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文檔簡(jiǎn)介
《線性代數(shù)》教案
編號(hào):
課時(shí)安排:2學(xué)時(shí)教學(xué)課型:理論課4實(shí)驗(yàn)課口習(xí)題課口其它口
題目:第一章行列式
§1.1二階、三階行列式§1.2n階行列式
教學(xué)目的要求:
使學(xué)生掌握二、三階行列式的定義及計(jì)算方法;理解逆序數(shù)的定義及計(jì)算方法
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn):
二、三階行列式的定義及計(jì)算方法;逆序數(shù)的計(jì)算方法
教學(xué)方式、手段、媒介:
講授,多媒體、板書
教學(xué)過(guò)程:(含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等)
導(dǎo)入(10分鐘)本章主要內(nèi)容和知識(shí)點(diǎn)
新授課內(nèi)容(75分鐘)
二、三階行列式的定義
一、二階行列式的定義
從二元方程組的解的公式,引出二階行列式的概念。
用消元法,當(dāng)為的2-。的尸0時(shí),解得/=叫2"也丁2'
-dy?ci?]a22
令a''12=%02-q2a21,稱為二階行列式,則
以11自
瓦al2
力2以22以21%
aaa
以11Unn
a21a22的1a22
如果將D中第一列的元素%i,%]換成常數(shù)項(xiàng)",為,則可得到另一個(gè)行列式,用字
母2表示,于是有
b?。22
按二階行列式的定義,它等于兩項(xiàng)的代數(shù)和:仇外2-打。21,這就是公式(2)中馬的表達(dá)
式的分子。同理將。中第二列的元素a⑵a22換成常數(shù)項(xiàng)匕,兒,可得到另一個(gè)行列式,
用字母2表示,于是有
D2=
%b2
按二階行列式的定義,它等于兩項(xiàng)的代數(shù)和:也,這就是公式(2)中々的表達(dá)
式的分子。
于是二元方程組的解的公式又可寫為
[_D}
<D其中。彳0
x—―-
I2D
3工]-2X2=12
例L解線性方程組V
2尢]+x2=1
%內(nèi)+412X2+43X3=4
同樣,在解三元一次方程組卜2內(nèi)+%2》2+。23%3=瓦吐要用到“三階行列式”,這里
。311]+。32工2+。33工3=
可采用如下的定義.
二、三階行列式的定義
。]西+ai2x2+at3x3=bt
設(shè)三元線性方程組{。2丙+a22X2+。23%3=82
。31再+a32x2+a33x3=b3
用消元法解得
v_4為吆+%以230+以1也以32一4以23%2一也以33一演叼用
工1二
。11,22?33+,2以23%1+演々21以32一,1?23%2一以12以2/33一々13他2%
?_,@2%3+可儀23%1+白13以2也一以11叼3務(wù)一4以21白33一以13&2的1
X
2=;
“1口22433+乙12a23a31+以口%]%2一"11電3a32一212白21233—々13%2。31
+"12^a"31+^1421々32411'2d32一022031
工3二;;;;
011022%3+以12423%1+以13以21以32—%以23%2一以12。21%3一,3以22%1
定義設(shè)有9個(gè)數(shù)排成3行3列的數(shù)表
a\I"12。13
。21。22。23
。31。32。33
a
\\。12。13
記。=%1%2%3="”出2%3+42。23a31+《3生1%2-。|3a2必|一%1生3。32-,2。2口33,稱為二階行
。31。32。33
12-4
例2.計(jì)算三階行列式。=-221.(-14)
-34-2
—2x+y+z=-2
例3.解線性方程組尤+y+4z=0.
3x-7y+5z=5
解先計(jì)算系數(shù)行列式
-211
D=114=一10+12-7-3-56-5=-69/0
3-75
再計(jì)算D{,D2,D3
-211-2-21-21-2
2=014=-51>D2=104=3PD,=110=5
5-753553-75
17D,31_D_5
得X尤—-—2=—,y=—=---Z,z--3-------
D23D69D69
全排列及其逆序數(shù)
引例:用1、2、3三個(gè)數(shù)字,可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)的三位數(shù)?
一、全排列
把n個(gè)不同的元素排成一列,叫做這〃個(gè)元素的全排列(簡(jiǎn)稱排列).
可將〃個(gè)不同元素按1~〃進(jìn)行編號(hào),則〃個(gè)不同元素的全排列可看成這"個(gè)自然數(shù)
的全排列.
〃個(gè)不同元素的全排列共有〃!種.
二、逆序及逆序數(shù)
逆序的定義:取一個(gè)排列為標(biāo)準(zhǔn)排列,其它排列中某兩個(gè)元素的次序與標(biāo)準(zhǔn)排列中這
兩個(gè)元素的次序相反時(shí),則稱有一個(gè)逆序.
通常取從小到大的排列為標(biāo)準(zhǔn)排列,即1~〃的全排列中取123…(〃-1)〃為標(biāo)準(zhǔn)排列.
逆序數(shù)的定義:一個(gè)排列中所有逆序數(shù)的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù).
逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列,逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列,標(biāo)準(zhǔn)排列規(guī)定為
偶排列.
例1:討論1,2,3的全排列.
全排列123231312132213321
逆序數(shù)022113
奇偶性偶奇
逆序數(shù)的計(jì)算:設(shè)PS?…P”為123…(〃-1)〃的一個(gè)全排列,則其逆序數(shù)為
2+…小
/=1
其中號(hào)為排在P,前,且比P,大的數(shù)的個(gè)數(shù).
定理1任意一個(gè)排列經(jīng)過(guò)一個(gè)對(duì)換后奇偶性改變。
定理2n個(gè)數(shù)碼(n>l)共有n!個(gè)n級(jí)排列,其中奇偶排列各占一半。
總結(jié)(5分鐘)
討論、思考題、作業(yè):
教學(xué)總結(jié):
《線性代數(shù)》教案
編號(hào):
課時(shí)安排:2學(xué)時(shí)教學(xué)課型:理論課d實(shí)驗(yàn)課口習(xí)題課口其它口
題目:第一章行列式
§1.2〃階行列式的定義(續(xù))
教學(xué)目的要求:
掌握〃階行列式的定義
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn):
〃階行列式的定義,特殊行列式的計(jì)算公式
教學(xué)方式、手段、媒介:
講授,多媒體、板書
教學(xué)過(guò)程:(含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等)
復(fù)習(xí)(5分鐘)
新授課內(nèi)容(80分鐘)
回顧二階,三階行列式的共同特點(diǎn).
.a”
二階行列式=即電2-62a21
〃2ia)?
許al2
=41°22—%2a21=Z(—1)。1仍402?
442-
其中:①pm是1,2的全排列,②f是P/2的逆序數(shù),③Z是對(duì)所有1,2的全排列求
和.
三階行列式
Da)?a-yaci11a2)la〔)aa311ci13d,1^^323^^22^^3]^Zj?d-y^a-^^ay,a??a-^^
。31。32。33
其中:①PlP2P3是1,2,3的全排列,②t是PiP2P3的逆序數(shù),③Z是對(duì)所有1,2,3的全排
列求和.
=E(—1)Z—“?
。31。32。33
其中:①P1P2…P”是1,2,…,〃的全排列,②/是P1P2…P”的逆序數(shù),③Z是對(duì)所有
1,2,…,〃的全排列求和.
板書給出n階行列式語(yǔ)言定義和計(jì)算定義:
“11
a21
舉例進(jìn)行練習(xí)
〃階行列式的等價(jià)定義為:
〃階行列式的等價(jià)定義為:
特殊公式1:
特殊公式2:
下三角行列式
總結(jié)(5分鐘)
討論、思考題、作業(yè):
教學(xué)總結(jié):
《線性代數(shù)》教案
編號(hào):
課時(shí)安排:2學(xué)時(shí)教學(xué)課型:理論課4實(shí)驗(yàn)課口習(xí)題課口其它口
題目:第一章行列式
§1.3行列式的性質(zhì)
教學(xué)目的要求:
掌握九階行列式的性質(zhì),會(huì)利用〃階行列式的性質(zhì)計(jì)算〃階行列式的值;
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn):
行列式的性質(zhì)
教學(xué)方式、手段、媒介:
講授,多媒體、板書
教學(xué)過(guò)程:(含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等)
復(fù)習(xí)(5分鐘)
新授課內(nèi)容(80分鐘)
轉(zhuǎn)置行列式的定義
%洵…%…%
記?22DT=al2a22...%⑺,)
????????????
a
n\a“2???anna]na2n…anil
行列式D'稱為行列式。的轉(zhuǎn)置行列式(依次將行換成列)
一、〃階行列式的性質(zhì)
性質(zhì)1:行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.
由此知,行與列具有同等地位.關(guān)于行的性質(zhì),對(duì)列也同樣成立,反之亦然.
以巴表示第i行,c,表示第4列.交換i,j兩行記為c。,交換i,J兩列記
作q—Cj.
性質(zhì)2:行列式互換兩行(列),行列式變號(hào).
推論:行列式有兩行(列)相同,則此行列式為零.
性質(zhì)3:行列式的某一行(列)的所有元素乘以數(shù)上等于用數(shù)人乘以該行列式.
推論1:行列式的某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)外.
推論2:行列式中有兩行(列)的元素對(duì)應(yīng)成比例,則此行列式為零.
性質(zhì)4:若行列式中某一行(列)的元素都是兩數(shù)之和,則此行列式等于兩個(gè)行
列式之和.
即…(即+
%24Jain
a2i)…a2n
[Q),,,,+
即若:::,
a?l4,2…(“+a'm)???ann
a\\a!2a\i???Cl\na\\a\2J?…
a221"a2i,1,a2na2\a22",a2ia2n
則D=+
-*…a
a屁ania?nan\an2.?111t
性質(zhì)5:把行列式某一行(列)的元素乘以數(shù)h再加到另一行(列)上,則該行
列式不變.
二、〃階行列式的計(jì)算:
2-512
-37-14
例1.計(jì)算。=
5-927
4-612
2-5121-5221-522
-37-14-17--34乃+“02-16
解:D=——
5-9272-957可必0113
4-6121-6420-120
1-5221-522
/s+2/
400360-120
-9?
r3+r400330030
0-1200003
abbb。+3/7〃+3〃4+3ba+3b
babbabh
例2.D=
bbabbbab
bbbClbbba
111111111
八X-
ci+3bhahh0ci-b00
(a+3b(Q+3b)
bbabj=2,3,400a-b0
hbhCl000a-
=(a+3b)(a-b)-
(推廣至九階,總結(jié)一般方法)
p+qq+rr+pPqr
例3.證明:Pi+/5+64+Pi=2Piq、4
〃2+%r
q2+2r2+p2Pi%Y?
q+rr+pqq+rr+p
第一列p
證明:左端嬴Pl%+44+Pi+1%+66+Pi
Pi%+〃々+P2%%+為4+P2
Pqr
2Pi%4
Pi%r2
例4.計(jì)算2〃階行列式.
ab
b
{ad-bc\
(利用遞推法計(jì)算)
例5.D
D=det(%.)
],D2=det(Z>.)=
則D=D,D2.
總結(jié)(5分鐘)
討論、思考題、作業(yè):
教學(xué)總結(jié):
《線性代數(shù)》教案
編號(hào):
課時(shí)安排:2學(xué)時(shí)教學(xué)課型:理論課才實(shí)驗(yàn)課口習(xí)題課口其它口
題目:第一章行列式
§1.4行列式按行(列)展開(kāi)
教學(xué)目的要求:
了解余子式和代數(shù)余子式的概念;掌握行列式按行(列)展開(kāi);
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn):
行列式按行(列)展開(kāi)
教學(xué)方式、手段、媒介:
講授,多媒體、板書
教學(xué)過(guò)程:(含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等)
復(fù)習(xí)(5分鐘)
新授課內(nèi)容(80分鐘)
定義在〃階行列式中,把元素%所處的第,行、第/列劃去,剩下的元素按原排列
構(gòu)成的〃-1階行列式,稱為%的余子式,記為%;而稱為%的代數(shù)余子
式.
引理如果〃階行列式中的第,?行除%外其余元素均為零,即:
瑪??????4.
D=0…a.0?則:D='&.
"?a.???ann
定理行列式等于它的任意一行(列)的各元素與對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和,
即
按行:a,.1Ayl+a,.2A72+---+a,,A;?=O(i工力
按列:+,??+??,A/=0('*力
舉例講解并練習(xí)
范德蒙行列式
11-??1
玉元2…X〃
D.=國(guó)2只…片
=n>ni>j>\(…
<'…鎮(zhèn)
其中,記號(hào)“口”表示全體同類因子的乘積.
定理的推論行列式一行(列)的各元素與另一行(列)對(duì)應(yīng)各元素的代數(shù)余子
式乘積之和為零,即a,.+ai2Aj2+???+ainAjn=0(zj)
按列:auA\j++???+aniA?j=0(ix/)
結(jié)合定理及推論,得
Id)
EhkAjk'kjD5g,,其中介=?
ogj)’
總結(jié)(5分鐘)
討論、思考題、作業(yè):
教學(xué)總結(jié):
《線性代數(shù)》教案
編號(hào):
課時(shí)安排:2學(xué)時(shí)教學(xué)課型:理論課d實(shí)驗(yàn)課口習(xí)題課口其它口
題目:第一章行列式
§1.5克萊姆法則
教學(xué)目的要求:
了解克拉默法則的內(nèi)容,了解克拉默法則的證明,會(huì)利用克拉默法則求解含有幾個(gè)未
知數(shù)九個(gè)方程的線性方程組的解;
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn):
克拉默法則的應(yīng)用
教學(xué)方式、手段、媒介:
講授,多媒體、板書
教學(xué)過(guò)程:(含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等)
復(fù)習(xí)(5分鐘)
新授課內(nèi)容(80分鐘)
研究對(duì)象:含有〃個(gè)未知數(shù)元],々,…,工”的〃個(gè)方程的線性方程組
a]]x]+a]2x2+???q〃了〃=仇
。21占+。2212+?一。2〃%2=b?
(1)
斯內(nèi)+an2x2+-amxn=bn
與二、三元線性方程組相類似,它的解可以用〃階行列式表示.
定理1(Cramer法則)如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零,即
a\\…a\n
D............工0,
an\…
則方程組(1)有且僅有一組解:
其中D2=1,2,...,〃)是把系數(shù)行列式。中的第/列的元素用方程組右端的常數(shù)列代
替,而其余列不變所得到的〃階行列式
"%&
”,%am
當(dāng)々也,…,么全為零時(shí),即
a^+al2x2+---alnxn=0
。21%]+。22工2+,??。2”12=0
<
a?lxl+an2x2+---a?nxn=0
稱之為齊次線性方程組.顯然,齊次線性方程組必定有解(2=0,々=0,...,/=0).
根據(jù)克拉默法則,有
1.齊次線性方程組的系數(shù)行列式。H0時(shí),則它只有零解(沒(méi)有非零解)
2.反之,齊次線性方程組有非零解,則它的系數(shù)行列式£>=().
例1.求解線性方程組
2再+x)-5X3+/8
--6;q=9
2匕F卜2%=-5
XFX
W+42-7毛64=0
解:系數(shù)行列式
21-51
-33
1-30-6—=27H0
D=
02-12-7-2
20-10
同樣可以計(jì)算
81-5128-51
9-30-6190-6
2==81—=-108
-52-12()-5-2
04-7610-76
218121-58
1-39-61-309
3==-276==27,
。02-5202-1-5
140614-70
所以M=2=3,x,=烏=D
-4X-i=—-1,匕=—=1.
D-DDD
注意:
1.克萊姆法則的條件:〃個(gè)未知數(shù),幾個(gè)方程,且。。()
2.用克萊姆法則求解方程組運(yùn)算量大一般不采用它求解方程組。
3.克萊姆法則具有重要的理論意義。
4.克萊姆法則說(shuō)明線性方程組的解與它的系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)之間的依存關(guān)系.
例2.用克拉默法則解方程組
3%+5x,+2X3+兒=3,
3X2+4X4=4,
+x2+x3+x4=11/6,
x]-x2-3X3+2X4=5/6.
例3.已知齊次線性方程組
(5-2)x+2y+2z=0
<2x+(6-2)y=0
2x++(4-A)z=0
有非零解,問(wèn)4應(yīng)取何值?
解系數(shù)行列式
£>=(5-2)(2-^)(8-2)
由:D—0,得4=2、4=5、2=8.
總結(jié)(5分鐘)
討論、思考題、作業(yè):
教學(xué)總結(jié):
《線性代數(shù)》教案
編號(hào):
課時(shí)安排:2學(xué)時(shí)|教學(xué)課型:理論課卜實(shí)驗(yàn)課口習(xí)題課口其它口
題目:第二章矩陣
§2.1矩陣的概念§2.2矩陣的運(yùn)算§2.3〃階矩陣(方陣),方陣的行列式
教學(xué)目的要求:
了解矩陣的概念;掌握矩陣的運(yùn)算
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn):
矩陣的概念和矩陣的運(yùn)算
教學(xué)方式、手段、媒介:
講授,多媒體、板書
教學(xué)過(guò)程:(含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等)
導(dǎo)入(10分鐘)本章主要內(nèi)容和知識(shí)點(diǎn)
新授課內(nèi)容(75分鐘)
一、矩陣的定義
稱山行、〃列的數(shù)表
a}2
a22
為機(jī)X”矩陣,或簡(jiǎn)稱為矩陣;表示為
或簡(jiǎn)記為A=(%)“⑼,或A=(他)或Amxn;其中a-.表示A中第,行,第/列的元素0
其中行列式D="21"22-"2”為按行列式的運(yùn)算規(guī)則所得到的一個(gè)數(shù);而
????????????
a,,.\a?.2an,n
"X"矩陣是〃7X〃個(gè)數(shù)的整體,不對(duì)這些數(shù)作運(yùn)算。
例如I,公司的統(tǒng)計(jì)報(bào)表,學(xué)生成績(jī)登記表等,都可寫出相應(yīng)的矩陣。
設(shè)A=(%)“*“,8=(%.),“*“都是加x〃矩陣,當(dāng)
i=1,2,…,根;)=1,2,■■■,?
則稱矩陣A與3相等,記成A=3。
二、特殊形式
〃階方陣:矩陣
行矩陣:lx〃矩陣(以后又可叫做行向量),記為
A=(at,a2
列矩陣:〃2X1矩陣(以后又可叫做列向量),記為
A2
B=:
零矩陣:所有元素為0的矩陣,記為。
矩陣的運(yùn)算
一、加法
設(shè)A=(%),,?(“,3=(%)”,*“,都是機(jī)x〃矩陣,則加法定義為
/卬|+々1ai2+bl2???《“+仇“、
4D_a2\+821a22+%2a2n+^2?
/I~rZ?—
/向+仇“|",”2+2,2,,,
顯然,
?A+B=B+A,②(A+B)+C=A+(B+A)
二、數(shù)乘
設(shè)4是數(shù),A=(%)”,x“是機(jī)X”矩陣,則數(shù)乘定義為
'而]]Acil2???九乙”、
九/笛?,?
AA=
、久,"1助,”2…血叫
顯然
①(4/)A=;L(〃)A,②(x+)I)A^AA+/JA,(3)2(A+B)=^4+2B
三、乘法
設(shè)A-B=(&《“,則乘法定義為
AB=C
其中C=(%.),,*“
1,2,…,加
Cij=aMj+%2b2j+…=£火山處
k=\=1,2,…,〃
注:兩個(gè)矩陣相乘要求前一個(gè)矩陣的列數(shù)等于后一個(gè)矩陣的行數(shù);乘積矩陣的行數(shù)為前
一個(gè)矩陣的行數(shù),列數(shù)為后一個(gè)矩陣的列數(shù);乘積矩陣的第,行,第j列元素為前一個(gè)矩
陣的第i行元素與后一個(gè)矩陣的第,行元素對(duì)應(yīng)相乘再相加。
'410、
103-113
例:設(shè)A=B,則
202201
、134,
’40、
103-1-113
AB=
210220I
34,
lx4+0x(-l)+3x2+(-l)xllxl+0xl+3x0+(-l)x31X0+0X3+3X1+(-1)X4、
2x4+lx(-l)+0x2+2xl2xl+lxl+0x0+2x32x0+lx3+0xl+2x4,
9-2-1
9911
-2424
例:設(shè)A=,B,求48及BA。
1-2-3-6
-2424-16-3224-2400、
解:AB=,BA=
-2人-3-6、816-3-61-200,
由此發(fā)現(xiàn):(1)AB^BA,(不滿足交換律)
(2)Aw。,B手0,但卻有84=0。
一個(gè)必須注意的問(wèn)題:
1.若人…A*,,,則A,“x,%成立,當(dāng)加時(shí),紇““A,”.,不成立;
2.即使4*,.,則是m階方陣,而紇*“,4*,是〃階方陣;
,-24、
3.如果A,B都是〃階方陣,例如A
、1-27
-16-3200
AB,而B(niǎo)A=
、81600
綜上所述,一般AB^BA(即矩陣乘法不滿足交換率)。
下列性質(zhì)顯然成立:
(AB)C=A(BC),②=(X4)B=A(2B),
A(B+C)^AB+AC,(B+C)A^BA+CA
幾個(gè)運(yùn)算結(jié)果:
向+a2b2+...+anbn;
'岫ab?
e、}2??他、
b2aih\ab?-a2bn
2.22
a,,b2-,,怎切
3.若A為mx/矩陣,/是機(jī)階單位陣,則£4=4;若/是〃階單位陣,則A/=A;
4.線性方程組的矩陣表示:
%內(nèi)+%2尤2+…%,產(chǎn)”=白
xh
七內(nèi)+a222—aIn=2
h
4"Mi+a,"2%2+3a,”,d"=m
/\
a\\a\2??,6.、1項(xiàng)
a2\。22°??a2n%%
A=,x二,b=
X3m>
am2c?-?amn,<n>
則Ax-b
矩陣的幕:A2=A4,A3=A42,---,A“=A4"T.
四、轉(zhuǎn)置
a\\a\2…即?'a\\a2\…
a2\a22…a2na\2a22.**an2
設(shè)A=,記4,=
????????????
、心凡2…a”n,9〃a2n…—
則稱”是A的轉(zhuǎn)置矩陣。
顯然,
T1
(Ar)T=A,②(A+Bf=A+B一,(3)(M,=AAT,(4)(AB)r=BTATo
五、方陣的行列式
A為〃階方陣,其元素構(gòu)成的〃階行列式稱為方陣的行列式,記為閾或detA。
結(jié)論,[=網(wǎng),②.[=下國(guó),③H耳=阿忸|。
總結(jié)(5分鐘)
討論、思考題、作業(yè):
教學(xué)總結(jié):
《線性代數(shù)》教案
編號(hào):
課時(shí)安排:2學(xué)時(shí)|教學(xué)課型:理論課卜實(shí)驗(yàn)課口習(xí)題課口其它口
題目:第二章矩陣
§2.4幾種特殊的矩陣
教學(xué)目的要求:
掌握幾個(gè)〃階特殊矩陣的定義和性質(zhì)
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn):
三角形矩陣和對(duì)稱矩陣的相關(guān)定義和結(jié)論
教學(xué)方式、手段、媒介:
講授,多媒體、板書
教學(xué)過(guò)程:(含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等)
復(fù)習(xí)(5分鐘)
新授課內(nèi)容(80分鐘)
對(duì)角陣:對(duì)角線元素為4,4,…,(,其余元素為。的方陣,記為
X
=diag(4,4「?,4)
<4/
結(jié)論:同階對(duì)角陣的和、數(shù)乘、乘積仍是同階對(duì)角矩陣
'a、
數(shù)量矩陣:4=。,
結(jié)論:同階數(shù)量陣的和、數(shù)乘、乘積仍是同階數(shù)量矩陣
單位陣:對(duì)角線元素為1,其余元素為0的方陣,記為
1、
1
/=?.
1
\4)
三角形矩陣:
%
。12
0
上三角形矩陣A=。22
\00
%0
a22
下三角形矩陣A=
\aH.lan2
同階同型三角陣的和、數(shù)乘、乘積仍是同階同型三角矩陣
對(duì)稱矩陣:若矩陣A滿足"=A(即。,=%),則稱4是對(duì)稱陣
結(jié)論:設(shè)A是,〃x〃矩陣,則47是n階對(duì)稱陣,A*是m階對(duì)稱陣.
結(jié)論:數(shù)乘對(duì)稱矩陣及同階對(duì)稱矩陣之和仍為對(duì)稱矩陣,但是對(duì)稱矩陣的乘積未必對(duì)稱。
兩個(gè)同階對(duì)稱矩陣,當(dāng)且僅當(dāng)二者可交換時(shí),乘積才是對(duì)稱矩陣。
總結(jié)(5分鐘)
討論、思考題、作業(yè):
教學(xué)總結(jié):
《線性代數(shù)》教案
編號(hào):
課時(shí)安排:2學(xué)時(shí)|教學(xué)課型:理論課卜實(shí)驗(yàn)課口習(xí)題課口其它口
題目:第二章矩陣
§2.5分塊矩陣
教學(xué)目的要求:
掌握矩陣分塊的運(yùn)算和相關(guān)性質(zhì)
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn):
矩陣分塊的運(yùn)算
教學(xué)方式、手段、媒介:
講授,多媒體、板書
教學(xué)過(guò)程:(含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等)
復(fù)習(xí)(5分鐘)
新授課內(nèi)容(80分鐘)
引例:設(shè)
1]%2〃13“14
A=21Cl22。23〃24
a31〃32〃33。34,
可按以下方式分塊,每塊均為小矩陣:
a\Ia\2^13^14
Ai=,A2|=(“31。32)'A22=(。33。34),
~21a22'A2
\^23夕247
4%
則A-
、421A??
矩陣分塊法是用若干條橫線和若干條豎線將矩陣分割成幾個(gè)小矩陣。
矩陣分塊法的運(yùn)算及運(yùn)算性質(zhì):
1.加法:
4,.、當(dāng)穌1
設(shè)A=,B=
A?)
l紇i…B、J
A,.+
則A+B
、4+紇?A.,|+8,|,
2.數(shù)乘:
A.A/?-"AA"'
設(shè)A-…,/l是數(shù),則24...........................
14Ai>??^,vl>
3.乘法:
fA.?..A/為,?-5八
.??.................,^Ixm~????
設(shè)A?x/=,則A”*/Blxn=Cmxn
㈤?
??A.'St7"B",
%C、
其中c=…,C==ZAikBkj,i=1,2
k-\
0CJ
4.轉(zhuǎn)置:
'A%
(AC”.../IA]/\
設(shè)A=...........則A'=1??
、A,“
AAvr>
5.對(duì)角分塊的性質(zhì):
A
設(shè)A=2.1,其中44「.,4均為方陣,則同=閭也卜.,閡。
、2
幾個(gè)矩陣分塊的應(yīng)用:
1.矩陣按行分塊:
設(shè)4=02'U~%",記=(即,《2,,…,%,)N=1,2,…加,
????????????
”“Ia,"21,,生,?
則4=
矩陣按列分塊:
則A=(卬,。2,,…,%)。
2.線性方程組的表示:
%西+%2*2+…%“%”=仇
a2lx}+a22x2+■??a2nxn-b2
設(shè)i
8”內(nèi)+%,2*2+…區(qū)”"招
《2,叩
a2\a22,,,a2n無(wú)2包
若記A=,x=,b二
a?,2,?.%
則線性方程組可表示為Ax=b.
總結(jié)(5分鐘)
討論、思考題、作業(yè):
教學(xué)總結(jié):
《線性代數(shù)》教案
編號(hào):
課時(shí)安排:2學(xué)時(shí)|教學(xué)課型:理論課J實(shí)驗(yàn)課口習(xí)題課口其它口
題目:第二章矩陣
§2.6逆矩陣
教學(xué)目的要求:
掌握逆矩陣、伴隨矩陣的定義和性質(zhì);能夠利用公式計(jì)算逆矩陣
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn):
逆矩陣概念和計(jì)算
教學(xué)方式、手段、媒介:
講授,多媒體、板書
教學(xué)過(guò)程:(含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等)
復(fù)習(xí)(5分鐘)
新授課內(nèi)容(80分鐘)
一、逆矩陣定義設(shè)4為〃階方陣,若存在一個(gè)〃階方陣8,使得
AB=BA=I,
則稱方陣A可逆,并稱方陣B為A的逆矩陣,記作A-'=B,
若C4=AC=/,則C=A-
性質(zhì)1若X存在,則A-1必唯一.
性質(zhì)2若A可逆,則AT也可逆,且
性質(zhì)3若A可逆,則A可逆,且(4尸=(A-'j
性質(zhì)4若同階方陣A、B都可逆,則AB也可逆,且(AB)-'
二、逆陣存在的條件及逆陣的求法
定義.由A=的行列式
a\\a\2…a\n
加卜。21a22,一a2n
an2…ann
中元素%的代數(shù)余子式=構(gòu)成的〃階方陣,記作A*,即
"A]A2[A3
4*='42-品稱為4的伴隨矩陣.
????????????
A2nA?,>
定理方陣A=O“可逆=小0且A-'
推論設(shè)4為〃階方陣,若存在〃階方陣使得AB=/,(或B4=/),則B=AT。
注:求4T時(shí),只需要驗(yàn)算A6=/,計(jì)算量減半。
'32P'-132'
例.判斷下列方陣A=122B=-11151是否可逆?若可逆,求其逆
343;、一33f
陣。
解:;網(wǎng)=一2。0,慟=0,所以B不可逆,A可逆,并且
三、用逆矩陣法解線性方程組
例:解線性方程組
3玉++七=1
%]+2%+2七=2
3再+4X2+=3
’32r'2'
二
解:其矩陣式為122x22
343
因
四、分塊矩陣的逆矩陣
’4
結(jié)論:若A=可逆,則=
AJ\
結(jié)論:設(shè)x=「O、"A-10\
,A,C為可逆方陣,則XT=
a<-C'BA:1C-IJ°
總結(jié)(5分鐘)
討論、思考題、作業(yè):
教學(xué)總結(jié):
《線性代數(shù)》教案
編號(hào):
課時(shí)安排:2學(xué)時(shí)|教學(xué)課型:理論課J實(shí)驗(yàn)課口習(xí)題課口其它口
題目:第二章矩陣
§2.7矩陣的初等變換
教學(xué)目的要求:
了解矩陣的三種初等變換,熟悉初等矩陣的定義,掌握矩陣初等變換與對(duì)應(yīng)初等矩
陣運(yùn)算上的關(guān)系,能夠?qū)⒔o定的矩陣?yán)贸醯茸儞Q化簡(jiǎn)成階梯形,標(biāo)準(zhǔn)形;掌握利用初
等變換求逆矩陣的方法
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn):
矩陣的初等變換,利用初等變換求逆矩陣
教學(xué)方式、手段、媒介:
講授,多媒體、板書
在本章的§2.6節(jié)中給出了矩陣可逆的充分必要條件,并同時(shí)給出了求逆矩陣的一種
方法一一伴隨矩陣法.但是利用伴隨矩陣法求逆矩陣,當(dāng)矩陣的階數(shù)較高時(shí)計(jì)算量是很
大的.這一節(jié)將介紹求逆矩陣的另一種方法一一初等變換法.為此我們先介紹初等矩陣
的概念,并建立矩陣的初等變換與矩陣乘法的聯(lián)系.
一、初等變換
1)交換矩陣的某兩行的位置;
2)用一個(gè)非零的數(shù)去乘矩陣的某一行;
3)用一個(gè)數(shù)乘某一行后加到另一行上.
這三種變換稱為矩陣的初等行變換.類似地,有
r交換矩陣的某兩列的位置;
2,)用一個(gè)非零的數(shù)去乘矩陣的某一列;
3')用一個(gè)數(shù)乘某一列后加到另一列上.
1'),2,),3')稱為矩陣的初等列變換.矩陣的初等行變換和矩陣的初等列變換
統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.
定義1由單位矩陣/經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.
顯然,初等矩陣都是方陣,并且每個(gè)初等變換都有一個(gè)與之相應(yīng)的初等矩陣.
互換矩陣/的第/.行(列)與第J行(列)的位置,得
1
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