【模擬測試】數(shù)學(xué)高考預(yù)測試卷及答案

高考模擬測試數(shù)學(xué)試題

滿分150分，時間120分鐘.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知R為全集，集合A={x|—2<x<2},8={中<3},則（。4）18=（）

A.{x|2<x<3}B.1x|2<%<3|

C.{x|x<0或24x<3}D.{x|x<-2或2<x<3}

2.設(shè)a,bwR,則“|a+例=+是"a=8=l"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C,充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知平面向量m=（3-x,l）,/?=（%,4）,且?！?，則下列正確的是（）

12

Ax=-lB.x=-1或4C.x--D.x=4

5

4.已知。=1。87（）.3/=0.7°3,。=7°3,則（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

5.過圓O：Y+y2=5外一點網(wǎng)2,⑹作圓O的切線，切點分別為A、B,貝川陰=（）

A.2B.75C.D.3

3

6.已知函數(shù)"x）=2sinx,為了得到函數(shù)g（x）=2sin（2x—。）的圖象，只需（）

A.先將函數(shù)/（x）圖象上點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，再向右平移?個單位

6

B.先將函數(shù)f（x）圖象上點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?;，再向右平移7自1個單位

26

C.先將函數(shù)“X）圖象向右平移F71個單位，再將點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?3

62

TT

D.先將函數(shù)f（x）圖象向右平移2個單位，再將點橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍

3

7.已知長方體ABC。-45GR,動點P到直線AO的距離與到平面BB|CC的距離相等，則P在平面

上的軌跡是（）

A.線段B.橢圓一部分C.拋物線一部分D.雙曲線一部分

8.算盤是中國傳統(tǒng)的計算工具，是中國人在長期使用算籌的基礎(chǔ)上發(fā)明的，是中國古代一項偉大的、重要

的發(fā)明，在阿拉伯數(shù)字出現(xiàn)前是全世界廣為使用的計算工具.“珠算”一詞最早見于東漢徐岳所撰的《數(shù)

術(shù)記遺》，其中有云：“珠算控帶四時，經(jīng)緯三才.”北周甄鸞為此作注，大意是：把木板刻為3部分，上、

下兩部分是停游珠用的，中間一部分是作定位用的.下圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別是個位、

十位、百位、……，上面一粒珠（簡稱上珠）代表5,下面一粒珠（簡稱下珠）是1,即五粒下珠的大小等于同

組一粒上珠的大小.現(xiàn)從個位、十位、百位和千位這四組中隨機撥動2粒珠（上珠只能往下?lián)芮颐课恢炼鄵?/p>

1粒上珠，下珠只能往上撥），則算盤表示的整數(shù)能夠被3整除的概率是（）

胖田卅卅

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.

9.已知尸為△ABC所在平面內(nèi)一點，則下列正確的是（）

A.若蘇+3萬+2]=6，則點P在AAHC的中位線上

B.若AW+P月+正=0，則P為AABC的重心

c.若福.恁>o,則AABC為銳角三角形

—1—■2—?

D.若AP=-AB+—AC,則443。與八432的面積比為3:2

33

10.函數(shù)/（x）=；x+cosx（x>0）的所有極值點從小到大排列成數(shù)列｛6,｝,設(shè)S.是｛&｝的前〃項和，則

下列結(jié)論中正確的是（）

11

A.數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列B.%=一7r

6

1

C.sin52021=—D.tan（%+%）=—

NJ

cosX

11.已知函數(shù)/（x）=-^二一，則下列選項中正確的是（）

e+smx

A.7（x）在上單調(diào)遞減

B.4卜寸，/(x)<0恒成立

C.卜會,0)是函數(shù)f(x)一個單調(diào)遞減區(qū)間

D.x=一乃是函數(shù)/(x)的一個極小值點

12.已知曲線C上的點P(x,y)滿足方程x|x-l|+y|y-1|=0,則下列結(jié)論中正確的是()

A.當時，曲線C的長度為2拒+與

B.當xe[-l,2]時，工的最大值為1,最小值為一；

JT1

c.曲線。與x軸、y軸所圍成的封閉圖形的面積和為生-一

42

D.若平行于x軸的直線與曲線C交于A,B,C三個不同的點，其橫坐標分別為X，x,,七，則x+z+W

(3

的取值范圍是2,-+^-

122J

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知一組數(shù)據(jù)—3,2a,4,5—a,1,9的平均數(shù)為3(其中aeR),則中位數(shù)為.

14.+2)展開式中的常數(shù)項為.

15.已知函數(shù)/(力=比2,一e的導(dǎo)函數(shù)為f(%),則/'(0)=；若lnxo+2xo=3,則

/(xo)=----------

16.已知△ABC為等邊三角形，PA_L底面ABC,三棱錐尸一ABC外接球的表面積為4萬，則三棱錐

產(chǎn)一ABC體積的最大值是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知數(shù)列｛4｝滿足：4=；，??+1=-1-

⑴求證數(shù)列｛?！?2｝等比數(shù)列；

⑵若數(shù)列也｝滿足包=2"+2?4,求4的最大值.

18.已知6c的內(nèi)角A、B、。的對邊分別為。，b,且2sin5+〃cosA=b,a=2>/3.

(1)求角A的大??；

(2)若sinC=2sinB,求zkABC的面積.

19.在矩形A3CD中，BC=2AB=2,取6c邊上一點M，將AABM沿著AAf折起，如圖所示形成四

棱錐S—/WCD.

1T

(1)若M為6c的中點，二面角S—AW—8的大小為一，求AS與平面ABCO所成角的正弦值；

3

(2)若將AABM沿著AM折起后使得SD1AM,求線段MC的長.

20.調(diào)查某種新型作物A在某地的耕種狀況與農(nóng)民收入的關(guān)系,現(xiàn)在當?shù)剞r(nóng)戶中隨機選取了300戶農(nóng)民進行

132

了統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)當年收入水平提高的農(nóng)戶占，，而當年選擇耕種A作物的農(nóng)戶占一，既選擇A作物又收入

153

提高的農(nóng)戶為180戶.

(1)完成下面2x2列聯(lián)表，并分析是否有97.5%的把握認為種植A作物與收入提高有關(guān)；

種植A作物的數(shù)量未種植A作物的數(shù)量合計

收入提高的數(shù)量

收入未提高的數(shù)量

合計

,n(ad-bc\

附：K?！?、,——；，

[a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k)0.100.050.0250.0100.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

(2)某農(nóng)戶決定在一個大棚內(nèi)交替種植三種作物，為了保持土壤肥度，每種作物都不連續(xù)種植.開

12

始時選擇A作物種植，后因習(xí)慣，在每次種植A后會有彳可能性種植5,一的可能性種植C;在每次種

33

132

植6的前提下再種植A的概率為一，種植。的概率為一；在每次種植。的前提下再種植A的概率為一，

445

3

種植3的概率為若僅種植三次，求種植A作物次數(shù)X的分布列及期望.

22

21.已知匕，鳥是橢圓用：鼻+方=1(。＞。＞0)的左、右焦點，曲線與：y2=4x的焦點恰好也是尸2,

。為坐標原點，過橢圓片的左焦點寫作與X軸垂直的直線交橢圓于M,N,且AMN居的面積為3.

(1)求橢圓月的方程;

⑵過工作直線/交用于A,B,交心于C，。，且AAB片與AOCD的面積相等，求直線/的斜率.

22.已知函數(shù)/(x)=ox+lnx+l.

(1)。=一1,求函數(shù)/(x)的最大值；

(2)若f(x)-7'(x)〈。恒成立，求。的取值集合；

(3)令/(x)=/(x)-依-1,過點。(天,%)做曲線y=E(x)的兩條切線，若兩切點橫坐標互為倒數(shù)，求證

點P一定在第一象限內(nèi).

答案與解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知H為全集，集合A={x|—2<x<2},3={也<3},則?A)IB=()

A.{x［2<x<3}B.{x|2<x<3}

C.{x|x<0或2Vx<3}D.{x|x<-2或2Kx<3}

［答案］D

［解析］

［分析］根據(jù)集合4,先求出集合A的補集CRA,再求A的補集CRA與集合B的交集.

［詳解］解：,.?A={X|-2<X<2},

CRA={乂％<-2sJU>2},

又8={小<3}

(C?A)c8={乂2}c{x|x<3}={x|x?—2或2<x<3}

故選：D

2.設(shè)a,8wR,則“|a+抗+是"a=b=l”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

［答案］B

［解析］

［分析］根據(jù)復(fù)數(shù)模長公式可得a,b的關(guān)系式，然后再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.

［詳解］解：：|a+N=|l+4，

.1.y/a2+b2=+『，即a2+b2=2>

(^cr+b~—2Ga—b—lJ而a=b=1=a?+/J?=2，

；?“/+〃=2”是“a=匕=1”的必要不充分條件，

即“|a+例+是"a=h=l”的必要不充分條件.

故選：B.

3.已知平面向量根=(3-x,l),〃=(x,4),且?！ā祫t下列正確的是()

12

A.x=—1B.x=—1或4C.x=——D.x=4

5

［答案］C

［解析］

［分析］

由向量共線的坐標表示可得答案.

1D

［詳解］因為為小,所以4(3-x)=x,所以無=M.

故選：C.

4.已知。=log7().3,b=0.7°3,c=7a3,則()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

［答案］A

［解析］

［分析］

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別判斷出a,b,c的取值范圍，從而可得結(jié)果.

［詳解］因為a=log?0.3<log71=0,

0</?=0.7°3<0.7°=1,

又C=7°3>7°=1，

則a<b<c.

故選：A.

［點睛］方法點睛：解答比較大小問題，常見思路有兩個：一是判斷出各個數(shù)值所在區(qū)間(一般是看三個區(qū)間

(-00,0),(0,1),(1,+00));二是利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答；數(shù)值比較多的比大小問題也可以兩種方法綜合

應(yīng)用.

5.過圓0：/+,2=5外一點尸(2,后)作圓o的切線，切點分別為A、B,貝=()

A.2B.y/5C.D.3

3

［答案］C

［解析］

［分析］本題首先可結(jié)合題意繪出圖像，然后根據(jù)圓的方程得出|。4|=|。同=石，再然后根據(jù)兩點間距離公

式以及勾股定理得出|8|=3、|/%|=2,最后通過等面積法即可得出結(jié)果.

［詳解］如圖，結(jié)合題意繪出圖像：

因為圓0：x2+y2=5,直線24、是圓。的切線，

所以。（0,0）,|。4|=|?；?6，PA1OA,PBYOB,

因為尸（2,國，所以|op|=也2+囪2=3'IP^\=yjop2-0A1=2,

根據(jù)圓的對稱性易知QPLAB,則ga|。尸||AC|=1^i|OA|\AP\,

解得|ACj=￥，|48|=2|4。|=警，

故選：C.

［點睛］關(guān)鍵點點睛：本題考查圓的切點弦長的求法，主要考查圓的切線的相關(guān)性質(zhì)，考查兩點間距離公式以

及勾股定理的應(yīng)用，考查等面積法的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

6.已知函數(shù)/（x）=2sinx,為了得到函數(shù)g（x）=2sin（2x-刊的圖象，只需（）

A.先將函數(shù)/（X）圖象上點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，再向右平移F個單位

6

B.先將函數(shù)/（X）圖象上點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?;，再向右平移弓TC個單位

26

C.先將函數(shù)/（X）圖象向右平移F九個單位，再將點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼??

62

D.先將函數(shù)圖象向右平移三個單位，再將點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍

3

［答案］B

［解析］

［分析］直接利用三角函數(shù)圖像變換可得.

［詳解］對于A：先將函數(shù)圖象上點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到y(tǒng)=2sin；x,故A錯誤；

對于B：先將函數(shù)/(x)圖象上點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼纳?，得到y(tǒng)=2sin2x,再右移7T個單位，得到

26

y=2sin21x-2,即為y=2sin12x-1

,故B正確;

對于C:先將函數(shù)/(x)圖象向右平移B個單位，得到y(tǒng)=2sin(x-j］,再將點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼墓ぃ?/p>

616J2

得到y(tǒng)=2sin(2x-.1,故C錯誤;

對于D：先將函數(shù)/0)圖象向右平移?個單位，得至ijy=2sin(x-9),再將點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,

得到＞=2sin(g無一看)，故D錯誤；

［點睛］:

關(guān)于三角函數(shù)圖像平移伸縮變換：先平移的話，如果平移“個單位長度那么相位就會改變3。；而先伸縮勢

必會改變。大小，這時再平移要使相位改變值仍為。。，那么平移長度不等于a.

7.已知長方體—,動點尸到直線AO的距離與到平面BBCC的距離相等，則p在平面

CG。。上的軌跡是()

A.線段B.橢圓一部分C.拋物線一部分D.雙曲線一部分

［答案］C

［解析］

［分析］根據(jù)長方體里的線線，線面關(guān)系，把問題轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離與到定直線的距離相等，即拋物線

定義，從而得出軌跡是拋物線的一部分.

［詳解］如圖所示長方體，

B

Bt

平面。CCQ,

則AD±PD，即點P到AD的距離為PO，

作PE±CC,,則PE為點、P到平面8CC4的距離，

在平面。CG2中，動點尸到定點。的距離與到定直線CG的距離相等，滿足拋物線定義，

故點P的軌跡是拋物線的一部分.

故選：C

8.算盤是中國傳統(tǒng)的計算工具，是中國人在長期使用算籌的基礎(chǔ)上發(fā)明的，是中國古代一項偉大的、重要

的發(fā)明，在阿拉伯數(shù)字出現(xiàn)前是全世界廣為使用的計算工具.“珠算”一詞最早見于東漢徐岳所撰的《數(shù)術(shù)

記遺》，其中有云：“珠算控帶四時，經(jīng)緯三才北周甄鸞為此作注，大意是：把木板刻為3部分，上、下

兩部分是停游珠用的，中間一部分是作定位用的.下圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別是個位、

十位、百位、……，上面一粒珠（簡稱上珠）代表5,下面一粒珠（簡稱下珠）是1,即五粒下珠的大小等于同

組一粒上珠的大小.現(xiàn)從個位、十位、百位和千位這四組中隨機撥動2粒珠（上珠只能往下?lián)芮颐课恢炼鄵?/p>

1粒上珠，下珠只能往上撥），則算盤表示的整數(shù)能夠被3整除的概率是（）

Hi必“儲AM.上珠

下珠

5

ATB.-D.

882

［答案］D

［解析］

［分析］從個位、十位、百位和千位這四組中隨機撥動2粒珠，利用列舉法列出整數(shù)共有32個，其中能夠被3

整除的整數(shù)有16個，進而根據(jù)古典概型的概率計算公式可解.

［詳解］解：從個位、十位、百位和千位這四組中隨機撥動2粒珠，得到的整數(shù)共有32個，分別為：

11,15,51,55,101,105,501,505,110,150,510,550,

1001,1005,5001,5005,1010,1050,5010,5050,1100,1500,5100,5500,

2,20,200,2000,6,60,600,6000,

其中算盤表示的整數(shù)能夠被3整除的整數(shù)有16個，分別為：

15,51,105,501,150,510,1005,5001,1050,5010,1500,5100,6,60,600,6000,

則算盤表示的整數(shù)能夠被3整除的概率為P=.

故選：。.

［點睛］關(guān)鍵點點睛：本題的解題關(guān)鍵點是利用列舉法把從個位、十位、百位和千位這四組中隨機撥動2粒珠

所得到的整數(shù)列舉出來.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.

9.已知P為△A6C所在平面內(nèi)一點，則下列正確的是()

A.若麗+3而+2定=6，則點尸在AABC的中位線上

B.若AN+P月+產(chǎn)3=6，則p為AABC的重心

c.若荏.前＞0,則AAbC為銳角三角形

—■1一2—-

D.若AP=—A6+—AC,則^45。與93。的面積比為3:2

33

［答案］ABD

［解析］

［分析］設(shè)A3中點為。，BC中點、為E，由AX+3而+2定=6可得力=2而，可知A正確；

____UUULIU

設(shè)中點為O，由PA+PB+PC=0得CP=2PO，對應(yīng)重心的性質(zhì)可知B正確；

由而?/〉()知A銳角，但無法確定知C錯誤；

一?一

根據(jù)平面向量基本定理可知BP=—BC,將面積比轉(zhuǎn)化為BC:BP,知D正確.

3

［詳解］對于A,設(shè)AB中點為O,BC中點為E，

-PA+3PB+2PC=0＞.-.PA+PB=-2(PB+PCy

2PD=^PE＞即麗=2而，，P，D，E三點共線，

又OE為AA6c的中位線，，點P在AABC的中位線上，A正確；

對于B,設(shè)中點為。，由P/i+P月+Pd=o得：PA+PB=-PC=CP

又西+麗=24，..C戶=22力，.?.尸在中線CO上，且而=2，

.?.P為AABC1的重心，B正確；

對于C，月?AC;>0，.?.而與AC夾角為銳角，即A為銳角，但此時有可能直角或鈍角，故無

法說明AABC為銳角三角形，c錯誤；

一1-2——■2—■

對于D,vAP=-AB+-AC,為線段BC上靠近C的三等分點，即6P=—BC,

333

S.ABC:S.ABP=BC:BP=3:2,D正確.

故選：ABD.

［點睛］關(guān)鍵點點睛：本題考查平面向量在幾何中的應(yīng)用問題，涉及到三角形重心的表示、平面向量基本定理

的應(yīng)用等知識；本題解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)平面向量線性運算將已知等式進行轉(zhuǎn)化，確定P點的具體位置及

其滿足的性質(zhì).

10.函數(shù)/(x)=gx+cosx(x>0)的所有極值點從小到大排列成數(shù)列｛4｝,設(shè)S“是｛q｝的前〃項和，則

下列結(jié)論中正確的是()

A.數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列B.4=筌

6

］G

C.sinS202i=_D.tan(a3+4Z7)=——

［答案］BC

［解析］

［分析］先對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)確定極值點，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)分別檢驗各選項即可判斷.

r詳解］解：ra)=；-sinx,

jr57r

令/'(九)=。可得不=一+2我乃或x=——+2左萬,keZ,

66

7T5乃

易得函數(shù)的極值點為x=—+24"或x=—+24萬，k&Z,

66

從小到大為生,2,學(xué)…，不是等差數(shù)列，A錯誤；

666

54.177r

a=--+27r=――,3止確；

466

0萬5萬1317萬7C八八八八八

5-,021=4+/+???+。2021=~-------1------1---------F,..H-----F2020x27r?,

66666

=(2+臣+...+工+2020x2%)+(且+叱+...+2+2018x2》),

666666

則根據(jù)誘導(dǎo)公式得sinS次尸sin57?r=1。正確；

62

tan(q+%)=tan(r—+—+6TT)=tan—=V3,￡)錯誤.

663

故選：BC.

COSX

11.已知函數(shù)/(x)=1一；—，則下列選項中正確的是()

e+smx

A./(x)在(0,^)上單調(diào)遞減

B.x/(x)<0恒成立

C.卜方,())是函數(shù)/(x)的一個單調(diào)遞減區(qū)間

D.x=一乃是函數(shù)〃x)的一個極小值點

［答案］AB

［解析］

［分析］對于選項A,直接利用導(dǎo)數(shù)的正負即可判斷；對于選項3只需注意分子分母的正負；對于選項C具

特殊點的函數(shù)值即可；對于選項。，由4)工。即可判斷.

-yllexsin(x+%)-1

［詳解解了,(x)「e'(sinx+cos：)-l一_____________4___,

(e*+sinx)2(/+sinx)2

3兀、./兀、八

對于A,當xe(0,—)時，xH—€(一,—),sin(xH—)>0,

24444

所以.［(x)<0,故A正確；

對于8,當無6(春人)時，cosx<0,

爐>0,sinx>0,

所以/(x)<0,故B正確；

ncos(-j)..￡jr11

對于C,/(,)=,4,又e4+sin(>-)=---^=<0,所以/(_()<(),

4”+sin(一力

I8式一萬)1

sin4>；一〈>0,所以/(一!)>0，

/(0)=11,cos(--)>0,e2一

2-.122

02-sm—22

2

因一?<一；，但此時有了(一()</(一；)

，故。錯誤；

-ni

rd_2

對于,)2#o,所以％=一萬不是函數(shù)〃x）的極值點,故。錯誤.

故選：AB.

［點睛］關(guān)鍵點點睛：本題研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，正確求出導(dǎo)函數(shù)是解題的關(guān)鍵，合理利用反例能

加快解題速度.

12.已知曲線。上的點P（x,y）滿足方程x|x-l|+y|y—1|=0,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.當xe［-l,2］時，曲線C的長度為2夜+警

B.當xe［—1,2］時，高的最大值為1,最小值為-g

兀1

c.曲線。與x軸、y軸所圍成的封閉圖形的面積和為——

42

D.若平行于x軸的直線與曲線。交于A,B,C三個不同的點，其橫坐標分別為％,%，七，則X+Z+W

（3應(yīng)）

的取值范圍是2,-+^-

I22J

［答案］ACD

［解析］

［分析］先作出方程》卜一1|+引），-1|=0表示的曲線。，然后對每個選項逐個判斷即可.

［詳解］對于方程x|x-l|+y|y—l|=o,

①當xWl,時，方程變?yōu)閤—r2+y-y2g,表示半圓弧EOF；

②當X>1,y<1時，方程變?yōu)?—x+y-y2即x+y=l,表示射線FN：

③當x>l,y>l時，方程變?yōu)镴一x+y?一y=oo［x-:=g,該圓不在x>l,y>l范

圍內(nèi)，故舍去;

④當x<l,y>l時，方程變?yōu)閤-x2+)2-y=0o(x-j,

即x+y=l,表示射線防人

綜上可知，曲線C由三段構(gòu)成：射線半圓弧EOF和射線FN.

對于選項A,當xe［—l,2］時，曲線C由三段構(gòu)成：線段￡M，半圓弧EOE和線段硒.其長度為

V2+—+72=272+—,故A正確；

22

對于選項B,令％=2二L其表示曲線C上的動點(x,y)與定點P(-2,l)連線的斜率，由圖可知，

尤+2

L=kpM=、=1,但是其最小值是過點％-2,1)且與半圓弧石。/相切的切線斜率，顯然，

k,mi“<k,pN=(—r1)~—不1=一1工,故B錯誤；

，一(一，)L

對于選項c,由圖可知，曲線c與x軸、y軸圍成的封閉圖形為兩個相同的弓形，其面積和為

//—、2

c1IV2「1乃12…

2乂二.乃.二--~1~=-，故C正確；

[42)22_|42

對于選項D,設(shè)平行于％軸的直線為)，=加，要使丁=機與曲線c有三個交點，則機日,o],不妨

(22}

設(shè)丁=機與半圓弧EOF的交點為A,B,顯然，A,B兩點橫坐標之和芯+%2=1，y=m與射線FN的

、_(1及1《3

父點為C,則點C的橫坐標元3=1一小￡^2+~2~'所以玉+X2+X3G2,-4--^-,故D正確.

[點睛]關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點在于：準確地作出方程x|x-l|+)，|y-l|=0表示的曲線C.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知一組數(shù)據(jù)—3,2a,4,5—a,1,9的平均數(shù)為3（其中aeH）,則中位數(shù)為.

［答案］3.5

［解析］

［分析］首先根據(jù)平均數(shù)求出參數(shù)〃，即可一一列出數(shù)據(jù)，再求出數(shù)據(jù)的中位數(shù)即可；

［詳解］解：因為數(shù)據(jù)一3,2a,4,5-a,1,9的平均數(shù)為3,所以一3+2a+4+5—a+l+9=3x6,解得。=2,

所以則組數(shù)據(jù)分別是一3,4,4,3,1,9,按從小到大排列分別為一3,1,3,4,4,9,故中位數(shù)為^3—+4=3.5

2

故答案為：3.5

14.展開式中的常數(shù)項為.

［答案］12

［解析］

［分析］

利用二項式定理求出通項公式，令指數(shù)為零找出常數(shù)項即可.

［詳解］通項=6卜2廣=G.2”6-3r,令6—3r=0,得r=2，

展開式的常數(shù)項為C，22=12.

故答案為：12.

［點睛］二項式定理類問題的處理思路：利用二項展開式的通項進行分析.

15.已知函數(shù)/（力=祀2》-6的導(dǎo)函數(shù)為了'（X）,則/'（0）=；若In光。+2/=3,則

f（xo）=----------

［答案］（1）.1；（2）.e

［解析］

［分析］求出了'（%）,令x=0可求/'（0）；利用對數(shù)的運算性質(zhì)對Inx°+2/=3變形可求〃與）.

［詳解］解：旄2*—,

/.f（x）=e2x+2xe2A=（2x+l）e2x,

令尤=0,得/'（O）=（2x（）+I）xe°=l；

,.Tn/+2x0=In（x。/帚）=3,

2x

/.xoe°=/,

2x3

/./(x0)=x0e°—e=e—e.

故答案為：1；e3-e-

16.已知AABC為等邊三角形，PA_L底面ABC,三棱錐P—ABC外接球的表面積為4萬，則三棱錐

。一ABC體積的最大值是.

［答案］§

［解析］

［分析］先根據(jù)外接球的表面積求出外接球的半徑，然后設(shè)等邊三角形A8C的外接圓的半徑為〃，把三棱錐

。一ABC體積用含有「的函數(shù)表示，利用導(dǎo)數(shù)求最值.

［詳解］解：設(shè)三棱錐P—ABC外接球的半徑為E，由4"7?2=47，得R=l，

設(shè)等邊三角形ABC的外接圓的半徑為r,

,R2=r,即1=/+；小2,

,;r<R,.\0<r<l,

PA="-4/=2V1-r2，

S.AHC?號=學(xué)門,

1246

VrABC=—SABC-PA=—?r.2>/l—r=Jr-r.

令y=/—則y=2/(2—3，)，

*/0<r<l,令y'=0,可得尸=

3

當o,當時，y>0,當T半,11時，y<o,

???三棱錐P—ABC體積的最大值是等X卮=；.

故答案為：—.

3

［點睛］關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是，首先根據(jù)題意得三棱錐尸-A5C外接球半徑R與等邊三角形ABC

的外接圓半徑r和三棱錐P—ABC的高Q4之間的關(guān)系卡，然后把三棱錐p—ABC體積用

「表示，最后運用函數(shù)思想借助導(dǎo)數(shù)工具求最值.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知數(shù)列｛%｝滿足：4=(，??+1-1?

(1)求證數(shù)列｛4一2｝是等比數(shù)歹U；

⑵若數(shù)列加,)滿足b?=2"+2.%,求bn的最大值.

［答案］(1)證明見解析；(2)2.

［解析］

［分析］⑴利用等比數(shù)列的定義證明；

⑵先求出數(shù)列抄“｝的通項公式，再利用與々<0判斷出｛4｝單調(diào)遞減，求出么的最大值.

33

［詳解］⑴因為%+1_2=5q_3=萬(?！癬2),

73

所以｛4-2｝是以4一2=—a為首項，以|■為公比的等比數(shù)列，

所以數(shù)列僅“-2｝是等比數(shù)列.

73

(2)由(1)得%-2=-［-(1)1,

所以2=2"+3-14?3"-1.

因為%1-么=-14?3"2n+4+1473"-12"3

=2"+3_28?3”T<2,,+3-3n+2=8-2"-9?3"<9(2"-3")<0,

所以2+1<優(yōu)，所以仍“｝單調(diào)遞減，

所以〃“的最大值為4=2.

［點睛］(1)證明等差(比)數(shù)列的方法：定義法和等差仕匕)中項法；

(2)判斷數(shù)列單調(diào)性的方法：①比較法；②函數(shù)單調(diào)性法.

18.已知AABC的內(nèi)角A、B>C的對邊分別為“，b,c,且2sinB+/?cosA=Z?,a=2A/3.

(1)求角A的大??；

⑵若sinC=2sinB,求AABC的面積.

［答案］⑴A=2；(2)2V3.

［解析］

［分析］(1)由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得sin(A+g)=#，結(jié)合A的范圍即可

求解A的值.

(2)由正弦定理可得c=?,進而由余弦定理可解得。，。的值，根據(jù)三角形的面積公式即可計算得解.

2sin］S

［詳解］解：根據(jù)題意，2sin3+bcosA=8,得———FcosA=1.

b

2sinA2sinA,,

由正弦定理可得------+cosA=1,即T=-+cosA=1,

a2v3

得：sinA+>/3cosA=>/3，

2(-^sinA+cosA)=6，sin(A+—)=~~，

TT27r

角A為三角形內(nèi)角，?,?AH—=—,

33

所以A

3

(2)由sinC=2sin3,得c=2b,又A=。，a=2百，

由余弦定理可得：a2^b2+c2-bc，解得：b=2,c=4,

所以，ABC=—^csinA=2\/3.

19.在矩形ABC。中，BC=2A3=2,取BC邊上一點M，將AA6M沿著AM折起，如圖所示形成四

棱錐S-AMCD.

BMC

7t

（1）若M為BC的中點，二面角S-AM—B的大小為可，求AS與平面A8CO所成角的正弦值；

（2）若將AABM沿著AM折起后使得SD1AM,求線段MC的長.

［答案］⑴逅；（2）3.

42

［解析］

［分析］（1）法一（幾何法）取A“中點為“，連結(jié)“S，HB，由已知證得AM_L平面BS”，可得二面角

JT

5-4彳一3的平面角/6"5=§,再取8”的中點Q，連結(jié)SQ,則SQ垂直與84，根據(jù)線面垂直判

定定理證得SQ垂直于底面ABC。，連結(jié)AQ,4S4Q為A5與平面ABCD所成角.解三角形可求得答案;

法二（向量法）取AA/中點為H，連接S”，BH，因為△AMS和AAA"均為等腰直角三角形，所以SH,

均垂直于AM，所以AM,平面8S”.以〃為坐標原點，HB，加分別為工軸，丁軸建系，運

用線面角的向量求解方法可求得答案；

（2）法一（幾何法）在平面SAM內(nèi)作S"J_AM連結(jié)BH，DH，則8〃J_AA/，根據(jù)線面垂直判定定理

可證得8,H,。三點共線，再運用三角形相似可求得答案.

法二（向量法）建立空間直角坐標系，由向量的運算可證得3,H，。三點共線，再運用三角形相似可求得

答案.

［詳解］解：⑴法1：

取AM中點為“，連結(jié)HB，

71

因為NABM=不且A8=BM=1，所以AABW為等腰直角三角形，同理△ASM也為等腰直角三角形，

2

HS,H8均垂直40于“，所以AA7J_平面BSH,

兀

所以二面角S—AM—B的平面角為/8"5=石，

因為SH=BH=*，所以三角形為正三角形，

2

取加的中點。，連結(jié)SQ,則SQ垂直與3"，得SQ=手，

因為AM,平面BS”，所以AM垂直于SQ,又SQ上BH,所以SQ垂直于底面A8C。，

連結(jié)AQ,NS4Q為A5與平面ABCD所成角.

因為AS=1,sinZSA2=—>

AS4

法2：取AM中點為“，連接SH,BH，因為ZXAMS和AAMB均為等腰直角三角形，所以S”，BH

均垂直于AM，所以AM_L平面

以“為坐標原點，HB，分別為％軸，y軸建系如圖:則點S在坐標平面xOz內(nèi)，設(shè)其坐標為S(a,O,c),

(a>0,c>0)由△AMS為等腰直角三角形且AS=1,

得M(0，￥，0),A(0,,0),則與=(a,#,c),W=(0,V2.0),

因為網(wǎng)=1,所以〃+c2=g①，

設(shè)平面ASM的法向量為m=(x,y,z),

m-AS=ar+y+cz=0一

則《2,所以機=(-c,0,a).

m-AM=y/2y=0

取平面ABM的法向量為］=(0,0,1),

因為二面角B-AM-S的大小為工，所以cos<m,〃>=?/",■②,

3yja2+c22

=也

所以通=(①，也,逅),

由①②得，

_V6424

_瓜

設(shè)AS與平面ABC。所成的角6的正弦值為sin0=1cos<AS,n>h

所以AS與平面ABC。所成角的