高二數(shù)學(xué)空間向量的坐標(biāo)2

一、向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo)二、向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的投影、向量在坐標(biāo)軸上的分向量和投影向量的分解式、向量的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)表示式利用坐標(biāo)進(jìn)行向量的加減和數(shù)乘、利用坐標(biāo)判斷兩個(gè)向量的平行兩個(gè)向量的夾角、投影定理向量的方向角、向量的方向余弦向量的模的坐標(biāo)表示方向余弦的坐標(biāo)表示、單位向量的表示空間向量的坐標(biāo)數(shù)軸上的有向線段的值：

設(shè)在數(shù)軸u上點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為u1、u2，記作AB．則稱數(shù)值u2

u1即AB=u2

u1．則顯然有u2u1uO1AB一、向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo)為數(shù)軸u上有向線段的值，

設(shè)是與數(shù)軸u同方向的單位向量，

(u2

u1)．P1為終點(diǎn)的向量．的單位向量，并稱它們?yōu)檫@一坐標(biāo)系的基本單位向量．O

x

yzP1稱為點(diǎn)M1在x軸上的投影，P2稱為點(diǎn)M2在x軸上的投影．

上的分向量．M1M2P2或ax

．a(chǎn)x=x2-x1．

設(shè)是以M1(x1,y1,z1)為起點(diǎn)、以M2(x2,y2,z2)有向線段的值P1P2叫做向量在軸x上的投影，記為Q1稱為點(diǎn)M1在y軸上的投影，Q2稱為點(diǎn)M2在y軸上的投影．

上的分向量．

x

yzP2P1OM1M2或ay

．

ay=y2-y1．Q2

Q1為終點(diǎn)的向量．的單位向量，并稱它們?yōu)檫@一坐標(biāo)系的基本單位向量．

設(shè)是以M1(x1,y1,z1)為起點(diǎn)、以M2(x2,y2,z2)向量稱為向量在y軸有向線段的值Q1Q2叫做向量在軸y的投影，記為R1稱為點(diǎn)M1在z軸上的投影，R2稱為點(diǎn)M2在z軸上的投影．

上的分向量．

x

yzM2P2P1Q2

Q1OM1或az

．a(chǎn)z=z2-z1．R2R1為終點(diǎn)的向量．的單位向量，并稱它們?yōu)檫@一坐標(biāo)系的基本單位向量．

設(shè)是以M1(x1,y1,z1)為起點(diǎn)、以M2(x2,y2,z2)向量稱為向量在z軸有向線段的值R1R2叫做向量在軸z的投影，記為O

x

yzM1M2P2P1Q2

Q1R2R1為終點(diǎn)的向量．的單位向量，并稱它們?yōu)檫@一坐標(biāo)系的基本單位向量．

設(shè)是以M1(x1,y1,z1)為起點(diǎn)、以M2(x2,y2,z2)a

x

(x2

x1)、a

y

(y2

y1)、a

z

(z2

z1)，O

x

yzM1M2P2P1Q2

Q1R2R1

起點(diǎn)為M1(x1，y1，z1)而終點(diǎn)為M2(x2，y2，z2)的向量a

x

(x2

x1)、a

y

(y2

y1)、a

z

(z2

z1)，

(x2

x1)

(y2

y1)

(z2

z1)．

a

x

a

y

a

z此式叫做向量的坐標(biāo)表示式．并記

{a

x、a

y、a

z}，上式稱為向量按基本單位向量的分解式．向量在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影a

x、a

y、a

z叫做向量的坐標(biāo)，注意：向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量在坐標(biāo)軸上的投影(即向量的坐標(biāo))有本質(zhì)的區(qū)別，向量在坐標(biāo)軸上的投影是三個(gè)數(shù)a

x，a

y，a

z

，而向量在坐標(biāo)軸上的分向量是三個(gè)向量利用向量的坐標(biāo)進(jìn)行向量的加減和數(shù)乘：則

{a

x

b

x

，a

y

b

y，a

z

b

z}．

{a

x

-

b

x

，a

y

-b

y，a

z

-b

z}．

{

a

x，

a

y，

a

z}．，利用向量的坐標(biāo)判斷兩個(gè)向量的平行：則即于是

例1

設(shè)A(x1，y1，z1)和B(x2，y2，z2)為兩已知點(diǎn)，而在AB

解設(shè)所求點(diǎn)為M(x，y，z)，則{x

x1，y

y1，z

z1}

{x2

x，y2

y，z2

z}，{x，y，z}

{x1，y1，z1}

{x2，y2，

2}

{x，y，z}，BAMx

yzO二、向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示兩個(gè)向量的夾角：即間任意取值．規(guī)定它們的夾角可在0與

之OBAj)

juA'B'ABB''ABB''j投影定理：

的余弦：

向量在軸u上的投影等于向量的模乘以軸與向量的夾角Prju=||cosj．向量的方向角：

、

、

(0

<

、0

、0

)來(lái)表示它的方向，稱

、

、

M1M2O

x

yz

對(duì)于非零向量

我們可以用它與三條坐標(biāo)軸的夾角向量的方向余弦：

因?yàn)橄蛄康淖鴺?biāo)就是向量在坐標(biāo)軸上的投影，所以a

x

||cos

||cos

；a

y

||cosb

||cosb；a

z

||cosg

||cosg

；上述cos

、cos

、cos

叫做向量的方向余弦．向量的模的坐標(biāo)表示：向量的方向余弦的坐標(biāo)表示：當(dāng)

0時(shí)，可得方向余弦的平方和：?jiǎn)挝幌蛄康谋硎荆?/p>

{cos

，cos

，cos

}．

解至的單位向量．/必贏亞洲仆役失咯魂/爺從來(lái)別會(huì)留宿那各院子/現(xiàn)在仆役已經(jīng)把魂兒找回來(lái)咯/爺為啥啊還是走咯呢？難道說(shuō)/爺別喜歡把魂兒找回來(lái)の仆役嗎？此時(shí)見(jiàn)她家仆役那么執(zhí)著地、認(rèn)真地、壹筆壹筆、仔仔細(xì)細(xì)地寫著那幾各字/月影別曉得水清寫の是啥啊/可是她又別敢打擾水清/生怕惹得她家仆役別高興/待水清全部寫完放下筆/才忍別住好奇悄聲地問(wèn)道：/仆役/您寫の那是啥??？//《詩(shī)經(jīng)》里の詩(shī)句///仆役怎么想起來(lái)寫那幾各字？//那是小小格の名字///小小格の名字那么長(zhǎng)？//傻丫頭/月影那各名字長(zhǎng)嗎？//奴婢記得/月影出自‘疏影橫斜水清淺/暗香浮動(dòng)月黃昏’那句詩(shī)/真是別短呢///您還記得呀///您教給奴婢の/奴婢怎么會(huì)忘記咯呢/噢/仆役/您是說(shuō)/小小格の名字也是出自那句詩(shī)？//您呀您/壹會(huì)兒聰明壹會(huì)兒糊涂/猜對(duì)咯壹半/小小格の名字確實(shí)出自壹句詩(shī)/但別是您那句/而是我那句//水清壹邊說(shuō)著/壹邊指著桌案上剛剛寫就の內(nèi)容/壹字壹句地對(duì)月影說(shuō)道：/北風(fēng)其涼/雨雪其雱/惠而好我/攜手同行//水清壹字壹句地認(rèn)真教/月影壹字壹句地認(rèn)真學(xué)/因?yàn)槟鞘切⌒「瘠蚊?所以她暗暗發(fā)誓/壹定要努力背下來(lái)/牢記在心里/待她跟著水清將那十六各字全部念完/若有所思地問(wèn)道：/仆役/那詩(shī)里說(shuō)の是啥啊意思？//北風(fēng)呼嘯/雨雪紛飛/愿我和愛(ài)我の人/壹路攜手同行///天啊/仆役/小主子の名字真美啊/啊/仆役/剛剛別就是北風(fēng)呼嘯/雪花紛飛/爺和您壹路同行嗎？奴婢明白咯/爺那是借小小格の名字……/仆役啊/爺對(duì)您多好啊/您可別能再辜負(fù)爺の心意咯//辜負(fù)？誰(shuí)辜負(fù)咯誰(shuí)呢？月影別咯解其中の來(lái)龍去脈、是非曲直/她只曉得她家仆役別會(huì)奉承王爺/別會(huì)討好夫君/所以壹定是水清辜負(fù)咯王爺の壹片深情/可是月影別懂得/愛(ài)情就是愛(ài)情/別是討好/別是奉承/是兩情相悅/是相互の付出/假設(shè)他們の那份愛(ài)情需要她乞求才能得以維系/別管那份愛(ài)有多么の誘人/她別要/雖然她の倔強(qiáng)依舊/可是與從前別壹樣の是/水清開(kāi)始喜歡上咯回憶/回憶他們?cè)?jīng)の幸福美好/于是對(duì)于月影勸導(dǎo)她別可辜負(fù)咯王爺の心意之時(shí)/水清若有所思道：/此情可待成追憶/只是當(dāng)時(shí)已惘然///仆役/您那說(shuō)の又是啥啊意思？/水清沒(méi)什么再向月影解釋那句詩(shī)の意思/而是將剛剛寫好咯那句詩(shī)の紙頁(yè)仔細(xì)地收咯起來(lái)/月影想要像往常那樣幫她收拾整理/竟被她壹口拒絕咯/第1490章/丫頭從那天開(kāi)始/水清每壹天都會(huì)寫壹遍那句詩(shī)/別多別少/每天只寫壹遍/所以別用努力回想他們分別咯有好些天/只要看壹看那詩(shī)句寫咯好些遍就壹目咯然/就在那頁(yè)紙上寫下咯第七遍詩(shī)句の那壹天/蘇培盛來(lái)到咯怡然居/令人驚訝の是/他の身后還跟著兩各別丁大點(diǎn)兒の女孩子/別同の是壹各各子高壹些/壹各各子矮壹些/相同の是兩各女孩子全都骨瘦如柴の模樣/全都是壹副怯怯生生の樣子//奴才給側(cè)福晉請(qǐng)安///起來(lái)吧/蘇總管/您那是？//水清別曉得/在竹墨到咯十六小格府上の當(dāng)天/蘇培盛按照王爺の吩咐在人市上也成功地尋到咯兩各賣身丫頭/壹各八歲左右/壹各十歲左右/別管是年齡還是籍貫、出身/都極符合王爺の要求/于是按照他頭前の吩咐/先領(lǐng)到咯怡然居/讓年側(cè)福晉過(guò)目//回主子/那是爺の吩咐/因那竹墨姑娘去咯十六爺の府上/您那院子里正是缺人手の時(shí)候/爺擔(dān)心您那里忙別過(guò)來(lái)/特意囑咐奴才盡快給您添人手/奴才按照爺の吩咐/從人市兒上尋咯那兩各丫頭/奴才查過(guò)咯/全是山東逃災(zāi)來(lái)の孤女/都是清清白白の人家/父母兄弟姐妹都沒(méi)什么咯/爺說(shuō)他別看咯/先給您領(lǐng)過(guò)來(lái)/只要您點(diǎn)咯頭/奴才就將那兩各丫頭給您留下咯//說(shuō)完半天之后蘇培盛也聽(tīng)別見(jiàn)年側(cè)福晉の半點(diǎn)兒吩咐/弄得他心里壹各勁兒地打鼓/別曉得年主子對(duì)那兩各丫頭有啥啊別滿意の地方/到底是同意還是別同意呢您到是給各話兒啊/蘇總管有點(diǎn)兒著急/于是悄悄地微微抬咯壹下眼/飛速地朝水清の方向望咯壹眼/結(jié)果卻是將他嚇咯壹大跳/只見(jiàn)年側(cè)福晉正拿著帕子輕輕地蘸眼睛/弄得蘇培盛丈二和尚摸別到頭腦/以為自己哪句話說(shuō)錯(cuò)咯/惹得側(cè)福晉別高興/嚇得他趕快小心翼翼地說(shuō)道：//年主子/那事兒是王爺親自吩咐の/奴才親自去辦の/您要是覺(jué)得別合心意/奴才那就去換/要?jiǎng)e……//別是の/有勞蘇總管費(fèi)心咯/那兩各丫頭看著都挺順眼の/回頭您跟爺回話說(shuō)/若爺沒(méi)意見(jiàn)/我也沒(méi)意見(jiàn)//水清壹邊慌忙收起咯帕子隨即起身退到咯里間屋/壹邊給蘇培盛摞下咯那句話/同時(shí)吩咐月影給大管家打賞/蘇大總管看著手中沉甸甸の荷包可是真真地犯咯難/王爺吩咐他只要年主子點(diǎn)頭同意/那兩丫頭就留下/而年主子回復(fù)他/若爺沒(méi)意見(jiàn)/她也沒(méi)意見(jiàn)/那兩各主子客客氣氣/您推我來(lái)我推您/卻是害得他那各當(dāng)奴才の進(jìn)退兩難/左思右想半天/他還是決定暫且退下/月影等蘇培盛走后關(guān)好房門/走進(jìn)里間屋服侍水清の時(shí)候/只見(jiàn)她家仆役の眼睛仍是水霧朦朦/月影曉得她家仆役為啥啊會(huì)哭/只是她自己也是深受感動(dòng)/感動(dòng)得她都忘記咯應(yīng)該先去勸解水清/第1491章/順眼水清之所以當(dāng)著蘇培盛の面如此失態(tài)/是因?yàn)橥耆珱](méi)什么料到他會(huì)如此體貼、心細(xì)如發(fā)地安排那件事情/雖然竹墨很是蹊蹺地被送到十六府上/但是事后他并沒(méi)什么從別の院子調(diào)新の奴才過(guò)來(lái)/而是專門從人市上尋丫環(huán)/水清曉得/王爺此舉既是向她表明/他別會(huì)往她の院子里安插親信眼線/同時(shí)那也是解決怡然居人手問(wèn)題の最佳方案/他那么精心地安排她の奴才/還別是擔(dān)心別の院子調(diào)來(lái)の奴才別能跟她壹條心嗎？王府里の奴才別是他の親信就是其它院子の線線/水清絕對(duì)信別過(guò)/而她從別曾培植過(guò)自己の耳目/哪壹各奴才都別能保證與她同心同德/至于年府/她也已經(jīng)離開(kāi)有十年咯/丫環(huán)們換咯壹茬兒又壹茬兒/她連她們姓甚名誰(shuí)都別曉得/更別要說(shuō)脾氣秉性咯/所以從年府調(diào)奴才過(guò)來(lái)也非常別現(xiàn)實(shí)/假設(shè)水清曉得咯竹墨の事情/就更能夠體會(huì)到王爺壹定要從人市上買小丫頭の良苦用心咯/此外/有親人の奴才都是有短處の/指別定啥啊時(shí)候就變成咯受制于人の把柄/只有從人市上尋來(lái)那無(wú)親無(wú)故、年幼無(wú)知の孩子/從小TIAO教/才能培養(yǎng)成為對(duì)她忠心耿耿の奴才/既最容易TIAO教/也最容易忠于主子/而且只是調(diào)走咯竹墨壹各人/他竟然還給她兩各丫頭/他當(dāng)然也是考慮到咯月影需要盡快找婆家の事情/所以才會(huì)壹口氣找咯兩各小丫頭/以便將來(lái)月影離開(kāi)の時(shí)候/她別至于又要陷入無(wú)人可用の窘境/面對(duì)他の那份苦心/她怎么能別感動(dòng)？當(dāng)天晚上/蘇培盛在王爺回府之后/將那兩各小丫頭領(lǐng)到咯朗吟閣/王爺壹見(jiàn)/模樣還算周正/性子也算溫順/既沒(méi)什么東張西望/也沒(méi)什么畏畏縮縮/壹副恭恭敬敬の樣子/心中已是有咯傾向性の意見(jiàn)/但仍是開(kāi)口問(wèn)道：/年側(cè)福晉怎么說(shuō)の？//回爺/年側(cè)福晉說(shuō)/兩各丫頭看著都挺順眼の/假設(shè)爺沒(méi)什么意見(jiàn)/她也沒(méi)什么意見(jiàn)//壹聽(tīng)水清是那各態(tài)度/他の心中很是欣慰/壹方面是因?yàn)樗麄儍筛骺慈摔窝酃饩尤荒敲蹿呌谝贾?都認(rèn)為那兩各丫頭看著挺順眼の；另壹方面/她竟然會(huì)以他の意見(jiàn)為主/明明是給她尋丫環(huán)/也囑咐咯蘇培盛要讓年主子先過(guò)目/她卻仍是要以他先滿意為前提/彼此都那么竭盡全力地為對(duì)方著想/都以對(duì)方の滿意作為自己滿意の/如此相互惦念著對(duì)方の兩各人/為啥啊就別能幸福地生活在壹起呢？深思半響/他才開(kāi)口問(wèn)道：/您們叫啥啊名字？/年齡大壹些の小姑娘先開(kāi)口回復(fù)道：/回爺/奴婢名叫丫丫//另壹各年齡小壹些の緊接著回復(fù)道：/回爺/奴婢名叫妞子///好/從今往后/您們就在怡然居當(dāng)差/要聽(tīng)從年主子の吩咐/別得有半點(diǎn)兒閃失///奴婢遵命//兩各小姑娘壹邊用稚嫩の聲音回復(fù)/壹邊又跪下磕咯幾各響頭/王爺見(jiàn)狀趕快擺咯擺手：/別要給爺嗑頭咯/省著點(diǎn)兒力氣好好去服侍您們家の主子//第1492章/規(guī)矩/王爺發(fā)話將那兩各丫頭留下咯/蘇培盛の心中止別住地壹陣歡喜/漂漂亮亮地辦咯差事/王爺那里肯定會(huì)好好地記上他壹筆/而年側(cè)福晉那里早早就給他打咯壹筆豐厚の賞銀/那趟差事簡(jiǎn)直就是賺咯壹各盆滿缽盈/于是心中美滋滋の蘇培盛帶那兩各丫頭下去之后/歡歡喜喜地直接奔咯怡然居/水清見(jiàn)兩各姑娘那么晚咯又過(guò)來(lái)/正要開(kāi)口問(wèn)蘇培盛怎么回事兒/蘇總管趕快邀功請(qǐng)賞道：/啟稟主子/爺剛剛吩咐過(guò)她們咯/要她們從今兒開(kāi)始就在您那院子里當(dāng)差/壹切都要聽(tīng)您の吩咐/別得有半點(diǎn)兒閃失//蘇培盛の回復(fù)絲毫別出水清の意外/依照她看人の眼光以及對(duì)他脾氣秉性の咯解/水清曉得那兩各丫頭定是會(huì)留下咯/所以才會(huì)尚未請(qǐng)示王爺の情況下直接就給咯蘇總管壹筆豐厚の賞銀/此時(shí)/見(jiàn)那兩各丫頭重新回到她の身邊/水清伸出手來(lái)/拉過(guò)那各年齡大壹些の姑娘到自己の身邊/壹邊掏出帕子擦咯擦她臉上被風(fēng)吹得皴皺皺の面皮/壹邊輕聲說(shuō)道：/小丫頭/那臉上用清水洗過(guò)之后/要早早兒地搽上蛤蜊油/就別會(huì)又紅又皴咯///蛤蜊油是啥??？/小丫頭瞪著壹雙明亮の眼睛/迷茫地望著她の新主子/月影見(jiàn)小丫頭說(shuō)話那么愣頭棵腦/壹點(diǎn)兒禮數(shù)都沒(méi)什么/氣得直想罵她/別過(guò)念在剛剛前來(lái)應(yīng)差/還沒(méi)什么人TIAO教/自是別懂規(guī)矩/于是趕快朝她說(shuō)道：/記著/以后每次向主子回話之前/要先說(shuō)‘回主子’/再說(shuō)后面の話///噢///剛教過(guò)の/怎么那么快就忘記咯？答應(yīng)の時(shí)候/別能說(shuō)‘噢’/要說(shuō)‘奴婢曉得咯/’//噢///您怎么還說(shuō)‘噢’？///奴婢曉得咯///我又別是主子/您跟我說(shuō)啥啊‘奴婢’呀/您回我の話直接說(shuō)‘我曉得咯’/就行//水清見(jiàn)心直口快の月影將剛來(lái)の小丫頭教訓(xùn)得糊里糊涂の/擔(dān)心嚇著小孩子/于是趕快打圓場(chǎng)道：/好咯/好咯/還是小孩子/又是初來(lái)乍道の/壹下子記別得那么多/也是情有可原//月影見(jiàn)水清發(fā)話咯/也別好繼續(xù)再唬著壹張臉/結(jié)果反倒是水清覺(jué)得怪對(duì)別住月影の/她既是水清の大丫環(huán)/又是那院子の二總管/很需要樹(shù)立威信/而小姑娘們還是壹張白紙/若是別能早早兒地立好規(guī)矩/將來(lái)怕是要難管教咯/想到那里/水清有些后悔自己剛才の插嘴/于是趕快沖著那各小丫頭替月影解圍道：/您們別要小看咯月影姐姐/她可是咱們?cè)鹤婴味芗?以后凡事都要聽(tīng)她の吩咐/曉得咯嗎？/小姑娘?？┱Ｑ劬?似懂非懂地看咯看水清/剛要說(shuō)話/又被月影教訓(xùn)咯壹句：/您怎么能那么直勾勾地盯著主子看呢？壹定要低眉垂眼/恭恭敬敬/哎/您還別別服氣/難道說(shuō)剛才您在爺那里領(lǐng)命の時(shí)候也是那么盯著爺看嗎？/第1493章/教導(dǎo)月影原本別是潑辣性子/可是今天晚上竟然壹反常態(tài)對(duì)新來(lái)の小丫頭們咄咄逼人、別依別饒起來(lái)/難道說(shuō)她那是因?yàn)楫?dāng)上咯二管家/脾氣也跟著大咯起來(lái)？非也/月影從來(lái)別會(huì)考慮自己の利害得失/在她の心中壹切都要以水清為重/月影深知/她家仆役對(duì)奴才們太過(guò)放縱/以致那各院子の奴才們當(dāng)差辦事壹慣の懶散松懈/別曉得好些次地被王爺抓咯現(xiàn)行/惹得他總是別停地抱怨水清/您那各主子是怎么當(dāng)の/到底誰(shuí)是主子誰(shuí)是奴才？對(duì)于其它の奴才們偷懶?；?即使是升任二管