高二數(shù)學(xué)直線的方向向量與平面的法向量

3.2.1直線的方向向量與平面的法向量研究

從今天開始,我們將進(jìn)一步來體會向量這一工具在立體幾何中的應(yīng)用.為了用向量來研究空間的線面位置關(guān)系，首先我們要用向量來表示直線和平面的“方向”。那么如何用向量來刻畫直線和平面的“方向”呢？一、直線的方向向量AB直線l上的向量以及與共線的向量叫做直線l的方向向量。由于垂直于同一平面的直線是互相平行的,所以，可以用垂直于平面的直線的方向向量來刻畫平面的“方向”。二、平面的法向量平面的法向量：如果表示向量

的有向線段所在直線垂直于平面

，則稱這個向量垂直于平面,記作

⊥，如果

⊥，那么向量

叫做平面的法向量.Al

給定一點A和一個向量,那么過點A,以向量為法向量的平面是完全確定的.幾點注意：1.法向量一定是非零向量;2.一個平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內(nèi)，則有由兩個三元一次方程組成的方程組的解是不惟一的，為方便起見，取z=1較合理。其實平面的法向量不是惟一的。平面的法向量不惟一，合理取值即可。例3.在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)平面經(jīng)過點，平面的法向量為，為平面內(nèi)任意一點，求滿足的關(guān)系式。解：由題意可得

因為方向向量與法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們應(yīng)該可以利用直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂直、夾角等位置關(guān)系.

那么如何用直線的方向向量表示空間兩直線平行、垂直的位置關(guān)系以及它們之間的夾角呢？如何用平面的法向量表示空間兩平面平行、垂直的位置關(guān)系以及它們二面角的大小呢？三、平行關(guān)系：例4如圖，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，點分別在對角線上，且求證：ABCDEFxyzMN簡證：因為矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，所以AB，AD，AF互相垂直。以為正交基底，建立如圖所示空間坐標(biāo)系，設(shè)AB,AD,AF長分別為3a，3b，3c，則可得各點坐標(biāo)，從而有又平面CDE的一個法向量是因為MN不在平面CDE內(nèi)所以MN//平面CDE四、垂直關(guān)系：A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中點，求證：D1F例5.在正方體中，E、F分別是BB1,，平面ADE

證明：設(shè)正方體棱長為1，為單位正交基底，建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyz，則可得：所以鞏固性訓(xùn)練11.設(shè)分別是直線l1,l2的方向向量,根據(jù)下列條件,判斷l(xiāng)1,l2的位置關(guān)系.平行垂直平行鞏固性訓(xùn)練21.設(shè)分別是平面α,β的法向量,根據(jù)下列條件,判斷α,β的位置關(guān)系.垂直平行相交1、設(shè)平面的法向量為(1,2,-2),平面的法向量為(-2,-4,k),若，則k=

；若則k=

。2、已知，且的方向向量為(2,m,1)，平面的法向量為(1,1/2,2),則m=

.3、若的方向向量為(2,1,m),平面的法向量為(1,1/2,2),且，則m=

.鞏固性訓(xùn)練31．如圖，正方體中，

E為的中點，證明：//平面AEC練習(xí):用空間向量來解決下列題目2、在正方體AC

中，E、F、G、P、

Q、R分別是所在棱AB、BC、BB

A

D

、D

C

、DD的中點，求證：⑴平面PQR∥平面EFG。

⑵BD

⊥平面EFGABCDA

B

C

D

FQEGRPl1l2l1l1l2l；http://www.lugirl.cc/擼女郎hnq295dgk有秘密。就像同事開玩笑所說：馬啟明有天下午在河邊散步，被石頭跘了一跤。第二天早晨，滿鎮(zhèn)的人肯定都會知道，而且跘的是左腳還是右腳，還是兩個腳一起絆倒的，都能說得一點不差，好象你在每個人面前都表演了一遍，讓馬啟明佩服得五體投地。消息確實傳播的速度比電腦的傳播速度毫不遜色。可仔細(xì)想來又不覺得稀奇，小鎮(zhèn)人口本來就少，外來人口更是鳳毛麟角。本地人轉(zhuǎn)來轉(zhuǎn)去相互間都有著像蜘蛛網(wǎng)一樣、千絲萬縷的聯(lián)系，再加上一天中雷打不動的三次聚會，有什么事能瞞得了小鎮(zhèn)人的耳和眼。所以第一次當(dāng)一個陌生的本地人笑瞇瞇地走到馬啟明和劉麗娟跟前問“你們外地人到啤酒廠工作可能適應(yīng)呀？我們這兒好，還是你們哪兒好？”時，馬啟明和劉麗娟感到此人很突兀，頓時楞住了，莫明地看著對方，直到對方告知他們啤酒廠的某某是其家人時，倆人才恍然大悟，原來他早已經(jīng)把你當(dāng)成了熟人。上街買東西，只要你一開口，本地人友好地問：“你不是我們這里的人，你是哪里人？在哪里工作？”一來二去，再走到街道上，有陌生人打招呼，馬啟明也熱情地給予回應(yīng)，綠溪鎮(zhèn)把馬啟明小兩口當(dāng)做朋友一樣看待，就這樣日子像風(fēng)平浪靜的、緩緩流動的小河一樣一天天快樂地過去了。到了晚上，就是想陜西老家。一天馬啟明接到通知，讓他和劉麗娟到海濤州人事局開會。到海濤州人事局開什么會？馬啟明小兩口疑惑地坐上車，到了以后才知道，原來是海濤州人事局召開的專場陜西同鄉(xiāng)會。沒想到海濤州人事局竟一次性從西安人才市場招人了五十多個大學(xué)生，分配到海濤州各個企事業(yè)單位。這么多陜西同鄉(xiāng)聚在一齊，每個人臉上都寫滿興奮，可一張口才發(fā)現(xiàn)并不都是陜西鄉(xiāng)音，相互間一聊才知道，原來大家都是陜西讀書、并通過西安人才市場招人過來的，因為上學(xué)期間戶口都是要轉(zhuǎn)到學(xué)校的，都稱陜西老鄉(xiāng)也不算錯，而且多數(shù)也確實是陜西人。他鄉(xiāng)遇故老鄉(xiāng)，萬分驚喜，那是自然的，話題也就自然從家鄉(xiāng)延伸開來。會上，一名陜西老鄉(xiāng)代表大家發(fā)言，他激動地說：“感謝海濤州人事局的領(lǐng)導(dǎo)給我們提供了老鄉(xiāng)聚會的機(jī)會。在異鄉(xiāng)見到了這么多的家鄉(xiāng)人，讓我們感到并非獨自一人在外鄉(xiāng)打拼，就像有了朋友親人在身邊可以互相依靠和幫助，讓我們陜西老鄉(xiāng)遠(yuǎn)在江蘇也感到在家鄉(xiāng)一樣溫暖。謝謝各位領(lǐng)導(dǎo)！非常感謝！非常感謝！”就像當(dāng)年鄉(xiāng)親們見到