人教A版（新）必修二平面向量及其應(yīng)用 平面向量的運(yùn)算 全國一等獎

《平面向量的運(yùn)算》課件第一課時(向量的數(shù)量積)一、探究新知

前面我們學(xué)習(xí)了向量的加、減運(yùn)算，類比數(shù)的運(yùn)算，兩個實數(shù)可以進(jìn)行乘法運(yùn)算，那就出現(xiàn)了一個自然的問題：兩個向量是否也可以進(jìn)行乘法運(yùn)算呢？如果能，那么向量的乘法該怎樣定義？我們從物理學(xué)中力對物體所做功進(jìn)行分析.

如圖，一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，且力F與位移s的夾角為θ，那么力F所做的功W是多少？θsFW=|F||s|cosθ

功是一個標(biāo)量，它由力和位移兩個向量來確定，這給我們一種啟示：能否把“功”看成是兩個向量“相乘”的結(jié)果呢?受此啟發(fā),我們引入向量“數(shù)量積”的概念.

因為力做功的計算公式中涉及力與位移的夾角,所以我們先要定義向量的夾角概念.二、向量的夾角θ注意向量夾角的范圍是多少？[0,π]②向量夾角的找法：起點(diǎn)相同.

如果向量

與

的夾角是90°,則稱向量

與

垂直，記作

⊥

.aaabbb①當(dāng)θ=0時，與同向；當(dāng)θ=π時，與反向.ab

對于兩個非零向量

和

，如圖作，我們就稱∠AOB=θ為向量

與

的夾角.abAOB三、向量的數(shù)量積①兩個向量的數(shù)量積是向量還是數(shù)量？②零向量與任意向量的數(shù)量積是多少？①兩個向量的數(shù)量積是數(shù)量，這個數(shù)量的大小與兩個向量的長度及其夾角有關(guān).而向量線性運(yùn)算的結(jié)果是一個向量.①兩個非零向量的數(shù)量積為正的條件是什么？②兩個非零向量的數(shù)量積為負(fù)的條件是什么？①當(dāng)兩個向量的夾角為銳角或0°時，其數(shù)量積為正；②當(dāng)兩個向量的夾角為鈍角或180°時，其數(shù)量積為負(fù).如果，是否有或?

否，還可以有θ=90°=||||cosθabab?

已知兩個非零向量與，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量||||cosθ叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作,即aabbab?②零向量與任意向量的數(shù)量積是0，即0a?=0四、向量數(shù)乘的運(yùn)算律(1)①

②

③(2)答：

常常記作設(shè)與都是非零向量.(1)①當(dāng)⊥時，=？，反之成立嗎？②當(dāng)與同向時，=？，特別地，?=？③當(dāng)與反向時，=？(2)|

|與||||的大小關(guān)系如何？ab⊥?ab?=0當(dāng)與同向時，特別地，或當(dāng)與反向時，例1(1)如圖,平行四邊形ABCD中，DCAB①當(dāng)、滿足條件_________時，

+與-互相垂直；②當(dāng)、滿足條件_________時，|

+

|=|-|.(2)已知，且與的夾角為60°.①+與的夾角為____度；②-與的夾角為____度.五、典型例題注意

本題告訴我們：平行四邊形法則是解決含兩個向量的和及這兩個向量的差這類題的方法之一.3060ab||=||ab⊥例2已知與的夾角θ為120°，求：五、典型例題解：(1)-10=52-(-10)-6×42=-61五、典型例題解：因為θ∈[0,π]，所以θ=135°.cosθ=由得例3已知，求與的夾角θ.ab

對于兩個非零向量

和

，作，我們就稱∠AOB=θ為向量

與

的夾角.ab六、課堂小結(jié)1.向量的夾角：2.向量的數(shù)量積：注意=||||cosθabab?

已知兩個非零向量與，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量||||cosθ叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作,即aabbab?②ab⊥?ab?=0