2021屆高中數(shù)學綜合、交匯習題集20

《2021屆高中數(shù)學綜合、交匯習題集30篇》

在這套習題中，我們僅僅關(guān)注高中數(shù)學知識之間的跨界組合、綜合交匯的

考查。它們也許是數(shù)列與函數(shù)的交匯、也許是函數(shù)與幾何的交匯、也許統(tǒng)計與

圓錐曲線的交匯、也可能是基本不等式與解三角形的交匯……

第20篇

1.已知雙曲線E的中心為原點，尸(3,0)是E的焦點，過尸的直線/E相交于A，B兩點，且AB的中點

為N(—12,-15),則E的離心率為()

2225

2.(多選)已知函數(shù)/(x)=2*,g(x)=x2+rzx(其中aeR).對于不相等的實數(shù)%,々，設(shè)

m———―-~~—————?下列說法正確的是()

再一々X)-X2

A.對于任意不相等的實數(shù)X,%2,都有加〉0;

B.對于任意的a及任意不相等的實數(shù)x,,電，都有“〉0；

C.對于任意的a,存在不相等的實數(shù)匹，為，使得"2=〃；

D.對于任意的。，存在不相等的實數(shù)％,x2,使得機=一〃.

3.正四棱錐S-ABC。底面邊長為2,高為1,E是邊8C1的中點，動點P在四棱錐表面上運動，并且總

保持PE-AC=O,則動點尸的軌跡的周長為.

4.己知數(shù)列｛4｝的前〃項和為7；,且2b”=T,+2,則數(shù)列｛“｝的通項公式為,數(shù)列｛%｝的前〃項

4-〃(〃為奇數(shù))若使B恰為｛對｝中的奇數(shù)項，則所有正整數(shù)機組成的集合為

和為S,,,且a“=，

“(”為偶數(shù))

5.一半徑為/?的球的表面積為64兀，球一內(nèi)接長方體的過球心的對角截面為正方形，則該長方體體積的

最大值為.

6.(桂，2021屆南寧兩校聯(lián)考)已知函數(shù)/(x)=cosxsin2x,下列結(jié)論中錯誤的是()

A.>=/(x)的圖像關(guān)于點(〃0)中心對稱B.y=/(X)的圖像關(guān)于直線”=_對稱

2

C./(X)的最大值為史D./(尤)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)

2

7.若函數(shù)/(x)=a/+(2-a)x-lnr(aeR)在其定義域上有兩個零點，則。的取值范圍是()

A.(4(In2+1),+00)B.(0,4(1+In2)]

C.(-oo,0)U｛4(l+ln2)｝D.(0,4(ln2+l))

2

8.以。為中心，居，尸2為焦點的橢圓上存在一點M,滿足2帆；*3*0*3“工則該橢圓的離心

率為.

9.已知四棱錐P-ABCD的五個頂點在同一球面上.若該球的半徑為4,A3QD是邊長為2的正方形，且

ZPAB=9Q°,則當PA最長時，四棱錐P—A8CD的體積為.

inru4Uli]11

石“川一eA,就稱A是伙伴關(guān)系集合，集合h4—彳'—1,0,一,；2,3｝■的所有非空子集中具有伙

xI23J

伴關(guān)系的集合的個數(shù)是（）

A.31B.7C.3D.1

11.已知命題"土^€[1,2],父一%“+1〉0"是真命題，則實數(shù)。的取值范圍為（）

（51「5、「5、（5\

B.C.!-co,_1口.「巧

I,JL4）I4J14）

12.如圖，正方體ABQD-AGG。的棱長為1，則下列四個命題正確的有（）

①直線BC與平面ABC。所成角等于:；②點C到平面ABCO的距離為了；③兩條異面直線。C和

''4''T1

BC所成角為:；④三棱柱A4。-BBC外接球半徑為/)

1411T

個B.2個C.3個D.4個

13.已知。=log23,h=log34,c=log45,貝！|()

A.c<b<aB.b<a<cC.a<b<cD.b<c<a

14.設(shè)等比數(shù)列｛氏｝滿足q+%=20,a2+a4=\09則442a3…%的最大值為.

3

《2021屆高中數(shù)學綜合、交匯習題集》第20篇參考答案

1、【答案】B

【詳解】，，

%-一y=>>

設(shè)雙曲線的標準方程為工-1(?°)，

a-及

2222

設(shè)A(x，y),8(%，%)，則有^1工［1，，口=)；

a2b1a2b2

兩式作差得：￡X=方-即乂一為：X)

~~cr-bx-xa(y+y)

2I2I2

VF(3,0),AB的中點為N(—12,—15),

-15-0-12/7246

?'-12-3__］545a^

c3

/.4h2-5a2,即4(c之一/)=5",/.4c2=9a2,得e=；=_.

a2

故選：B.

2.【答案】AD

【詳解】

對于A,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得/(九)在R上遞增，即有〃2〉0,則A正確；

對于B,由二次函數(shù)的單調(diào)性可得g(X)在(-00,二0)遞減，在(二“，+8)遞增，則〃>0不恒成立，則B錯誤;

22

對于C,若機=〃,可得/(X,)-f(X2)=g(xt)-g(x2)，即為g(X1)-f(xt)=g(x2)-f(x2),

設(shè)/7(*)=*2+公-2，,貝(1應(yīng)有/?(%))=/J(X2),

而h'(x)=2x+a-2*In2,當af-8,(x)小于0,h{x}單調(diào)遞減，則C錯誤；

對于D,若機=一〃，可得fix,)-/(x2)=Tg(X|)-g(x2)］，即為f(x,)+g(X|)=/(%2)+g(x2)

設(shè)貽)=1+以+2*,則應(yīng)有力(匹)=〃(々)，

而"(x)=2r+a+2Kln2,對于任意的a,/z(x)不恒大于0或小于0,

即/?(%)在定義域上有增有減，則D正確.

故選:AD.

3.【答案】JI+G

【詳解】

如圖所示，取SC，DC的中點M，F(xiàn)，則EF//BD,ME//SB,由線面判定定理可知：后尸〃平面S3。，

EM〃平面S8D,而而門所=后，所以平面S3?！ㄆ矫鍹E/,設(shè)。是底面正方形的中心，所以正四

棱錐S-ABCQ的高為OS,則OP=1,則有OPLAC,而3。人AC,BOnSO=。，所以AC_L平面

SBD,所以AC_L平面M￡F,因為

PEAC^0＞所以有PELAC,則動點P在四棱錐表面上運動的軌跡為△MEF，

BD=VAD2+AB2=2^2，SB=SD=卜。-+(―BD)~=6,

1

則動點尸的軌跡的周長為/=-/

△MFE2&SDB及+6

故答案為：、泛+G

4.【答案】2"{2}

【詳解】

解：由題意，當”=1時，2仇=(+2=么+2,解得仇=2,

當〃22時，由25=T?+2,可得2b**+2,

兩式相減,可得2”,-2仇一尸仇,，得仇=2%,

二數(shù)列{〃,}是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,

:.b?=2D2"-'=2",nGN*；

[4(〃為奇數(shù))[4(〃為奇數(shù))

va=\，即an-1、，

也(〃為偶數(shù))|2"(〃為偶數(shù))

$2”,=(。|+%+…+%MT)+(“2+%+…+%")

°m(m-l),4(1-4?)

=3m+-------x(-2)+-------

21-4

4'角一4

=4〃？-m0+------，

3

5

4〃-4

S2tfl-i=S2f?一3二4加-m~+——

S3x4'"

.?.2=]+________________

52吁13機(4一加)+4'〃一4'

5

假設(shè)白2=4=4一％,人為正奇數(shù),

吁I

3x4m

則3m(4-m)+4"'-4=3~k'

,、，4x+,-4

;f(x)=4x-x~+---------，%>0,

，4v+rln4

f(x)=4-2x+―-—,

,4川(I?16(In4

??/(x)=-2+------------->-2+------------>0>

八八

/0)=4_2》+84Al&in44,-2+_16_1n>40

???/(x)在(0,+@上為增函數(shù),

16-4

>4-1+=7>0,

3

16-4

>4-1+=7>0

3

同理S2.i>0,則3—女〉0，

，只有當〃z=2時，攵=1適合題意,

故所有正整數(shù)m組成的集合為｛2｝；

故答案為:2"；⑵.

5.【答案】640

【解析】由球體的表面積公式求出半徑R,根據(jù)其內(nèi)接長方體的過球心的對角截面為正方形，設(shè)內(nèi)接長方

體的長、寬、高分別為"c即有儲+〃=/、足+02=32,最后利用長方體的體積公式有

V^ahyl^+h2?利用基本不等式即可求其最大值

【詳解】

由半徑為R的球的表面積為64兀，知：4成2=64%,有R=4；

由題意，若設(shè)內(nèi)接長方體的長、寬、高分別為a,b,c,則。2+從=,2,/+〃+C2=4R2=64；

?*-cr+h~-32,而長方體體積v=abc=abNa°+b，

6

,V=ab工廬KS'"‘尸=64、歷當且僅當”=b=4時等號成立

2

故答案為：6472

6.【答案】C

【解析】試題分析：對于A選項，只需考慮了(2;z-x)+/(x)=()即可，而

fQ兀-x)+f(x)=cos(2^-x)sin2(2^=-x)+cosxsin2x=-cosxsin2x+cosxsin2x=0,故A正確；

對于B選項，

只需考慮f(7r-x)=f(x)是否成立即可，

而f(7U-x)=cos(行?x)sin2(乃-x)=-cosx(-sin2x)=cosxsin2x=f(x)，故B正確；

對于。選項，

/(-x)=cos(-x)sin2(一九)=-cosxsin2x=-f(x),

故f(x)是奇函數(shù)，有/(2乃=cos(2乃+?%)sin2(2乃+?%)=cosxsin2x=/(x),故周期是2萬，故D

正確；

對于C選項，

/(x)=cosxsin2x=cosx?2sinxcosx=2sinxcos2x=2sinx(l-sin2x)=-2sirr,x+2sinx,

令，=5詁%,/6［-1,1］,則丫=-2『+2人求導丫'=2-6產(chǎn)，令歹>0解得一"1</<立，故y=-2『+2f

在［一史,E］上單增，在［一1,一史)與(且,1］上單減，又當，=一1時y=0；又當，=6時),_M.

333339

故c錯誤.

7.【答案】A

【詳解】

函數(shù)y=/(x)的定義域為(0,+2，f'(x)=2以+(2-a)—1=(21)3+1)

XX

(1)當時，對任意的x>0,ar+1>0,

若0cx<則f'(x)<0；若,則f'(x)>0.

22

7

此時，函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為O,？，單調(diào)遞增區(qū)間為%+8

當X.0*時，/(X)->+00;當xf+00時，/(x)f+8.

由于函數(shù)y=/(x)在其定義域上有兩個零點，

則/j1]=]+In2-。<0,解得a〉40n2+1)；

(2)當a<0時，令/'(x)=0,可得x=,九=J?

17272-a

①若一1=),即當a=—2時，對任意的x>0,/'(x)W0恒成立,

a2

所以，函數(shù)y=/(x)在定義域上單調(diào)遞減，至多一個零點，不合乎題意；

②若一[〉L，即當—2<a<0時，

a2

令/'(x)<0，得0<x<l或x>—J；令/得1cxe-).

5"(1、(1彳arin

此時，函數(shù)y="x)的單調(diào)遞減區(qū)間為10,2尸『口,+8),單調(diào)遞增區(qū)間為[幺一〃

當x.0*時.，/(%)->+<?；當X->+00時-，/(A-)->-W.

則有]=1+In2—：=0或/一P=1—1—、=0,

若/fl]=]+ln2_a=0,則a=4(In2+1),舍去；

⑶4

若=1一)'LO,令/:一)，令g(7)=1+r—lnf,其中/>[

“、11I—1

g(f)=1==_.

tt

當「<r<l時，g'Q)<0,此時函數(shù)y=g(/)單調(diào)遞減;

2

當/>1時，g'(f)>0,此時函數(shù)y=g(r)單調(diào)遞增.

所以，S(0min=g(l)=2>0,則方程g(f)=O無解;

③若0<—J<L，即當a<—2時，

a2

令/'(x)<0,得0<x<—J或x>l；令/'(x)>。，得一1cx<1.

a2a2

8

(\\1,+s],單調(diào)遞增區(qū)間為f-

此時，函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為0,-和

2

V7

當X.0*時，/(X)->+00;當xf+00時，/(X)^-00.

則有f；]=l+ln2r=0或=

(1Aa

若/=l+ln2-=0,則a=4(ln2+l),舍去；

若//_：1=1一1_始4_1)1=0,令/=_)令g(f)=l+f_lnf,其中0</<]

I-I-J--

g，0)=l—J=；T<0,所以，函數(shù)y=g(f)在日間")]h上單調(diào)遞減，

-----(~)

(1A3

所以，gQ)>g=+ln2〉。,此時方程g(f)=0無解.

⑶2

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是(4(In2+1),+8).

故選：A.

8.【答案】叵

5

【詳解】

因斗Mf1j+|MFj=5郭/?=2a,因^_a-jl/0?a_,?=2c,

因為cosZMOF,=-cosZMOF1

叵

c2加

所以

-10-一

--一

a25

2525

故答案為：叵

5

9.【答案】8"

3

9

【解析】根據(jù)題意四棱錐補形為長方體得解

【詳解】

如下圖，因為NPAB=90。，故P點在與8A垂直的圓面。內(nèi)運動,

易知，當P、。1、A三點共線時PA達到最長此時,

可將四棱錐補形為長方體A,B,CXP-ABCD,其體對角線為BP=2R=8,

22

底面邊長為2的正方形，則高pD=y]pB-BD=2^4,

10.【答案】B

【解析】集合M=3,0112,31

i%丁）

的所有非空子集中具有伙伴關(guān)系的集合為：

{-1}fl21fl3〕J_i12〕11口3〕門2?31J—112131

12J[3J[2J|33J[23JI23

故選B.

11.【答案】C

【詳解】

解：命題“我）e[l,2],片―26（）+1〉0”是真命題，

即有2〃<%+JE[1，2]的最大值，

%

10

由y=x+［在［1,2］上單調(diào)遞增，可得x=2取得最大值5,

x2

則，可得a<_,

24

m：C.

12【答案】C

【詳解】

正方體ABC?！睦忾L為1,

對于A,連接BC，交BG于點0,則CO1BC,,

由正方體的性質(zhì)得AB1平面BCGB1,

/.ABLCO,又QA3IBC^B,.-.CO±平面ABC.D,,

7T

故直線3C與平面ABC。所成的角為NCBC=j故A正確；

''14

對于B,因為與。_1_平面ABC.D,,

點C到面的距離為8c長度的一半，

即a=也，故B正確；

2

對于C,因為BG//AR，所以異