2024屆安徽省合肥市高三下學(xué)期模擬考試（一）數(shù)學(xué)試題

2024屆安徽省合肥市高三下學(xué)期模擬考試（一）數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C． D．2．已知集合，則元素個(gè)數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．43．當(dāng)輸入的實(shí)數(shù)時(shí)，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的不小于103的概率是（）A． B． C． D．4．A． B． C． D．5．某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形和邊長(zhǎng)為1的正方形，則該幾何體中最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為（）．A． B． C．1 D．6．體育教師指導(dǎo)4個(gè)學(xué)生訓(xùn)練轉(zhuǎn)身動(dòng)作，預(yù)備時(shí)，4個(gè)學(xué)生全部面朝正南方向站成一排.訓(xùn)練時(shí)，每次都讓3個(gè)學(xué)生“向后轉(zhuǎn)”，若4個(gè)學(xué)生全部轉(zhuǎn)到面朝正北方向，則至少需要“向后轉(zhuǎn)”的次數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．67．從5名學(xué)生中選出4名分別參加數(shù)學(xué)，物理，化學(xué)，生物四科競(jìng)賽，其中甲不能參加生物競(jìng)賽，則不同的參賽方案種數(shù)為A．48 B．72 C．90 D．968．某部隊(duì)在一次軍演中要先后執(zhí)行六項(xiàng)不同的任務(wù)，要求是：任務(wù)A必須排在前三項(xiàng)執(zhí)行，且執(zhí)行任務(wù)A之后需立即執(zhí)行任務(wù)E，任務(wù)B、任務(wù)C不能相鄰，則不同的執(zhí)行方案共有（）A．36種 B．44種 C．48種 D．54種9．設(shè)集合，集合，則=（）A． B． C． D．R10．i是虛數(shù)單位，若，則乘積的值是()A．－15 B．－3 C．3 D．1511．設(shè)，，則（）A． B．C． D．12．我國(guó)南北朝時(shí)的數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》有一道題為：“今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中間四人未到者，亦依次更給，問(wèn)各得金幾何？”則在該問(wèn)題中，等級(jí)較高的二等人所得黃金比等級(jí)較低的九等人所得黃金（）A．多1斤 B．少1斤 C．多斤 D．少斤二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在正方體中，為棱的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn)，且，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)_________．14．西周初數(shù)學(xué)家商高在公元前1000年發(fā)現(xiàn)勾股定理的一個(gè)特例：勾三，股四，弦五.此發(fā)現(xiàn)早于畢達(dá)哥拉斯定理五百到六百年.我們把可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)稱為勾股數(shù).現(xiàn)從3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13這11個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)，則這3個(gè)數(shù)能構(gòu)成勾股數(shù)的概率為_(kāi)_________．15．已知兩圓相交于兩點(diǎn),，若兩圓圓心都在直線上，則的值是________________.16．已知函數(shù)，若，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求的大??；（2）若，求面積的最大值.18．（12分）某大學(xué)開(kāi)學(xué)期間，該大學(xué)附近一家快餐店招聘外賣(mài)騎手，該快餐店提供了兩種日工資結(jié)算方案：方案規(guī)定每日底薪100元，外賣(mài)業(yè)務(wù)每完成一單提成2元；方案規(guī)定每日底薪150元，外賣(mài)業(yè)務(wù)的前54單沒(méi)有提成，從第55單開(kāi)始，每完成一單提成5元.該快餐店記錄了每天騎手的人均業(yè)務(wù)量，現(xiàn)隨機(jī)抽取100天的數(shù)據(jù)，將樣本數(shù)據(jù)分為七組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）隨機(jī)選取一天，估計(jì)這一天該快餐店的騎手的人均日外賣(mài)業(yè)務(wù)量不少于65單的概率；（2）從以往統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)看，新聘騎手選擇日工資方案的概率為，選擇方案的概率為.若甲、乙、丙、丁四名騎手分別到該快餐店應(yīng)聘，四人選擇日工資方案相互獨(dú)立，求至少有兩名騎手選擇方案的概率，（3）若僅從人日均收入的角度考慮，請(qǐng)你為新聘騎手做出日工資方案的選擇，并說(shuō)明理由.（同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）19．（12分）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以軸正半軸為始邊的銳角的終邊與單位圓交于點(diǎn),且點(diǎn)的縱坐標(biāo)是．（1）求的值:（2）若以軸正半軸為始邊的鈍角的終邊與單位圓交于點(diǎn),且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求的值．20．（12分）已知函數(shù)，其中．（1）①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；②若滿足，且．求證：．（2）函數(shù)．若對(duì)任意，都有，求的最大值．21．（12分）已知橢圓：的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，點(diǎn)（為橢圓的離心率）在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，為直線上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)橢圓上點(diǎn)處的切線為，，切點(diǎn)分別，，直線與直線，分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，的縱坐標(biāo)分別為，，求的值.22．（10分）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

判斷，利用函數(shù)的奇偶性代入計(jì)算得到答案.【題目詳解】∵，∴．故選：【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求值，意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.2、B【解題分析】

作出兩集合所表示的點(diǎn)的圖象，可得選項(xiàng).【題目詳解】由題意得，集合A表示以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓，集合B表示函數(shù)的圖象上的點(diǎn)，作出兩集合所表示的點(diǎn)的示意圖如下圖所示，得出兩個(gè)圖象有兩個(gè)交點(diǎn):點(diǎn)A和點(diǎn)B，所以兩個(gè)集合有兩個(gè)公共元素，所以元素個(gè)數(shù)為2，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查集合的交集運(yùn)算，關(guān)鍵在于作出集合所表示的點(diǎn)的圖象，再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】

根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的運(yùn)行，直至不滿足條件退出循環(huán)體，求出的范圍，利用幾何概型概率公式，即可求出結(jié)論.【題目詳解】程序框圖共運(yùn)行3次，輸出的的范圍是，所以輸出的不小于103的概率為.故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果、幾何概型的概率，模擬程序運(yùn)行是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.【題目詳解】本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．5、B【解題分析】

首先由三視圖還原幾何體，進(jìn)一步求出幾何體的棱長(zhǎng)．【題目詳解】解：根據(jù)三視圖還原幾何體如圖所示，所以，該四棱錐體的最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查由三視圖還原幾何體，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解題分析】

通過(guò)列舉法，列舉出同學(xué)的朝向，然后即可求出需要向后轉(zhuǎn)的次數(shù).【題目詳解】“正面朝南”“正面朝北”分別用“∧”“∨”表示，利用列舉法，可得下表，原始狀態(tài)第1次“向后轉(zhuǎn)”第2次“向后轉(zhuǎn)”第3次“向后轉(zhuǎn)”第4次“向后轉(zhuǎn)”∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨可知需要的次數(shù)為4次.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查的是求最小推理次數(shù)，一般這類(lèi)題型構(gòu)造較為巧妙，可通過(guò)列舉的方法直觀感受，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】因甲不參加生物競(jìng)賽，則安排甲參加另外3場(chǎng)比賽或甲學(xué)生不參加任何比賽①當(dāng)甲參加另外3場(chǎng)比賽時(shí)，共有?=72種選擇方案；②當(dāng)甲學(xué)生不參加任何比賽時(shí)，共有=24種選擇方案．綜上所述，所有參賽方案有72+24=96種故答案為：96點(diǎn)睛：本題以選擇學(xué)生參加比賽為載體，考查了分類(lèi)計(jì)數(shù)原理、排列數(shù)與組合數(shù)公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．8、B【解題分析】

分三種情況，任務(wù)A排在第一位時(shí)，E排在第二位；任務(wù)A排在第二位時(shí)，E排在第三位；任務(wù)A排在第三位時(shí)，E排在第四位，結(jié)合任務(wù)B和C不能相鄰，分別求出三種情況的排列方法，即可得到答案．【題目詳解】六項(xiàng)不同的任務(wù)分別為A、B、C、D、E、F，如果任務(wù)A排在第一位時(shí)，E排在第二位，剩下四個(gè)位置，先排好D、F，再在D、F之間的3個(gè)空位中插入B、C，此時(shí)共有排列方法：；如果任務(wù)A排在第二位時(shí)，E排在第三位，則B，C可能分別在A、E的兩側(cè)，排列方法有，可能都在A、E的右側(cè)，排列方法有；如果任務(wù)A排在第三位時(shí)，E排在第四位，則B，C分別在A、E的兩側(cè)；所以不同的執(zhí)行方案共有種．【題目點(diǎn)撥】本題考查了排列組合問(wèn)題，考查了學(xué)生的邏輯推理能力，屬于中檔題．9、D【解題分析】試題分析：由題，，，選D考點(diǎn)：集合的運(yùn)算10、B【解題分析】，∴，選B．11、D【解題分析】

由不等式的性質(zhì)及換底公式即可得解.【題目詳解】解：因?yàn)?，，則，且，所以，，又,即,則，即，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了不等式的性質(zhì)及換底公式，屬基礎(chǔ)題.12、C【解題分析】設(shè)這十等人所得黃金的重量從大到小依次組成等差數(shù)列則由等差數(shù)列的性質(zhì)得，故選C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)題意畫(huà)出幾何題，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)個(gè)各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并求得.由空間向量的夾角求法即可求得異面直線與所成角的余弦值.【題目詳解】根據(jù)題意畫(huà)出幾何圖形，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則所以所以，所以異面直線與所成角的余弦值為，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了異面直線夾角的求法，利用空間向量求異面直線夾角，屬于中檔題.14、【解題分析】

由組合數(shù)結(jié)合古典概型求解即可【題目詳解】從11個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)有種不同的方法，其中能構(gòu)成勾股數(shù)的有共三種，所以，所求概率為.故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查古典概型與數(shù)學(xué)文化，考查組合問(wèn)題，數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí).15、【解題分析】

根據(jù)題意，相交兩圓的連心線垂直平分相交弦，可得與直線垂直，且的中點(diǎn)在這條直線上，列出方程解得即可得到結(jié)論.【題目詳解】由,，設(shè)的中點(diǎn)為，根據(jù)題意，可得,且，解得，,，故.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查相交弦的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于利用相交弦的性質(zhì)，即兩圓的連心線垂直平分相交弦，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

根據(jù)題意，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求解即可.【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，其定義域?yàn)?，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以函數(shù)為奇函數(shù)，因?yàn)?，所?故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)奇偶性的判斷及其性質(zhì)；考查運(yùn)算求解能力；熟練掌握函數(shù)奇偶性的判斷方法是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用正弦定理將邊化角，結(jié)合誘導(dǎo)公式可化簡(jiǎn)邊角關(guān)系式，求得，根據(jù)可求得結(jié)果；（2）利用余弦定理可得，利用基本不等式可求得，代入三角形面積公式可求得結(jié)果.【題目詳解】（1）由正弦定理得：，又，即由得：（2）由余弦定理得：又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）即三角形面積的最大值為：【題目點(diǎn)撥】本題考查解三角形的相關(guān)知識(shí)，涉及到正弦定理化簡(jiǎn)邊角關(guān)系式、余弦定理解三角形、三角形面積公式應(yīng)用、基本不等式求積的最大值、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用等知識(shí)，屬于?？碱}型.18、（1）0.4；（2）；（3）應(yīng)選擇方案，理由見(jiàn)解析【解題分析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，可求得該快餐店的騎手的人均日外賣(mài)業(yè)務(wù)量不少于65單的頻率，即可估算其概率；（2）根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率求法，先求得四人中有0人、1人選擇方案的概率，再由對(duì)立事件概率性質(zhì)即可求得至少有兩名騎手選擇方案的概率；（3）設(shè)騎手每日完成外賣(mài)業(yè)務(wù)量為件，分別表示出方案的日工資和方案的日工資函數(shù)解析式，即可計(jì)算兩種計(jì)算方式下的數(shù)學(xué)期望，并根據(jù)數(shù)學(xué)期望作出選擇.【題目詳解】（1）設(shè)事件為“隨機(jī)選取一天，這一天該快餐店的騎手的人均日外賣(mài)業(yè)務(wù)量不少于65單”.根據(jù)頻率分布直方圖可知快餐店的人均日外賣(mài)業(yè)務(wù)量不少于65單的頻率分別為，∵，∴估計(jì)為0.4.（2）設(shè)事件′為“甲、乙、丙、丁四名騎手中至少有兩名騎手選擇方案”，設(shè)事件，為“甲、乙、丙、丁四名騎手中恰有人選擇方案”，則，所以四名騎手中至少有兩名騎手選擇方案的概率為.（3）設(shè)騎手每日完成外賣(mài)業(yè)務(wù)量為件，方案的日工資，方案的日工資，所以隨機(jī)變量的分布列為1601802002202402602800.050.050.20.30.20.150.05；同理，隨機(jī)變量的分布列為1501802302803300.30.30.20.150.05.∵，∴建議騎手應(yīng)選擇方案.【題目點(diǎn)撥】本題考查了頻率分布直方圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率的求法，數(shù)學(xué)期望的求法并由期望作出方案選擇，屬于中檔題.19、（1）（2）【解題分析】

（1）依題意,任意角的三角函數(shù)的定義可知,,進(jìn)而求出．在利用余弦的和差公式即可求出.（2）根據(jù)鈍角的終邊與單位圓交于點(diǎn),且點(diǎn)的橫坐標(biāo)是,得出,進(jìn)而得出,利用正弦的和差公式即可求出,結(jié)合為銳角,為鈍角,即可得出的值.【題目詳解】解：因?yàn)殇J角的終邊與單位圓交于點(diǎn),點(diǎn)的縱坐標(biāo)是,所以由任意角的三角函數(shù)的定義可知,．從而．（1）于是．（2）因?yàn)殁g角的終邊與單位圓交于點(diǎn),且點(diǎn)的橫坐標(biāo)是,所以,從而．于是．因?yàn)闉殇J角,為鈍角,所以從而．【題目點(diǎn)撥】本題本題考查正弦函數(shù)余弦函數(shù)的定義,考查正弦余弦的兩角和差公式,是基礎(chǔ)題.20、（1）①單調(diào)遞增區(qū)間，，單調(diào)遞減區(qū)間；②詳見(jiàn)解析；（2）.【解題分析】

(1)①求導(dǎo)可得,再分別求解與的解集,結(jié)合定義域分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.②根據(jù)(1)中的結(jié)論,求出的表達(dá)式,再分與兩種情況,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析的范圍即可.(2)求導(dǎo)分析的單調(diào)性,再結(jié)合單調(diào)性,設(shè)去絕對(duì)值化簡(jiǎn)可得,再構(gòu)造函數(shù),,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與恒成立問(wèn)題可知,再換元表達(dá)求解最大值即可.【題目詳解】解：,由可得或,由可得,故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,,單調(diào)遞減區(qū)間；,或,若,因?yàn)?故,,由知在上單調(diào)遞增,,若由可得x1,因?yàn)?所以,由在上單調(diào)遞增,綜上．時(shí),,在上單調(diào)遞減,不妨設(shè)由(1)在上單調(diào)遞減,由,可得,所以,令,,可得單調(diào)遞減,所以在上恒成立,即在上恒成立,即,所以,,所以的最大值．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了分類(lèi)討論分析函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題,同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)不等式以及構(gòu)造函數(shù)分析函數(shù)的最值解決恒成立的問(wèn)題.需要根據(jù)題意結(jié)合定義域與單調(diào)性分析函數(shù)的取值范圍與最值等.屬于難題.21、（1）；（2）.【解題分析】

（1）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，然后，利用，，得出，進(jìn)而求解即可（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，直線的方程為，分別聯(lián)立方程：和，利用韋達(dá)定理，再利用，，即可求出的值【題目詳解】（1）由橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，得.因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所