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《線性代數(shù)》教案

編號(hào):

課時(shí)安排：2學(xué)時(shí)教學(xué)課型：理論課4實(shí)驗(yàn)課口習(xí)題課口其它口

題目：第一章行列式

§1.1二階、三階行列式§1.2n階行列式

教學(xué)目的要求：

使學(xué)生掌握二、三階行列式的定義及計(jì)算方法；理解逆序數(shù)的定義及計(jì)算方法

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

二、三階行列式的定義及計(jì)算方法；逆序數(shù)的計(jì)算方法

教學(xué)方式、手段、媒介：

講授，多媒體、板書

教學(xué)過(guò)程：（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等）

導(dǎo)入（10分鐘）本章主要內(nèi)容和知識(shí)點(diǎn)

新授課內(nèi)容（75分鐘）

二、三階行列式的定義

一、二階行列式的定義

從二元方程組的解的公式，引出二階行列式的概念。

用消元法，當(dāng)為的2-。的尸0時(shí)，解得/=叫2"也丁2'

-dy?ci?]a22

令a''12=%02-q2a21，稱為二階行列式，則

以11自

瓦al2

力2以22以21%

aaa

以11Unn

a21a22的1a22

如果將D中第一列的元素%i，%]換成常數(shù)項(xiàng)"，為,則可得到另一個(gè)行列式，用字

母2表示,于是有

b?。22

按二階行列式的定義，它等于兩項(xiàng)的代數(shù)和：仇外2-打。21，這就是公式（2）中馬的表達(dá)

式的分子。同理將。中第二列的元素a⑵a22換成常數(shù)項(xiàng)匕,兒，可得到另一個(gè)行列式,

用字母2表示,于是有

D2=

%b2

按二階行列式的定義，它等于兩項(xiàng)的代數(shù)和：也，這就是公式（2）中々的表達(dá)

式的分子。

于是二元方程組的解的公式又可寫為

［_D}

<D其中。彳0

x—―-

I2D

3工］-2X2=12

例L解線性方程組V

2尢］+x2=1

%內(nèi)+412X2+43X3=4

同樣,在解三元一次方程組卜2內(nèi)+%2》2+。23%3=瓦吐要用到“三階行列式”，這里

。311］+。32工2+。33工3=

可采用如下的定義.

二、三階行列式的定義

。］西+ai2x2+at3x3=bt

設(shè)三元線性方程組{。2丙+a22X2+。23%3=82

。31再+a32x2+a33x3=b3

用消元法解得

v_4為吆+%以230+以1也以32一4以23%2一也以33一演叼用

工1二

。11，22?33+，2以23%1+演々21以32一，1?23%2一以12以2/33一々13他2%

?_，@2%3+可儀23%1+白13以2也一以11叼3務(wù)一4以21白33一以13&2的1

X

2=；

“1口22433+乙12a23a31+以口%]%2一"11電3a32一212白21233—々13%2。31

+"12^a"31+^1421々32411'2d32一022031

工3二；；；；

011022%3+以12423%1+以13以21以32—%以23%2一以12。21%3一，3以22%1

定義設(shè)有9個(gè)數(shù)排成3行3列的數(shù)表

a\I"12。13

。21。22。23

。31。32。33

a

\\。12。13

記。=%1%2%3="”出2%3+42。23a31+《3生1%2-。|3a2必|一%1生3。32-，2。2口33,稱為二階行

。31。32。33

12-4

例2.計(jì)算三階行列式。=-221.(-14)

-34-2

—2x+y+z=-2

例3.解線性方程組尤+y+4z=0.

3x-7y+5z=5

解先計(jì)算系數(shù)行列式

-211

D=114=一10+12-7-3-56-5=-69/0

3-75

再計(jì)算D{,D2,D3

-211-2-21-21-2

2=014=-51>D2=104=3PD,=110=5

5-753553-75

17D,31_D_5

得X尤—-—2=—,y=—=---Z,z--3-------

D23D69D69

全排列及其逆序數(shù)

引例：用1、2、3三個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)的三位數(shù)？

一、全排列

把n個(gè)不同的元素排成一列，叫做這〃個(gè)元素的全排列(簡(jiǎn)稱排列).

可將〃個(gè)不同元素按1~〃進(jìn)行編號(hào)，則〃個(gè)不同元素的全排列可看成這"個(gè)自然數(shù)

的全排列.

〃個(gè)不同元素的全排列共有〃!種.

二、逆序及逆序數(shù)

逆序的定義：取一個(gè)排列為標(biāo)準(zhǔn)排列,其它排列中某兩個(gè)元素的次序與標(biāo)準(zhǔn)排列中這

兩個(gè)元素的次序相反時(shí)，則稱有一個(gè)逆序.

通常取從小到大的排列為標(biāo)準(zhǔn)排列，即1~〃的全排列中取123…(〃-1)〃為標(biāo)準(zhǔn)排列.

逆序數(shù)的定義：一個(gè)排列中所有逆序數(shù)的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù).

逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列,逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列,標(biāo)準(zhǔn)排列規(guī)定為

偶排列.

例1:討論1,2,3的全排列.

全排列123231312132213321

逆序數(shù)022113

奇偶性偶奇

逆序數(shù)的計(jì)算：設(shè)PS?…P”為123…（〃-1）〃的一個(gè)全排列，則其逆序數(shù)為

2+…小

/=1

其中號(hào)為排在P,前，且比P,大的數(shù)的個(gè)數(shù).

定理1任意一個(gè)排列經(jīng)過(guò)一個(gè)對(duì)換后奇偶性改變。

定理2n個(gè)數(shù)碼（n>l）共有n!個(gè)n級(jí)排列，其中奇偶排列各占一半。

總結(jié)（5分鐘）

討論、思考題、作業(yè)：

教學(xué)總結(jié):

《線性代數(shù)》教案

編號(hào)：

課時(shí)安排:2學(xué)時(shí)教學(xué)課型：理論課d實(shí)驗(yàn)課口習(xí)題課口其它口

題目：第一章行列式

§1.2〃階行列式的定義（續(xù)）

教學(xué)目的要求：

掌握〃階行列式的定義

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

〃階行列式的定義，特殊行列式的計(jì)算公式

教學(xué)方式、手段、媒介：

講授，多媒體、板書

教學(xué)過(guò)程：（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等）

復(fù)習(xí)（5分鐘）

新授課內(nèi)容（80分鐘）

回顧二階,三階行列式的共同特點(diǎn).

.a”

二階行列式=即電2-62a21

〃2ia）?

許al2

=41°22—%2a21=Z（—1）。1仍402?

442-

其中：①pm是1,2的全排列，②f是P/2的逆序數(shù)，③Z是對(duì)所有1,2的全排列求

和.

三階行列式

Da)?a-yaci11a2)la〔)aa311ci13d,1^^323^^22^^3]^Zj?d-y^a-^^ay,a??a-^^

。31。32。33

其中:①PlP2P3是1,2,3的全排列,②t是PiP2P3的逆序數(shù),③Z是對(duì)所有1,2,3的全排

列求和.

=E(—1)Z—“?

。31。32。33

其中:①P1P2…P”是1,2,…，〃的全排列，②/是P1P2…P”的逆序數(shù)，③Z是對(duì)所有

1,2,…，〃的全排列求和.

板書給出n階行列式語(yǔ)言定義和計(jì)算定義：

“11

a21

舉例進(jìn)行練習(xí)

〃階行列式的等價(jià)定義為:

〃階行列式的等價(jià)定義為:

特殊公式1:

特殊公式2：

下三角行列式

總結(jié)（5分鐘）

討論、思考題、作業(yè):

教學(xué)總結(jié):

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編號(hào):

課時(shí)安排：2學(xué)時(shí)教學(xué)課型：理論課4實(shí)驗(yàn)課口習(xí)題課口其它口

題目：第一章行列式

§1.3行列式的性質(zhì)

教學(xué)目的要求：

掌握九階行列式的性質(zhì)，會(huì)利用〃階行列式的性質(zhì)計(jì)算〃階行列式的值；

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

行列式的性質(zhì)

教學(xué)方式、手段、媒介：

講授，多媒體、板書

教學(xué)過(guò)程：（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等）

復(fù)習(xí)（5分鐘）

新授課內(nèi)容（80分鐘）

轉(zhuǎn)置行列式的定義

%洵…%…%

記?22DT=al2a22...%⑺，）

????????????

a

n\a“2???anna]na2n…anil

行列式D'稱為行列式。的轉(zhuǎn)置行列式（依次將行換成列）

一、〃階行列式的性質(zhì)

性質(zhì)1:行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.

由此知，行與列具有同等地位.關(guān)于行的性質(zhì)，對(duì)列也同樣成立，反之亦然.

以巴表示第i行，c,表示第4列.交換i,j兩行記為c。，交換i,J兩列記

作q—Cj.

性質(zhì)2：行列式互換兩行（列），行列式變號(hào).

推論：行列式有兩行（列）相同，則此行列式為零.

性質(zhì)3：行列式的某一行（列）的所有元素乘以數(shù)上等于用數(shù)人乘以該行列式.

推論1：行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)外.

推論2：行列式中有兩行（列）的元素對(duì)應(yīng)成比例，則此行列式為零.

性質(zhì)4：若行列式中某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式等于兩個(gè)行

列式之和.

即…(即+

%24Jain

a2i)…a2n

[Q),,,,+

即若:::,

a?l4,2…(“+a'm)???ann

a\\a!2a\i???Cl\na\\a\2J?…

a221"a2i,1,a2na2\a22",a2ia2n

則D=+

-*…a

a屁ania?nan\an2.?111t

性質(zhì)5：把行列式某一行（列）的元素乘以數(shù)h再加到另一行（列）上，則該行

列式不變.

二、〃階行列式的計(jì)算：

2-512

-37-14

例1.計(jì)算。=

5-927

4-612

2-5121-5221-522

-37-14-17--34乃+“02-16

解：D=——

5-9272-957可必0113

4-6121-6420-120

1-5221-522

/s+2/

400360-120

-9?

r3+r400330030

0-1200003

abbb。+3/7〃+3〃4+3ba+3b

babbabh

例2.D=

bbabbbab

bbbClbbba

111111111

八X-

ci+3bhahh0ci-b00

(a+3b(Q+3b)

bbabj=2,3,400a-b0

hbhCl000a-

=(a+3b)(a-b)-

(推廣至九階，總結(jié)一般方法)

p+qq+rr+pPqr

例3.證明：Pi+/5+64+Pi=2Piq、4

〃2+%r

q2+2r2+p2Pi%Y?

q+rr+pqq+rr+p

第一列p

證明：左端嬴Pl%+44+Pi+1%+66+Pi

Pi%+〃々+P2%%+為4+P2

Pqr

2Pi%4

Pi%r2

例4.計(jì)算2〃階行列式.

ab

b

{ad-bc\

（利用遞推法計(jì)算）

例5.D

D=det(%.)

],D2=det(Z>.)=

則D=D,D2.

總結(jié)（5分鐘）

討論、思考題、作業(yè):

教學(xué)總結(jié)：

《線性代數(shù)》教案

編號(hào)：

課時(shí)安排:2學(xué)時(shí)教學(xué)課型：理論課才實(shí)驗(yàn)課口習(xí)題課口其它口

題目：第一章行列式

§1.4行列式按行（列）展開(kāi)

教學(xué)目的要求：

了解余子式和代數(shù)余子式的概念；掌握行列式按行（列）展開(kāi)；

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

行列式按行（列）展開(kāi)

教學(xué)方式、手段、媒介：

講授，多媒體、板書

教學(xué)過(guò)程：（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等）

復(fù)習(xí)（5分鐘）

新授課內(nèi)容（80分鐘）

定義在〃階行列式中，把元素%所處的第，行、第/列劃去，剩下的元素按原排列

構(gòu)成的〃-1階行列式，稱為%的余子式，記為%；而稱為％的代數(shù)余子

式.

引理如果〃階行列式中的第，?行除％外其余元素均為零，即：

瑪??????4.

D=0…a.0?則:D='&.

"?a.???ann

定理行列式等于它的任意一行（列）的各元素與對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和,

即

按行：a,.1Ayl+a,.2A72+---+a,,A;?=O（i工力

按列：+,??+??,A/=0（'*力

舉例講解并練習(xí)

范德蒙行列式

11-??1

玉元2…X〃

D.=國(guó)2只…片

=n>ni>j>\(…

<'…鎮(zhèn)

其中，記號(hào)“口”表示全體同類因子的乘積.

定理的推論行列式一行（列）的各元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)各元素的代數(shù)余子

式乘積之和為零，即a,.+ai2Aj2+???+ainAjn=0（zj）

按列：auA\j++???+aniA?j=0(ix/)

結(jié)合定理及推論，得

Id)

EhkAjk'kjD5g,,其中介=?

ogj)’

總結(jié)（5分鐘）

討論、思考題、作業(yè):

教學(xué)總結(jié):

《線性代數(shù)》教案

編號(hào)：

課時(shí)安排:2學(xué)時(shí)教學(xué)課型：理論課d實(shí)驗(yàn)課口習(xí)題課口其它口

題目：第一章行列式

§1.5克萊姆法則

教學(xué)目的要求：

了解克拉默法則的內(nèi)容，了解克拉默法則的證明，會(huì)利用克拉默法則求解含有幾個(gè)未

知數(shù)九個(gè)方程的線性方程組的解；

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

克拉默法則的應(yīng)用

教學(xué)方式、手段、媒介：

講授，多媒體、板書

教學(xué)過(guò)程：（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等）

復(fù)習(xí)（5分鐘）

新授課內(nèi)容（80分鐘）

研究對(duì)象：含有〃個(gè)未知數(shù)元］,々，…,工”的〃個(gè)方程的線性方程組

a]]x]+a]2x2+???q〃了〃=仇

。21占+。2212+?一。2〃％2=b?

(1)

斯內(nèi)+an2x2+-amxn=bn

與二、三元線性方程組相類似,它的解可以用〃階行列式表示.

定理1（Cramer法則）如果線性方程組（1）的系數(shù)行列式不等于零，即

a\\…a\n

D............工0,

an\…

則方程組（1）有且僅有一組解：

其中D2=1,2,...,〃）是把系數(shù)行列式。中的第/列的元素用方程組右端的常數(shù)列代

替，而其余列不變所得到的〃階行列式

"%&

”,%am

當(dāng)々也，…,么全為零時(shí)，即

a^+al2x2+---alnxn=0

。21%]+。22工2+,??。2”12=0

<

a?lxl+an2x2+---a?nxn=0

稱之為齊次線性方程組.顯然,齊次線性方程組必定有解（2=0,々=0,...,/=0）.

根據(jù)克拉默法則，有

1.齊次線性方程組的系數(shù)行列式。H0時(shí)，則它只有零解（沒(méi)有非零解）

2.反之，齊次線性方程組有非零解，則它的系數(shù)行列式￡>=（）.

例1.求解線性方程組

2再+x)-5X3+/8

--6;q=9

2匕F卜2%=-5

XFX

W+42-7毛64=0

解:系數(shù)行列式

21-51

-33

1-30-6—=27H0

D=

02-12-7-2

20-10

同樣可以計(jì)算

81-5128-51

9-30-6190-6

2==81—=-108

-52-12()-5-2

04-7610-76

218121-58

1-39-61-309

3==-276==27,

。02-5202-1-5

140614-70

所以M=2=3,x,=烏=D

-4X-i=—-1,匕=—=1.

D-DDD

注意：

1.克萊姆法則的條件：〃個(gè)未知數(shù)，幾個(gè)方程，且。。()

2.用克萊姆法則求解方程組運(yùn)算量大一般不采用它求解方程組。

3.克萊姆法則具有重要的理論意義。

4.克萊姆法則說(shuō)明線性方程組的解與它的系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)之間的依存關(guān)系.

例2.用克拉默法則解方程組

3%+5x,+2X3+兒=3,

3X2+4X4=4,

+x2+x3+x4=11/6,

x]-x2-3X3+2X4=5/6.

例3.已知齊次線性方程組

(5-2)x+2y+2z=0

<2x+(6-2)y=0

2x++(4-A)z=0

有非零解，問(wèn)4應(yīng)取何值?

解系數(shù)行列式

￡>=（5-2）（2-^）（8-2）

由：D—0，得4=2、4=5、2=8.

總結(jié)（5分鐘）

討論、思考題、作業(yè)：

教學(xué)總結(jié):

《線性代數(shù)》教案

編號(hào)：

課時(shí)安排:2學(xué)時(shí)|教學(xué)課型：理論課卜實(shí)驗(yàn)課口習(xí)題課口其它口

題目：第二章矩陣

§2.1矩陣的概念§2.2矩陣的運(yùn)算§2.3〃階矩陣（方陣），方陣的行列式

教學(xué)目的要求：

了解矩陣的概念；掌握矩陣的運(yùn)算

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

矩陣的概念和矩陣的運(yùn)算

教學(xué)方式、手段、媒介：

講授，多媒體、板書

教學(xué)過(guò)程：（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等）

導(dǎo)入（10分鐘）本章主要內(nèi)容和知識(shí)點(diǎn)

新授課內(nèi)容（75分鐘）

一、矩陣的定義

稱山行、〃列的數(shù)表

a}2

a22

為機(jī)X”矩陣，或簡(jiǎn)稱為矩陣；表示為

或簡(jiǎn)記為A=(%)“⑼，或A=(他)或Amxn；其中a-.表示A中第，行，第/列的元素0

其中行列式D="21"22-"2”為按行列式的運(yùn)算規(guī)則所得到的一個(gè)數(shù)；而

????????????

a,,.\a?.2an,n

"X"矩陣是〃7X〃個(gè)數(shù)的整體，不對(duì)這些數(shù)作運(yùn)算。

例如I,公司的統(tǒng)計(jì)報(bào)表,學(xué)生成績(jī)登記表等,都可寫出相應(yīng)的矩陣。

設(shè)A=(%)“*“，8=(%.),“*“都是加x〃矩陣，當(dāng)

i=1,2,…，根；）=1,2,■■■,?

則稱矩陣A與3相等，記成A=3。

二、特殊形式

〃階方陣：矩陣

行矩陣：lx〃矩陣(以后又可叫做行向量)，記為

A=(at,a2

列矩陣：〃2X1矩陣(以后又可叫做列向量)，記為

A2

B=：

零矩陣：所有元素為0的矩陣，記為。

矩陣的運(yùn)算

一、加法

設(shè)A=(%),,?(“，3=(%)”,*“，都是機(jī)x〃矩陣,則加法定義為

/卬|+々1ai2+bl2???《“+仇“、

4D_a2\+821a22+%2a2n+^2?

/I~rZ?—

/向+仇“|",”2+2,2,,,

顯然，

?A+B=B+A,②(A+B)+C=A+(B+A)

二、數(shù)乘

設(shè)4是數(shù)，A=(%)”,x“是機(jī)X”矩陣，則數(shù)乘定義為

'而]]Acil2???九乙”、

九/笛?,?

AA=

、久,"1助,”2…血叫

顯然

①(4/)A=;L(〃)A,②(x+)I)A^AA+/JA,(3)2(A+B)=^4+2B

三、乘法

設(shè)A-B=(&《“，則乘法定義為

AB=C

其中C=(%.),,*“

1,2,…，加

Cij=aMj+%2b2j+…=￡火山處

k=\=1,2,…,〃

注：兩個(gè)矩陣相乘要求前一個(gè)矩陣的列數(shù)等于后一個(gè)矩陣的行數(shù)；乘積矩陣的行數(shù)為前

一個(gè)矩陣的行數(shù),列數(shù)為后一個(gè)矩陣的列數(shù)；乘積矩陣的第，行，第j列元素為前一個(gè)矩

陣的第i行元素與后一個(gè)矩陣的第，行元素對(duì)應(yīng)相乘再相加。

'410、

103-113

例：設(shè)A=B,則

202201

、134,

’40、

103-1-113

AB=

210220I

34,

lx4+0x(-l)+3x2+(-l)xllxl+0xl+3x0+(-l)x31X0+0X3+3X1+(-1)X4、

2x4+lx(-l)+0x2+2xl2xl+lxl+0x0+2x32x0+lx3+0xl+2x4,

9-2-1

9911

-2424

例:設(shè)A=，B,求48及BA。

1-2-3-6

-2424-16-3224-2400、

解：AB=，BA=

-2人-3-6、816-3-61-200,

由此發(fā)現(xiàn)：（1）AB^BA,（不滿足交換律）

（2）Aw。，B手0,但卻有84=0。

一個(gè)必須注意的問(wèn)題：

1.若人…A*,,,則A,“x,%成立，當(dāng)加時(shí)，紇““A,”.,不成立;

2.即使4*,.,則是m階方陣，而紇*“,4*,是〃階方陣;

，-24、

3.如果A,B都是〃階方陣，例如A

、1-27

-16-3200

AB,而B(niǎo)A=

、81600

綜上所述，一般AB^BA（即矩陣乘法不滿足交換率）。

下列性質(zhì)顯然成立:

（AB）C=A（BC）,②=（X4）B=A（2B）,

A（B+C）^AB+AC,（B+C）A^BA+CA

幾個(gè)運(yùn)算結(jié)果:

向+a2b2+...+anbn；

'岫ab?

e、}2??他、

b2aih\ab?-a2bn

2.22

a,,b2-,,怎切

3.若A為mx/矩陣，/是機(jī)階單位陣，則￡4=4；若/是〃階單位陣，則A/=A；

4.線性方程組的矩陣表示:

%內(nèi)+%2尤2+…％,產(chǎn)”=白

xh

七內(nèi)+a222—aIn=2

h

4"Mi+a,"2%2+3a,”,d"=m

/\

a\\a\2??,6.、1項(xiàng)

a2\。22°??a2n%%

A=,x二,b=

X3m>

am2c?-?amn,<n>

則Ax-b

矩陣的幕：A2=A4,A3=A42,---,A“=A4"T.

四、轉(zhuǎn)置

a\\a\2…即?'a\\a2\…

a2\a22…a2na\2a22.**an2

設(shè)A=,記4,=

????????????

、心凡2…a”n,9〃a2n…—

則稱”是A的轉(zhuǎn)置矩陣。

顯然，

T1

（Ar）T=A,②（A+Bf=A+B一，（3）（M,=AAT,(4)(AB)r=BTATo

五、方陣的行列式

A為〃階方陣，其元素構(gòu)成的〃階行列式稱為方陣的行列式,記為閾或detA。

結(jié)論,[=網(wǎng)，②.[=下國(guó)，③H耳=阿忸|。

總結(jié)（5分鐘）

討論、思考題、作業(yè)：

教學(xué)總結(jié):

《線性代數(shù)》教案

編號(hào):

課時(shí)安排:2學(xué)時(shí)|教學(xué)課型：理論課卜實(shí)驗(yàn)課口習(xí)題課口其它口

題目：第二章矩陣

§2.4幾種特殊的矩陣

教學(xué)目的要求：

掌握幾個(gè)〃階特殊矩陣的定義和性質(zhì)

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

三角形矩陣和對(duì)稱矩陣的相關(guān)定義和結(jié)論

教學(xué)方式、手段、媒介：

講授，多媒體、板書

教學(xué)過(guò)程：（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等）

復(fù)習(xí)（5分鐘）

新授課內(nèi)容（80分鐘）

對(duì)角陣：對(duì)角線元素為4,4，…,（，其余元素為。的方陣，記為

X

=diag（4,4「?，4）

<4/

結(jié)論：同階對(duì)角陣的和、數(shù)乘、乘積仍是同階對(duì)角矩陣

'a、

數(shù)量矩陣：4=。,

結(jié)論：同階數(shù)量陣的和、數(shù)乘、乘積仍是同階數(shù)量矩陣

單位陣：對(duì)角線元素為1,其余元素為0的方陣，記為

1、

1

/=?.

1

\4）

三角形矩陣：

%

。12

0

上三角形矩陣A=。22

\00

%0

a22

下三角形矩陣A=

\aH.lan2

同階同型三角陣的和、數(shù)乘、乘積仍是同階同型三角矩陣

對(duì)稱矩陣:若矩陣A滿足"=A（即。,=%），則稱4是對(duì)稱陣

結(jié)論：設(shè)A是，〃x〃矩陣,則47是n階對(duì)稱陣，A*是m階對(duì)稱陣.

結(jié)論：數(shù)乘對(duì)稱矩陣及同階對(duì)稱矩陣之和仍為對(duì)稱矩陣，但是對(duì)稱矩陣的乘積未必對(duì)稱。

兩個(gè)同階對(duì)稱矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)二者可交換時(shí)，乘積才是對(duì)稱矩陣。

總結(jié)（5分鐘）

討論、思考題、作業(yè)：

教學(xué)總結(jié):

《線性代數(shù)》教案

編號(hào):

課時(shí)安排:2學(xué)時(shí)|教學(xué)課型：理論課卜實(shí)驗(yàn)課口習(xí)題課口其它口

題目：第二章矩陣

§2.5分塊矩陣

教學(xué)目的要求：

掌握矩陣分塊的運(yùn)算和相關(guān)性質(zhì)

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

矩陣分塊的運(yùn)算

教學(xué)方式、手段、媒介：

講授，多媒體、板書

教學(xué)過(guò)程：（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等）

復(fù)習(xí)（5分鐘）

新授課內(nèi)容（80分鐘）

引例：設(shè)

1]%2〃13“14

A=21Cl22。23〃24

a31〃32〃33。34,

可按以下方式分塊,每塊均為小矩陣:

a\Ia\2^13^14

Ai=，A2|=（“31。32）'A22=（。33。34），

~21a22'A2

\^23夕247

4%

則A-

、421A??

矩陣分塊法是用若干條橫線和若干條豎線將矩陣分割成幾個(gè)小矩陣。

矩陣分塊法的運(yùn)算及運(yùn)算性質(zhì):

1.加法:

4,.、當(dāng)穌1

設(shè)A=,B=

A?）

l紇i…B、J

A,.+

則A+B

、4+紇?A.,|+8,|,

2.數(shù)乘:

A.A/?-"AA"'

設(shè)A-…，/l是數(shù),則24...........................

14Ai>??^,vl>

3.乘法:

fA.?..A/為,?-5八

.??.................，^Ixm~????

設(shè)A?x/=,則A”*/Blxn=Cmxn

㈤?

??A.'St7"B",

%C、

其中c=…，C==ZAikBkj,i=1，2

k-\

0CJ

4.轉(zhuǎn)置:

'A%

（AC”.../IA]/\

設(shè)A=...........則A'=1??

、A，“

AAvr>

5.對(duì)角分塊的性質(zhì)：

A

設(shè)A=2.1,其中44「.，4均為方陣，則同=閭也卜.,閡。

、2

幾個(gè)矩陣分塊的應(yīng)用:

1.矩陣按行分塊：

設(shè)4=02'U~%"，記=（即,《2,，…，％,）N=1，2,…加，

????????????

”“Ia,"21,,生,?

則4=

矩陣按列分塊:

則A=（卬，。2,,…,％）。

2.線性方程組的表示:

%西+%2*2+…％“%”=仇

a2lx}+a22x2+■??a2nxn-b2

設(shè)i

8”內(nèi)+%,2*2+…區(qū)”"招

《2,叩

a2\a22,，，a2n無(wú)2包

若記A=,x=,b二

a?,2,?.%

則線性方程組可表示為Ax=b.

總結(jié)（5分鐘）

討論、思考題、作業(yè)：

教學(xué)總結(jié):

《線性代數(shù)》教案

編號(hào)：

課時(shí)安排:2學(xué)時(shí)|教學(xué)課型：理論課J實(shí)驗(yàn)課口習(xí)題課口其它口

題目：第二章矩陣

§2.6逆矩陣

教學(xué)目的要求：

掌握逆矩陣、伴隨矩陣的定義和性質(zhì)；能夠利用公式計(jì)算逆矩陣

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

逆矩陣概念和計(jì)算

教學(xué)方式、手段、媒介：

講授，多媒體、板書

教學(xué)過(guò)程：（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等）

復(fù)習(xí)（5分鐘）

新授課內(nèi)容（80分鐘）

一、逆矩陣定義設(shè)4為〃階方陣，若存在一個(gè)〃階方陣8,使得

AB=BA=I,

則稱方陣A可逆,并稱方陣B為A的逆矩陣,記作A-'=B,

若C4=AC=/,則C=A-

性質(zhì)1若X存在,則A-1必唯一.

性質(zhì)2若A可逆，則AT也可逆，且

性質(zhì)3若A可逆,則A可逆,且（4尸=（A-'j

性質(zhì)4若同階方陣A、B都可逆，則AB也可逆，且（AB）-'

二、逆陣存在的條件及逆陣的求法

定義.由A=的行列式

a\\a\2…a\n

加卜。21a22,一a2n

an2…ann

中元素％的代數(shù)余子式=構(gòu)成的〃階方陣，記作A*,即

"A]A2[A3

4*='42-品稱為4的伴隨矩陣.

????????????

A2nA?,>

定理方陣A=O“可逆=小0且A-'

推論設(shè)4為〃階方陣，若存在〃階方陣使得AB=/,（或B4=/）,則B=AT。

注：求4T時(shí)，只需要驗(yàn)算A6=/,計(jì)算量減半。

'32P'-132'

例.判斷下列方陣A=122B=-11151是否可逆？若可逆，求其逆

343;、一33f

陣。

解：；網(wǎng)=一2。0,慟=0,所以B不可逆，A可逆，并且

三、用逆矩陣法解線性方程組

例:解線性方程組

3玉++七=1

%]+2%+2七=2

3再+4X2+=3

’32r'2'

二

解：其矩陣式為122x22

343

因

四、分塊矩陣的逆矩陣

’4

結(jié)論：若A=可逆，則=

AJ\

結(jié)論：設(shè)x=「O、"A-10\

,A,C為可逆方陣，則XT=

a<-C'BA：1C-IJ°

總結(jié)（5分鐘）

討論、思考題、作業(yè):

教學(xué)總結(jié):

《線性代數(shù)》教案

編號(hào)：

課時(shí)安排:2學(xué)時(shí)|教學(xué)課型：理論課J實(shí)驗(yàn)課口習(xí)題課口其它口

題目：第二章矩陣

§2.7矩陣的初等變換

教學(xué)目的要求：

了解矩陣的三種初等變換，熟悉初等矩陣的定義，掌握矩陣初等變換與對(duì)應(yīng)初等矩

陣運(yùn)算上的關(guān)系，能夠?qū)⒔o定的矩陣?yán)贸醯茸儞Q化簡(jiǎn)成階梯形，標(biāo)準(zhǔn)形；掌握利用初

等變換求逆矩陣的方法

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

矩陣的初等變換，利用初等變換求逆矩陣

教學(xué)方式、手段、媒介：

講授，多媒體、板書

在本章的§2.6節(jié)中給出了矩陣可逆的充分必要條件，并同時(shí)給出了求逆矩陣的一種

方法一一伴隨矩陣法.但是利用伴隨矩陣法求逆矩陣，當(dāng)矩陣的階數(shù)較高時(shí)計(jì)算量是很

大的.這一節(jié)將介紹求逆矩陣的另一種方法一一初等變換法.為此我們先介紹初等矩陣

的概念，并建立矩陣的初等變換與矩陣乘法的聯(lián)系.

一、初等變換

1）交換矩陣的某兩行的位置；

2）用一個(gè)非零的數(shù)去乘矩陣的某一行；

3）用一個(gè)數(shù)乘某一行后加到另一行上.

這三種變換稱為矩陣的初等行變換.類似地，有

r交換矩陣的某兩列的位置；

2,）用一個(gè)非零的數(shù)去乘矩陣的某一列；

3'）用一個(gè)數(shù)乘某一列后加到另一列上.

1'）,2,），3'）稱為矩陣的初等列變換.矩陣的初等行變換和矩陣的初等列變換

統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.

定義1由單位矩陣/經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.

顯然，初等矩陣都是方陣，并且每個(gè)初等變換都有一個(gè)與之相應(yīng)的初等矩陣.

互換矩陣/的第/.行（列）與第J行（列）的位置，得

1