八年級(jí)初二數(shù)學(xué) 平行四邊形單元測(cè)試及解析

八年級(jí)初二數(shù)學(xué)平行四邊形單元測(cè)試及解析

一、選擇題

1.如圖，是由兩個(gè)正方形組成的長(zhǎng)方形花壇ABCD,小明從頂點(diǎn)A沿著花壇間小路直到走

到長(zhǎng)邊中點(diǎn)。，再?gòu)闹悬c(diǎn)。走到正方形OCDF的中心,再?gòu)闹行?。走到正方形?GFH

的中點(diǎn)。2,又從中心Q走到正方形。21川的中心。3,再?gòu)闹行摹?走到正方形。3KJP的

中心。4,一共走了310m,則長(zhǎng)方形花壇ABCD的周長(zhǎng)是（）

A.36mB.48mC.96mD.60m

2.如圖，"BCi中，Ag=4,4G=5,B,C,=7.點(diǎn)兒、B］、C2分別是邊

4G、AG、44的中點(diǎn)；點(diǎn)A3、4、C3分別是邊區(qū)G、4G、4鳥的中點(diǎn);

3.如圖，依次連結(jié)第一個(gè)菱形各邊的中點(diǎn)得到一個(gè)矩形，再依次連結(jié)矩形各邊的中點(diǎn)得到

第二個(gè)菱形，按此方法繼續(xù)下去.已知第一個(gè)菱形的面積為1，則第4個(gè)菱形的面積是

（）

<^l>o=<Q|>Q……

1111

A.-B.—C.—D.--

4163264

4.如圖，平行四邊形A8CO中，4E平分㈤。，交.BC于點(diǎn)、E，且AB=A￡,延長(zhǎng)

AB與。E的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,連接AC,CF.下列結(jié)論：①八43c=AE4D；

②AA6E是等邊三角形；③AD=BF；?S&BEF=S^CD⑤=5以跖中正確的有

C.3個(gè)D.4個(gè)

5.已知：如圖，在正方形ABCD外取一點(diǎn)E,連接AE、BE、DE.過(guò)點(diǎn)A作AE的垂線交DE

于點(diǎn)P.若AE=AP=1,PD=2,下列結(jié)論：①EB_LED；②/AEB=135°；③S正方形ABCD=

5+20；④PB=2；其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）

C.①②④D.①②③

6.如圖：點(diǎn)E、F為線段BD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，四邊形AECF是菱形，且菱形AECF的周長(zhǎng)

）

C.72D.144

7.如圖，矩形AB8中，AD=5,AB=7,點(diǎn)E為。C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把A4DE沿AE

DE的長(zhǎng)為（）

D.|或2

32325

8.如圖，矩形ABCD中，。為AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。的直線分別與AB,CD交于點(diǎn)E,F,連

接BF交AC于點(diǎn)M,連接口￡,80.若/88=60。產(chǎn)0=5口則下列結(jié)論：

①FBJLOC,0M=CM；②△EOB絲Z\CMB；③四邊形EBFD是菱形；④MB：0E=3：2.其中

正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

9.將矩形紙片4比》按如圖所示的方式折疊，AE,好'為折痕，/胡田30°,AB=6,折

疊后，點(diǎn)C落在段邊上的G處，并且點(diǎn)8落在比邊上的A處.則成的長(zhǎng)為（）

ACiD

A.73B.3C.2D.2百

10.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,Q為CD邊上（異于C,D）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AQ交BD

于點(diǎn)M.過(guò)M作MNJ_AQ交BC于點(diǎn)N,作NP_LBD于點(diǎn)P,連接NQ,下面結(jié)論：

①AM=MN；②MP=&；③ACNQ的周長(zhǎng)為3；④BD+2BP=2BM,其中一定成立的是（）

A.①②③④B.①②③C.①②④D.①④

二、填空題

11.如圖，在△ABC中，NBAC=90°,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是直線AB、AC上

的動(dòng)點(diǎn)，ZEDF=90",M、N分別是EF、AC的中點(diǎn)，連結(jié)AM、MN,若AC=6,AB=5,

則AM-MN的最大值為.

12.如圖，在矩形ABCD中，/BAD的平分線交BC于點(diǎn)E,交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,點(diǎn)G

是EF的中點(diǎn)，連接CG,BG,BD,DG,下列結(jié)論：①BC=DF；②ZDGR=135°;

325

@BG.LDG；@——AD,則SBDC―SFDC,正確的有.

13.在A6c1中，AB=12,AC=10,BC=9,AD是BC邊上的高.將ABC按如圖所示的方

式折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕為EF,則。防的周長(zhǎng)為.

14.菱形A8CD的周長(zhǎng)為24,ZABC=60°,以A8為腰在菱形外作底角為45。的等腰AABE,

連結(jié)AC,CE,貝SACE的面積為.

15.如圖，已知在aABC中，AB=AC=13,BC=10,點(diǎn)M是AC邊上任意一點(diǎn)，連接MB,以

MB、MC為鄰邊作平行四邊形MCNB,連接MN,則MN的最小值是

16.已知：如圖，在長(zhǎng)方形A8CD中，A3=4，AD=6.延長(zhǎng)6c到點(diǎn)E，使

CE=2,連接動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)8出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿3C—CD—D4向終

點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒，當(dāng)f的值為秒時(shí)，AA8P和ACCE全等.

17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M為線段

AB的中點(diǎn).點(diǎn)D、E分別在X軸、y軸的負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)，且DE=AB=10.以DE為邊在第

三象限內(nèi)作正方形DGFE,則線段MG長(zhǎng)度的最大值為.

18.如圖，矩形ABCO的面積為36,防平分NABD,交AOFE，沿踮將A43石折

疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)剛好落在矩形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)尸處.則AA8E的面積為.

19.定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即：如圖1,在R5ABC中，ZACB

=90。，若點(diǎn)。是斜邊A8的中點(diǎn)，IJIIJCD=-4B,運(yùn)用：如圖2,ZsA8c中，/8AC=90。，

2

48=2,AC=3,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，將△A8D沿AD翻折得到MED連接8￡,CE,DE,則

CE的長(zhǎng)為.

20.如圖，有一張長(zhǎng)方形紙片ABC。，AB=4，4)=3.先將長(zhǎng)方形紙片ABC。折

疊，使邊AO落在邊A3上，點(diǎn)。落在點(diǎn)E處，折痕為AE；再將AAE/沿瓦"翻折，

AF與相交于點(diǎn)G,則FG的長(zhǎng)為.

三、解答題

21.在四邊形ABCD中，/A=/8=/C=/Z)=90，AB=CD=10,

BC=AD=8.

（l）P為邊BC上一點(diǎn)，將A3P沿直線AP翻折至AEP的位置（點(diǎn)B落在點(diǎn)E處）

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)E落在CD邊上時(shí)，利用尺規(guī)作圖，在圖1中作出滿足條件的圖形（不寫

作法，保留作圖痕跡，用2B鉛筆加粗加黑）.并直接寫出此時(shí)。E=；

②如圖2,若點(diǎn)P為BC邊的中點(diǎn)，連接CE,則CE與AP有何位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）點(diǎn)Q為射線DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿AQ翻折，點(diǎn)D恰好落在直線BQ上的點(diǎn)

。處，則;

22.綜合與探究

如圖1,在AABC中,ZACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)，連接AO,以為一邊且在AD

的右側(cè)作正方形ADEr,解答下列問(wèn)題：

（1）研究發(fā)現(xiàn):如果AB=AC,4區(qū)4C=90°

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)8不重合），線段CF、8。之間的數(shù)量關(guān)系為

，位置關(guān)系為.

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，①中的結(jié)論是否仍成立并說(shuō)明理由.

（2）拓展發(fā)現(xiàn):如果ABHAC,點(diǎn)D在線段BC上，點(diǎn)F在MBC的外部，則當(dāng)

ZACB=時(shí),CF，6。.

圖1圖2圖3

23.如圖，點(diǎn)A、F、C、。在同一直線上，點(diǎn)B和點(diǎn)E分別在直線AD的兩側(cè)，且A8=DE,

Z4=ZD,AF=DC.

（1）求證：四邊形8CEF是平行四邊形；

（2）若/DEF=90°,DE=8,EF=6,當(dāng)AF為時(shí)，四邊形8CEF是菱形.

E

24.已知四邊形ABCD是正方形，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)々（0°<?<90°）,得到

線段CE,聯(lián)結(jié)BE、CE、DE.過(guò)點(diǎn)B作BF,DE交線段DE的延長(zhǎng)線于F.

（1）如圖，當(dāng)BE=CE時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)；

（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a的大小發(fā)生變化時(shí)，NB防的度數(shù)是否發(fā)生變化?如果變化，請(qǐng)用含a的

代數(shù)式表示；如果不變，請(qǐng)求出N8防的度數(shù)；

25.在平面直角坐標(biāo)中，四邊形OCNM為矩形，如圖1,M點(diǎn)坐標(biāo)為（m,0）,C點(diǎn)坐標(biāo)

（2）①如圖1,P,Q分別為OM,MN上一點(diǎn)，若NPCQ=45。，求證：PQ=OP+NQ；

②如圖2,S,G,R,H分別為OC,OM,MN,NC上一點(diǎn)，SR,HG交于點(diǎn)D.若/SDG=

135°,HG=%叵，則RS=:

2

（3）如圖3,在矩形OABC中，OA=5,OC=3,點(diǎn)F在邊BC上且OF=OA,連接AF,動(dòng)

點(diǎn)P在線段OF是（動(dòng)點(diǎn)P與0,F不重合），動(dòng)點(diǎn)Q在線段0A的延長(zhǎng)線上，且AQ=

FP,連接PQ交AF于點(diǎn)N,作PM_LAF于M.試問(wèn)：當(dāng)P,Q在移動(dòng)過(guò)程中，線段MN的

長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若不變求出線段MN的長(zhǎng)度；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.

26.如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6,6）,A8_Lx軸，垂足為B,AC_Ly軸，垂足為C,點(diǎn)

2E分別是射線B。、0C上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)。不與點(diǎn)6、。重合，ZDAE=45°.

（圖1）（圖2）

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段8。上時(shí)，求ADOE的周長(zhǎng)；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段8。的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)AADE的面積為耳，ADOE的面積為

S1,請(qǐng)猜想5與，之間的等量關(guān)系，并證明你的猜想.

27.如圖，A3CZ）中，Z4BC=60°,連結(jié)80，E是BC邊上一點(diǎn),連結(jié)AE交8。

于點(diǎn)F.

（1）如圖1,連結(jié)AC，若AB=AE=6,BC:CE=5:2,求△ACE的面積；

（2）如圖2,延長(zhǎng)AE至點(diǎn)G,連結(jié)AG、DG,點(diǎn)H在BD上,且BF=DH,

AF^AH，過(guò)A作AM_LQG于點(diǎn)M.若/486+/包6=180°,求證：

BG+GD=6AG.

28.閱讀下列材料，并解決問(wèn)題：

如圖1,在RtMBC中，ZC=90°,AC=8,8C=6,點(diǎn)。為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與

An

A、。重合），以AO，BO為邊構(gòu)造ADBE，求對(duì)角線OE的最小值及此時(shí)——的值

AC

在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，小紅畫出了一個(gè)以AO，BO為邊的ADBE（如圖2）,設(shè)平行四

邊形對(duì)角線的交點(diǎn)為。，則有AO=BO.于是得出當(dāng)QDLAC時(shí)，最短，此時(shí)

取最小值，得出。E的最小值為6.

A

圖2

參考小紅的做法，解決以下問(wèn)題:

An

(1)繼續(xù)完成閱讀材料中的問(wèn)題：當(dāng)OE的長(zhǎng)度最小時(shí)，——=；

AC

(2)如圖3,延長(zhǎng)到點(diǎn)尸，使A尸=以。/，為邊作FDBE，求對(duì)角線

An

的最小值及此時(shí)的值.

AC

圖3備用由

29.如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，A8=CD=6cm,8c=10cm,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/秒的

速度沿8c向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒：

(1)PC=cm.(用t的代數(shù)式表示)

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，AABP注ADCP?

(3)當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開始運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以vcm/秒的速度沿CD向點(diǎn)。運(yùn)

動(dòng)，是否存在這樣v的值，使得AABP與△PQC全等？若存在，請(qǐng)求出v的值；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(1)若c=l,AF1DE.

①如圖1,求證:AE=BF；

②如圖2,點(diǎn)G為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE的延長(zhǎng)線交AG于H,若AH=AD,求證：AE+BG

=AG；

CF

（2）如圖3,若E為4B的中點(diǎn)，NADE=NEDF.則——的值是（結(jié)果用

BF

含”的式子表示）.

【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不耍刪除

一、選擇題

1.C

解析：c

【解析】

設(shè)正方形03KJP的邊長(zhǎng)為a,根據(jù)正方形的性質(zhì)知：O3O4=XVa,

2

正方形的邊長(zhǎng)為。2。3=0

O2IHJ2a,a,

正方形OiGFH的邊長(zhǎng)為4a,01。2=20a,

正方形OCDF的邊長(zhǎng)為8a,OOi=40a,

AO=2OOi=85/2am,

—a+V2a+2正a+4正a+80a=31正,

2

解得：a=2m,

FD=8a=16m,

長(zhǎng)方形花壇ABCD的周長(zhǎng)是2x（2FD+CD）=6FD=96m,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，主要利用了正方形的對(duì)角線與邊長(zhǎng)的關(guān)系，正方形的

中心到頂點(diǎn)的距離等于到邊的距離的血倍，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.A

解析：A

【分析】

根據(jù)三角形的中位線可得，B2c2,A2B2,A2c2分別等于一BiCi,—AiBi,—AiCi,所以

222

△A2B2c2的周長(zhǎng)等于△A1B1C1周長(zhǎng)的一半.進(jìn)而推出第n個(gè)三角形的周長(zhǎng)

【詳解】

解：A旦=4,A￡=5,B[G=7,

A1B1C1的周長(zhǎng)是16,

?.?點(diǎn)A?、層、分別是邊用G、4G、4國(guó)的中點(diǎn)，

；.B2c2,A2B2,A2c2分別等于7B1C1,—AiBi,—AiCi,

222

以此類推，貝必A4B4c4的周長(zhǎng)是』X16=2,

23

24

的周長(zhǎng)是--,

...△A.B?G,2『i

24

...當(dāng)n=2019時(shí),第2019個(gè)三角形的周長(zhǎng)是=氤

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角形的中位線，解題的關(guān)鍵是找出題目的規(guī)律.

3.D

解析：D

【分析】

易得第二個(gè)菱形的面積為（?。?,第三個(gè)菱形的面積為（L）3依此類推，第n個(gè)菱形

22

的面積為（L）2n-2,把n=4代入即可.

2

【詳解】

解：已知第一個(gè)菱形的面積為1;

則第二個(gè)菱形的面積為原來(lái)的（L）2,

2

第三個(gè)菱形的面積為（！）3

2

依此類推，第n個(gè)菱形的面積為（-）2儲(chǔ)，

2

當(dāng)n=4時(shí)，

則第4個(gè)菱形的面積為（L2X4-2=（1）6=±.

2264

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形的中位線定理及矩形、菱形的性質(zhì)，是一道找規(guī)律的題目，這類題型在

中考中經(jīng)常出現(xiàn).對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變

化的.

4.C

解析：C

【分析】

由平行四邊形的性質(zhì)得出AD〃BC,AD=BC,由AE平分NBAD,可得NBAE=NDAE,可得

ZBAE=ZBEA,得AB=BE,由AB=AE,得到4ABE是等邊三角形，②正確；則

NABE=NEAD=60°,由SAS證明△ABC之4EAD,①正確；由aFCD與4ABD等底

（AB=CD）等高（AB與CD間的距離相等）,得出SAFCO=SAABD,由^AEC與△□￡（：同底等

高，所以SAAEC=SADEC,得出SAABE=SACEF,⑤正確.

【詳解】

解：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AD〃BC,AD=BC,

，/EAD=/AEB,

又：AE平分NBAD,

AZBAE=ZDAE,

NBAE=NBEA,

；.AB=BE,

：AB=AE,

/.△ABE是等邊三角形；

②正確；

，NABE=NEAD=60°,

：AB=AE,BC=AD,

在4ABC和AEAD中，

"AB=AE

<NABE=NEAD,

BC=AD

.?.△ABC^AEAD（SAS）；

①正確；

VAFCD與4ABC等底（AB=CD）等高（AB與CD間的距離相等），

?'?SAFCD=SAABC>

又?.?△AEC與ADEC同底等高，

?'?SAAEC=SADEC?

?"?SAABE=SACEF;

⑤正確；

若AD與AF相等，即NAFD=NADF=/DEC,

即EC=CD=BE,

即BC=2CD,

題中未限定這一條件，

③④不一定正確；

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì).此

題比較復(fù)雜，注意將每個(gè)問(wèn)題仔細(xì)分析.

5.D

解析：D

【分析】

先證明△APDgZ\AEB得出BE=PD,/APD=/AEB,由等腰直角三角形的性質(zhì)得出NAPE

=/AEP=45。，得出NAPD=/AEB=135。，②正確；得出NPEB=NAEB-NAEP=90。，

EB±ED,①正確；作BF_LAE交AE延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,證出EF=BF=0,得出AF=AE+EF=

1+V2，由勾股定理得出AB=RAF。+BF?=>/5+2A/2，得出S正方形ABCD=AB2=

5+2五,③正確；EP=0AE=0,由勾股定理得出BP=不BE?+EP?=#>，④錯(cuò)

誤；即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：VZEAB+ZBAP=90°,ZPAD+ZBAP=90°,

，/EAB=NPAD,

AP=AE

在4APD和4AEB中，<ZPAD=ZEAB,

AD=AB

.".△APD^AAEB(SAS),

；.BE=PD,/APD=NAEB,

：AE=AP,/EAP=90°,

.,.ZAPE=ZAEP=45°,

.,.ZAPD=135°,

.,?ZAEB=135°,②正確；

AZPEB=ZAEB-ZAEP=135°-45°=90°,

AEB±ED,①正確；

作BF_LAE交AE延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,如圖所示：

VZAEB=135°,

/EFB=45。，

；.EF=BF,

VBE=PD=2,

.\EF=BF=V2)

.?.AF=AE+EF=1+V^,

AB=yjAF2+BF2=7(1+V2)2+(A/2)2=J5+2V2,

S正方形ABCD=AB2=(,5+2應(yīng))2=5+20，③正確；

EP=V2AE=V2>

22

BP=>JBE2+EP2=72+(V2)=底，④錯(cuò)誤;

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角

形的判定、勾股定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等是解題的關(guān)

鍵.

6.C

解析：c

【分析】

根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分可得AC_LBD,AO=OC,EO=OF,再求出BO=OD,證明

四邊形ABCD是菱形，根據(jù)菱形的四條邊都相等求出邊長(zhǎng)AE,根據(jù)菱形的對(duì)角線互相平分

求出0E,然后利用勾股定理列式求出A0,再求出AC,最后根據(jù)四邊形的面積等于對(duì)角線

乘積的一半列式計(jì)算即可得解.

【詳解】

.\AC±BD,AO=OC,EO=OF,

又???點(diǎn)E、F為線段BD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，

；.BE=FD,

.\BO=OD,

VAO=OC,

二四邊形ABCD為平行四邊形，

VAC1BD,

...四邊形ABCD為菱形；

?.?四邊形AECF為菱形，且周長(zhǎng)為20,

；.AE=5,

；BD=24,點(diǎn)E、F為線段BD的兩個(gè)三等分點(diǎn),

1I

；.EF=8,OE=-EF=-x8=4,

22

由勾股定理得，A0=7A￡2-OE2-y]52-42=3，

AC=2A0=2x3=6,

.11…

??S四邊形ABCD=-BD?AC=—x24x6=72；

22

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，主要利用了菱形的對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì)，勾股定理

以及利用菱形對(duì)角線求面積的方法，熟記菱形的性質(zhì)與判定方法是解題的關(guān)鍵.

7.B

解析：B

【分析】

連接BD，，過(guò)D，作MN_LAB,交AB于點(diǎn)M,CD于點(diǎn)N,作D，P_LBC交BC于點(diǎn)P,先

利用勾股定理求出MD\再分兩種情況利用勾股定理求出DE.

【詳解】

如圖，連接BD',過(guò)。作交AB于點(diǎn)M,CD于點(diǎn)N,作DPLBC交BC于點(diǎn)P

???點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在NABC的角平分線上，

：.MD'=PD',

設(shè)，則PD'=BM=x,

：.AM=AB-BM=7-x,

又折疊圖形可得4D=A〃=5,

x2+(7-x)2=25,解得43或4,

即MD'=3或4.

在RdEND'中，設(shè)ED'=a,

①當(dāng)MD'=3時(shí),AM=7-3=4Q'N=5-3=2,EN=4-a,

a2=22+(4-a)2，

解得即￡>E=2,

22

②當(dāng)MD'=4時(shí),AM=7-4=3,￡W=5-4=1,EN=3-a,

a2-\2+(3~a)2,

解得a=—，即DE=—.

33

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查翻折變換（折疊問(wèn)題），矩形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理與折疊問(wèn)題.解

決本題的關(guān)鍵是依據(jù)題意分別表示Rt^AMD'和心△EN。的三邊，利用勾股定理解直角三

角形.

8.C

解析：C

【解析】

連接BD,

?.?四邊形ABCD是矩形，

AC=BD,AC、BD互相平分，

。為AC中點(diǎn)，

BD也過(guò)。點(diǎn)，

OB=OC,

1.,ZCOB=60",OB=OC,

△OBC是等邊三角形，

OB=BC=OC,ZOBC=60°,

FO=FC

在△OBF與4CBF中，,8尸=B尸,

OB=BC

R.A(DBF空△CBF(SSS),

:?&OBF與4CBF關(guān)于直線BF對(duì)稱,

FB±OC,OM=CM；

...①正確，

ZOBC=60°,

ZABO=30",

1.,△OBF^△CBF,

ZOBM=ZCBM=30°,

ZABO=ZOBF,

???ABHCD,

ZOCF=ZOAE,

---OA=OC,

易證AAOE2△COF,

OE=OF,

OB±EF,

...四邊形EBFD是菱形,

...③正確,

△EOB合△FOB空△FCB,

/.△EOB2△CMB錯(cuò)誤.

...②錯(cuò)誤，

???ZOMB=ZBOF=90",ZOBF=30",

OMQM

MB=i0F=^/3,

T~2

1■?OE=OF,

MB：0E=3:2,

???④正確；

故選C.

點(diǎn)睛：本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角

形的判定和性質(zhì)以及三角函數(shù)等的知識(shí)，會(huì)綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

9.B

解析：B

【解析】

試題分析：由三角函數(shù)易得BE,AE長(zhǎng)，根據(jù)翻折和對(duì)邊平行可得AAECi和AC￡Q為等邊三

角形，那么就得到EC長(zhǎng)，相加即可.

解：連接CCi.

在RtMBE中,/加￡=30。/8=6，

BE=ABxtan30°=l,AE=2,Z4￡Bi=/AEB=60°,

?.?四邊形A8CD是矩形

C.AD//BC,

，NGAE=NAEB=60°,

/.A/AECI為等邊三角形，

同理ACGE也為等邊三角形，

：.EC=ECi=AE=2,

：.BC=BE+EC=3,

故選B.

10.C

解析：c

【分析】

連接AC交BD于。，作MEJ_AB于E,MF1.BC于F,延長(zhǎng)CB到H,使得BH=DQ.

①正確.只要證明△AMEgZXNMF即可；

②正確.只要證明△AOM也△MPN即可；

③錯(cuò)誤.只要證明NADQ絲ZiABH,由此推出aANQ絲△ANH即可；

④正確.只要證明AAME空△NMF,證得四邊形EMFB是正方形即可解決問(wèn)題；

【詳解】

連接AC交BD于。，作ME_LAB于E,MF_LBC于F,延長(zhǎng)CB到H,使得BH=DQ.

?.?四邊形ABCD是正方形，

AACIBD,AC=V5AD=2拒，OA=OC=72>ZDBA=ZDBC=45°,

；.ME=MF,

ZMEB=ZMFB=ZEBF=90°,

...四邊形EMFB是矩形，

；ME=MF,

四邊形EMFB是正方形，

.".ZEMF=ZAMN=90°,

.".ZAME=ZNMF,

VZAEM=ZMFN=90°,

/.△AME^ANMF(ASA),

；.AM=MN,故①正確；

VZOAM+ZAMO=90°,NAMO+/NMP=90°,

，NAMO=/MNP,

?/ZAOM=ZNPM=90o,

.?.△AOM四△MPN(AAS),

.\PM=0A=V2>故②正確；

：DQ=BH,AD=AB,NADQ=NABH=90°,

AZADQ^AABH(SAS),

；.AQ=AH,ZQAD=ZBAH,

NBAH+NBAQ=/DAQ+NBAQ=90°,

：AM=MN,/AMN=90°,

/MAN=45°,

AZNAQ=ZNAH=45°,

/.△ANQ^AANH(SAS),

?.NQ=NH=BN+BH=BN+DQ,

.,.△CNQ的周長(zhǎng)=CN+CQ+BN+DQ=4,故③錯(cuò)誤;

:BD+2BP=2BO+2BP=2AO+2BP=2PM+2BP,

；.BD+2BP=2BM,故④正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知

識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題.

二、填空題

【分析】

連接DM,直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，得AM=DM,利用兩邊之差小于第三邊得到

AM-MN<DN,又根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】

連接DM,如下圖所示，

,/NBAC=NEDF=90。

又為EF中點(diǎn)

，AM=DM」EF

2

AM-MN=DM-MN<DN（當(dāng)D、M、N共線時(shí)，等號(hào)成立）

：D、N分別為BC、AC的中點(diǎn)，即DN是AABC的中位線

15

，DN=-AB=-

22

AM—MN的最大值為二

2

故答案為!■.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是確定AM的取

值范圍.

12.①③④

【分析】

由矩形的性質(zhì)可得AB=CD,AD=BC,ZBAD=ZABC=ZBCD=ZADC=90°,AC=BD,由角平分

線的性質(zhì)和余角的性質(zhì)可得NF=/FAD=45。，可得AD=DF=BC,可判斷①；通過(guò)證明

△DCG^ABEG,可得/BGE=/DGC,BG=DG,即可判斷②③；過(guò)點(diǎn)G作GHJ_CD于H,設(shè)

AD=4X=DF,AB=3X,由勾股定理可求BD=5X,由等腰直角三角形的性質(zhì)可得

HG=CH=FH=^X,DG=GB=X1X,由三角形面積公式可求解，可判斷④.

22

【詳解】

解：：四邊形ABCD是矩形，

；.AB=CD,AD=BC,ZBAD=ZABC=ZBCD=ZADC=90°,AC=BD,

VAE平分/BAD,

；./BAE=NDAE=45°,

ZF=ZFAD,

，AD=DF,

，BC=DF,故①正確；

VZEAB=ZBEA=45O,

；.AB=BE=CD,

VZCEF=ZAEB=45°,ZECF=90°,

???△CEF是等腰直角三角形，

?.?點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，

.,.CG=EG,ZFCG=45°,CG±AG,

.??ZBEG=ZDCG=135°,

在ADCG和aBEG中，

BE=CD

</BEG=NDCG,

CG=EG

.".△DCG^ABEG(SAS).

AZBGE=ZDGC,BG=DG,

VZBGE<ZAEB,

.,.ZDGC=ZBGE<45",

：/CGF=90。，

.??ZDGF<135°,故②錯(cuò)誤；

VZBGE=ZDGC,

ZBGE+ZDGA=ZDGC+ZDGA,

NCGA=/DGB=90。，

ABG1DG,故③正確；

過(guò)點(diǎn)G作GHXCD于H,

.?.設(shè)AD=4x=DF,AB=3x,

CF=CE=x,BD=y/AB2+AD2=5x,

?.,△CFG,AGBD是等腰直角三角形，

；.HG=CH=FH」x,DG=GB=^lx,

22

1i25

SADGF=—XDFXHG=X2,S,ABDG=—DGxGB=—x2,

224

25

SBDC=SFDG,故④正確；

故答案為：①③④.

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練

掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形全等和等腰直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

13.15.5

【分析】

先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AE=0E,NE4￡>=N￡：ZM,再根據(jù)垂直的定義、直角三角形的性

質(zhì)可得NB=NBDE,又根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得=DE,從而可得

DE=AE=BE=6,同理可得出OF=AF=C￥=5,然后根據(jù)三角形中位線定理可得

EF^-BC^4.5,最后根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式即可得.

2

【詳解】

由折疊的性質(zhì)得：AE=DE,ZEAD=ZEDA

AD是BC邊上的高，即ADJ_BC

.-.Z5+ZEAD=90°,ZBDE+NEDA=90°

:./B=NBDE

：.BE=DE

:.DE=AE=BEAB=-x\2^6

22

同理可得：DF=AF^CF=-AC=-x10^5

22

又AE=BE,AF=CF

二點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)

:.EF是ABC的中位線

.?.EF」5C」X9=4.5

22

則DEF的周長(zhǎng)為OE++EE=6+5+4.5=15.5

故答案為：15.5.

【點(diǎn)睛】

本題考查了折疊的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)等知

識(shí)點(diǎn)，利用折疊的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出BE=DE是解題關(guān)鍵.

14.9^9(73+1).

【分析】

分兩種情況畫圖，利用等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理矩形計(jì)算即可.

【詳解】

解：①如圖1,延長(zhǎng)EA交DC于點(diǎn)F,

:菱形ABCD的周長(zhǎng)為24,

.\AB=BC=6,

VZABC=60",

...三角形ABC是等邊三角形，

/BAC=60°,

當(dāng)EAJ_BA時(shí)，AABE是等腰直角三角形，

；.AE=AB=AC=6,ZEAC=90o+60o=150°,

/FAC=3O°,

?.?/ACD=60°,

NAFC=90。，

.\CF=—AC=3,

2

則AACE的面積為：—AExCF=—x6x3=9；

22

圖2

②如圖2,過(guò)點(diǎn)A作AF_LEC于點(diǎn)F,

由①可知：ZEBC=NEBA+NABC=90°+60°=150。,

VAB=BE=BC=6,

AZBEC=ZBCE=15°,

/AEF=45°-15°=30°,ZACE=60o-15°=45°,

.,.AF=—AE,AF=CF=—AC=3J?>

22

VAB=BE=6,

；.AE=6及，

?*-EF=VA￡2-AF2=3A/6-

.??EC=EF+FC=3#+30

則AACE的面積為：—ECxAF=-X(376+3V2)X3V2=9(73+1).

22

故答案為：9或9(省+1).

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵

是掌握菱形的性質(zhì).

【分析】

設(shè)MN與8C交于點(diǎn)。，連接A。，過(guò)點(diǎn)。作。于“點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾

股定理可求A。和0H長(zhǎng)，若最小，則M。最小即可，而。點(diǎn)到AC的最短距離為0H

長(zhǎng)，所以最小值是20H.

【詳解】

解：設(shè)與8c交于點(diǎn)。，連接A。，過(guò)點(diǎn)。作。于"點(diǎn)，

"/四邊形MCNB是平行四邊形，

二。為BC中點(diǎn)，MN=2M0.

'：AB=AC=13,BC=10,

：.A01BC.

在RtZXAOC中，利用勾股定理可得

AO=AC1-CO'=J132-52=12.

利用面積法：A0XC0=ACX0H,

即12X5=13XOH,解得0H=K.

13

當(dāng)M0最小時(shí)，則MN就最小，。點(diǎn)到AC的最短距離為0H長(zhǎng),

所以當(dāng)M點(diǎn)與，點(diǎn)重合時(shí)，M。最小值為?！遍L(zhǎng)是一.

13

120

所以此時(shí)MN最小值為2OH=——.

13

心濟(jì)心“120

故答案為：.

13

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、垂線段最短、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，解題的

關(guān)鍵是分析出點(diǎn)到某線段的垂線段最短，由此進(jìn)行轉(zhuǎn)化線段，動(dòng)中找靜.

16.1或7.

【分析】

存在2種情況滿足條件，一種是點(diǎn)P在BC上，只需要BP=CE即可得全等；另一種是點(diǎn)P

在AD上，只需要AP=CE即可得全等

【詳解】

設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒，

當(dāng)點(diǎn)尸在線段6c上時(shí)，則BP=2/,

?.?四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，

二AB=CD,NB=NDCE=90。,

此時(shí)有AABgADCE,

：.BP=CE,即2/=2,解得f=l；

當(dāng)點(diǎn)P在線段4)上時(shí)，則BC+CZ)+Z)P=2r,

VAB=4,AD=6,

BC=6，CD--4.

/.AP=(BC+CD+DA)-(BC+CD+DP)^6+4+6-2f=16-2f,

AP=16-2t,

此時(shí)有AABP會(huì)ACOE,

/.AP=CE,即16—2r=2,解得f=7；

綜上可知當(dāng)，為1秒或7秒時(shí)，A43P和ACDE全等.

故答案為：1或7.

【點(diǎn)睛】

本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解題關(guān)鍵是根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，要證三角形的全等，只需要還得到

一條直角邊相等即可

17.10+575

【分析】

取DE的中點(diǎn)N,連結(jié)。N、NG、0M.根據(jù)勾股定理可得NG=5行.在點(diǎn)M與G之間總

有MGWMO+ON+NG(如圖1),M、0、N、G四點(diǎn)共線，此時(shí)等號(hào)成立(如圖2).可得

線段MG的最大值.

【詳解】

如圖1,取DE的中點(diǎn)N,連結(jié)ON、NG、OM.

1

.\OM=-AB=5.

2

同理0N=5.

;正方形DGFE,N為DE中點(diǎn),DE=1O,

7VG=VDA^2+DG2=V102+52=575?

在點(diǎn)M與G之間總有MGWMO+ON+NG（如圖1）,

如圖2,由于/DNG的大小為定值，只要/DON=L/DNG,且M、N關(guān)于點(diǎn)0中心對(duì)稱時(shí),

2

M、0、N、G四點(diǎn)共線，此時(shí)等號(hào)成立，

線段MG取最大值10+575.

故答案為：10+5店.

【點(diǎn)睛】

此題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，四點(diǎn)共線的最值問(wèn)題，得出M、。、N、G四點(diǎn)

共線，則線段MG長(zhǎng)度的最大是解題關(guān)鍵.

18.6

【分析】

先證明△AEB合△FEB空△DEF,從而可知SAABE=gS^AB,即可求得△ABE的面積.

【詳解】

解：由折疊的性質(zhì)可知：AAEB2AFEB

/.ZEFB=ZEAB=90°

???ABCD為矩形

DF=FB

???EF垂直平分DB

ED=EB

在ADEF和小BEF中

DF=BFEF=EFED=EB

，△DEF"△BEF

△AEB合△FEB合△DEF

^&AEB=S^EB=S^EF=S矩形A8co=義36=6.

故答案為6.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)和判定、全等三角形

的判定和性質(zhì)，證得4AEB之△FEB^^DEF是解題的關(guān)鍵.

19.巫

13

【分析】

根據(jù)』-8GAH=L?AB?AC,可得A”=9叵，根據(jù)得。8=

221322

小叵，再根據(jù)BE=2O8=呸叵，運(yùn)用勾股定理可得EC.

1313

【詳解】

設(shè)BE交A。于0,作AH_LBC于H.

在R"8C中，/8AC=90°,A8=2,AC=3,

由勾股定理得：8C=JI5，

?.?點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

而

：.AD=DC=DB=y-—,

2

11

--BC?AH=-?AB?AC,

22

…一6岳

13

'：AE=AB,DE=DB,

.?.點(diǎn)A在8E的垂直平分線上，點(diǎn)D在BE的垂直平分線上，

：.AD垂直平分線段BE,

I1

-AD?B0=-BD*AH,

22

.?.0B=——,

13

.一…12g

13

\9DE=DB=CD,

AZDBE=ZDEB,ZDEC=ZDCE,

/.ZDEB+ZDEC=-X18O°=90°,即：ZBEC=90°,

2

???在RtABCE中,EC=^BC2-BE2=J(加了一(1^1)2=^5.

故答案為：生叵.

本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，勾股定理以及翻折的性質(zhì)，掌握“直角三角形斜邊長(zhǎng)的

中線等于斜邊的一半”以及面積法求三角形的高，是解題的關(guān)鍵.

20.72

【解析】

【分析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得NDAF=/BAF=45。，再由矩形性質(zhì)可得FC=ED=1,然后由勾股定理求出

FG即可.

【詳解】

由折疊的性質(zhì)可知，ZDAF=ZBAF=45°,

，AE=AD=3,EB=AB-AD=1,

:四邊形EFCB為矩形,

FC=BE=1,

：AB〃FC,

AZGFC=ZDAF=45",

；.GC=FC=1,

FG=^GC-+FC2=VT+T=V2>

故答案為：立.

【點(diǎn)睛】

本題考查了折疊變換，矩形的性質(zhì)是一種對(duì)稱變換，理解折疊前后圖形的大小不變，位置

變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解決此題的關(guān)鍵.

三、解答題

21.(1)①6；②結(jié)論：EC//PA；(2)為4和16.

【分析】

(1)①如圖1中，以A為圓心AB為半徑畫弧交CD于E,作ZEAB的平分線交BC于點(diǎn)

P,點(diǎn)P即為所求?理由勾股定理可得DE.

②如圖2中，結(jié)論：EC//PA.只要證明PA_LBE，EC_LBE即可解決問(wèn)題.

(2)分兩種情形分別求解即可解決問(wèn)題.

【詳解】

解：(1)①如圖1中，以A為圓心AB為半徑畫弧交CD于E,作NE45的平分線交BC于

點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求.

AE=AB=10,A￡>=8,

:.DE=y/AE2-AD2=V102-82=6,

故答案為6.

②如圖2中，結(jié)論：EC