三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（學(xué)生版）

三次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)一：三次函數(shù)概念定義：形如fxf'x=3ax2+2bx+c當(dāng)Δ>0時(shí)，令f'x知識(shí)點(diǎn)二：三次函數(shù)的圖像及單調(diào)性注意：三次函數(shù)要么無(wú)極值點(diǎn)，要么有兩個(gè)，不可能只有一個(gè)！圖像圖像性質(zhì)增區(qū)間減區(qū)間xfx極大值，極小值f'fx在Rfx增區(qū)間x減區(qū)間fx極大值fx2f'fx在Rfx知識(shí)點(diǎn)三：三次函數(shù)的韋達(dá)定理設(shè)fx=axx1+x2+x3=?ba知識(shí)點(diǎn)四：三次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)若三次函數(shù)fx性質(zhì)三次函數(shù)圖像說(shuō)明零點(diǎn)個(gè)數(shù)三個(gè)bf兩個(gè)極值符號(hào)相異圖像與x軸有三個(gè)交點(diǎn)兩個(gè)bf有一個(gè)極值為0圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)一個(gè)bf不存在極值時(shí)，函數(shù)單調(diào)，與x軸有一個(gè)交點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)五：三次函數(shù)的對(duì)稱性結(jié)論1：三次函數(shù)fx=ax3+b結(jié)論2：已知三次函數(shù)fx=ax3+bx2結(jié)論3：若y=fx圖像關(guān)于點(diǎn)m，n對(duì)稱，則y=f'x圖結(jié)論4：點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是軸對(duì)稱函數(shù)，軸對(duì)稱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)結(jié)論5：奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)知識(shí)點(diǎn)六：三次函數(shù)的零點(diǎn)性質(zhì)定理定理一：已知三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da≠0的圖象與x軸交點(diǎn)分別為P1，P2，P3，點(diǎn)P是三次函數(shù)固象上異于P1，P定理二：已知三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da≠定理三：已知三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da≠0的圖像與x軸交點(diǎn)分別為定理四：已知三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da≠0在其中心對(duì)稱點(diǎn)Px0，fx定理五：已知三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da≠0的圖像與x軸的交點(diǎn)分別為P1x1，0，P2x2，0，P3x3，0，過(guò)P1的法線為知識(shí)點(diǎn)七：三次函數(shù)的割線性質(zhì)定理定理一：已知在三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da≠0推論一：已知在三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da≠0的圖像上任取點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P推論二：已知在三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da≠定理二：已知三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da>0的中心對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Px0，fx0，極大值為m，且即x2?x知識(shí)點(diǎn)八：三次函數(shù)的切線條數(shù)判斷定理類型一：過(guò)三次函數(shù)圖像上任一點(diǎn)的切線①設(shè)點(diǎn)P為三次函數(shù)fx=ax3+bx②若點(diǎn)P為三次函數(shù)圖像的中心對(duì)稱點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P有且只有一條切線；③若點(diǎn)P不是三次函數(shù)圖像的對(duì)稱中心，則過(guò)點(diǎn)P有兩條不同的切線.類型二：過(guò)三次函數(shù)圖像外一點(diǎn)的切線區(qū)域分布切線條數(shù)判定定理：過(guò)三次函數(shù)fx=ax3+bx2①當(dāng)x0=?b3a，則P為中心對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)②當(dāng)x0≠?b3a，且gx③當(dāng)x0≠?b3a，且gx④當(dāng)x0≠?b3a，且gx類型三：由三次函數(shù)切線斜率值判斷切線條數(shù)斜率值切線條數(shù)判定定理：已知三次函數(shù)fx=ax3+k與系數(shù)的關(guān)系aak一條一條k兩條兩條k零條兩條題型一：三次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題例1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型二：三次函數(shù)的最值、極值問(wèn)題例2．已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè).若，在上的最小值為，求的零點(diǎn).題型三：三次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題例3．已知函數(shù)，，m是實(shí)數(shù).（1）若在區(qū)間(2,+∞)為增函數(shù)，求m的取值范圍；（2）在（1）的條件下,函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍.題型四：三次函數(shù)的切線問(wèn)題例4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；(2)設(shè)常數(shù)，如果過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，求的取值范圍．變式c．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)在處取得極值．(1)設(shè)點(diǎn)，求證：過(guò)點(diǎn)的切線有且只有一條，并求出該切線方程；(2)若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，求的取值范圍；(3)設(shè)曲線在點(diǎn)、處的切線都過(guò)點(diǎn)，證明：．題型五：三次函數(shù)的對(duì)稱問(wèn)題例13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)有實(shí)數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)，則（

）A．B．C．D．變式1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象上存在一定點(diǎn)滿足：若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于不同于的兩點(diǎn)，就恒有的定值為，則的值為_(kāi)_____.變式2：（多選題）已知函數(shù)的對(duì)稱中心為，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．，B．函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)C．過(guò)可以作兩條直線與圖像相切D．若函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則E．的值是199.F．過(guò)可以作三條直線與圖像相切題型六：三次函數(shù)的綜合問(wèn)題例6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根，它們分別是，，2，則的最小值是（

）A．5B．6C．1D．8變式．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，且，現(xiàn)給出如下結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確結(jié)論的序號(hào)是__．題型七：三次函數(shù)恒成立問(wèn)題例7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)，.(1)求的極值；(2)對(duì)于，，都有，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.變式1．已知三次函數(shù)．（1）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程是，求函數(shù)的解析式；（2）在（1）的條件下，若對(duì)于區(qū)間上任意兩個(gè)自變量的值，，都有，求出實(shí)數(shù)的取值范圍．變式2c．已知函數(shù)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)(1)若為函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；(2)的單調(diào)增區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)整數(shù)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)對(duì)任意時(shí)，任意實(shí)數(shù)，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.課后練習(xí)（多選題）1．已知三次函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，若函數(shù)也有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則下列等式或不等式一定成立的有（

）A． B．C． D．2．設(shè)三次函數(shù)，則以下說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)的“拐點(diǎn)”為B．過(guò)函數(shù)的“拐點(diǎn)”有三條切線C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且兩個(gè)極值點(diǎn)之和為D．若，則3．已知三次函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為B．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為C．當(dāng)時(shí)，若函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則D．當(dāng)時(shí)，恒成立，則a的取值范圍為4．若函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的極大值為B．有且僅有2個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是的對(duì)稱中心D