高等數(shù)學方明亮版課件18 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點

第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點第一章（ContinuityandDiscontinuityofFunction）三、函數(shù)的間斷點二、函數(shù)的連續(xù)性一、問題的提出四、小結(jié)與思考題1/1/20241一、問題的提出（Introduction）0T(時間)溫度C41424一天的氣溫是連續(xù)地變化著，體現(xiàn)函數(shù)的連續(xù)性1/1/20242二、函數(shù)的連續(xù)性（ContinuityofFunction）1.函數(shù)的增量1/1/202432.連續(xù)的定義（DefinitionofContinuity）1/1/20244在的某鄰域內(nèi)有定義,則稱函數(shù)設函數(shù)且定義21/1/202453.單側(cè)連續(xù)(One-sidedContinuity)左連續(xù)

(LeftContinuity)

:當時,有右連續(xù)(RightContinuity):當時,有定理與單側(cè)極限相類似！1/1/202464.連續(xù)函數(shù)(ContinuousFunction)若在某區(qū)間上每一點都連續(xù),則稱它在該區(qū)間上連續(xù),或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)

.如果此區(qū)間包含端點，那么（1）函數(shù)在左端點連續(xù)是指在左端點右連續(xù)，（2）函數(shù)在右端點連續(xù)是指在右端點左連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線．在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的集合記作1/1/20247在上連續(xù).(有理整函數(shù))又如,

有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).只要都有例如,1/1/20248在內(nèi)連續(xù).證:即這說明在內(nèi)連續(xù).同樣可證:函數(shù)在內(nèi)連續(xù).例1證明函數(shù)1/1/20249例2

討論函數(shù)在處的連續(xù)性．解由于即左右極限不相等，所以該函數(shù)在但是，因為點不連續(xù)．，所以函數(shù)在處右連續(xù)．1/1/202410三、函數(shù)的間斷點（DiscontinuityofFunction）定義3在在(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在;(3)函數(shù)存在,但不連續(xù):設在點的某去心鄰域內(nèi)有定義,則這樣的點下列情形之一函數(shù)f(x)在點雖有定義

,但雖有定義

,且稱為間斷點

.在無定義

;1/1/202411第一類間斷點:及均存在,若稱若稱第二類間斷點:及中至少一個不存在,稱若其中有一個為振蕩,稱若其中有一個為為可去間斷點

.為跳躍間斷點

.為無窮間斷點

.為振蕩間斷點.間斷點分類:1/1/202412為其無窮間斷點.為其振蕩間斷點.為可去間斷點.例如:1/1/202413顯然為其可去間斷點.(4)(5)為其跳躍間斷點.1/1/202414例3

當取何值時，函數(shù)解因為要使，則需要．故當且僅當時，函數(shù)在點連續(xù)．在處連續(xù)．1/1/202415內(nèi)容小結(jié)左連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點可去間斷點跳躍間斷點左右極限都存在第二類間斷點無窮間斷點振蕩間斷點左右極限至少有一個不存在在點間斷的類型在點連續(xù)的等價形式1/1/202416課后練習習題1-8

2（偶數(shù)題）56思考與練習1.

討論函數(shù)x=2是第二類無窮間斷點.間斷點的類型.答案:x=1是第一類可去間斷點,1/1/2024172.

討論函數(shù)在處的連續(xù)性。解：右連續(xù)但不左連續(xù),故函數(shù)在點不連續(xù)。1/1/2024183.

討論下列函數(shù)的連續(xù)性，若有間斷點，判斷其類別．習題1－93（