2023學年山東省壽光市壽光現代高考數學一模試卷含解析

2023年高考數學模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.20世紀產生了著名的“3x+l”猜想：任給一個正整數x,如果x是偶數，就將它減半；如果x是奇數，則將它乘3

加1,不斷重復這樣的運算，經過有限步后，一定可以得到1.如圖是驗證“3x+l”猜想的一個程序框圖，若輸入正整數

m的值為40,則輸出的n的值是()

//=1

/除入正整數，〃/

m

n=n+im=3m+l

/輸出〃/

結束

A.8B.9C.10D.11

2.若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值是()

23

A.-1B.-C.-D.4

32

3.如圖，在平行四邊形ABC。中，。為對角線的交點，點P為平行四邊形外一點，且AP||OB,3尸〃。4,則由

()

3一___

A.DA+2DCB.-DA+DC

一___3-1一

C.2DA+DCD.-DA+-DC

4.設h，"是非零向量.若無=則()

A.a-(b+c)=0B.a-(b-c)=0C.(a+b)-c=0D.=0

5.2019年10月17日是我國第6個“扶貧日”，某醫(yī)院開展扶貧日“送醫(yī)下鄉(xiāng)”醫(yī)療義診活動，現有五名醫(yī)生被分配到

四所不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院中，醫(yī)生甲被指定分配到醫(yī)院A,醫(yī)生乙只能分配到醫(yī)院A或醫(yī)院B,醫(yī)生丙不能分配到醫(yī)生甲、

乙所在的醫(yī)院，其他兩名醫(yī)生分配到哪所醫(yī)院都可以，若每所醫(yī)院至少分配一名醫(yī)生，則不同的分配方案共有()

A.18種B.20種C.22種D.24種

6.等差數列｛4｝中，4+%=10，%=7,則數列｛4｝前6項和S6為。

A.18B.24C.36D.72

7.過圓V+y2=4外一點M(4,-1)引圓的兩條切線，則經過兩切點的直線方程是().

A.4x-y-4=0B.4x+y-4=0C.4%+y+4=0D.4x-y+4=0

8.已知正三棱錐A-BCD的所有頂點都在球。的球面上，其底面邊長為4,E、F、G分別為側棱AB，AC,AD

的中點.若。在三棱錐A-88內，且三棱錐A—BCD的體積是三棱錐38體積的4倍，則此外接球的體積與

三棱錐O—EFG體積的比值為()

A.6&B.8岳C.12岳D.24也兀

9.在棱長為a的正方體ABC?！狝4GA中，E、F、M分別是48、AD.的中點，又尸、。分別在線段4片、

AA上，且4P=AQ=加(0<m<a),設平面MMA平面"PQ=/，則下列結論中不成立的是()

A.///平面BOD4B.l±MC

C.當機=@時，平面D.當，"變化時，直線/的位置不變

2

10'已知定義在式上的偶函數小)，當歷時‘小)…手’設"心揚，?詆心叫多,

貝IJ()

A.b>a>cB.b>a=cC.a=c>bD.c>a>b

22

11.已知雙曲線=-4=1(方>。>0)的焦距為2°,若M的漸近線上存在點T,使得經過點T所作的圓

a-b-

(x-c)2+y2=/的兩條切線互相垂直，則雙曲線"的離心率的取值范圍是()

A.(1,72]B.(&向C.(V2,V51D.(百，石]

2r

12.i為虛數單位，則3一的虛部為()

1-i

A.-iB.iC.-1D.1

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知點M是曲線y=2/〃x+*2-3x上一動點，當曲線在M處的切線斜率取得最小值時，該切線的方程為.

14.已知向量乙=(1,1),同=2,且向量汗與B的夾角為弓方?但+5)=.

15.如圖，為測量出高MN,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點，從A點測得M點的仰角NMAN=60°，C

點的仰角NCA8=45"以及NM4c=75°;從C點測得NMC4=60°.已知山高BC=100m,則山高

16.已知函數/（x）=-x3+x+a,xw[Le]與g（x）=3/"x-x-l的圖象上存在關于x軸對稱的點，則。的取值范圍為

e

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

A

17.（12分）在直角坐標系xOy中，曲線G的參數方程為一（a為參數），以坐標原點。為極點，x軸

y=sina

的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線g的極坐標方程為「cos夕+psin8+4=0.

（1）求曲線G的普通方程和曲線C2的直角坐標方程；

（2）若點p在曲線G上，點。在曲線G上，求IPQI的最小值及此時點尸的坐標.

18.（12分）在①。=2,②a=b=2,③。=c=2這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，求AABC的面積

的值（或最大值）.已知△MC的內角A,B,。所對的邊分別為。，b,c,三邊a,h,c與面積S滿足關系式:

4S^b2+c2-a2,且，求AABC的面積的值（或最大值）.

19.（12分）己知函數f（x）=f+inx.

（1）若函數g（x）=/（x）+（a-l）lnx的圖象與x軸有且只有一個公共點，求實數。的取值范圍；

（2）若"r）一（2加一l）x＜（l—加）￡對任意成立，求實數〃?的取值范圍.

20.（12分）設AABC的內角A,B,C的對邊分別為a,6,c,2/?cosB-acosC+ccosA.

（1）求8；

（2）若AABC為銳角三角形，求工的取值范圍.

a

cosBcosCsinA

2L（12分）已知在AABC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,。，且^―+-----=口.

bcyJ3smC

（1）求I的值;

（2）若cos8+J5sin8=2,求ZVIBC面積的最大值.

22.（10分）S“是數列｛?！埃那啊椇停摇?/p>

（1）求數列｛a,,｝的通項公式；

a

（2）若b,=2"-5an,求數列也｝中最小的項.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

列出循環(huán)的每一步，可得出輸出的〃的值.

【詳解】

40

n-\,輸入〃z=40,〃=1+1=2,機=1不成立，”是偶數成立，則優(yōu)=—=20；

2

20小

〃=2+1=3,m-1不成立，m是偶數成立，則m二—=1。；

2

10<

〃=3+1=4,m=1不成立，m是偶數成立，則加=—=5?

2，

〃=4+1=5,m=1不成立，m是偶數不成立，則=3x5+1=16；

〃=5+1=6,m=1不成立，m是偶數成立，則加=-=8；

2

8，

〃=6+1=7,m二1不成立，m是偶數成立，則m亍4；

4c

〃=7+1=8,m=1不成立，m是偶數成立，則nI機=—二2；

2

〃=8+1=9,m二1不成立，m是偶數成立，則m=r1;

〃=9+1=10,m=1成立，跳出循環(huán)，輸出〃的值為10.

故選：C.

【點睛】

本題考查利用程序框圖計算輸出結果，考查計算能力，屬于基礎題.

2.D

【解析】

模擬程序運行，觀察變量值的變化，得出S的變化以4為周期出現，由此可得結論.

【詳解】

233

5=4"=1;5=—1"=2;5=—,，=3;5=二,，=4;5=4"=5；如此循環(huán)下去，當，=2020時，5==;5=4"=2021,

322

此時不滿足i<2021,循環(huán)結束，輸出S的值是4.

故選：D.

【點睛】

本題考查程序框圖，考查循環(huán)結構.解題時模擬程序運行，觀察變量值的變化，確定程序功能，可得結論.

3.D

【解析】

連接0P,根據題目，證明出四邊形APOD為平行四邊形，然后，利用向量的線性運算即可求出答案

【詳解】

連接0P,由AP||O6,BPHOA%四邊形AP8O為平行四邊形，可得四邊形AP。。為平行四邊形，所以

DP=DA+DO^DA+-DA+-DC=-DA+-DC.

2222

【點睛】

本題考查向量的線性運算問題，屬于基礎題

4.D

【解析】

試題分析：由題意得：若則也一力吃=0；若萬々=一6々，則由無力=忻1=5可知，

==故3-力々=（）也成立，故選D.

考點：平面向量數量積.

【思路點睛】幾何圖形中向量的數量積問題是近幾年高考的又一熱點，作為一類既能考查向量的線性運算、坐標運算、

數量積及平面幾何知識，又能考查學生的數形結合能力及轉化與化歸能力的問題，實有其合理之處.解決此類問題的常

用方法是：①利用已知條件，結合平面幾何知識及向量數量積的基本概念直接求解（較易）；②將條件通過向量的線性

運算進行轉化，再利用①求解（較難）；③建系，借助向量的坐標運算，此法對解含垂直關系的問題往往有很好效果.

5.B

【解析】

分兩類：一類是醫(yī)院A只分配1人，另一類是醫(yī)院4分配2人，分別計算出兩類的分配種數，再由加法原理即可得到

答案.

【詳解】

根據醫(yī)院A的情況分兩類：

第一類：若醫(yī)院A只分配1人，則乙必在醫(yī)院5,當醫(yī)院3只有1人，則共有種不同

分配方案，當醫(yī)院8有2人，則共有種不同分配方案，所以當醫(yī)院A只分配1人時，

共有+C]A；=10種不同分配方案；

第二類：若醫(yī)院A分配2人，當乙在醫(yī)院A時，共有用種不同分配方案，當乙不在A醫(yī)院，

在B醫(yī)院時，共有種不同分配方案，所以當醫(yī)院A分配2人時，

共有大+C；&=10種不同分配方案；

共有20種不同分配方案.

故選：B

【點睛】

本題考查排列與組合的綜合應用，在做此類題時，要做到分類不重不漏，考查學生分類討論的思想，是一道中檔題.

6.C

【解析】

由等差數列的性質可得4=5,根據等差數列的前〃項和公式S6=幺詈x6=七gx6可得結果.

【詳解】

?.?等差數列｛q｝中，4+%=1°，,24=10,即生=5,

.?.S6=^±^X6=^^-X6=^X6=36,

6222

故選C.

【點睛】

本題主要考查了等差數列的性質以及等差數列的前〃項和公式的應用，屬于基礎題.

7.A

【解析】

過圓x2+y2=r2外一點(m,ri),

引圓的兩條切線，則經過兩切點的直線方程為，內+町-尸=0,故選A.

8.D

【解析】

如圖，平面EFG截球。所得截面的圖形為圓面，計算AH=4O”，由勾股定理解得R=?,此外接球的體積為

生色萬，三棱錐。-EEG體積為交，得到答案.

33

【詳解】

如圖，平面EFG截球。所得截面的圖形為圓面.

正三棱錐A-BCD中，過A作底面的垂線A”，垂足為H,與平面EFG交點記為K,連接8、HD.

依題意匕一BCD=4%一8°，所以AH=40〃，設球的半徑為R,

在RtQHD中,OD=R,HD=—BC=—>OH=-OA=—,

3333

由勾股定理：&J述］，解得R=遙，此外接球的體積為處色萬，

I3J3

由于平面EFGH平面BCD,所以AHJ_平面EFG,

球心。到平面EFG的距離為K0,

則KO=QA-必=QA-!A”=R-2R=6=@,

2333

所以三棱錐0-EFG體積為-x-x近、4）巫=也，

34433

所以此外接球的體積與三棱錐0-EFG體積比值為246萬.

故選：D.

【點睛】

本題考查了三棱錐的外接球問題，三棱錐體積，球體積，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.

9.C

【解析】

根據線面平行與垂直的判定與性質逐個分析即可.

【詳解】

因為Af=4。=加，所以PQ//8Q,因為E、F分別是A3、AO的中點，所以ER/ABO,所以PQ//EF,因為面ME/n

面MPQ=/,所以P?！ㄋ?.選項A、D顯然成立；

因為BD//EF//1,80,平面ACC.A，所以/，平面ACC^，因為MCu平面ACC.A，所以/_LMC,所以B項成

立；

易知AG，平面MEF,AC±平面MP0,而直線AC,與A。不垂直，所以C項不成立.

故選：C

【點睛】

本題考查直線與平面的位置關系.屬于中檔題.

10.B

【解析】

根據偶函數性質，可判斷a，C關系；由X20時，=-；,求得導函數，并構造函數g(x)=婷-x-1,

由g'(x)進而判斷函數/(x)在x?0時的單調性，即可比較大小.

【詳解】

/(x)為定義在R上的偶函數，

所以c=/In今=/—In曰=/(lnV2)

\7\7

所以a=c；

X2+2x

當尤2()時，/(x)=，一二|三，

貝!)加——1,

令g(x)=e*-x-l

則g'(x)=e*—l,當尤時，g'(x)=e*—120,

則g(x)="—x—l在x?0時單調遞增，

因為g(0)=e°-0—l=0,所以g(x)=e*—x—lN0,

即f\x)=ex

+2r

則/(x)=e*-土首■在時單調遞增,

而O<ln0<0，所以

/(lnV2)</(V2),

綜上可知，fIn*=/(lnV2)</(V2)

k7

即a=cvb,

故選：B.

【點睛】

本題考查了偶函數的性質應用，由導函數性質判斷函數單調性的應用，根據單調性比較大小，屬于中檔題.

11.B

【解析】

由b>a可得e〉及；由過點T所作的圓的兩條切線互相垂直可得|7F|=叵a，又焦點F(c,O)到雙曲線漸近線的距離

為b，則|7F|=及。2億進而求解.

【詳解】

所以離心率e=￡=>V2,

又圓(x-c)2+y2=/是以F(c,O)為圓心，半徑r=a的圓,要使得經過點T所作的圓的兩條切線互相垂直，必有

\TF\=42a,

而焦點F(c,0)到雙曲線漸近線的距離為〃，所以|7F|="/2仇即gW女，

W百，所以雙曲線M的離心率的取值范圍是(痣,6].

故選:B

本題考查雙曲線的離心率的范圍,考查雙曲線的性質的應用.

12.C

【解析】

利用復數的運算法則計算即可.

【詳解】

=2『=匚—27，=高—2,島(1+=i)一"/"')、=1一''故虛部為一L

故選：C.

【點睛】

本題考查復數的運算以及復數的概念，注意復數。+4的虛部為。，不是從，本題為基礎題，也是易錯題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.y=x-3

【解析】

先求導數可得切線斜率，利用基本不等式可得切點橫坐標，從而可得切線方程.

【詳解】

/--+2x-3,

x

，2cc

k=——+2x“-3,x”=l時有最小值1,此時M(l,-2),

故切線方程為：y+2=x-l,即y=x-3.

故答案為：y=x-3.

【點睛】

本題主要考查導數的幾何意義，切點處的導數值等于切線的斜率是求解的關鍵，側重考查數學運算的核心素養(yǎng).

14.1

【解析】

根據向量數量積的定義求解即可.

【詳解】

解：???向量M=(1，1)，W=2,且向量M與石的夾角為T，

,I萬I=A/12+12=>/2；

3萬

所以：a*(a+)=a2+a-b=V22+V2x2xcos-^-=2-2=1,

故答案為：L

【點睛】

本題主要考查平面向量的數量積的定義，屬于基礎題.

15.1

【解析】

試題分析：在“WC中，?.?/區(qū)4。=45。,/48。=90。,8。=100,;.4。=」^-=100后，在AAMC中，

sin45°

ZMAC=75°,ZMCA=60°,ZAMC=45°,由正弦定理可得———=———,即AM=竺逑,解

sinZACMsinZAMCsin60°sin45°

得AM=1006,在用A/IM/V中，MN=AM-sinAMAN=100>/3xsin60°

=150(〃z).

故答案為1.

考點：正弦定理的應用.

16.[2,e3-2]

【解析】

兩函數圖象上存在關于x軸對稱的點的等價命題是方程-三+%+。=-3歷x+x+1在區(qū)間已⑼上有解，化簡方程

e

aT=d-3//u在區(qū)間A,eJ上有解，構造函數，求導，求出單調區(qū)間，利用函數性質得解.

e

【詳解】

解：根據題意，若函數/(x)=-x2+x+a(!4x4e)與g(x)=31nx-x-l的圖象上存在關于x軸對稱的點，

e

則方程-d+x+〃=-3/nx+x+l在區(qū)間上有解，

即方程a-\=^-3bvc在區(qū)間,ej上有解,

設函數g(x)=/-3lnx,其導數ga)=—2=3d),

XX

又由可得：當時，g'(x)<O,g(x)為減函數,

ee

當IWxWe時，g'(x)>O,g(x)為增函數，

故函數g(x)=/一3//u?有最小值g⑴=1,

又由gd)=［+3,g(e)=e3—3；比較可得：g(-)<g(e),

eee

故函數8(力=_?-3如有最大值8,)=/一3,

故函數g(x)=V-3切x在區(qū)間6⑼上的值域為口,/-3］；

若方程a+1=V一3配v在區(qū)間A,e］上有解，

e

必有1?a-l?/-3，則有2<a〈e3_2，

即"的取值范圍是［2,/-2］；

故答案為：［243—2］；

【點睛】

本題利用導數研究函數在某區(qū)間上最值求參數的問題，函數零點問題的拓展.由于函數y=/(x)的零點就是方程

/(幻=0的根，在研究方程的有關問題時，可以將方程問題轉化為函數問題解決.此類問題的切入點是借助函數的零點,

結合函數的圖象，采用數形結合思想加以解決.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)y+y2=1；x+y+4=0(2)最小值為血，此時P］-：，一

【解析】

(D消去曲線G參數方程的參數，求得曲線G的普通方程?利用極坐標和直角坐標相互轉化公式，求得曲線。2的直

角坐標方程.

(2)設出尸的坐標，結合點到直線的距離公式以及三角函數最值的求法，求得|尸。|的最小值及此時點P的坐標.

【詳解】

2

(1)消去a得，曲線G的普通方程是：y+/=l；

把x=0COS&,y=psinc代入得，曲線的直角坐標方程是x+y+4=0

(2)設P(bcosa,sina),IPQI的最小值就是點P到直線G的最小距離?

>nr2sin|a+—]+4

設.|，3cosa+sina+4|13)

d=------------=―耳—

在a=—費時，sin(a+?)=-l,1=0是最小值,

此時Gcosa=——，sintz=--

22

所以，所求最小值為0,此時

【點睛】

本小題主要考查參數方程化為普通方程，考查極坐標方程轉化為直角坐標方程，考查利用圓錐曲線的參數求最值，屬

于中檔題.

18.見解析

【解析】

若選擇①，結合三角形的面積公式，^4S=4x^-bcsinA=b2+c2-a2,化簡得到sinA="+匕iQ=cosA,貝I

22bc

tanA=l,又0°<A<180°,從而得到A=45。，

,222

將。=2代入2+：——=cosA得+<?=V2Z;C+4.

2bc9

又Jibc+4=b2+c2之2bc,:.bc&4+2及,當且僅當h=c="+2&時等號成立.

:.S=—fecsinA<—x(4+2>/2)x=\/2+1,

222

故△ABC的面積的最大值為夜+1，此時。=c="+2勵.

.1222

若選擇②，a=b=2,結合三角形的面積公式，得4s=4x-^csinA=b2+c2-a2,化簡得到sinA=+’一"=cosA,

22bc

則tanA=LX00<A<180°?從而得到A=45。，

則A=8=45°,此時AABC為等腰直角三角形，S=-x2x2=2.

2

若選擇③，b=c=2,則結合三角形的面積公式，^4S=4x^bcsinA=h2+c2-a2,化簡得到

扇4/一〃21廠

sinA，JJcosA,貝iJtanA=l,又()°<A<180°,從而得到A=45。，貝！JS=-x2x2xsin45°=夜.

2bc2

19.(1)?>。或。=-20}(2)[-1,0]

【解析】

(1)求出g(x)及其導函數g'(x),利用g'W研究g(x)的單調性和最值，根據零點存在定理和零點定義可得。的范

圍.

(2)令〃0)=/(》)一(2m+1)%一(1一加)％2=儂2_(2加+1)%+]11%,題意說明xe(l,+oo)時，/z(x)<0恒成立.

同樣求出導函數4(X),由〃(x)研究〃(x)的單調性，通過分類討論可得〃(x)的單調性得出結論.

【詳解】

解(1)函數g(x)=/(x)+(a-l)lnx=x2+inx+(a-l)lnx=alnx+x2

所以g<x)=q+2x=2元2+a

xx

討論:

①當a=0時，g(x)=%2(x>0)無零點;

②當a>0時，g'(x)>0,所以g(x)在(0,+“)上單調遞增.

(--Y1\

取ea-l+(/?)2<0

x=e則gea=-1+

7\77

又g(l)=l,所以g屋7-g(l)<0,此時函數g(x)有且只有一個零點;

\7

③當。<0時，令g'(x)=o,解得％=一欄(舍)或x

當0<x<J—]時，g'(x)<0,所以g(x)在0,5上單調遞減

2

當x〉段時,8'（%）＞0所以8。）在-￡,+8上單調遞增.

?a=oln'-微-5=0,所以〃=0(舍)或〃=-2e

據題意，得g

綜上，所求實數。的取值范圍為或a=_2e｝.

(2)令〃(x)=)(幻一(2m+1)%一(1一”)12=如2_(2m+])x+]nx,根據題意知，當x￡(l,+8)時，/z(x)<0恒

成立.

又〃（x）=2…（2利+1）+｝（1）（｝7）

討論：

①若0＜/找＜4，則當xw（1一,+刃〕時，〃'*）＞0恒成立，所以〃（幻在（二一,+s]上是增函數.

212m）12m）

2]n4-1、

又函數6（力=欣-（2/?7+1卜在-,+8）上單調遞增，"（力=111》在（0,+8）上單調遞增，所以存在

%€（0,+。。）使餌門＞0,不符合題意.

②若加2；,則當xe（l,+8）時，〃'（x）＞0恒成立，所以以x）在（1,物）上是增函數，據①求解知，

m1不符合題意.

③若加＜0,則當X€（l,+8）時，恒有〃'（X）＜0,故在（1,+8）上是減函數，

于是“h（x）＜0對任意xe（l,-K0）成立”的充分條件是“/?（1）＜0"，即m-（2m+l）＜0,

解得mN-l,故一1工〃240

綜上，所求實數機的取值范圍是[-1,0].

【點睛】

本題考查函數零點問題，考查不等式恒成立問題，考查用導數研究函數的單調性.解題關鍵是通過分類討論研究函數

的單調性.本題難度較大，考查掌握轉化與化歸思想，考查學生分析問題解決問題的能力.

20.（1）5=|（2）I1,2）

【解析】

（1）利用正弦定理化簡已知條件，由此求得cosB的值，進而求得8的大小.

(2)利用正弦定理和兩角差的正弦公式，求得￡的表達式，進而求得￡的取值范圍.

cia

【詳解】

(1)由題設知，2sin3cosB=sinAcosC+sinCcosA,

即2sin8cosB=sin(A+C),

所以2sinBcosB=sinB,

即cosB='，又???0<8<乃

2

TT

所以8=