電磁感應定律和麥克斯韋方程組

§07電磁感應定律和麥克斯韋方程組12.5.1電磁感應定律

1881年法拉第發(fā)現(xiàn)，當穿過導體回路的磁通量發(fā)生變化時，回路中就會出現(xiàn)感應電流和電動勢，且感應電動勢與磁通量的變化有密切關系，由此總結(jié)出了著名的法拉第電磁感應定律。負號表示感應電流產(chǎn)生的磁場總是阻止磁通量的變化。1.

法拉第電磁感應定律的表述

當通過導體回路所圍面積的磁通量

發(fā)生變化時，回路中產(chǎn)生的感應電動勢的大小等于磁通量的時間變化率的負值，方向是要阻止回路中磁通量的改變，即2

設任意導體回路C圍成的曲面為S，其單位法向矢量為

，則穿過回路的磁通為

ner

B

CS

dlrr導體回路中有感應電流，表明回路中存在感應電場，回路中的感應電動勢可表示為因而有3感應電場是由變化的磁場所激發(fā)的電場。感應電場是有旋場。

感應電場不僅存在于導體回路中，也存在于導體回路之外的空間。對空間中的任意回路（不一定是導體回路）C，都有

對感應電場的討論：

若空間同時存在由電荷產(chǎn)生的電場,則總電場應為與之和，即。由于，故有

推廣的法拉第電磁感應定律4相應的微分形式為(1)

回路不變，磁場隨時間變化2.引起回路中磁通變化的幾種情況磁通量的變化由磁場隨時間變化引起，因此有(2)

導體回路在恒定磁場中運動(3)

回路在時變磁場中運動動生電動勢5（1），矩形回路靜止；xbaoyx均勻磁場中的矩形環(huán)L（3），且矩形回路上的可滑動導體L以勻速運動。

解：(1)均勻磁場

隨時間作簡諧變化，而回路靜止，因而回路內(nèi)的感應電動勢是由磁場變化產(chǎn)生的，故

例2.5.1

長為a、寬為b的矩形環(huán)中有均勻磁場

垂直穿過，如圖所示。在以下三種情況下，求矩形環(huán)內(nèi)的感應電動勢。（2），矩形回路的寬邊b=常數(shù)，但其長邊因可滑動導體L以勻速運動而隨時間增大；6

(3)矩形回路中的感應電動勢是由磁場變化以及可滑動導體L在磁場中運動產(chǎn)生的，故得

(2)均勻磁場

為恒定磁場，而回路上的可滑動導體以勻速運動，因而回路內(nèi)的感應電動勢全部是由導體L在磁場中運動產(chǎn)生的，故得或7（1）線圈靜止時的感應電動勢；

解:

（1）線圈靜止時，感應電動勢是由時變磁場引起，故（2）線圈以角速度ω

繞x

軸旋轉(zhuǎn)時的感應電動勢。例2.5.2

在時變磁場中，放置有一個的矩形線圈。初始時刻，線圈平面的法向單位矢量與成α角，如圖所示。試求：xyzabB時變磁場中的矩形線圈8假定時，則在時刻t時，與y

軸的夾角，故

方法一：利用式

計算（2）線圈繞x軸旋轉(zhuǎn)時，的指向?qū)㈦S時間變化。線圈內(nèi)的感應電動勢可以用兩種方法計算。9上式右端第一項與(1)相同，第二項xyzabB時變磁場中的矩形線圈12234

方法二：利用式計算。10在時變情況下，安培環(huán)路定理是否要發(fā)生變化？有什么變化？即問題：隨時間變化的磁場要產(chǎn)生電場，那么隨時間變化的電場是否會產(chǎn)生磁場？2.5.2位移電流靜態(tài)情況下的電場基本方程在非靜態(tài)時發(fā)生了變化，即

這不僅是方程形式的變化，而是一個本質(zhì)的變化，其中包含了重要的物理事實，即時變磁場可以激發(fā)電場。（恒定磁場）

（時變場）111.全電流定律而由非時變情況下，電荷分布隨時間變化，由電流連續(xù)性方程有

發(fā)生矛盾在時變的情況下不適用

解決辦法：對安培環(huán)路定理進行修正由將修正為：矛盾解決

時變電場會激發(fā)磁場12全電流定律：——

微分形式——

積分形式

全電流定律揭示不僅傳導電流激發(fā)磁場，變化的電場也可以激發(fā)磁場。它與變化的磁場激發(fā)電場形成自然界的一個對偶關系。132.位移電流密度電位移矢量隨時間的變化率，能像電流一樣產(chǎn)生磁場，故稱“位移電流”。注：在絕緣介質(zhì)中，無傳導電流，但有位移電流。在理想導體中，無位移電流，但有傳導電流。在一般介質(zhì)中，既有傳導電流，又有位移電流。位移電流只表示電場的變化率，與傳導電流不同，它不產(chǎn)生熱效應。位移電流的引入是建立麥克斯韋方程組的至關重要的一步，它揭示了時變電場產(chǎn)生磁場這一重要的物理概念。14

例2.5.3

海水的電導率為4S/m，相對介電常數(shù)為81，求頻率為1MHz時，位移電流振幅與傳導電流振幅的比值。

解：設電場隨時間作正弦變化，表示為則位移電流密度為其振幅值為傳導電流的振幅值為故15式中的k為常數(shù)。試求：位移電流密度和電場強度。

例

2.5.4

自由空間的磁場強度為

解

自由空間的傳導電流密度為0，故由式,得16

例2.5.5

銅的電導率、相對介電常數(shù)。設銅中的傳導電流密度為。試證明：在無線電頻率范圍內(nèi)，銅中的位移電流與傳導電流相比是可以忽略的。而傳導電流密度的振幅值為通常所說的無線電頻率是指f=300MHz以下的頻率范圍，即使擴展到極高頻段（f=30～300GHz），從上面的關系式看出比值Jdm/Jm

也是很小的，故可忽略銅中的位移電流。解：銅中存在時變電磁場時，位移電流密度為位移電流密度的振幅值為172.6.1麥克斯韋方程組的積分形式182.6.2麥克斯韋方程組的微分形式麥克斯韋第一方程，表明傳導電流和變化的電場都能產(chǎn)生磁場麥克斯韋第二方程，表明變化的磁場產(chǎn)生電場麥克斯韋第三方程表明磁場是無源場，磁感線總是閉合曲線麥克斯韋第四方程，表明電荷產(chǎn)生電場192.6.3媒質(zhì)的本構(gòu)關系

代入麥克斯韋方程組中，有限定形式的麥克斯韋方程（均勻媒質(zhì)）各向同性線性媒質(zhì)的本構(gòu)關系為20時變電場的激發(fā)源除了電荷以外，還有變化的磁場；而時變磁場的激發(fā)源除了傳導電流以外，還有變化的電場。電場和磁場互為激發(fā)源，相互激發(fā)。時變電磁場的電場和磁場不再相互獨立，而是相互關聯(lián)，構(gòu)成一個整體——電磁場。電場和磁場分別是電磁場的兩個分量。在離開輻射源（如天線）的無源空間中，電荷密度和電流密度矢量為零，電場和磁場仍然可以相互激發(fā)，從而在空間形成電磁振蕩并傳播，這就是電磁波。21在無源空間中，兩個旋度方程分別為可以看到兩個方程的右邊相差一個負號，而正是這個負號使得電場和磁場構(gòu)成一個相互激勵又相互制約的關系。當磁場減小時，電場的旋渦源為正，電場將增大；而當電場增大時，使磁場增大，磁場增大反過來又使電場減小。22麥克斯韋方程組時變場靜態(tài)場緩變場迅變場電磁場(EM)準靜電場(EQS)準靜磁場(MQS)靜磁場(MS)小結(jié)：麥克斯韋方程適用范圍：一切宏觀電磁現(xiàn)象。靜電場(ES)恒定電場(SS)23

解：(1)導線中的傳導電流為忽略邊緣效應時，間距為d

的兩平行板之間的電場為E=u/d

，則

例

2.6.1

正弦交流電壓源連接到平行板電容器的兩個極板上，如圖所示。(1)證明電容器兩極板間的位移電流與連接導線中的傳導電流相等；(2)求導線附近距離連接導線為r

處的磁場強度。CPricu平行板電容器與交流電壓源相接24與閉合線鉸鏈的只有導線中的傳導電流，故得

(2)以r

為半徑作閉合曲線C，由于連接導線本身的軸對稱性，使得沿閉合線的磁場相等，故式中的S0為極板的面積，而為平行板電容器的電容。則極板間的位移電流為25

例

2.6.2

在無源的電介質(zhì)中，若已知電場強度矢量