2021全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東賽區(qū)預(yù)選試題及答案

2021年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽

山東賽區(qū)預(yù)賽試題參考答案

一.填空題（本題共12道小題，每小題5分，共60分）

1.設(shè)集合A={0,42,俏,04}所有三元子集的三數(shù)之積構(gòu)成集合B={24,30,40,60）

.則A=;

解：因所有三元子集的元素之積（。口2。3。4）3=24X30X40X60=1728000=1203,

所以。以2。3。4=120,分別除以B中元素即得A={2,3,4,5}.

2.已知Rt△ABC的三個頂點A,B,C均在拋物線y=x?上，并且斜邊AB平行

x軸，則斜邊AB上的高CD等于.

2_22__

解:設(shè)A(-Q,Q2),B3,Q2),C(C,C2),則KK----------

ACBCc+ac-a

=c?—/=一1即/一,2=i,所以QD|2=|AD||BD|=(a+c)(a—c)

=/-2=1,故|CD|=1.

3.若非零實數(shù)a,b,c分別是一等差數(shù)列的第m,n,p項,也是一等比數(shù)列的第

m,n,p項.則a人》-%?的值是.

解:設(shè)等差數(shù)列首項A公差d,等比數(shù)列首項8公比q廁有a=A+（m-1）4=

=,b=A+(n-l)d-Bqn~',c=A+(p-V)d-Bq''",所以b-c=(n_p)d,c-a=

(p—m)d=Bq"Ja_b=⑺-")4,故ah~cbc~aca~b=/。)"“)%(小")"

_^(n-p)d+(p-m)d+(m-n)d(m-\)(n-p)d+(z/-l)(p-m)d+(p-1_]

(xo,yo)

2

4.過橢圓八上1上點P做圓x2+y2=4的兩條切線，切點

弦所在直線與x,y軸分別交于E,F.則△EOF面積最小值是

解:設(shè)P（xo,yo）,則切點弦為今》+打產(chǎn)4鳳3,0圻（0，）,由

2

1

1=*+2|/IINoI即I/II%區(qū)，得SAEOF

當(dāng)1/h-^,1方|=收等號成立，故△EOF面積最小值是8.

5.已知直三棱柱ABC-AIBICI的底面為直角三角形,NACB=90。，AC=6,

BC=CCi=V2,P是BQ上一動點。則CP+PAi的最小值是

解：設(shè)BP=x，則CP+PA尸&—2x+2+-2尸+6?

=J(x-If+『+JQ—2)2+62表示點Q(x,0)到

N(2,-6)距離之和，故(CP+PA】)min=|MN|=5JL

6.將兩個a和兩個h共4個字母填入4X4的方格表內(nèi)，每格至多填一個字

母，則相同字母既不同行又不同列的填法種數(shù)是；

解:兩個a的填法Q=72種,兩個b的填法Q=72種,兩個a格內(nèi)都填b

2!2!

的填法72種，兩個a格內(nèi)恰有一個填b的填法C：6/=16x72種，故相同字母不

同行不同列的填法種數(shù)是722-72-16x72=3960.3223

2a12

另:兩a的填法72種，兩b的填法2x9+8x8+4x7=55種,故相21a2

2!

3223

同字母不同行不同列的填法種數(shù)是72x55=3960.

7.不等式k)g]4仿+正+底丫210g2%的解集是；

解:式ologi4/+1+^)2108^x^10864x=，即64'=%,V7=8\Vx=4,我=2',

式即logM(8'+4'+2')Nr=logM14，=8，+4,+7N14，=/?)=[2)+[')

21,由々)遞減且用)=1,所以YlologCWloOvxW^^MO,64]-

8.設(shè)2,小R+,則于=4工?的最大值是

2/92、02（2\

解:由2%2+/+2z2+〃2+2/=2,+匕+-2-+z2+z2+-^―+土+2/

3333

N2島i+z…嘰知人三詈筌等%邛.等號成立僅當(dāng)

=y=u,x=v,46x=，四曠=752,當(dāng)工=丫=1丁=〃=遙,2=2時\/?^=~?

A

9.四面體OABC中,NAOB=450,NAOC=NBOC=30。，則二面角/\

A-OC-B的平面角a的余弦值是;/c\

解:不妨設(shè)AC±OC±BC,ZACB=a，/AOC=NBOC=6,7

NAOB=￡.因5K屈=（比+云）?（比+國）=|OC|2+CACB即

|赤||而|cos/?口赤|cos田麗|cos<9+|瓦||而Icosa,兩端除以|5X||而|注

意到1^1=sin仇=sin凡即得cos尸=cos?。+sin28cosa,將夕=45°,6=300代

\OA\\OB\

入得￥=（+/osa，所以30=2及-3.

10.在直徑為痣+1,高為8的圓柱形桶內(nèi)裝直徑為1的球，最多可裝個;

解:由0。2=。2。3=1得gq="A3=i+后,故每層剛好放4個小球相鄰兩層小

球的球心在底面的投影構(gòu)成正八邊形，其邊長為:

6),［告一曰=n，相鄰兩層小球的球心所在平

面間距離為.設(shè)有n層小球，則

n-\

+1?8=〃W7蚯+1得〃49,故最多裝36個小球.

VT

11.數(shù)列｛%｝為：1,1,2,1,1,2,3,1,1,2,1,1,2,3,4,….即先取。=1,接著復(fù)制該項粘貼

在后面作為。2,并添加后繼數(shù)2作為俏,再復(fù)制所有項1,1,2并粘貼在后面作

為。4,。5,。6,并添加后繼數(shù)3作為。7.…依次繼續(xù)下去.則。2021=；

解：由“1=1,6=2,。7=3,內(nèi)5=4,…，知一般地,有與,_|=〃，為n首次出現(xiàn)在第2n-l

項，且若m=2n—l+k（lWkW2n—l）,ppJQm=Qk,由2021=21°-1+998,998=29-1+487,

487=28-1+232,232=27-1+105,105=26-1+42,42=25-1+11,11=23-1+4,4=22-1+1

矢口。2021=。998=。487=。232=。105=。42=。11="4="1=1,所以“2021=1.

12.如圖，已知凸六邊形的對角線AD,BE,CF交于O,且兩兩

夾角都是60。,若AB=l,BC=2V^,CD=DE=5,EF=4,FA=3.PIlJ

該凸六邊形面積S的最大值是;

解:設(shè)O到各頂點距離無陰仙,匕則由余弦定理得：

22

x2+y2-孫=l①，y+z-yz=9(2),Z?+J一zf=16③，

r+u2—tu=25(4),u2+v2-wv=25(5),v2+x2-vx=8(6),

將①+③+⑤-②-④-⑥得yz+tu+vx=xy+zt+uv,凸六邊形面積

S=(xy+yz+z，+tu+uv+vx)=(孫+z/+uv)<+y~2+z~2+廠2+〃~2+V2)

[xy+zf++1+16+25)=(xy+zf+uv)+,得孫+zf+“u?42,所以

S=—(xy+zt+uv)<21V3,當(dāng)％=y=1*=f=4,〃=v=5等號成立,故Smax=21-73.

二.解答題（本題共4道小題，每題20分洪80分）

13.求正實數(shù)a的取值范圍，使得關(guān)于x的不等式logdW九在區(qū)間（0,+8）

上恒成立;并指出當(dāng)a為何值時，函數(shù)y=?"與y=logox的圖象有交點？

解:顯然.令f(x)=6zx-x,貝!J/(x)=a'lnaTNOox>/(x)W0O

Ina

X〈-號，故］=-臀是/(x)的唯一最小值點力x)最產(chǎn)甘吧=螞*

InaInaIn〃In。

1n

/(x)20O.x)最小=;如“)20oln(lna)之一lo”之e"所以log?x^x^ax

\_

在區(qū)間(0,+8)上恒成立=a1e.所以，當(dāng)a=e，時，函數(shù)>=優(yōu)與y=log“x的圖

象交于一點，當(dāng)1<a<e，時，函數(shù)y=a*與y=k)gaX的圖象交于兩點.

v-2

14.設(shè)P為橢圓上第一象限內(nèi)的任一點,F］,F2為左右焦點，直線

PF1,PF2分別交C于M,N.若西=4W，兩

求點P坐標(biāo)使得直線MN的斜率等于-^J

解:設(shè)p(xo,yo),由西—而=4(蘇—西)得［二

而二匕冬西」而=(-2+2…、*麗=(2+2/7。江

41z,4444

(2+24+/)2+5凡2=52；4(1+4)2+4xo(l+4)=5/l--5

代入C得即

222

(2+2A2-x0)+5y0=514(1+4產(chǎn)一4々(1+4)=52,-5

4(1+4)+4XQ=54—54=4%0+9

，解得4+4=18,4-;12=8%,即，代入

4=9—4%

4(1+22)-4X0=54—5

y()(42-4)________備=」得"。=5-。聯(lián)立

KMN

2(4+4)+4。4+%。((—4)

/2+5%2=5,解得尤0=嘉,%=仁，所求點為P信+1

2224

15.求最小常數(shù)以，使不等式孫(一+y2)+”(y2+z)+zx(z+x)<A(x+y+z)

對所有非負實數(shù)x,y,z都成立.

xy(x2+y2)+yz(y2+z2)+zx(z2+x2)

解:不妨設(shè)％+y+z>0,原式2>=/(x,y,z),由

(x+y+z)4

xy(%2+y2)=肛((x+y+z)2-2(xy+yz+zx)-z2)=%y(x+y+z)2-2%Mxy+yz+zx)-%yz2等得

%y(%2+y2)+yz(y2+z2)+zx(z2+%2)=(xy+yz+zx)(x+y+z)2-2(xy+yz+zx)2-%yz(%+y+z),

2

xy+yz+zxxy+yz+zx孫z令)二孫+yz+zx.二孫z

J—722

(尤+y+z)((x+y+z)-(x+y+z)3'(x+y+z)2'(x+y+z)3

故/=-2/「，當(dāng)">=。時八=".而r=(V=；o型=0,(x+y+z)2=

=4(xy+yz+zx)<^>x,y,z中一個為0(設(shè)z=0)且(x+y>=4%y即x,y,z中一個為0另

兩個相等，所以九”=(,4=!.

OO

另：(x+y+z)4=((/+y2+z?)+2(取+yz+zx))2>\2yl2(x2+y2+z2)(xy+yz+zx)j

=8(x24-y2+z2)(肛+yz+zr)=8(肛(，+y2+z2)+yz(x2+y2+z2)+zx(x24-y2+z2))

>8(xy(x2+y2)+yz(y2+z2)+zx(z2+x2)),且當(dāng)x,y,z中一個為0另兩個相

o

等時等號成立，故九,X=[，4=]

oo

16.如果任取1,2,…,50的一組數(shù)中，總有兩個不同數(shù)的乘積是這兩數(shù)和的整

數(shù)倍.問最少要取多少個數(shù)？

解:令S={1,2「?,50}冼求S中所有數(shù)對(。,力使Q+加的再求不滿足條件的最

大子集T;最后求元素個數(shù)最少的滿足條件的子集.設(shè)。力￡S(a>。)且3+力|必

，令"=(。力),。=而1/=的1,0力1』?4*,且(a1力1)=1,。1>加,由a+b=d(a\+b\),(b\,a\)

=l,ab=cPa\b\得a+=laboq+b{\da{b{04+&|d即4+&二1得(ai+'i)2<

d3+")=a+bW99,所以3—什。1W9,3WdW33.

⑴若Qi+bi=3,則(。1/i)=(2,l),由ai+b\=3\d及a=2dW50,d<25得4=3,6,9,12,

15,18,21,24,得(a/)=(6,3),(12,6),(18,9),(24,12),(30,15),(36,18),(42,21),(48,24);

(2)若tzi+bi=4,則=3力i=l,由41d及a=3dW50得d=4,8,12,16,3,0)=(12,4),

(24,8),(36,12),(48,16);

(3)若ai+6i=5,則(ai,6i)=(4,l),5|d及a=4