則：說明質(zhì)量為m的質(zhì)點作直線運動。t1時刻質(zhì)點對O點的角動量為：2、作直線運動質(zhì)點的角動量1）若物體作勻速直線運動，對同一參考點O，則2）對不同的參考點，質(zhì)點有不同的恒定角動量．大小：t2時刻質(zhì)點對O點的角動量為：！參考點不能選擇在直線上2、質(zhì)點系的角動量：系統(tǒng)的角動量等于各個質(zhì)點對同一參考點的角動量之和：二、質(zhì)點的角動量定理對動量，有：對角動量？定義了角動量，需要找出當(dāng)運動狀態(tài)變化時，角動量的變化遵守的規(guī)律。即要找到將角動量對時間求導(dǎo)，可得：定義：作用于質(zhì)點上的合外力對參考點的力矩2、在直角坐標系中單位：?！っ祝∟·m）1、大?。篸為力臂。方向：由右手螺旋定則確定。4、作用于質(zhì)點的合外力矩等于合外力的力矩。質(zhì)點的角動量定理質(zhì)點所受的合外力矩等于它的角動量的時間變化率。力矩滿足疊加原理：作用于一個質(zhì)點上的各個力的力矩的矢量和（合力矩）等于各個力的合力的力矩。和是對同一慣性系中同一參考點而言的說明3、相對性：依賴于參考點O的選擇。（1）、質(zhì)點角動量微分形式（2）、質(zhì)點角動量定理積分形式角動量定理∶質(zhì)點角動量的增量等于質(zhì)點受到的角沖量。力矩對時間的積累產(chǎn)生的效應(yīng)是角動量的變化。例題4-8質(zhì)量為m、線長為l

的單擺，可繞點O在豎直平面內(nèi)擺動，初始時刻擺線被拉成水平，然后自由放下。求:①擺線與水平線成θ角時，擺球所受到的力矩及擺球?qū)cO的角動量；②擺球到達點B時，角速度的大小。解①任意位置時受力為：重力；張力。由角動量定理：瞬時角動量：重力對O點的力矩為：方向：垂直于紙面向里。張力對O點的力矩為零。三、質(zhì)點系的角動量定理：作用力和反作用力對同一點力矩的矢量和等于零。系統(tǒng)的角動量等于各個質(zhì)點對同一參考點的角動量之和：方向：垂直板面向外，大?。悍较颍捍怪卑迕嫦蚶铮笮。鹤饔昧εc反作用力對同一點的力矩的矢量和為零。設(shè)：2、積分形式：質(zhì)點系角動量的增量等于系統(tǒng)合外力矩的角沖量。1、微分形式：只取決于系統(tǒng)所受的外力矩之和，而與內(nèi)力矩?zé)o關(guān)，內(nèi)力矩只改變系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點的角動量，但不影響系統(tǒng)的總角動量。質(zhì)點系所受的合外力矩等于系統(tǒng)角動量對時間變化率—質(zhì)點系的角動量定理。說明一、質(zhì)點的角動量守恒定律若質(zhì)點所受的合力矩若對某一參考點，質(zhì)點所受外力矩的矢量和恒為零，則此質(zhì)點對該參考點的角動量保持不變。

———質(zhì)點的角動量守恒定律例如，地球衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動時，相對地球的角動量守恒。1、有心力，與位矢在同一直線上，從而。2、當(dāng)作用在質(zhì)點上的合外力矩對某一方向的分量為零時，則質(zhì)點的角動量沿此方向的分量守恒。并不等于：注意：討論§4.5角動量守恒定律解如圖，行星在太陽引力作用下沿橢圓軌道運動，Δt時間內(nèi)行星徑矢掃過的面積由于行星只受有心力作用，其角動量守恒例題4-9利用角動量守恒定律證明開普勒第二定律：行星相對太陽的徑矢在單位時間內(nèi)掃過的面積(面積速度)是常量。面積速度:

例題4-10我國在1971年發(fā)射的科學(xué)實驗衛(wèi)星在以地心為焦點的橢圓軌道上運行．已知衛(wèi)星近地點的高度h1=226km，遠地點的高度h2=1823km，衛(wèi)星經(jīng)過近地點時的速率v1=8.13km/s，試求衛(wèi)星通過遠地點時的速率和衛(wèi)星運行周期（地球半徑R=6.37×103km）．解衛(wèi)星軌道如圖所示．由于衛(wèi)星所受地球引力為有心力，所以衛(wèi)星對地球中心的角動量守恒．在遠地點時，位矢的大小為若坐標原點取在地心，則衛(wèi)星在軌道的近地點時，位矢的大小為設(shè)衛(wèi)星在遠地點時的速率為v1,且近地點和遠地點處的速度與該處的徑矢垂直，故由角動量守恒定律可得故有設(shè)橢圓軌道的面積為S，衛(wèi)星的面積速度為dS/dt，則衛(wèi)星的運動周期a、b分別為橢圓軌道的長半軸和短半軸，分別為可得例題補用繩系一小球使它在光滑的水平面上作勻速率圓周運動，其半徑為r0

，角速度為?，F(xiàn)通過圓心處的小孔緩慢地往下拉繩使半徑逐漸減小。求當(dāng)半徑縮為r時小球的角速度。解選取平面上繩穿過的小孔O為原點。所以小球?qū)點的角動量守恒。因為繩對小球的的拉力沿繩指向小孔，則力

對O點的力矩：二、質(zhì)點系的角動量守恒定律：—角動量守恒定律1、角動量守恒的條件是合外力矩等于零。合外力為零不一定合外力矩等于零。3、系統(tǒng)角動量守恒，各質(zhì)點的角動量可交換。4、適用于慣性系，也可適用于微觀現(xiàn)象。當(dāng)質(zhì)點系所受合外力矩對某參考點為零時，質(zhì)點系的角動量對該參考點守恒。例：力偶的合力等于零，合力矩不等于零。說明2、分量形式的角動量守恒定律仍然成立。三、力偶力偶矩大小相等、方向相反、不在同一條直線上的一對力稱為力偶。合力矩：

例題4-11

兩人質(zhì)量相等,位于同一高度，各由繩子一端開始爬繩，繩子與輪的質(zhì)量不計，軸無摩擦。他們哪個先達頂？

解

選兩人及輪為系統(tǒng)，O為參考點，取垂直板面向外為正。系統(tǒng)所受外力如圖。產(chǎn)生力矩的只有重力。即兩人同時到達頂點。由角動量定理：法二:(

角動量守恒

)1、若其中一個人不動，外力矩情況依然，內(nèi)力矩對角動量

無貢獻，因而角動量守恒。即輕者先到達。2、若m1≠m2，則系統(tǒng)所受的合外力矩為零，則角動量守恒。討論

例題4-12

如圖所示，靜止在水平光滑桌面上長為L的輕質(zhì)細桿和的小球，系統(tǒng)的小球l/3處的O點在水平面桌面上轉(zhuǎn)動．的小球以水平速度沿和細桿垂直方向與的小球作對心碰撞，碰后以求碰后細桿獲得的角速度．（質(zhì)量忽略不計）兩端分別固定質(zhì)量為可繞距質(zhì)量為今有一質(zhì)量為質(zhì)量為/2的速度返回，

解取三個小球和細桿組成的系統(tǒng)，O點為參考點，各質(zhì)點受的重力和桌面的支持力大小相等方向相反，對O點的力矩的矢量和為零。O點對細桿的作用力對點的力矩為零．系統(tǒng)所受的合外力矩為零．所以，系統(tǒng)的角動量守恒．

解∶取小球與地球為系統(tǒng)，機械能守恒。由角動量守恒得聯(lián)立解得例題4-13質(zhì)量為m的小球A,以速度v0沿質(zhì)量為M半徑為R的地球表面切向水平向右飛出，地軸OO’與v0平行，小球A的運動軌道與軸OO’相交于點C,OC=3R,若不考慮地球的自轉(zhuǎn)和空氣阻力，求小球A在點C的速度與OO’軸之間的夾角θ。一、碰撞及其分類3、碰撞分類∶彈性碰撞──碰撞后形變消失，無機械能損失；非彈性碰撞──碰撞后，形變不能恢復(fù)。—部分機械能變成熱能；完全非彈性碰撞──碰撞后粘在一起，不再分開，以相同的速度運動，機械能損失最大。1、碰撞：物體之間相互作用時間極短的現(xiàn)象不一定接觸2、碰撞的特點：Δt極短，內(nèi)力遠大于外力a.無外力：動量守恒（質(zhì)點對質(zhì)點）b.無外力矩：角動量守恒（質(zhì)點對定軸轉(zhuǎn)動的剛體）§4.6碰撞二、正碰1.碰撞定律兩個小球相互碰撞，如果碰后的相對運動和碰前的相對運動是同一條直線的，這種碰撞稱為正碰或?qū)π呐鲎?。m1m2m2m1m2m1牛頓認為∶碰撞后的分離速度(v2-v1)與碰撞前兩球的接近速度(v10-v20)成正比，比值由兩球的材料決定，即e稱為恢復(fù)系數(shù)當(dāng)e=0時為完全非彈性碰撞時彈性碰撞.1e=

時非彈性碰撞.動量守恒∶

m1m2m2m1m2m12.一維正碰和碰撞定律聯(lián)立解得當(dāng)e=0時為完全非彈性碰撞當(dāng)e=1時為彈性碰撞正碰中質(zhì)量相等的兩個小球在彈性碰撞中彼此交換速度。一個質(zhì)量很小的物體與一個質(zhì)量很大的靜止物體相碰，質(zhì)量小的物體改變運動方向，而質(zhì)量大的靜止物體幾乎保持不動。

表示碰后兩物體以同一速度運動，并不分開。3.碰撞過程中動能的損失

三、斜碰（二維碰撞）

系統(tǒng)的動量守恒

y方向上有x方向上（按正碰）有與一維碰撞一樣，二維碰撞也分為彈性碰撞和非彈性碰撞。對于彈性碰撞仍然遵守機械能守恒定律。

例題4-15質(zhì)量分別為m和m′的兩個小球，系于等長線上，構(gòu)成連于同一懸掛點的單擺，如圖所示。將m拉至h高處，由靜止釋放。在下列情況下，求兩球上升的高度。（1）碰撞是完全彈性的；（2）碰撞是完全非彈性的。解（1）碰撞前小球m的速度，由于碰撞是完全彈性的，所以滿足動量守恒，并且碰撞前后動能相等。設(shè)兩小球碰撞后的速度分別為v和v′，則有可解得上升的高度分別為H和H′（2）完全非彈性碰撞，設(shè)兩球的共同速度為u，由動量守恒定律可得

二球上升的高度為例題4-16：熱中子被靜止氦核散射。氦核M,熱中子m,且M/m=4,散射為彈性碰撞。中子的散射角θ＝111°，求中子在散射過程中損失了多少能量？解：系統(tǒng)的動量守恒和機械能守恒化簡得三式聯(lián)立得散射后與散射前中子動能之比為所以動能損失了50%。一、對稱性與守恒定律：1、對稱性——對某種幾何形體施行某種操作，使它的形狀和位置都不顯現(xiàn)任何可覺察的變化。稱這種形體具有幾何對稱性。雪花、昆蟲、晶體……。舉例：球體通過任意中心軸的旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)對稱性若球體上加記號“·”，不再具有旋轉(zhuǎn)對稱性，稱為“對稱性破缺”。2、物理學(xué)中的對稱性:系統(tǒng)從一個狀態(tài)→另一個狀態(tài)——變換或操作。一個變換使系統(tǒng)從一個狀態(tài)→另一個與之等價的狀態(tài)，稱該系統(tǒng)對這一變換(操作)是對稱的。這個變換(操作)叫該系統(tǒng)的一個對稱操作。§4.7對稱性與守恒定律物理學(xué)中兩類不同性質(zhì)的對稱性：(1)系統(tǒng)或某具體事物的對稱性(例如,兩質(zhì)點系統(tǒng)具有軸對稱)(2)物理規(guī)律的對稱性——經(jīng)一定的變換(操作),物理規(guī)律的形式保持不變。例如:牛頓定律經(jīng)伽利略變換具有形式不變性,稱為具有對稱性。3、物理定律的對稱性研究物理定律在某種操作下的不變性。1）、物理定律時間平移不變性物理定律對時間的均勻性。不改變實驗條件的情況下，今天與明天應(yīng)得到相同的結(jié)果。2）、物理定律空間平移不變性空間具有對稱性。不同地點做實驗，應(yīng)得到相同的結(jié)果。4）、物理定律鏡像不變性空間左右對稱。例如：鏡像鐘、鏡像電動機，遵守相同 的規(guī)律。5）、物理定律的慣性系變換不變性 慣性系之間是完全對稱的。低速下，牛頓定律在伽利略變換下具有形式不變性；高速下，在洛倫茲變化下，牛頓定律不具有形式不變性，故需將它改造為相對論力學(xué)規(guī)律。3）、物理定律空間轉(zhuǎn)動不變性 物理定律的對稱性可用一種否定形式來敘述：我們不可能通過物理實驗來確定我們所處的時間的絕對值，空間的絕對位置，空間的絕對方向，空間絕對的左或絕對的右，所在參考系的絕對的速度。物理定律的對稱性——反映時空特性。守恒定律與物理規(guī)律在一定變換(操作)下的不變性密切相連。諾特定理(1918)：如果物理規(guī)律在某一個不明顯依賴時間的變換下具有不變性，必然有一個守恒定律存在。諾特定理的意義：二、時空對稱性與三大守恒定律它對某一個運動規(guī)律在某一個變化下的形式不變性與守恒定律的存在聯(lián)系起來了。而且指出：若運動規(guī)律在某一個變換群中所有變換都具有不變性,則:守恒定律數(shù)=變換群中變換數(shù)。1、空間平移不變性與動量守恒

在這樣的條件下，粒子1和粒子2所受到的力分別為：

兩個粒子體系的總動量不隨時間改變

2.空間的各向同性與角動量守恒定律B粒子固定,A粒子沿B的圓弧運動,相對勢能的改變?yōu)槎鲜霾僮鞑桓淖兿鄬菽軆闪Ｗ拥南嗷プ饔昧ρ貎烧叩倪B線，與角動量守恒是等價的。時間的均勻性——能量守恒定律粒子之間的相互作用可用相互作用勢能表示，時間的均勻性意味著這種相互作用勢能只與兩粒子之間的相對位置有關(guān)，而不應(yīng)隨時間的平移而改變。在這種情況下系統(tǒng)的能量總是守恒的運動規(guī)律對空間原點選擇的平移不變性決定了動量守恒；運動規(guī)律對空間轉(zhuǎn)動的不變性決定了角動量守恒；運動規(guī)律對時間原點選擇的平移不變性決定了能量守恒。3.時間均勻性與能量守恒如果系統(tǒng)的力學(xué)性質(zhì)與計算時間的起點無關(guān)，則稱這個系統(tǒng)具有時間平移不變性或時間均勻性。從微觀角度看，在所有的系統(tǒng)中，粒子與粒子之間的相互作用可用相互作用勢能來表示，時間均勻性意味著這種相互作用勢能只與兩粒子之間的相對位置有關(guān)，而不應(yīng)隨時間的平移而改變，在這種情況下，系統(tǒng)的總能量是守恒的。

第五章剛體力學(xué)基礎(chǔ)1、剛體:在外力作用下形狀和大小完全不變的物體為剛體。剛體是一種理想模型。剛體上任兩點間的距離始終保持不變。5.1