2021年自招模擬卷（四）（教師版）

自招模擬卷（四）

1.已知X=―--=---=―--,則X=.

b+ca+ca+b

【答案】,或一1.

2

〃=(Z?+c)x

【解析】由題意</2=(〃+C)X=〃+0+C=2(4+/?+C)X,

c=(a+b)x

若Q+/7+C=O,則工=---==—1,

b+c-a

若a+Z?+cwO,則x=2.綜上x=1或一1.

22

6x4+6...在

2.已知f+V—df+x+lnO,求「~~K----的值.

7X3-36XI2-37X

42(36+7石)、42(36-7石)

【答案】-1或-

310511051

【解析】將f+d-4f+x+l=O兩邊同除產(chǎn),貝ij：

(1)x+2=2時,

(2)x+L-3時,

X

I42卜6+7石)42(36-775)

—―?或——y--

310511051

3.已知函數(shù)丫=-2/+（“-5）》+3（264彳46+3）圖像關(guān)于〉軸對稱,

則q+6=.

【答案】4.

【解析】由題意二次函數(shù)對稱軸x=0,定義域關(guān)于原點對稱na-5=0,

2b+b+3=0=a+b=5-l=4.

4.已知函數(shù)>=小-2）丁-2日+（火+1）的圖象與工軸只有一個交點，

則人=.

【答案】±2.

【解析】若原函數(shù)不為二次函數(shù)，則無=2ny=-4x+3與x軸只有一個交點成立;

若原函數(shù)為二次函數(shù)，貝|JA=4/-4僅一2）伍+1）=0=-&-2=0=%=-2,

綜上k=+2.

2x-8,x23

5.在同一個直角坐標系中，已知直線y=fcc與函數(shù)y=,-2,-3cx<3圖象恰好有三個

公共點，則上的取值范圍是

【答案】-<k<2.

3

【解析】原函數(shù)圖象大致如圖，

當(dāng)％<0,y=日過二四象限不滿足題意,

顯然kwO,當(dāng)丁二日過（一3,-2）則，恰有兩交點,

7

當(dāng)k=2,三條直線平行，于是士〈攵<2.

3

6.已知矩形ABC。中，AB=\,BC=a,若在邊BC上存在點0,滿足AQJ.QE）,

則?的取值范圍是

【答案】a>2.

【解析】以4）中點為圓心處為半徑作圓應(yīng)與8c有交點,

2

7.己知銳角AA3C的三邊長恰為三個連續(xù)正整數(shù)，AB>3C>C4,若BC邊上取高

為AO,則如一￡>C=./\

【答案】4./\

【解析】設(shè)A3、BC、C4分別為〃+1、〃、n-\,則⑶。,

BD2-DC2AB2-AC2(n+1)2-(n-1)2

-----------------=-----------------=--------------------------=4

BD+DC

8.己知實數(shù)也，〃（其中"?”片1）分別滿足：19小+99加+1=0,n2+99n+19=0,

【答案】-5.

【解析】由。9機）2+99（19〃?）+19=0=19機、”均為寸+99犬+19=0的解,

若它們?yōu)椴煌?，則19力〃=19矛盾=>19/n=/i

9.若關(guān)于x的方程（％-2乂/-4犬+加）=0有三個根，且這三個根恰好可以作為一個三

角形的三邊長，則m的取值范圍是.

【答案】3</77<4.

【解析】顯然x=2是原方程的根，設(shè)另兩個根分別為。、b,。+，=4>2,

△20,|。叫<2且心0,n[16-4m=(a叫2<4=3<〃/4.

A=16—4/7?>0

10.已知直角三角形的三邊長都是整數(shù)，且其面積與周長在數(shù)值上相等，若將全等的三

角形都作為同一個，那么這樣的直角三角形的個數(shù)是個.

【答案】2.

="2

【解析】設(shè)直角三角形三邊分別為"、，

ab=2[a+h+c)

有c?=a2+b2<2b2=c<E=ab<2(b+b+&b)=2[a+4b<[bna<7,

而油=2(a+i>+c)>2(0+6+b)na25,

若。=5,25=(c,-b)(c+b)=c+b=25,c-〃=l=c=13,6=12代入兩式驗證

成立；

若a=6,36=(e-i>)(c+t>)^>c+￡>=18,c-6=2=c=10,。=8代入兩式驗證

成立；

綜上(",仇,)=(6,8,10)或(5,12,13),滿足條件的三角形有2個.

11.設(shè)個機場，每一機場起飛一架飛機，飛到離起飛機場最近的機場降落，

且任何兩機場之間的距離都不相等，則任意一個機場降落的飛機架數(shù)的最大值為

【解析】首先有五架飛機在O降落是可以構(gòu)造的，

只需O為正五邊形MCDE的中心，其他飛機場在較遠處即可.

其次證明不可能有六架飛機在O降落，

如圖，對于任意一個飛機場O考慮它60。夾角方向，若區(qū)域內(nèi)有4、3兩飛機場,

則NAO3460。，若A、8同時飛往O,則AO<AB,BO<AB,

nAB為AAO3最大邊，nNAOB為最大角矛盾；

于是對飛機場O,在夾角為60。的區(qū)域內(nèi)最多有一架飛機.

若存在六架A、B、C、D、E、F飛機飛到點O,

以。4為邊界將點O的圓周角6等分，

則形成如圖五塊區(qū)域，每塊區(qū)域內(nèi)最多一架飛機，與六架飛機飛到點O矛盾.

12.關(guān)于x的方程丁-(2機-l)x+2/+m=0的兩個根分別為可，x2.

(1)若歸-引=6，求機的值；

(2)若不，%均為整數(shù)，求機的值.

31

【答案】(1)/%=—!；(2)m——2,——,—,0.

22

【解析】(1)5=(2"z—1)~—4(2〃/+加)=-4m2—8m+1=>m=—l；

(2)由大+/=26一1=2機為整數(shù)設(shè)為攵，

△=(I)2_4+1=(%-1)2_(2%2+2%)=5-(4+2)2為完全平方數(shù)，

A31

=>左="4、—3、—1?驗證成立，于是，〃=—2、—、—、0.

22

,2)2

+tz2-b1

13.已知實數(shù)人b、c滿足“+"一，之和恰好等于1,

2bc2ac2ab

求證：這三個分數(shù)的值有兩個為1,一個為一1.

【答案】略.

b,"2+c~>>-a"22c~+a"2-bi2a~2+bi~2-c~2,

【解析】由條件得，----------+----------+----------=1,

2bc2ac2ab

…-匕。+2-f=0,

2bc)2acJ2ab}

從+d-八2%h,『一入2%/+”C2+2"=O,

2bc2ac2ab

僅一C)2—『f(-小〃+,+小/=0,

2bclac2ab

(b-c^a)[b-c-ci)(c-a+Z?)(c-a-b)(?+Z?+c)(a+/?-c)

-------------------------------------1------------------=0,

2bc2aclab

a(b-c+a](b-c-a}b(c-a+b](c-a-b]cia+b-\-c\(a+b-c\

-------------------H--------------------H--------------------=0，

2abc2abc2abc

[b-c+a^ab-ac-a2+ab-bc-b2+ac+be+c2^

--------------------------------------------=0,

2abc

伍-c+a)[c2—(a-O)1_0Q

-C+a)(C+Q-b)(C-4+。)0

2abc2abc

S-c+a)(c+a—Z?)(c—a+b)=0,

..Z?-c+a=O或c+a-/?=O或c—a+/?=0,

b2+c2-a2_b2-Vc2-(Z?-c)2

若b-c+4=0,則=1?

2bc2bc

c2+cr-b2c2+a2-(c-tz)2

——1,

2ac2ac

2222

a+/_c_a+b_(a+61_

—二-]

lablab

,2t22

c2+a~2-bi-2[a~+h--c~i

若c+a-/7=0,同理得一一“一=1,----------——1,=1,

2bclaclab

jo->222i>>。，22

1c~+a--b~Ia~+b-c"t

若c—a+6=0,同理得"+‘一"—1r-------------------------=1,--------------------------=1.

2bclaclab

14.如圖，AABC中，AB=BC=5,AC=6,過點A作4）/ABC,點P、。分別是射

線AD、線段BA上的動點，且4P=8Q,過點P作PE//AC交線段4。于點0.聯(lián)

結(jié)PQ,記"=x,APOQ面積為y.

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍;

（2）聯(lián)結(jié)0E,若APQE與APOQ相似，求AP的長.

【答案】(1)y=--x2+—x,0<x<-；(2)5.

2552

52+52-627

【解析】(1)cosZDAB=cosZB=

2.5225

nsinZ.DAQ=,

則POPE=PQ2=PH2+HQ2=PH2+(AQ-AH)2

=64x2-500%+625=0=>(4x-25)(16%-25)=0

nx=生或生（舍），綜上A尸二生

16416

15.一幢33層的大樓有一部電梯停在第一層，它一次最多能容納32人，而且只能在第

2層到第33層中的某一層停一次，對于每個人來說，他往下走一層樓梯感到1分

不滿意，往上走一層樓梯感到3分不滿意.現(xiàn)在有32個人在第一層，并且他們分

別住在第2至第33層的每一層，問：電梯停在哪一層，可以使得這32個人不滿意

的總分達到最??？最小值是多少？(有些人可以不乘電梯而直接從樓梯上樓)

【答案】316.

【解析】設(shè)電梯在層第X層，有y個人不坐電梯，則總分

S=3x[l+2+…+(33—x)]+3x[l+2+…+y]+lx[l+2+…+(x—y—2)]

(33-x)(34-x)(y+l)y(x-y-l)(x-y-2)

-DXhDXI

222

=2》2-肛+2/-102苫+3>+1684

=+*)」6y+316

于是當(dāng)x=27,y=6時，S取最小值316.

16.一輛計程車的速度為55Am//z,出發(fā)時，它的里程表上的里程為詼，行程結(jié)束時

過了正整數(shù)個小時且里程表上的路程為礪，其中。21,a+b+c47,則

a2+/+/=.

【答案】37.

【解析】由題可得，55卜拉z-次?c),/.55|99(c-?),/.5|9(c-?),

丁5與9互質(zhì)，「.5卜一〃)，:.c-a=0,5,

若c?-々=0,則仍。=He,不滿足條件，舍去；

若c-a=5,\-a>l,:.c>6,<a+b-^-c<l,

a=1

:<b=0,.0.a2+b2+c2=37.

c=6

17.不超過1000的正整數(shù)x,使得尢和x+1兩者的數(shù)字和都是奇數(shù)，則滿足條件正整

數(shù)尤有多少個？

【答案】46.

【解析】由題設(shè)這個正整數(shù)是x=N,ceZ，a,A,c49)

它的數(shù)字之和是S(x),

若"9:.5(力+5(》+1)=2(4+6+C)+1是奇數(shù)，

??.這兩個數(shù)是一奇一偶，不滿足條件；

若‘=9力49;.55)+5(X+1)=2.+6+9)—8是偶數(shù)，

故只需x的數(shù)字和都是奇數(shù)即可，

這樣的x共：9x5=45個.

若c=b=9,a-(》)+5"+1)=24+29是奇數(shù)，

??.這兩個數(shù)是一奇一偶，不滿足條件；

若c=6=a=9,x和x+1兩者的數(shù)字和都是奇數(shù)，滿足條件.

???共46個.

18.設(shè)x是實數(shù)，不大于x的最大整數(shù)叫做x的整數(shù)部分，記作卜］,如［1.2］=1,［3］=3,

[-1.3]=-2,

11

(1)S—F-:---------+…+F----------------~-，求［90S］；

(lOxll-1)2(11x12-1)-(2016x2017-1)

10x1111x122016x2017

(2)解關(guān)于x的方程：X2-2^-3=12

【答案】(1)9；(2)2碗+1或24+1

]

【解析】(1)/+2+=n2+n-2=^n-1)(/?+2)

n(n+1)〃("+1)

----+------F,,?+=3x

9x1210x13-----2015x2018[畀卜儒4卜…薪-募I]

5=六十焉1

+??.-)-=---—--x----------

2015x20183

111111

=—x---1--

31011201620172018

303030c63030

90s=史+3+型-----=9+=>9051=9

911201620172018----99201620172018L」

(2)設(shè)F=n(22)2-4=12岡,=>2—1=3囚,03"3c產(chǎn)一143A,

左邊可得A<1或2”,右邊有人2-3k41<4=>—1<4,

也即一1<々<1或2<%<4,=>因=-1,0,2或3,

代入42-1=3因驗證得々=萬或后，nx=2夕+1或2加+1.

【課后作業(yè)】

1.（15分）矩形MCD邊A3經(jīng)過圓O的圓心點O,E、尸分別為43、DC與圓O

2.（15分）實數(shù)x、y滿足/-2X-4），=5,則x—2y的取值范圍是.

【答案】x-2y<~.

-2

【解析】設(shè)x-2y=A,X2-4X+2*-5=0,A=16-8JI+20>0=>jt.

3.（15分）二次函數(shù)y=加（而工0）,當(dāng)x取大、工2（工尸工2）時，函數(shù)值相等.當(dāng)

工取玉+/時，函數(shù)值y=.

【答案】0.

【解析】對稱軸一一.=—+*2=x+x=,y=a（一2]--=0.

2a2a\ci）a

/2\2016

4.（15分）若/+2a—l=0,/一2/一1=0,1-ab2^Q,求心.

【答案】1.

【解析】由-。、/均為『一2一1=0的根，若這兩根不同，則-a?從=一1矛盾;

20162016