八年級上冊數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)：幾何常用模型

八年級幾何模型整理

一.幾種常見的三角形角度模型

1."8"字模型

結(jié)論：ZA+ZD=ZB+ZCo

模型分析：8字模型往往在幾何綜合題目中推導(dǎo)角度時用到

【例1】如圖①，線段AB\CD相交于點(diǎn)0,連接AD、CB,我們把形如圖①的圖形稱之為“8

字形如圖②，在圖①的條件下，NDAB和NBCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P,并且

與CD、AB分別相交于M、N,試解答下列問題：

（1）在圖①中，請直接寫出NA、/B、NC、ND之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）應(yīng)用（1）的結(jié)果，猜想NP與/D、/B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系并予以證明。

CBCB

2.飛鏢模型如圖所示

角度結(jié)論：ZD=ZA+ZB+ZCo

長度結(jié)論：AB+AC>BD+CD

模型分析

飛鏢模型往往在幾何綜合題目中推導(dǎo)角度時用到

1.如圖,BE平分NABD,CF平分NACD,BE、CF交于G若NBDC=140。，/BGC=U0。，則/

A=

2.如圖/A=70°,點(diǎn)P、0分別是/ABC、ZACB的三等分線的交點(diǎn)，則/OPC=

a

Bc

【例2】（1）如圖①，在AABC中，ZA=50°,BP平分NABC,CP平分NACB。求NBPC

的度數(shù)；

（2）如圖②，若BP、CP分別為aABC的外角/ABC、NECB的平分線，且/A=50°,

求/BPC的度數(shù)；

（3）如圖③，若CP平分NACE,BP是NABC的平分線，NA=50°求NP。

【方法歸納】涉及到三角形的內(nèi)外角平分線的問題常?？山栌萌缦氯齻€基本圖形和基本結(jié)

（1）如圖①，若點(diǎn)P是/ABC和NACB的平分線的交點(diǎn)（即三角形兩內(nèi)角平分線相交所

成的角），則/P=90°+ZA；

（2）如圖②，若點(diǎn)P是NABC和外角/ACE的平分線的交點(diǎn)（即三角形一內(nèi)角平分線和

一外角平分線相交所成的角），則/P=/A；

（3）如圖③，若點(diǎn)P是/CBF和NBCE的平分線的交點(diǎn)（即三角形兩外角平分線相交所成

的角），則NP=90°-ZA.

3.問題背景：某課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到了如下兩個命題：

①如圖a,在正三角形ABC中,M、N分別是AC、AB上的點(diǎn),BM與CN相交于點(diǎn)0,若N

BON=60,則BM=CN；

②如圖b,在正方形ABCD中,M、N分別是CD、AD上的點(diǎn),BM與CN相交于點(diǎn)O,若/

BON=90,貝ljBM=CN；

然后運(yùn)用類比的思想提出了如下命題：

③如圖c,在正五邊形ABCDE中,M、N分別是CD、DE上的點(diǎn),BM與CN相交于點(diǎn)0,若/

BON=108,則BM=CN；

任務(wù)要求：

(1)請你從①，②，③三個命題中選擇一個進(jìn)行證明；

(2)請你繼續(xù)完成下面的探索：

i、如圖d,在正n(n>3)邊形ABCDEF…中,M、N分別是CD、DE上的點(diǎn),BM與CN相交于

點(diǎn)O,試問當(dāng)NB0N等于多少度時，結(jié)論BM=CN成立?(不要求證明)

ii、如圖e,在正五邊形ABCDE中,M、N分別是DE、AE上的點(diǎn),BM與CN相交于點(diǎn)O,若

/BON=108時，試問結(jié)論BM=CN是否還成立?若成立，請給予證明；若不成立。請說

明理由。

例1.如圖，4ABC的外角NACD的平分線CP與內(nèi)角NABC的平分線BP交于點(diǎn)P,

若NBPC=40°,則NCAP=?

D

2.如圖，在凸六邊形ABCDEF中，已知NA+NB+NC=ND+NE+NF,試證明:

該六邊形必有兩條對邊是平行的.

3.如圖所示，六邊形ABCDEF中，NA=ND,/B=/E,/C=NF,求證：AF〃CD.

CD

4.如圖，求/1+/2+N3+N4+N5+N6+N7的度數(shù)。

12

6

5

二.角平分線模型

模型1角平分線上的點(diǎn)向兩邊作垂線

如圖，P是/MON的平分線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PA10M于點(diǎn)A,PB±ON于點(diǎn)B。

結(jié)論：PB=PAo

模型分析：利用角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，構(gòu)造模型，為邊相

等、角相等、三角形全等創(chuàng)造更多的條件，進(jìn)而可以快速找到解題的突破口。

模型實(shí)例

(1).如圖，CP、BP分別平分AABC的外角/BCM、/CBN.求證：點(diǎn)P在/BAC的平分線

上.

模型2截取構(gòu)造對稱全等

如圖，P是/MON的平分線上一點(diǎn)，點(diǎn)A是射線0M上任意一點(diǎn)，在ON上截取

OB=OA,連接PB。

結(jié)論：△OPBg/\OPA。

M

模型分析:利用角平分線圖形的對稱性，在角的兩邊構(gòu)造對稱全等三角形，可以得到對應(yīng)邊、

對應(yīng)角相等。利用對稱性把一些線段或角進(jìn)行轉(zhuǎn)移，這是經(jīng)常使用的一種解題技巧

模型實(shí)例

(1)如圖①所示，在4ABC中，AD是4ABC的外角平分線，P是AD上異于點(diǎn)A的

任意一點(diǎn)，試比較PB+PC與AB+AC的大小，并說明理由；

(2)如圖②所示，AD是4ABC的內(nèi)角平分線，其他條件不變，試比較PC-PB與AC-AB

的大小，并說明理由。

例1.如圖，已知在4ABC中，ZC=2ZB,AD平分NBAC交BC于點(diǎn)D。

求證：AB=AC+CDo

2.如圖，在AABC中，/BAC=60°,ZACB=40°,P、Q分別在BC、AC±,并且AP、

BQ分別為NBAC、/ABC的角平分線上.求證：BQ+AQ=AB+BP

模型3角平分線+垂線構(gòu)造等腰三角形

如圖，P是/M0的平分線上一點(diǎn)，AP10P于P點(diǎn)，延長AP于點(diǎn)B?結(jié)論：AAOB是

等腰三角形。

模型分析：構(gòu)造此模型可以利用等腰三角形的“三線合一”，也可以得到兩個全等的直角三

角形，進(jìn)而得到對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等。這個模型巧妙地把角平分線和三線合一聯(lián)系了起

來

模型實(shí)例

如圖，已知等腰直角三角形ABC中，NA=90°,AB=AC,BD平分NABC,

CE1BD,垂足為E。求證：BD=2CE。

模型4角平分線+平行線

如圖，P是NMO的平分線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ〃ON,交0M于點(diǎn)Qo

結(jié)論：APOQ是等腰三角形。

0N

模型實(shí)例

如圖①所示，在4ABC中，EF〃BC,點(diǎn)D在EF上，BD、CD分別平分NABC、ZACB,

寫出線段EF與BE、CF有什么數(shù)量關(guān)系。

三.中點(diǎn)模型

模型1倍長中線或類中線(與中點(diǎn)有關(guān)的線段)構(gòu)造全等三角形

模型分析

如圖①，AD是4ABC的中線，延長AD至點(diǎn)E使DE=AD,易證：Z\ADC絲^EDB

(SAS),,如圖②，D是BC中點(diǎn)，延長FD至點(diǎn)E使DE=FD,易證：AFDB^AFDC

(SAS)o

當(dāng)遇見中線或者中點(diǎn)的時候，可以嘗試倍長中線或類中線，構(gòu)造全等三角形，目的是對已知

條件中的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)移。

模型實(shí)例

如圖，在AABC中，D為BC的中點(diǎn).

(1)求證：AB+AO2AD；

(2)若AB=5,AC=3,求AD的取值范圍.

(1).如圖,AD是4ABC的中線,E是AC上的一點(diǎn),BE交AD于F,已知AC=BF,/DAC=35。，

/EBC=40。，則/C=—.

(2).已知：如圖，在中，，D、E在BC上，且DE=EC,過D作交AE于點(diǎn)F,DF=AC.

求證：AE平分

(方法1：倍長AE至G,連結(jié)DG

方法2：倍長FE至H,連結(jié)CH)

(3).已知：如圖3,AD是AABC的中線，NBAC=NACB,點(diǎn)Q在BC的延長線上，QC=BC,

求證：AQ=2AD.

°

(4).如圖，已知在4ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，連接BE并延長

AC于點(diǎn)F,AF=EF。求證：AC=BE?

四.直三角形中點(diǎn)

例1.如圖，已知NAOB=90°,0M是/AOB的平分線，將三角尺的直角頂點(diǎn)P在射線0M

上滑動，兩直角邊分別與OA,0B交于點(diǎn)C,D,求證：PC=PD.

例2.D為等腰斜邊AB的中點(diǎn)，DM，DN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。

(1)當(dāng)繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動時，求證DE=DF。

(2)若AB=2,求四邊形DECF的面積。

B

D

A

1.已知RtZ\ABC中，AC=BC,ZC=90°,D為AB邊的中點(diǎn)，ZEDF=90°,NEDF繞D

點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、CB（或延長線）于E、F.

當(dāng)NEDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DELAC于E時（如圖1）,易證.SADEF+

當(dāng)NEDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否

成立？若成立，請給予證明；若不成立，S&DEF，SCEF，SABC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

請寫出你的猜想，不需證明.

五.截長補(bǔ)短

.■.

如圖①，若證明線段AB、CD、EF之間存在

ABCD

EF=AB+CD,可以考慮截長補(bǔ)短法。■J

EoF

截長法：如圖②，在EF上截取EG=AB,再證明

I11

F

GF=CD即可。EG

o

補(bǔ)短法：如圖③，延長AB至H點(diǎn)，使BH=CD,............I

AH

再證明AH=EF即可。

截長補(bǔ)短

(1).如圖.四邊形ABCD中，AB=AD,NBAD=60°,ZBCD=120°

求證：AC=BC+DC.

B

(2).如圖，ZABC+ZBCD=180",BE、CE分別平分NABC、/BCD。

求證：AB+CD=BCo

(3).如圖，己知AABC為等邊三角形，D為BC延長線上一點(diǎn)，連接AD,E為AD上一

點(diǎn)，且滿足AB=AE,連接BE,交AC于點(diǎn)F.

求證：AD=AF+CD

(4).已知，AD為AABC的高，點(diǎn)H為AC的垂直平分線與BC的交點(diǎn)，且HC=AB

①如圖1,求證：ZB=2ZC；

(2)如圖2,若AF平分NBAC,求證：AC=AB+BF；

③在(2)間的條件下，求證：AC=FC+2DF.

六.三垂直全等模型

如圖，ZD=ZBCA=ZE=90°，BC=AC。結(jié)論：RtABCD^RtACAEo

模型分析

說到三垂直模型，不得不說一下弦圖，弦圖的運(yùn)用在初中直角三角形中占有舉足輕重的地位,

很多用垂直倒角，勾股定理求邊長，相似求邊長都會用到從弦圖中支離出來的一部分幾

何圖形去求解。圖①和圖②就是我們經(jīng)常會見到的兩種弦圖。

模型實(shí)例

1.在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過點(diǎn)C,且ADJ_MN于點(diǎn)D,BE±

MN于點(diǎn)E。

(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖①的位置時，求證：DE=AD+BE；

(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖②的位置時，求證：DE=AD—BE；

(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖③的位置時，線段DE、AD、BE之間又有什么樣的數(shù)

量關(guān)系？請你直接寫出這個數(shù)量關(guān)系，不用證明。

2.如圖，NBCA=a,CA=CB,C,E,F分別是直線CD上的三點(diǎn)，且/BEC=NCFA=

a,請?zhí)岢鰧F,BE,AF三條線段之間數(shù)量關(guān)系的合理猜想，并證明.

3.如圖，點(diǎn)C在線段AB上，DA1AB,EB1AB,FC±AB,且DA=BC,EB=AC,FC=AB,

ZAFB=51°,則NDFE=

E

七.手拉手模型

模型分析

手拉手模型常和旋轉(zhuǎn)結(jié)合，在考試中作為幾何綜合題目出現(xiàn)。通常以兩個等邊三角形、兩個

等腰直角三角形或兩個正方形等圖像的形式出現(xiàn)

如圖，直線AB的同一側(cè)作4ABD和4BCE都為等邊三角形，連接AE、CD,二者交

點(diǎn)為Ho求證：

(1)AABE^ADBC；

(2)AE=DC；

(3)ZDHA=60°；

(4)AAGB^ADFB；

(5)AEGB^ACFB；

(6)連接GF,GF〃AC；

(7)連接HB,HB平分NAHC。

1、由正多邊形的定義知等邊三角形的三條邊都相等,每個內(nèi)角都等于60°。如圖①,AABC.

△CDE都等邊三角形。

(1)試確定AE、BD之間的大小關(guān)系；

(2)若把4CDE繞C點(diǎn)按逆時針旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時，上述結(jié)論仍成立嗎？請說明理由。

E

(2)如圖.D是aABC外一點(diǎn).AB=AC=BD+CD,ZABD=60°求NACD的度數(shù).

(3)如圖，AABC是正三角形，/ADC=120°,求證：BD=AD+CD.

(4)如圖,點(diǎn)是等邊內(nèi)一點(diǎn)，.將繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)得，連接.

①求證:是等邊三角形;

②當(dāng)時,試判斷的形狀,并說明理由;

③探究:當(dāng)為多少度時,是等腰三角形？

A

D

iiodQ

a

Bc

A.半角模型

如圖，已知：在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，若/EAF=45°探究圖中

線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系.

(1)如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=90°.E,F分別

是BC,CD上的點(diǎn)，且/EAF=60°.探究圖中線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系并證

明.

1.問題：如圖（1）,點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，ZEAF=45°,試判斷

BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系.

【發(fā)現(xiàn)證明】小聰把4ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至aADG,從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD,請

你利用圖（1）證明上述結(jié)論.

【類比引申】如圖（2）,四邊形ABCD中，/BADW90°,AB=AD,NB+ND=180°,

點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，則當(dāng)/EAF與NBAD滿足關(guān)系時，仍有EF=

BE+FD.

【探究應(yīng)用】如圖（3）,在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形ABCD.已知AB

=AD=80米，ZB=60",ZADC=120°,/BAD=150°,道路BC、CD上分別有

景點(diǎn)E、F,/EAF=75°且AE_LAD,DF=40米，現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路,

求這條道路EF的長（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：%1.73）

構(gòu)造等腰三角形的常用方法

⑴角平分線+平行線=等腰三角形⑵角平分線+垂線(或高)=等腰三角形

⑶線段中垂線構(gòu)造等腰三角形⑷將2倍角轉(zhuǎn)化為相等角構(gòu)造等腰三角形

(1).等腰三角形一邊上的高等于某邊的一半，則它的頂角度數(shù)為

(2).請你用三種不同的分割方法，將圖中的三個正三角形分別分割成四個等腰三角形(在圖中

畫出分割線，并標(biāo)出必要的角的度數(shù)).

(3)定義：如果兩條線段將一個三角形分成3個等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個三

角形的“三階等腰線”。

并標(biāo)注每個等腰三角形頂角的度數(shù).(若兩種方法分得的三角形成3對全等三角形，則視為

同一種).

②如圖3,AABC中,NB=36。，AD和DE是4ABC的“三階等腰線”，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)