北京2023屆高三模擬數(shù)學(xué)試題（解析版）

北京高考數(shù)學(xué)模擬試卷（5月份）

一、選擇題（每小題4分，共40分）

1已知集合4={%"“1<2},B={-1,0,1,2,3}；則AB=

A.{0,1}B.{0,1,2）

C{-1,0,1}D.{-1,0,1,2）

【答案】C

【解析】

【詳解】試題分析:由*=瀛|Ty如:為，得*'宓二足一期為，選C.

【考點(diǎn)】集合交集運(yùn)算.

【名師點(diǎn)睛】1.首先要弄清構(gòu)成集合的元素是什么（即元素的意義），是數(shù)集還是點(diǎn)集，如集合

CM.OW-刎y=1欷鬻,{（Ky）3=/（X））三者是不同的.

2.集合中的元素具有三性——確定性、互異性、無序性，特別是互異性，在判斷集合中元素的個(gè)數(shù)時(shí)，以

及在含參的集合運(yùn)算中，常因忽略互異性而出錯(cuò).

3.數(shù)形結(jié)合常使集合間的運(yùn)算更簡(jiǎn)捷、直觀.對(duì)離散的數(shù)集間的運(yùn)算或抽象集合間的運(yùn)算，可借助Venn

圖；對(duì)連續(xù)的數(shù)集間的運(yùn)算，常利用數(shù)軸；對(duì)點(diǎn)集間的運(yùn)算，則通過坐標(biāo)平面內(nèi)的圖形求解，這在本質(zhì)上

是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)和運(yùn)用.

4.空集是不含任何元素的集合，在未明確說明一個(gè)集合非空的情況下，要考慮集合為空集的可能.另外，

不可忽略空集是任何集合的子集.

1

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軌復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】

【詳解】分析：將復(fù)數(shù)化為最簡(jiǎn)形式，求其共輒復(fù)數(shù)，找到共物復(fù)數(shù)在復(fù)平面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，判斷其所在象限.

1l+i11.11

詳解：匚；=5+51的共扼復(fù)數(shù)為j—

(1-Od+O

對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（［,-■!■），在第四象限，故選D.

22

點(diǎn)睛：此題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于送分題，解題時(shí)注意審清題意，切勿不可因簡(jiǎn)單導(dǎo)致馬虎丟分.

3.從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，則甲被選中的概率為

【答案】B

【解析】

【詳解】試題分析：從甲乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，基本事件的總數(shù)為"=C；=10,甲被選中包含的

,722

基本事件的個(gè)數(shù)加=C：C；=4,所以甲被選中的概率p=—=一,故選B.

n5

考點(diǎn)：古典概型及其概率的計(jì)算.

4.已知向量d=（2,4）,b=（-1,1）,則2〃一力=

A.（5,7）B.（5,9）C.（3,7）D.（3,9）

【答案】A

【解析】

【詳解】因?yàn)?。=（4,8）,所以2a一石=（4,8）—（一1,1）=（5,7）,故選A.

考點(diǎn)：本小題主要考查平面向量的基本運(yùn)算，屬容易題.

2兀

5

5.若a=2°-,b=10gli3,c=log2sin—,則

A.a>b>cB.b>a>cC.oa>bD.b>oa

【答案】A

【解析】

2兀

【詳解】因?yàn)閍=2°-5>l，0<b=l0gli3<1,c=log2sin—<0,因此選A

6.記S“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若53=%，。2-4=2,則4=（）

A.4B.7C.8D.9

【答案】B

【解析】

【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式的基本運(yùn)算求解.

【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為4

因?yàn)镾3=%，。2-=2，

所以3q+3"=q+4d,a?-q="=2,

解得d=2,a]=\,

所以%=%+3d=7,

故選:B

TT7T

7.“。=；”是“函數(shù)/(》)=5皿X+。)在區(qū)間(0,])上單調(diào)遞減”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】利用充分條件，必要條件的定義及三角函數(shù)的性質(zhì)即得.

jL'll

【詳解】當(dāng)。=耳時(shí)，/。)=5皿彳+,)=85工滿足在區(qū)間(0,7)上單調(diào)遞減，即由“。=J可推出“函

n

數(shù)/(x)=sin(x+。)在區(qū)間(0,-)上單調(diào)遞減”，

TT7T

反之由“函數(shù)/(X)=sin(x+0)在區(qū)間(0,5)上單調(diào)遞減”推不出“。=7"，如6="時(shí)，

1T

/(x)=sin(x+7r)=-sinx也滿足在區(qū)間(O,,)上單調(diào)遞減，

TTTT

??.“6=丁，是“函數(shù)/(%)=sin(x+8)在區(qū)間(0,-)上單調(diào)遞減”的充分而不必要條件.

故選：A.

8.己知圓/+>2=4截直線〉=左(%一2)所得弦長(zhǎng)度為2,那么實(shí)數(shù)Z的值為()

A.士@B.3C.6D.+73

33

【答案】D

【解析】

【分析】先計(jì)算圓心到直線距離的表達(dá)式，再結(jié)合弦長(zhǎng)公式求解即可.

【詳解】圓V+y2=4圓心為(0,0)半徑為r=2

點(diǎn)(0,0)到直線y=攵(》一2)的距離為d=

則弦長(zhǎng)為2爐萬=2,得25=2

解得k=±5/3

故選：D.

9.汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下

的燃油效率情況.下列敘述中正確的是

八燃油效率(km/L)

15-廣“

5.分

O4080速度(km/h)

A.消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米

B.以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多

C.甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí)，消耗10升汽油

D.某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/小時(shí).相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油

【答案】D

【解析】

【詳解】解：對(duì)于4,由圖象可知當(dāng)速度大于40初?〃2時(shí)，乙車的燃油效率大于5的近.，

.??當(dāng)速度大于405皿時(shí)，消耗1升汽油，乙車的行駛距離大于5h〃，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,由圖象可知當(dāng)速度相同時(shí)，甲車的燃油效率最高，即當(dāng)速度相同時(shí)，消耗1升汽油，甲車的行

駛路程最遠(yuǎn)，

以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最少，故2錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由圖象可知當(dāng)速度為80面刃7時(shí)，甲車的燃油效率為10h〃/L,

即甲車行駛10%?時(shí)，耗油1升，故行駛1小時(shí)，路程為80h",燃油為8升，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，由圖象可知當(dāng)速度小于80的加時(shí)，丙車的燃油效率大于乙車的燃油效率，

用丙車比用乙車更省油，故。正確

故選。.

考點(diǎn)：1、數(shù)學(xué)建模能力；2、閱讀能力及化歸思想.

10.2020年3月14日是全球首個(gè)國(guó)際圓周率日（萬Day）.歷史上，求圓周率萬的方法有多種，與中國(guó)傳

統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)，，相似.數(shù)學(xué)家阿爾?卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)〃充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正6〃邊

形的周長(zhǎng)和外切正6〃邊形（各邊均與圓相切的正6〃邊形）的周長(zhǎng)，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為2乃的近似

值.按照阿爾?卡西的方法，》的近似值的表達(dá)式是（）.

A.3〃(sin竺+ta但］B.但+tan嗎

nnnn

,6060、J.60060。)

C.3nsin---+tan---D.6nsin----1-tan---

nnjn〃7

【答案】A

【解析】

【分析】計(jì)算出單位圓內(nèi)接正6〃邊形和外切正6幾邊形的周長(zhǎng)，利用它們的算術(shù)平均數(shù)作為2乃的近似值

可得出結(jié)果.

360°60°30°

【詳解】單位圓內(nèi)接正6〃邊形的每條邊所對(duì)應(yīng)的圓心角為一-=——，每條邊長(zhǎng)為2sin—,

nx6nn

30°

所以，單位圓的內(nèi)接正6〃邊形的周長(zhǎng)為12〃sin——,

n

30°30°

單位圓的外切正6〃邊形的每條邊長(zhǎng)為2tan—,其周長(zhǎng)為12〃tan——,

nn

30°30°

12〃sin+12〃tan—（力。

/.2乃=---------------------=6n\sin——+tan

2In

".30°

則乃=3川sin---+tan

In

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查圓周率》的近似值的計(jì)算，根據(jù)題意計(jì)算出單位圓內(nèi)接正6〃邊形和外切正6〃邊形的周

長(zhǎng)是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

二、填空題（每小題5分，共25分）

11.在（2+x）5的展開式中，/的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

【答案】40

【解析】

【詳解】利用通項(xiàng)公式，Ti=C/.￡,令r=3,得出1的系數(shù)為2?=4()

考點(diǎn)：本題考點(diǎn)為二項(xiàng)式定理，利用通項(xiàng)公式，求指定項(xiàng)的系數(shù).

2x-b,x<Q,

12.若函數(shù)/(x)={有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)6的一個(gè)取值為______.

\Jx,x>Q

【答案】I(答案不唯一)

【解析】

【分析】由零點(diǎn)的概念求解

【詳解】令/(x)=0,當(dāng)xNO時(shí)，由4=0得x=0,即x=0為函數(shù)〃x)的一個(gè)零點(diǎn)，

故當(dāng)x<0時(shí)，2*->=0有一解，得匕6(0,1)

故答案為：(答案不唯一)

13.已知/(X)是定義在R上的函數(shù)，其值域?yàn)?-1,+8),則/(X)可以是.(寫出一個(gè)滿足條件

的函數(shù)表達(dá)式即可)

/(x)=2v-l

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)值域，直接寫出滿足條件的函數(shù)即可.

【詳解】因?yàn)椤?2*-1定義域?yàn)镽,且值域?yàn)?-1,+8)滿足題意.

故〃x)=2'-1或其它滿足題意函數(shù)均可.

故答案為：=

2

14.設(shè)雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)(2,2),且與v2_—f=l具有相同漸近線，則。的方程為；漸近線方程

4

為.

v-22

【答案】①.—-^v-=1②.y=

312

【解析】

【詳解】試題分析：因?yàn)殡p曲線『=1的漸近線方程為；=二、，所以曲線C的漸近線方程為；

設(shè)曲線。的方程為?_/=用(機(jī)*0)，將(2.2)代入求得“=-3,故曲線。的方程為￡_*=1.

考點(diǎn)：雙曲線的漸進(jìn)線，共漸進(jìn)線的雙曲線方程的求法，容易題.

15.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-AIBIGDI中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D|E上，點(diǎn)P到直線

CG的距離的最小值為.

【答案】尤

5

【解析】

【詳解】點(diǎn)P到直線CC1的距離等于點(diǎn)P在平面ABCD上的射影到點(diǎn)C的距離，設(shè)點(diǎn)P在平面ABCD±

的射影為P',顯然點(diǎn)P到直線CG的距離的最小值為PC的長(zhǎng)度的最小值，當(dāng)PCLDE時(shí)，PC的長(zhǎng)度最

2x12石

小，此時(shí)此C=,22+]丁

三、解答題(共6小題，85分)

2萬

16.已知在中，c=2bcosB,C=——

3

(1)求B的大小；

(2)在三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使，ABC存在且唯一確定，并求8c邊上的中線的長(zhǎng)度.

①c=血；?a+b=4；③乙ABC面積為地.

4

71

【答案】(1)

6

(2)選②時(shí)邊上的中線的長(zhǎng)度J7.選③時(shí)BC邊上的中線的長(zhǎng)度叵.

2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)已知條件運(yùn)用正弦定理，二倍角公式即可求解.

（2）選①，不滿足正弦定理，不存在；

選②，。+/?=4,結(jié)合已知條件，運(yùn)用正弦定理可求三角形各邊長(zhǎng)度，在,ACD中，運(yùn)用余弦定理，即

可求解；

選③，面積為S^8C=￥，通過三角形面積公式，可求得。的值，再結(jié)合余弦定理，即可求解.

【小問1詳解】

解：c=2/?cosB，

由正弦定理可得sinC=2sin3cos3,即sinC=sin2B，

c=生,

3

7C

???當(dāng)C=2B時(shí)，B=一即C+8=萬，不符合題意，舍去,

3

。+23=4，

：.2B=j,所以8=欠.

36

【小問2詳解】

（2）若選①，c=同，

同

由正弦定理可得￡=吧0=-?-=6,與已知條件C=&矛盾，故J3C不存在,

bsinB

2

若選②，。+匕=4,

71

A=一,所以。=/?=2,

6

2c

由正弦定理可得'=」一，即T二二萬，解得c=26，

sinAsinC5E

.?.-ABC存在且唯一確定，

設(shè)BC的中點(diǎn)為。，

：.CD=\,

在八ACD中，運(yùn)用余弦定理，AD2=AC2+CD2-2ACCDcosZC.即AD?=4+l-2x2xlx=7,

可得AD=J7，

.?.3C1邊上的中線的長(zhǎng)度近.

若選③，面積為S^5c=于，

TT

QA=B=—,

6

:.ci=b,

2

SABC=—ahsinC=—ax—=,解得q=5/3，

人隗2224

設(shè)8C的中點(diǎn)為。，

由余弦定理可得A。。=AC2+C￡)2-2xACxCDxcos^=3+3+gx3=a,可得A￡>=2^H

34242

.?.BC邊上的中線的長(zhǎng)度也.

2

17.如圖，在三棱柱ABC-44G中，CG，平面ABC,D,E,F,G分別為A4,AC,4G，B片的

中點(diǎn)，AB=BCf,AC=AA1=2.

(1)求證：ACJ_平面

(2)求二面角B-CC-Ci的余弦值；

(3)證明：直線FG與平面BCD相交.

【答案】(1)證明見解析；(2)—0；(3)證明見解析.

21

【解析】

【分析】(1)由等腰三角形性質(zhì)得AC1BE,由線面垂直性質(zhì)得AC1CC,，由三棱柱性質(zhì)可得EFIICC,,

因此￡b_ZAC,最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論；

(2)根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解得平面BCD一個(gè)法向量，根據(jù)向量數(shù)量積

求得兩法向量夾角，再根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系求結(jié)果；

（3）根據(jù)平面BCD一個(gè)法向量與直線FG方向向量數(shù)量積不為零，可得結(jié)論.

【詳解】（1）在三棱柱A8CA山中，

???CG，平面ABC,.?.四邊形44CG為矩形.

又E,尸分別為AC,AG的中點(diǎn)，.MCLEE

'：AB=BC,E為AC的中點(diǎn),.：.ACLBE,而BEEF=B,

.*.AC_L平面BEF.

（2）［方法一］:【通性通法】向量法

由（1）知AC_LE尸，AC±BE,EF//CC\.又CG_L平面ABC,...E/LL平面48c.

：BEu平面ABC,：.EF±BE.

如圖建立空間直角坐稱系E-xyz.

由題意得8(0,2,0),C(-1,0,0),D(1,0,1),F(0,0,2),G(0,2,1).

ACD=(2,0,l),CB=(L2,0),

設(shè)平面BCD的法向量為〃=(a,b,c),

nCD-0(2a+c=0

?〃.C5=0'??[a+2b=0,

令a=2,則b=?T,c=-4,

平面BCD的一個(gè)法向量/I=（2,-1,-4）,

n-EB而

?(n-EB

又?.?平面CDG的一個(gè)法向量為￡3=（0,2,0）,..cosRK~2A-

由圖可得二面角B-CDG為鈍角，所以二面角B-CD-Cy的余弦值為—YU

21

［方法二］：【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化+面積射影法

考慮到二面角8—CD—A與二面角8-CD-G互補(bǔ)，設(shè)二面角8-CD-G為。，易知后,

DB=娓，所以S&DCF.=；，S4DCB=浮■

故cos6=—"DCE=-2==一走1.

S&DCBJ2121

F

［方法三］:轉(zhuǎn)化+三垂線法

二面角5—CD—A與二面角8-8-C互補(bǔ)，并設(shè)二面角8—8—A為。，易知5E_L平面ACD.

如圖3,作EHLCD,垂足為H,聯(lián)結(jié)5”.則N8“后是二面角5—CD-A的平面角，所以

4BHE=?,不難求出cos6=叵，所以二面角5-CO-G的余弦值為—

2121

(3)［方法一］:【最優(yōu)解】【通性通法】向量法

平面88的一個(gè)法向量為“=(2,—1,一4),VG(0,2,1),F(0,0,2),

.,.曲=(0,-2,1),二3.不=一2，,〃與GF不垂直,

.?.GF與平面BCD不平行且不在平面88內(nèi)，...GF與平面8co相交.

［方法二］：幾何轉(zhuǎn)化

如圖4,取4g的中點(diǎn)G'，分別在Bg,CG取點(diǎn)N,M,使4BN=BBI，4GM=CC「聯(lián)結(jié)

FG；GN,NM,FM.則平面。C5〃平面FGM〃，又fMu平面FG'NM,FG電平面FGNM,故

直線尸G與平面BCD相交.

[方法三]:根據(jù)相交的平面定義

如圖5,設(shè)。。與EE交于尸，聯(lián)結(jié)P8.

因?yàn)镋F〃BB],且EF=BB「所以5,E,￡與四點(diǎn)共面.

31

因?yàn)镻F=±EF,BG=—BB],所以PRNBG.

42

又PF〃BG,所以四邊形PFG3是梯形，即直線FG與直線BP一定相交.

因?yàn)樽鍀平面6C。，所以直線尸G與平面BCD相交.

【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：直接利用向量法求出，屬于通性通法；

方法二：根據(jù)二面角5—CD—A與二面角B-CD-C互補(bǔ)，通過轉(zhuǎn)化求二面角3—CD—A,利用面積射

影法求出，是該問的最優(yōu)解；

方法三：根據(jù)二面角5-CD—A與二面角B-CO-G互補(bǔ)，通過轉(zhuǎn)化求二面角5-CD—A,利用三垂線

法求出；

（3）方法一：利用向量證明平面的法向量與直線的方向向量不垂直即可，既是該問的通性通法，也是最

優(yōu)解；

方法二：通過證明與平面BC。平行的平面與直線FG相交證出；

方法三：構(gòu)建過直線FG且與平面BCD相交的平面，通過證明直線FG與交線相交證出.

18.A,B,C三個(gè)班共有100名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的

鍛煉時(shí)間，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時(shí)）：

A班66.577.58

B班6789101112

C班34.567.5910.51213.5

（I）試估計(jì)c班的學(xué)生人數(shù)；

（II）從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機(jī)選取一人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙.假設(shè)

所有學(xué)生的鍛煉時(shí)間相互獨(dú)立，求該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)的概率；

（III）再從A,B,C三個(gè)班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，他們?cè)撝艿腻憻挄r(shí)間分別是7,9,8.25（單位：小

時(shí)）.這3個(gè)新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為M，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為試判斷

和M的大小.（結(jié)論不要求證明）

3

【答案】（I）40；（II）-；（III）4VS.

8'?

【解析】

【詳解】試題分析：（I）根據(jù)圖表，結(jié)合分層抽樣的抽樣比計(jì)算C班的學(xué)生人數(shù)；

（II）根據(jù)題意列出“該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)”的所有事件，由相互獨(dú)立事件概率公式求解.

（III）根據(jù)平均數(shù)公式進(jìn)行判斷即可.

試題解析：（I）由題意知，抽出的20名學(xué)生中，來自c班的學(xué)生有8名.根據(jù)分層抽樣方法，c班的學(xué)生

c

人數(shù)估計(jì)為100,—=40.

20

（II）設(shè)事件為“甲是現(xiàn)有樣本中A班的第：個(gè)人“，：=】二;….5,

事件C為“乙是現(xiàn)有樣本中C班的第7個(gè)人”，.8,

由題意可知，尸（.［）=［，：=】上…島尸（C）=L1=12…,8.

58

p（4￡）=P（A）P（Cj）=Jx：=3，i=1二…二】/「.￡.

5o4U

設(shè)事件E為“該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)由題意知，

E=U4gU4clU4gUxqU4GU4JU4GU

U4GU4GU4clU4GUgU4c4.

因此

P（￡）=PG1C）+P（4G）+P（J:G）+P（&G）-尸（d：G）+PC&C0+P（J：C:）+P（J：C3）

-尸?wC）+尸（4G）-尸（4G）+尸（wC）+HaC：）+尸（wG）-HWC）=15*—=-.

408

（III）/j-<u--

【考點(diǎn)】分層抽樣、相互獨(dú)立事件的概率、平均數(shù)

【名師點(diǎn)睛】求復(fù)雜的互斥事件的概率的方法：一是直接法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥事件

概率的和，運(yùn)用互斥事件的求和公式計(jì)算；二是間接法，先求此事件的對(duì)立事件的概率，再用公式

聲&麗=：,-赳［9:，即運(yùn)用逆向思維的方法（正難則反）求解，應(yīng)用此公式時(shí)，一定要分清事件的對(duì)立事件到

底是什么事件，不能重復(fù)或遺漏.特別是對(duì)于含“至多"“至少''等字眼的題目，用第二種方法往往顯得比較簡(jiǎn)

便.

19.設(shè)函數(shù)/（x）=1—8nx,Z>0.

（1）k=l時(shí)，求曲線/（x）在點(diǎn)（1,/（1））處的切線方程；

（2）求了（X）的單調(diào)區(qū)間和極值；

（3）證明：若/（x）存在零點(diǎn)，則/（x）在區(qū)間（1,上僅有一個(gè)零點(diǎn).

【答案】（1）>-；=°

（2）函數(shù)/（x）單調(diào)遞減區(qū)間是（0,〃），函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是（4,+"）；極小值為g—glnZ,

無極大值

（3）證明見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；

（2）分類討論函數(shù)的單調(diào)性確定極值即可；

（3）根據(jù)零點(diǎn)定理即可求解.

【小問1詳解】

2

函數(shù)f（x）=^--k\nx,

V.21

4=1時(shí)，/（x）=y-lnx,/（1）=-,

ra）=一,r（i）=o,

X

???曲線/（x）在點(diǎn)（1,/（1））處的切線方程為y-；=0?

【小問2詳解】

廣（

XX

X€（O,JT）時(shí)，/（x）＜0,函數(shù)/（X）單調(diào)遞減;

X€（4,+O0）時(shí)，/'（X）＞O,函數(shù)/（x）單調(diào)遞增.

（o，my/k(4,+00)

f'M+0—

極小值/

X=&時(shí)，函數(shù)“X）取得極小值，=無極大值.

綜上可得：

函數(shù)/（X）單調(diào)遞減區(qū)間是（0,4），函數(shù)/（X）單調(diào)遞增區(qū)間是（、優(yōu),+8）.

X=4時(shí)，函數(shù)/（X）取得極小值，八％=g_glnk,無極大值.

【小問3詳解】

證明：由（2）可知：函數(shù)/（X）單調(diào)遞減區(qū)間是（0,4）,函數(shù)“X）單調(diào)遞增區(qū)間是（4,+8）.

x=&時(shí)，函數(shù)/（x）取得極小值，于四=g_glnk,

若〃力存在零點(diǎn)，

則函數(shù)/（x）的極小值/（、仄）=g—gln〃W0,

解得攵Ne.

/（X）在區(qū)間（1,人］上單調(diào)遞減,

???/（X）在在區(qū)間（1,五］上最多有一個(gè)零點(diǎn),

又/⑴=g，=

因此/（x）在區(qū)間（1,五］上僅有一個(gè)零點(diǎn).

X2

20.橢圓C：二=1的右焦點(diǎn)為尸（1,0），離心率為，

a4

（I）求橢圓C的方程;

（2）過尸且斜率為1直線交橢圓于M,N兩點(diǎn)，P是直線戶4上任意一點(diǎn).求證：直線PM,PF,PN的

斜率成等差數(shù)列.

22

【答案】（1）—+^=1

43

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率的定義和上。之間的關(guān)系即可求解:

（2）根據(jù)直線和橢圓的聯(lián)立，韋達(dá)定理以及斜率的比值定義代入即可求解.

【小問1詳解】

由題意可得c=l,e=￡=；,

a乙

22

解得a=2,b=ylc_a=V3，

則橢圓c的方程為三+匯=1；

43

【小問2詳解】

證明：設(shè)〃（片,乂），Mj%），P（4,%），

由題