概率論全套課件

§1.3古典概型與幾何概型(ⅰ)(ⅱ)即樣本空間是個有限集;各樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同,即每個基本事件發(fā)生的概率相等.一、古典概型是有限個,

試驗(yàn)的全部可能的結(jié)果每次試驗(yàn)中,例如每一面出現(xiàn)的概率都是一、古典概型：(ⅰ)樣本空間是個有限集:的概率相同.(ⅱ)每個基本事件1.有限性試驗(yàn)的所有基本事件總數(shù)有限.2.等可能性每次試驗(yàn)中,各個基本事件出現(xiàn)的可能即都相同.性擲一枚均勻的骰子,基本事件總數(shù)A中所含的基本事件數(shù)古典概型：(ⅰ)樣本空間是個有限集:(ⅱ)設(shè)A是任一事件，并設(shè)A中含有m個樣本點(diǎn)試驗(yàn)總數(shù)(n個基本事件）m個基本事件例解共有36個樣本點(diǎn).基本事件總數(shù)設(shè)例求出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)的概率.解樣本空間A表示B表示求P(A),P(B)表示“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”擲一枚均勻的骰子,把一顆骰子擲兩次,“點(diǎn)數(shù)之和為8”,“第一次出奇數(shù)點(diǎn)”,樣本空間為將一枚均勻的硬幣連拋三次，(1)設(shè)事件A1表示“恰有一次出現(xiàn)反面(T)”，求P(A1)。例(2)設(shè)事件A2表示“至少有一次出現(xiàn)反面(T)”，求P(A2)。解記出現(xiàn)正面為H，則該試驗(yàn)的樣本空間為顯然該試驗(yàn)為古典概型。事件A1={},故P(A1)事件故P(A2)在計(jì)算古典概型時,一、兩個基本原理1.加法原理例從甲地到乙地,解所使用的基本工具是排列可以乘飛機(jī)每天有飛機(jī)一班、火車六班、汽車三班,問一天中乘飛機(jī)或不同班次的火車、汽車,有幾種不同的選擇方法?的計(jì)算方法.種組合汽車,或者乘火車或

從甲地到乙地,

共有加法原理:如果完成某件事有種方式,第一種方式中有n1第二種方式中有n2個方法,中有nk個方法,不論用哪一種方式中的哪一個方法,都能達(dá)到完成該事件的目的,那么完成這件事共有種不同的方法.個方法,第種方式乘法原理:2.乘法原理例解必須經(jīng)過乙地,甲地到乙地的交通線路有鐵路、公路和水路;從乙地到丙地的交通線路只有公路和水路.一旅客從甲地經(jīng)過乙地有幾種不同的途徑?種如果完成某件事分k個步驟,第一步有n1種方法,第二步有n2種方法,...,第k步有nk種方法,各個步驟依次連續(xù)完成,該事件才算完成,則完成這件事共有種不同的方法.甲乙丙到丙地,從甲地到丙地,有二、排列1.選排列和全排列例解可寫出多少個數(shù)碼不重復(fù)的三位數(shù)?個

定義任取k個元素按照一定順序排成一列,稱為從n個不同元素中取k個的排列.用1,2,3,4四個數(shù)碼,從n個不同元素中共有定義中n個元素不允許有相同的元素;取出的k個元素不允許重復(fù)使用元素.

如果稱上述定義的排列為選排列;則稱之為全排列.如果k=n從n個不同元素中的選排列的個數(shù)為全排列的個數(shù)為取k個

定義任取k個元素按照一定順序排成一列,稱為從n個不同元素中取k個的排列.從n個不同元素中是相異的，也是相異的,個2.允許重復(fù)的排列例9解一共可以設(shè)多少?種取出允許重復(fù)使用的定義k個元素,按照一定順序排成一列,稱為n個不同元素簡稱允許重復(fù)的排列.元排列,個不同元素允許重復(fù)的元排列總共有從n個不同元素中允許重復(fù)的以9為首位的六位電話號碼,共有三、組合例解共有任意取出兩個相乘,可得到多少個不同的積?個定義從n個不同元素中任取k個任取k個每次取出k個不管怎樣的順序稱為從n個不同元素中的組合數(shù)記為個個從n個不同元素中,并成一組,元素的組合.從7,8,9三個數(shù)里,(一)樣本空間的點(diǎn)數(shù)以排列計(jì)算...********例每個人以同樣的概率分配到N間求(1)

指定的n間房中各有一人的概率.(2)每個房間最多一人的概率.解總的分法有

“指定的n間房中各有一人.”A中包含的基本事件數(shù)為“每個房間最多一人.”房中,設(shè)有n個人,...********求(3)

某指定的房間不空的概率.(4)某指定的房間解總的分法有

“某指定的房間不空”

“某指定的房間是空的.”“某指定的房間恰有k個人”例每個人以同樣的概率分配到N間房中,設(shè)有n個人,恰有k個人的概率.(二)樣本空間的點(diǎn)數(shù)以組合計(jì)算例解其中有8件次品,其余為正品,從中任取5件,求(1)至多一件次品至少二件次品次品的數(shù)量設(shè)表示取出的5件中或一只箱子里裝有100件某產(chǎn)品，的概率.基本事件總數(shù)為設(shè)A表示解A中包含的基本事件數(shù)為例n個黑球,從中任取個,

求取到的球中恰有個白球,個黑球

“取到的球中個黑球”基本事件總數(shù)為的概率.恰有個白球,箱中有m個白球,例假設(shè)有100件產(chǎn)品，其中有60件一等品，30件二等品，10件三等品，如果隨機(jī)地抽取一件，連續(xù)兩次，分有放回和無放回，求兩次取到的產(chǎn)品等級相同的概率。解：設(shè)事件事件互不相容，且1.重復(fù)抽樣(有放回)由概率的可加性，得顯然例假設(shè)有100件產(chǎn)品，其中有60件一等品，30件二等品，10件三等品，如果隨機(jī)地抽取一件，連續(xù)兩次，分有放回和無放回，求兩次取到的產(chǎn)品等級相同的概率。解：設(shè)事件事件互不相容，且2.不重復(fù)抽樣(無放回)由概率的可加性，得顯然二、幾何概型計(jì)算機(jī)在區(qū)間[0,1]上任意打一個數(shù),求小于

的概率.隨機(jī)地在單位圓內(nèi)任擲一點(diǎn)M,求點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的概率.1.2.小于這兩個隨機(jī)試驗(yàn)都是歐氏空間的一個區(qū)域,樣本點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)的機(jī)會均等.[]都設(shè)區(qū)域如果樣本點(diǎn)落在A中,就說事件A發(fā)生了.“機(jī)會均等”點(diǎn)落在A中的可能性的大小與A的面積成正比,而與A的位置形狀無關(guān).由的樣本空間Ω,的確切含義是:定義設(shè)Ω為歐氏空間的一個區(qū)域，用表示Ω的度量A是Ω中一個可以度量的子集,定義為事件A發(fā)生的概率,稱為區(qū)域Ω上的幾何概率.例設(shè)電臺每到整點(diǎn)報時,某人午覺醒來,他打開收音機(jī),求他等待時間不超過10分鐘就聽到報時的概率.解以分鐘為單位,設(shè)上一次報時時刻為0,下一次報時時刻為60,此人打開收音機(jī)的時間在內(nèi)[)例6P15§1.4條件概率

對一個隨機(jī)試驗(yàn),例如,由甲乙兩廠生產(chǎn),產(chǎn)品結(jié)構(gòu)如下:如果得知一個事件A這時對另一個事件B就需要重新作出度量.一批同型號產(chǎn)品

甲廠

乙廠

合計(jì)合格品

次品

合計(jì)等級數(shù)量廠別從這批產(chǎn)品中取一件,任該產(chǎn)品為次品的概率為若已知取出的產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的,該產(chǎn)品為次品的概率為發(fā)生的可能性的大小已經(jīng)發(fā)生,

甲廠

乙廠

合計(jì)合格品

次品

合計(jì)等級數(shù)量廠別記A為“取出的產(chǎn)品,是甲廠生產(chǎn)的”B為“取出的產(chǎn)品為次品”的概率,記為在事件已經(jīng)發(fā)生的條件下,事件發(fā)生一般情況下,

甲廠

乙廠

合計(jì)合格品

次品

合計(jì)等級數(shù)量廠別記A為“取出的產(chǎn)品,是甲廠生產(chǎn)的”B為“取出的產(chǎn)品為次品”為在事件A發(fā)生的條件下,若定義1.4.1則稱事件B發(fā)生的條件概率.一、條件概率的定義對于兩個事件，古典概型中條件概率的計(jì)算：設(shè)樣本空間為且在計(jì)算條件概率時，有時從問題的實(shí)際意義直接求條件概率,有時則從定義出發(fā)計(jì)算.例有男生人,有女生

人;來自北京的有人;(以事件C表示)其中男生12人,女生8人;免修英語的人中有32名男生,8名女生;試寫出解(以事件A表示)(以事件B表示)全年級100名學(xué)生中,例超過3萬小時的概率使用時間超過5萬小時的概率為一臺3萬小時,求這臺電視機(jī)使用時間超過5萬小時的概率.解“使用時間超過3萬小時”“使用時間超過5萬小時”要求為0.6電視機(jī)已經(jīng)使用了某牌號電視機(jī)的使用時間設(shè)例抽樣抽取兩個，如果已知第一次取到次品，第二次又取到次品的概率。解

設(shè)事件10個產(chǎn)品中有7個正品,3個次品,按不放回計(jì)算二、乘法公式當(dāng)時,當(dāng)時,乘法公式:對于兩個事件如果,則有如果,則有則有如果對于k個事件一般地,推廣:如果則有證對于三個事件10個產(chǎn)品中有7個正品,3個次品,按不放回抽樣抽取兩個,計(jì)算兩次都取到次品的概率.解設(shè)表示“第次取到次品”，例

例其中只有一支“好”簽,4個隨機(jī)地取走一簽(不放回),求每個人抽到解“第個人抽到好簽”

人依次“好”簽的概率.簽筒中放有4支簽,設(shè)表示

例其中只有一支“好”簽,4個隨機(jī)地取走一簽,(不放回),求每個人抽到解

“第

個人抽到好簽”

人依次“好”簽的概率.簽筒中放有4支簽,設(shè)表示4個人抽到好簽的概率是一樣的.一個盒子裝有100個零件，其中有10個不合格品，現(xiàn)從中取零件3次，每次任取1個（不放回抽樣），求第三次才取到合格品的概率.解設(shè)表示“第次取到合格品”，例設(shè)表示“第3次才取到合格品”，則從而有三、全概率公式

有些事件比較復(fù)雜,例如,AB則其概率不容易直接計(jì)算,此時,可把它分解較簡單的事件分別計(jì)算這些簡單事件的概率,的和,再相加,即可若算出要求的概率.成一些互不相容的例解加工同樣的零件,甲機(jī)床的加工的零件乙機(jī)床的廢品率為已知甲機(jī)床加工的零件數(shù)比乙機(jī)床多一廢品率為倍,求:是合格品的概率.“取出的零件是甲機(jī)床加工的.”“取出的零件是乙機(jī)床加工的.”則表示放在一起,甲乙兩臺機(jī)床AB設(shè)A表示任取一個零件(記為B)同樣,B構(gòu)成一完備事件組,則對任一事件B,有若三個事件證定理1.1(全概率公式)如果事件構(gòu)成一完備事件組,而且則對任何一個事件B,有時B時由于某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品以100個為一批，例解構(gòu)成一完備的事件組,并且其中恰有個次品的概率如下表所示：在進(jìn)行抽樣檢查時，只從每批中抽取10個進(jìn)行檢查，若發(fā)現(xiàn)其中有次品，求這批產(chǎn)品通過檢查的概率?，F(xiàn)假定每批產(chǎn)品中的次品不超過3個，則認(rèn)一批產(chǎn)品中的次品數(shù)0123概率0.20.40.30.1為該批產(chǎn)品不合格，設(shè)事件A表示“這批產(chǎn)品通過檢查”，表示“這批產(chǎn)品中有件次品”，設(shè)事件則且有某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品以100個為一批，例解構(gòu)成一完備的事件組,并且其中恰有個次品的概率如下表所示：在進(jìn)行抽樣檢查時，只從每批中抽取10個進(jìn)行檢查，若發(fā)現(xiàn)其中有次品，求這批產(chǎn)品通過檢查的概率。現(xiàn)假定每批產(chǎn)品中的次品不超過3個，則認(rèn)一批產(chǎn)品中的次品數(shù)0123概率0.20.40.30.1為該批產(chǎn)品不合格，設(shè)事件A表示“這批產(chǎn)品通過檢查”，表示“這批產(chǎn)品中有件次品”，設(shè)事件則且有某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品以100個為一批，例解構(gòu)成一完備的事件組,并且其中恰有個次品的概率如下表所示：在進(jìn)行抽樣檢查時，只從每批中抽取10個進(jìn)行檢查，若發(fā)現(xiàn)其中有次品，求這批產(chǎn)品通過檢查的概率?，F(xiàn)假定每批產(chǎn)品中的次品不超過3個，則認(rèn)一批產(chǎn)品中的次品數(shù)0123概率0.20.40.30.1為該批產(chǎn)品不合格，設(shè)事件A表示“這批產(chǎn)品通過檢查”，表示“這批產(chǎn)品中有件次品”，設(shè)事件則由全概率公式，得例B表示“如期到達(dá)”可以乘坐飛機(jī)、火車、輪船、汽車4種交通工具,其概率分別為乘坐這幾種交通工具能如期到達(dá)的概率依次為求此人能如期到達(dá)的概率.分別表示乘飛機(jī)、火車、輪船、汽車.為完備事件組.某人外出解設(shè)全概率公式四、貝葉斯公式已知該旅行者誤期到達(dá),即要求已知此人已誤期,例可以乘坐飛機(jī)、4種交通工具,其概率分別為乘坐這幾種交通工具能如期到達(dá)的概率求此人能如期到達(dá)求他是乘火車的概率.火車、輪船汽車的概率.則誤期是由乘火車引起依次為(記為B)某人外出的概率為定理1.2(貝葉斯公式)設(shè)事件且則對于任何若則有構(gòu)成一完備事件組,一個事件B,B證例解加工同樣的零件,甲機(jī)床的,加工出的零件乙機(jī)床的廢品率為已知甲機(jī)床加工的零件數(shù)比乙機(jī)床多一廢品率為倍,任取一個零件,發(fā)現(xiàn)是廢品“取出的零件放在一起,甲乙兩臺機(jī)床(記為C),這件廢品最可能是哪臺車床加工的?這件廢品最可能設(shè)A表示是甲機(jī)床加工的.”是甲機(jī)床加工的.例解其中紅球的個數(shù)從現(xiàn)每次從袋中任取一球，是等可能的，求袋中均是紅球的概率。放回，袋中有N個球，設(shè)A表示觀察顏色后且如此重復(fù)了次，結(jié)果次均觀察到紅球，“連續(xù)次均觀察到紅球”設(shè)表示“袋中有個紅球”，顯然構(gòu)成一完備事件組，故§1.5隨機(jī)事件的獨(dú)立性如一般地甲、乙兩人各擲一次硬幣,B表示A表示“乙擲出正面”,又如，某校畢業(yè)班進(jìn)行統(tǒng)考，

“甲同學(xué)數(shù)學(xué)及格.”B表示“乙同學(xué)英語及格.”但在有些情況下，并不影響事件事件B發(fā)生與否A發(fā)生的可能性.“甲擲出正面”,A表示當(dāng)事件B對事件A沒有任何影響時,應(yīng)有其中當(dāng)事件A對事件B沒有任何影響時,應(yīng)有其中當(dāng)時,當(dāng)時,一、兩個事件的獨(dú)立性發(fā)生的概率發(fā)生的概率

定義1.5.1推論1則定義滿足等式如果兩個事件簡稱與獨(dú)立.則稱事件與是相互獨(dú)立的,對于兩個事件A與B

若與獨(dú)立則兩個事件與如果其中任何一個事件發(fā)生的概率，都不受另一個事件發(fā)生與否是相互獨(dú)立的.與獨(dú)立則稱事件與的影響,若例所以A,B獨(dú)立.擲一枚均勻的骰子,(1)A表示“點(diǎn)數(shù)小于5”,B表示“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”則(2)A表示“點(diǎn)數(shù)小于4”,B表示“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”則所以A,B不獨(dú)立.例所以A,B獨(dú)立.從一副不含大小王的撲克牌中隨意抽出一張,記A為“抽到”,

為“抽到的牌是黑色的”,則

在實(shí)際應(yīng)用中,常根據(jù)問題的實(shí)際意義去判斷兩個事件是否獨(dú)立.二、有限個事件的獨(dú)立性定義:如果其中對n個事件任意兩個都互相獨(dú)立,有即對于則稱這個事件

兩兩獨(dú)立.這里共有個等式.當(dāng)時,n個事件兩兩獨(dú)立,即其中任何一個事件都不受另一個事件概率發(fā)生的發(fā)生與否的影響.都有相互獨(dú)立.如果對則稱這個事件

定義1.5.2對n個事件個事件其中任意時，時，時，時，這里共有個等式.相互獨(dú)立兩兩獨(dú)立.都有相互獨(dú)立.如果對個事件則稱這個事件

定義1.5.3對n個事件其中任意可以證明,n個事件相互獨(dú)立,即其中任何一個事件發(fā)生的可能性都不受另外一個或幾個事件發(fā)生與否的影響.如思考：A、B獨(dú)立A、B互斥A,B互斥A,B不獨(dú)立A,B獨(dú)立A,B不互斥兩事件相互獨(dú)立與它們互斥這兩個概念有何聯(lián)系?不影響B(tài)發(fā)生的事件B發(fā)生與否也不影響A發(fā)生的概率.當(dāng)事件A發(fā)生與否概率;事件A與B不能同時發(fā)生.時,三、相互獨(dú)立的性質(zhì)性質(zhì)1中的任意一部分事件如果個事件相互獨(dú)立.則它們換成各自的對立事件后,所得也相互獨(dú)立.的n個事件n=2時，A與B獨(dú)立與

獨(dú)立與

獨(dú)立與

獨(dú)立n=3時，A,B,C相互獨(dú)立相互獨(dú)立相互獨(dú)立相互獨(dú)立證即A與B獨(dú)立.其它幾個類似可證.反之,則由上面證明,A與獨(dú)立,設(shè)A與B獨(dú)立,獨(dú)立.與

獨(dú)立,A與B獨(dú)立與

獨(dú)立與

獨(dú)立與

獨(dú)立若證相互獨(dú)立相互獨(dú)立.性質(zhì)2如果個事件相互獨(dú)立.則有甲、乙、丙譯出密碼“譯出密碼”，例解設(shè)分別表示相互獨(dú)立.表示則甲,乙,丙三人在同一時間分別破譯某一個密碼,設(shè)甲譯出的概率為0.8,乙譯出的概率為0.7,丙譯出的概率為0.6,求密碼能譯出的概率.

甲,乙,丙三部機(jī)床獨(dú)立工作,在同一段時間內(nèi)它們不需要工人照管的概率分別為0.7,0.8和0.9,求在這段時間內(nèi)最多有一臺機(jī)床需人照管的概率.解設(shè)分別表示在同一段時間內(nèi)甲、乙、丙機(jī)床需要工人照管，例P26例2.四、貝努利概型定義只有兩種對立結(jié)果如果一個隨機(jī)試驗(yàn)這樣的試驗(yàn)稱為貝努利試驗(yàn).例如,從中隨機(jī)抽取一個進(jìn)行檢驗(yàn),抽取的結(jié)果只有兩個:一批產(chǎn)品的次品率為正品或次品抽到次品抽到正品拋擲一枚硬幣一次,出正面又如,結(jié)果只有兩個:或出反面.出正面出反面又如,一射手的命中率為他射擊一次,結(jié)果只有兩個:擊中或沒擊中.擊中沒擊中相應(yīng)的概率模型稱為貝努利概型.從而可以把試驗(yàn)歸結(jié)為雖然不只兩種，有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果但如果我們僅關(guān)心事件A是否發(fā)生，則可以把A作為一個結(jié)果，把

作為對立的結(jié)果.貝努利試驗(yàn).設(shè)事件A發(fā)生的概率為定義1.5.4在相同的試驗(yàn)條件下進(jìn)行一系列隨機(jī)獨(dú)立試驗(yàn)序列概型.則稱這樣的一系列試驗(yàn)稱為觀察A是否發(fā)生，若每次試驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立，則事件發(fā)生的概率為試驗(yàn)，由一個貝努利試驗(yàn)定義1.5.5獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行,形成的隨機(jī)試驗(yàn)序列稱為貝努利試驗(yàn)序列.由一個貝努利試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次,隨機(jī)試驗(yàn)序列形成的稱為n重貝努利試驗(yàn).每一次試驗(yàn),事件A發(fā)生在n重貝努利試驗(yàn)中，的概率都是用X表示重貝努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，可能取值:

事件發(fā)生的概率都是設(shè)表示

第次發(fā)生事件A用

表示重貝努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)定理1.3（貝努利定理）在每一次試驗(yàn)中,事件A發(fā)生k的次的概率為則在n重的概率都是

事件發(fā)生的概率都是貝努利試驗(yàn)中，事件A發(fā)生記定理1.4在每一次試驗(yàn)中,直到第k次才發(fā)生事件A則在n重貝努利試驗(yàn)中，都是

事件發(fā)生的概率都是事件A發(fā)生的概率的概率為證設(shè)表示

第次發(fā)生事件A直到第k次才發(fā)生事件A例(1)(2)任選n個人,求:一個人的血型為B型的概率為(3)解1)n個人；2)每個人或不是B型血；3)每個人為B型血的概率均為4)是否為B型血相互獨(dú)立.設(shè)n個人中有B型血的人數(shù)為X或?yàn)锽型血，沒有人為B型的概率恰有兩人為B型的概率至少n–1人為B型的概率例任選n個人,求:一個人的血型為B型的概率為(3)至少n–1人為B型的概率解1)n個人；2)每個人或?yàn)锽型血，或不是B型血；3)每個人為B型血的概率均為4)是否為B型血相互獨(dú)立.設(shè)n個人中有B型血的人數(shù)為X或例：現(xiàn)在對某種藥物的療效進(jìn)行研究，假設(shè)這種藥物對某藥物，求其中至少有6個人治愈的概率種疾病的治愈率p=0.8，若有10個患此病的病人同時服用此P。1)10個人；2)每個人服用此藥物后或被治愈，或不被治愈；3)每個人被治愈的概率均為4)是否被治愈相互獨(dú)立.解

0.8設(shè)10個人中服用此藥被治愈的人數(shù)為X,則隨機(jī)變量及其分布§2.1隨機(jī)變量一、隨機(jī)變量的概念在許多隨機(jī)試驗(yàn)中,擲一顆骰子,基本事件為任選一個人,記錄某交叉路口在一批燈泡中任取一個,發(fā)射炮彈,等等.試驗(yàn)的基本結(jié)果例如:觀察其點(diǎn)數(shù).測量其身高.在任意一個小時內(nèi)通過的車輛數(shù).測試其使用壽命.記錄彈著點(diǎn)與目標(biāo)的距離.可以用一個數(shù)表示.有些隨機(jī)試驗(yàn)，例如,Ω={出正面,出反面}于是事件

“硬幣出現(xiàn)反面”就表示為雖然其結(jié)果但也可以用數(shù)量表示.令ω=“出反面”ω=“出正面”就表示為沒有直接表現(xiàn)為數(shù)量,拋擲一枚硬幣一次,“硬幣出現(xiàn)正面”取出的是二等品;事件“取出合格品”任取一件.一批產(chǎn)品件,其中有優(yōu)質(zhì)品件,二等品件,廢品件,取出的是廢品取出的是優(yōu)質(zhì)品;令ω=“取出優(yōu)質(zhì)品”ω=“取出二等品”ω=“取出廢品”就表示為或定義又如,某一隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間,如果對每一個樣本點(diǎn)這樣就定義了一個定義域?yàn)棣傅姆Q之為隨機(jī)變量.有一個實(shí)數(shù)與之對應(yīng),例如,令ω=“出反面”ω=“出正面”Ω={出正面,出反面}為隨機(jī)變量.為隨機(jī)變量.實(shí)值函數(shù)拋擲一枚硬幣,擲一顆骰子,令“擲出1點(diǎn)”“擲出2點(diǎn)”“擲出6點(diǎn)”設(shè)Ω為且對事件的概率存在，隨機(jī)變量通常用大寫英文字母小寫英文字母又如,在一天中任選一個時刻,記錄下當(dāng)時的氣溫.任一時刻的氣溫為隨機(jī)變量.有時也用小寫希臘字母等表示,表示隨機(jī)變量所取的值.隨機(jī)變量也記為某氣象站用X表示,ξ,η等表示.隨機(jī)變量其一,而微積分中所討論的函數(shù)引入隨機(jī)變量后，任選一個同學(xué),是一個定義在樣本空間上的函數(shù).它與微積分中所討論的函數(shù)隨機(jī)變量的定義域是樣本空間,自變量是樣本點(diǎn);的定義域是實(shí)數(shù)集,自變量是實(shí)數(shù).的取值具有隨機(jī)性,在未試驗(yàn)之前,我們此次試驗(yàn)會出現(xiàn)哪個樣本點(diǎn),X取哪個值.其二,因此也不并不知道試驗(yàn)中的各種事件就可以用隨機(jī)變量的取值來表達(dá).例如:“身高不超過1.7米”

測量其身高則知道有所不同.又如,“沒有收到呼叫”又如,

一個公共汽車站，表示在單位時間內(nèi)收到的呼叫此時,“收到不少于一次呼叫”用表示,表示某元件的壽命,則“壽命在200小時和1000小時之間”每隔5分鐘有一輛車通過,乘客在一個隨機(jī)的時刻到達(dá)該站,是一個隨機(jī)變量.該乘客的侯車時間“等車時間不超過2分鐘”次數(shù),某電話交換臺引入隨機(jī)變量后,隨機(jī)變量的分類:對隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究,就由對事件及事件概率的研究,擴(kuò)大為對隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究.隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量非離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量非離散非連續(xù)型隨機(jī)變量§2.2隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義2.2.1設(shè)

是稱為隨機(jī)變量的分布函數(shù).任意一個隨機(jī)變量,記為證（1）對于隨機(jī)變量其分布函數(shù)具有如下性質(zhì):是

的即時,至多有可數(shù)多個間斷點(diǎn),且在其間斷點(diǎn)處,即對任何實(shí)數(shù)有（2）即是右連續(xù)的,單調(diào)增函數(shù).時,(規(guī)范性)任一隨機(jī)變量都滿足以上性質(zhì),反之,任一滿足以上性質(zhì)的函數(shù),都可作為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù).是

的即時,至多有可數(shù)多個間斷點(diǎn),且在其間斷點(diǎn)處,即對任何實(shí)數(shù)有是右連續(xù)的,單調(diào)不減函數(shù).的分布函數(shù)設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)已知則若隨機(jī)變量的分布函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，則例1解§2.3離散型隨機(jī)變量定義2.3.1離散型隨機(jī)變量的特點(diǎn)是如“取到次品的個數(shù)”“擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”

“某電話交換臺其取值在數(shù)軸上只可能取有限個如果隨機(jī)變量或可數(shù)無窮多個值,離散型隨機(jī)變量.則稱是它的所有取值可以逐個一一列舉出來.是有限個點(diǎn)或一列離散的點(diǎn).任一小時內(nèi)收到的呼叫次數(shù)”

離散型隨機(jī)變量與概率分布律

定義2.3.2稱它的一切可能設(shè)X取值為且取各個值的概率為的概率分布,的分布.有時也寫成概率分布為簡稱為記也可以用列表法表示是離散型隨機(jī)變量,證(1)概率分布的性質(zhì)：1.非負(fù)性2.規(guī)范性定理2.3.1若離散型的概率分布為3.離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為令X表示只有兩種對立結(jié)果：“A發(fā)生”對于貝努利試驗(yàn)，與“A不發(fā)生”一次貝努利試驗(yàn)中，A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)事件A發(fā)生的概率為則事件發(fā)生的概率為則即A不發(fā)生A發(fā)生稱X服從0—1分布.例從中隨機(jī)抽取一個抽到正品抽到次品用X表示即X服從0—1分布.抽到的次品的個數(shù)一批產(chǎn)品抽取一次，的次品率為例一般地,即具有離散均勻分布.編號為隨機(jī)取一個字母,設(shè)對應(yīng)的號碼為則的概率分布為若的概率分布是則稱將26個英文字母例

袋中有五張卡片，其中標(biāo)有數(shù)字1的有一張，標(biāo)有數(shù)字2及3的各有兩張.從中一次隨機(jī)抽取3張，X表示取到的3張卡片上的最大數(shù)字，求X的概率分布.若Y表示最小數(shù)字呢？

例1P37-38離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)例擲一顆骰子,出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為求的分布函數(shù).解

123456

123456

123456是一個階梯形函數(shù),它在X的可能取值點(diǎn)1,2,3,4,5,6處發(fā)生跳躍,跳躍的高度等于X在相應(yīng)取值點(diǎn)處的概率.任一離散型隨機(jī)變量都具有這個特征.反之,若一隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是階梯型函數(shù),則X一定是離散型隨機(jī)變量.的全部跳躍點(diǎn)而且就是X的全部取值點(diǎn).在跳躍點(diǎn)處跳躍的高度等于X在相應(yīng)取值點(diǎn)處的概率.的分布函數(shù),例2P38幾個重要的離散型分布一、退化分布如果隨機(jī)變量X則稱隨機(jī)變量X服從處的退化分布.*即二、兩點(diǎn)分布如果隨機(jī)變量X只取兩個值其中當(dāng)時，即為0—1分布.也稱X是參數(shù)為p的則稱X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布.伯努利隨機(jī)變量.三、離散均勻分布如擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)具有離散均勻分布.四、二項(xiàng)分布每一次試驗(yàn),設(shè)在一次試驗(yàn)中,只有兩個對立的結(jié)果:或重復(fù)進(jìn)行次獨(dú)立試驗(yàn),(“重復(fù)”指相同,

“獨(dú)立”指各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響)各次試驗(yàn)的條件A發(fā)生的概率都是A不發(fā)生的這樣的次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)稱作重貝努里試驗(yàn),

簡稱貝努里試驗(yàn)或貝努里用表示n重貝努里試驗(yàn)中事件A(成功)出現(xiàn)的可能取值:次數(shù),概率都是概型.設(shè)表示第次發(fā)生事件A設(shè)表示第次發(fā)生事件A稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布,記為當(dāng)n=1時,二項(xiàng)分布即即是參數(shù)為p的0—1分布.例1一批產(chǎn)品的合格率為0.9，重復(fù)抽取3件：每次一件，連續(xù)3次.求3次中取到的合格品件數(shù)X的概率分布.例2某人投籃的命中率為0.8，若連續(xù)投籃5次，求最多投中兩次的概率.則五、泊松分布定義且取這些值的概率為其中為常數(shù),則稱服從參數(shù)為λ的記為設(shè)隨機(jī)變量可能取的值為分布,泊松滿足規(guī)范性.由如等車人數(shù)、尋呼臺接到的呼喚次數(shù)、放射性物質(zhì)在某段時間內(nèi)放射的粒子數(shù)、某頁書的印刷錯誤、鑄件的疵點(diǎn)、布的疵點(diǎn)等.1.模型：稠密或稀有事件的分布.定理2.3.2(泊松定理)在重伯努利試驗(yàn)中,事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為（與試驗(yàn)的次數(shù)n有關(guān)）如果時，（λ>0，為常數(shù))則對任意k有根據(jù)此定理,參數(shù)為若充分大,充分小,則X近似服從的泊松分布.即當(dāng)可以用上面的公式近似計(jì)算。例5P42引例袋中有6個紅球，4個白球，不放回抽取3個，設(shè)X表示取到紅球的個數(shù)，求X的概率分布.例對某一目標(biāo)射擊,射擊的次數(shù).直到擊中為止,設(shè)每次擊中的概率都是且各次射擊的結(jié)果是獨(dú)立的.令表示求的概率分布.解可能取的值是:設(shè)

表示“第

次擊中”

稱服從參數(shù)為的幾何分布.其中五、幾何分布一般地,假定一個試驗(yàn)直到首次成功為止,成功的概率是不斷地重復(fù)試驗(yàn),且各次試驗(yàn)的結(jié)果是獨(dú)立的.令

表示試驗(yàn)的次數(shù).可能取的值是:其中設(shè)表示“第

次成功”

服從參數(shù)為的幾何分布.幾何分布有性質(zhì)：對任意自然數(shù)m，n，有證稱為無記憶性，是幾何分布的特征性質(zhì).§2.4連續(xù)型隨機(jī)變量如機(jī)器的使用壽命Z，因此我們無法像對離散型隨機(jī)變量那樣討論取某零件的誤差Q，它們的取值不可以一個個列舉出來，而是充滿了某個區(qū)間，個值的概率。而這樣的非離散型隨機(jī)變量是這一節(jié)研究的對象。定義2.4.1對于隨機(jī)變量如果存在一個非負(fù)使得對任意實(shí)數(shù)有則稱是稱為的概率密度簡稱密度函數(shù)，或概率密度。記為的概率密度函數(shù)具有以下性質(zhì):可積函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量,函數(shù),此時，即為X的密度函數(shù)，記為即連續(xù)型隨機(jī)變量這是它和離散型隨機(jī)變量的重要區(qū)別.*對連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)是任一實(shí)數(shù),考慮取單個值的概率為由于連續(xù)型隨機(jī)變量故對任一實(shí)數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量在任一單個點(diǎn)取值的概率又故即在點(diǎn)連續(xù).在任意一點(diǎn)連續(xù).在連續(xù).在連續(xù).的分布函數(shù)為0,由于或或或或連續(xù)型隨機(jī)變量取值落入某一區(qū)間的概率與區(qū)間的開或閉無關(guān).對離散型隨機(jī)變量,此結(jié)論不成立.證若對在利用積分中值定理，有處右連續(xù)則(左連續(xù))，當(dāng)在處左連續(xù)，類似可證。若在處連續(xù)，則為連續(xù)函數(shù)，若則牛頓—萊布尼茲公式由是的原函數(shù)當(dāng)連續(xù)時例1

求(1)A(2)P{0.3<X<0.7}(3)f(x)（4）P{X=4}(5)P{X=10}由題可得是連續(xù)函數(shù)，故稱具有上述分布的隨機(jī)變量服從柯西分布。例1-例2P47-482.4.2幾個重要的連續(xù)型隨機(jī)變量一、均勻分布其他定義2.4.2若連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度則稱在區(qū)間上服從均勻分布，記為均勻分布的分布函數(shù)為圖象如圖2.7(P49)例服從均勻分布，某零件的直徑誤差X在[-0.5,0.5](單位：cm)上求隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)及X落在[-0.2,0.2]內(nèi)的概率。解：由題可得，概率密度為其他二、指數(shù)分布定義2.4.3

如果連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為其中為常數(shù)則稱服從指數(shù)分布,記為參數(shù)為λ的指數(shù)分布通常與各種“壽命”、時間問題有關(guān),保險投保人的壽命、例如電器元件的使用壽命、等候時間等等。銀行排隊(duì)指數(shù)分布的分布函數(shù)為：指數(shù)分布滿足:證且右左==右在已經(jīng)使用了小時還沒壞的條件下,

能夠再使用b小時的概率等于其壽命超過b小時的無條件概率.這個性質(zhì)稱為即元件以前曾經(jīng)不影響它以后的使用壽命.

“無后效性”.無故障使用的時間指數(shù)分布滿足:三、正態(tài)分布如果隨機(jī)變量的概率密度為其中

和為常數(shù),且則稱

服從參數(shù)為正態(tài)分布,記為對稱為漸近線.軸的是

的最大值.

的圖象關(guān)于的圖象以σ越小,曲線越陡峭.可以證明,在點(diǎn)處有拐點(diǎn).越大,和與μ越接近,σ越大,曲線越平緩.越小,和與μ距離越遠(yuǎn),的圖象可以證明滿足規(guī)范性.即即正態(tài)分布是非常重要的分布，這些常見的隨機(jī)變量均服從正態(tài)分布。收入水平，考試成績，兒童身高等等需利用概率積分正態(tài)分布的分布函數(shù)對于正態(tài)分布其分布函數(shù)記為當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.時，記為即2.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布記為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)記為3.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表對于任意的可以通過查表得到。P242設(shè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)具有以下性質(zhì)：例已知設(shè)求已知求證4.一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系定理2.4.4若則因?yàn)樗訶的分布函數(shù)為所以證4.一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系定理2.4.5若則注意：若則例4-5P55例

設(shè)求解

則也是隨機(jī)變量.如何求的分布?§2.5隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)是隨機(jī)變量,已知隨機(jī)變量Ｘ的分布，定義2.5.1設(shè)X，Y為隨機(jī)變量，它在X的取值范圍內(nèi)均有意義，是一元函數(shù)，若當(dāng)時則稱隨機(jī)變量Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)，記為P59例1下面討論由X的概率密度，求Y的概率密度定理2.5.1證明：記隨機(jī)變量的分布函數(shù)為則當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，(1)若嚴(yán)格單調(diào)遞增且可導(dǎo)，從而且可導(dǎo)，存在且嚴(yán)格單調(diào)遞增，則證明：記隨機(jī)變量的分布函數(shù)為則(1)若嚴(yán)格單調(diào)遞增且可導(dǎo)，從而兩邊對y求導(dǎo)，得其他證明：記隨機(jī)變量的分布函數(shù)為則當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，(2)若嚴(yán)格單調(diào)遞減且可導(dǎo)，從而且可導(dǎo)，存在且嚴(yán)格單調(diào)遞減，則證明：記隨機(jī)變量的分布函數(shù)為則(1)若嚴(yán)格單調(diào)遞減且可導(dǎo)，從而兩邊對y求導(dǎo)，得其他設(shè)Ｘ為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為證設(shè)類似可以證明定理2.5.2由以上的討論可得連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度隨機(jī)變量函數(shù)分布函數(shù)在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化，的概率密度分布函數(shù)轉(zhuǎn)化的關(guān)系式如下：積分求導(dǎo)積分求導(dǎo)Ch3多維隨機(jī)變量及其分布例1描述了任一個人的體形特征.任選一個人,設(shè)X表示其身高，Y表示其體重,例2三段的長度某次統(tǒng)考,將1米長的線段表示.則描述了任一次每個考生考6門,則任一考生的記錄了該考生的成績.例3任意截成三段,分?jǐn)?shù)分別用截取的情況.一般地,如果試驗(yàn)的每個基本結(jié)果都對應(yīng)個

則稱為維隨機(jī)變量.有序?qū)崝?shù)

例如,一個人的身高和體重,是二維隨機(jī)變量.設(shè)分別表示則則是三維隨機(jī)變量.設(shè)分別表示任一鋼塊的長、寬、高,任一考生的語、數(shù)、外設(shè)

分別表示及綜合的考試分?jǐn)?shù),是四維隨機(jī)變量.§3.1二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)3.1.1聯(lián)合分布函數(shù)定義3.1.1稱為隨機(jī)變量設(shè)是

維隨機(jī)變量,n元的聯(lián)合分布函數(shù).函數(shù)的分布函數(shù).或n個隨機(jī)變量當(dāng)時,二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為當(dāng)時,二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為對任意實(shí)數(shù)其中聯(lián)合分布函數(shù)具有性質(zhì)：（1）（2）關(guān)于均單調(diào)不減.即對任意固定的有對任意固定的有（3）關(guān)于均右連續(xù).即對任意實(shí)數(shù)（4）記記記記當(dāng)時，當(dāng)時，（非負(fù)性）（單調(diào)性）（規(guī)范性）（2）關(guān)于均單調(diào)不減.即對任意固定的有對任意固定的有證即關(guān)于y單調(diào)不減.當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，如果（X，Y）的分布函數(shù)已知，則隨機(jī)變量隨機(jī)變量稱為二維隨機(jī)變量關(guān)于X的邊緣分布函數(shù).稱為二維隨機(jī)變量關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù).的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為：(X,Y)(X,Y)P68例1作業(yè)P691定義3.2.1的全部取值為如果二維隨機(jī)變量或可列無限多對,為二維離散型則稱有限對隨機(jī)變量?！?.2二維離散型隨機(jī)變量3.2.1二維離散型隨機(jī)變量與聯(lián)合分布律定義3.2.2且取這些值的概率為:聯(lián)合分布常用表格表示:聯(lián)合分布具有性質(zhì):1.聯(lián)合分布律設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量,的取值為聯(lián)合分布律.稱上式為隨機(jī)變量

可能的概率分布，或X和Y的定義3.2.2且取這些值的概率為:聯(lián)合分布函數(shù)1.聯(lián)合概率分布律設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量,的取值為聯(lián)合概率分布律.稱上式為隨機(jī)變量

可能的概率分布，或X和Y的2.邊緣分布的概率分布為:設(shè)隨機(jī)變量X的分布為:隨機(jī)變量X的分布為:稱為關(guān)于X的邊緣概率分布.隨機(jī)變量Y的分布為:隨機(jī)變量Y的分布為:稱為關(guān)于

的邊緣概率分布.例1袋中有1個紅球、2個黑球、3個白球，現(xiàn)按下列兩種方式取球：X，Y的邊緣概率分布。(1)從袋中一次取出2個球；(2)從袋中有放回的依次取2個球。以X，Y分別表示“取球所得紅球與黑球的個數(shù)”，試分別求兩種方式下(X,Y)的聯(lián)合概率分布和關(guān)于例3六個乒乓球中有四個是新的，求(X,Y)的聯(lián)合分布和邊緣分布,第一次取出兩個，用完后放回去，第二次又取出兩個,表示第一次和第二次取出的新球的個數(shù),X與Y分別至少取得一個新球的概率.并求第二次XY01201/2258/2256/225124/22572/22524/225236/22548/2256/2253.2.3條件概率分布律設(shè)(X，Y)是二維離散型隨機(jī)變量,概率分布為若對固定的有則且記稱為條件下,X的條件概率分布.在其定義此時，有定義設(shè)(X，Y)是二維離散型隨機(jī)向量,若對有則稱固定的為條件下,X的條件概率分布.在如設(shè)(X，Y)的概率分布為則在條件下，X的條件概率分布為如設(shè)(X，Y)的概率分布為則在條件下，X的條件概率分布為可列表表示且(非負(fù)性)(規(guī)范性)時，定義設(shè)(X，Y)是二維離散型隨機(jī)變量,若對有則稱固定的為條件下,Y的條件概率分布.且在此時，有記(非負(fù)性)(規(guī)范性)時，且例4若按照本節(jié)例1的第(1)種方式取球，(1)已知取得的球中沒有紅球，求取得的黑球數(shù)的條件概率分布；(2)已知取得的球中有1個黑球，求取得的紅球數(shù)的條件概率分布。作業(yè)：P741，3如果積分區(qū)域?yàn)椋浩渲泻瘮?shù)、在區(qū)間上連續(xù).一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分［X－型］如果積分區(qū)域?yàn)椋海踄－型］其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).定義3.3.1設(shè)是二維隨機(jī)變量,其分布函數(shù)為如果存在非負(fù)可積的二元函數(shù)使得對于任意實(shí)數(shù)對有則稱(X,Y)為稱為(X,Y)的函數(shù).簡稱聯(lián)合概率密度.記為1.聯(lián)合概率密度函數(shù)二維連續(xù)型隨機(jī)變量，聯(lián)合概率密度§3.3二維連續(xù)型隨機(jī)變量如果將隨機(jī)變量(X,Y)看成落在坐標(biāo)平面上的隨機(jī)點(diǎn),(X,Y)落在區(qū)域的概率在D上的二重積分.密度函數(shù)等于定義3.5設(shè)是二維隨機(jī)變量,其分布函數(shù)為如果存在非負(fù)可積的二元函數(shù)使得對于任意實(shí)數(shù)對有則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量稱為(X，Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù).簡稱聯(lián)合概率密度.記為聯(lián)合概率密度具有性質(zhì):對平面上任意有特殊地,對平面上的任一矩形區(qū)域有（非負(fù)性）（規(guī)范性）可度量的區(qū)域D,聯(lián)合概率密度具有性質(zhì):注:(1)和(2)是函數(shù)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)的充分條件?？梢宰鰹槟扯S連續(xù)型例1-例2P76-772.邊緣概率密度函數(shù)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為則是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為證由概率密度的定義，另一方面，稱為聯(lián)合概率密度關(guān)于Ｘ的邊緣概率密度函數(shù)．由聯(lián)合概率密度的定義2.邊緣密度函數(shù)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為則是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為證由概率密度的定義，另一方面，稱為聯(lián)合概率密度關(guān)于Ｙ的邊緣概率密度函數(shù)．由聯(lián)合概率密度的定義2.邊緣概率密度函數(shù)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為則是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度分別為X的邊緣分布函數(shù)和且Y的邊緣分布函數(shù)例3-例4P78-79定義3.3.3如果二維隨機(jī)變量設(shè)D為xOy平面上的區(qū)域，則稱隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為服從上的二維均勻分布.其面積為SD，例5P79定義3.3.4則稱(X,Y)服從其中參數(shù)設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量,如果其聯(lián)合概率密度函數(shù)為的二維正態(tài)分布,記為均為常數(shù),且參數(shù)為定理二維正態(tài)分布的邊緣分布為一維正態(tài)分布.即若則即定理若二維正態(tài)分布中,則(X,Y)的聯(lián)合概率密度為兩個邊緣概率密度的乘積.證ρ=0時，結(jié)論:1.二維正態(tài)分布的邊緣分布為一維正態(tài)分布.即若則2.不同的二維正態(tài)分布可以有相同的邊緣分布.如(X,Y)和(ξ,η)是兩個不同的二維正態(tài)分布,但它們的邊緣分布:相同.故由邊緣分布,不能唯一確定聯(lián)合分布.正態(tài)分布,要確定二維還需知道參數(shù)ρ的值.除知道邊緣分布外,作業(yè)P841[(3)不做,(5)不做],2,3§3.4二維隨機(jī)變量的獨(dú)立性一、二維離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性定義3.4.1若邊緣概率分布設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率分布為分別為則稱X和Y相互獨(dú)立。下表列出二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律及邊緣分布律的部分?jǐn)?shù)值,將其余數(shù)值填入空白處.例設(shè)隨機(jī)變量與

獨(dú)立,定義3.4.2設(shè)(X，Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，如果對任意的實(shí)數(shù)x和y都有則稱X與Y相互獨(dú)立。二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性證明：若X與Y相互獨(dú)立證明：X與Y相互獨(dú)立則定理如果隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,則對于任意連續(xù)函數(shù)隨機(jī)變量與也相互獨(dú)立.和定理隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立的充要條件為XFx()YFy()作業(yè)P862,5,6P841(判別X與Y是否獨(dú)立)§3.5二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布本節(jié)討論的是在已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)注意，合概率分布時，求隨機(jī)變量函數(shù)Z=g(X,Y)的分布，但Z=g(X,Y)是雖然(X,Y)是二維隨機(jī)變量，3.5.1兩個隨機(jī)變量和的分布一維隨機(jī)變量。1)離散型隨機(jī)變量的情形例設(shè)求:1)解1)的聯(lián)合分布為的分布.2)的分布.例1設(shè)求:1)解2)的聯(lián)合分布為的分布.2)的分布.例2設(shè)X,Y的分布如下，且X與Y獨(dú)立，求Z=X+Y,W=XY的分布.—分布函數(shù)法2)連續(xù)型隨機(jī)變量的情形設(shè)(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)變量，為一維連續(xù)型隨機(jī)變量，則Z=X+Y設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度為求Z=X+Y的概率密度此時二重積分區(qū)域如右圖—分布函數(shù)法2)連續(xù)型隨機(jī)變量的情形設(shè)(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)變量，為一維連續(xù)型隨機(jī)變量，則Z=X+Y設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度為求Z=X+Y的概率密度兩邊對z求導(dǎo)，得特別地，當(dāng)X與Y獨(dú)立時，Z=X+Y的概率密度為例2-例3P89-90例的密度為其中定理

則即可以證明，且與

相互獨(dú)立，獨(dú)立,并且之和仍然服從正態(tài)分布.設(shè)設(shè)與兩個獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量推論則其中即設(shè)個隨機(jī)變量相互獨(dú)立,且的線性組合仍服從正態(tài)分布.有限個獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量3.5.2兩個隨機(jī)變量最大值與最小值的分布本節(jié)討論兩個隨機(jī)變量的最大值函數(shù)和最小值函數(shù)1)離散型隨機(jī)變量的情形設(shè)(X,Y)是離散型隨機(jī)變量，的分布若已知聯(lián)合概率分布求Z1=max{X,Y}和Z2=min{X,Y}的概率分布律。律，例4設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布分布律如下表，試分別求Z1=max{X,Y},Z2=min{X,Y}的概率分布律.

解：2)連續(xù)型隨機(jī)變量的情形設(shè)(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)變量，函數(shù)分別為

X與Y獨(dú)立，和求X與Y的邊緣分布都可導(dǎo)，的分布函數(shù)和概率密度和故的概率密度類似可得的分布函數(shù)概率密度特別地，X與Y相互獨(dú)立且服從同一分布，(1)隨機(jī)變量則當(dāng)X與Y服從同一分布時，有進(jìn)一步的結(jié)果定理3.5.1設(shè)(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)變量，分布函數(shù)為概率密度為的分布函數(shù)和概率密度分別為(2)隨機(jī)變量的分布函數(shù)和概率密度分別為證明：(1)由題可得將(11)分別代入(6),(7)，可得(9)式成立。同理可證明(11)式成立。例5P94作業(yè)P94

1，2,3

§

4.2方差EX=(-1)×0.3+1×0.3+2×0.3+3×0.2=1.2EY=0×0.3+1×0.4+2×0.1+3×0.2=1.2定義:設(shè)X為隨機(jī)變量，期望EX存在，稱X-EX為X的離差.引例設(shè)X,Y的分布如下表，求EX,EY.且方差的性質(zhì)：定義4.2.1設(shè)為隨機(jī)變量，存在，且也存在，則稱為的方差，記為其中c為常數(shù)方差的性質(zhì)：證其中c為常數(shù)特別地，例1設(shè)X服從參數(shù)為p的0-1分布,求DX.例2一只箱子中有10只同型的配件，其中2只是次品，裝配工在使用時任取1只，若是廢品，則扔掉重新取1只，直到取到正品為止，求在取到正品前已取得次品的方差。解：用X表示在取到正品前已取得的次品數(shù)，則X的可能取值為例12(正態(tài)分布的方差)設(shè)求證證由故其概率密度為從而且作業(yè)§

4.3矩定義4.3.1(原點(diǎn)矩)設(shè)X為隨機(jī)變量，則稱若存在，階原點(diǎn)矩。為隨機(jī)變量的定理4.3.1(原點(diǎn)矩的計(jì)算公式)(1)若X為離散型隨機(jī)變量，概率分布律為則(2)若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為則設(shè)X為隨機(jī)變量，定義4.3.2(中心矩)設(shè)X為隨機(jī)變量，則稱若存在，階中心矩。為隨機(jī)變量的定理4.3.2(中心矩的計(jì)算公式)(1)若X為離散型隨機(jī)變量，概率分布律為則(2)若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為則設(shè)X為隨機(jī)變量，例1-例2P122作業(yè)P1292,3§4.4協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)對于二維隨機(jī)變量除了要討論的期望和方差外,還需要討論描述X與Y之間相互關(guān)系的數(shù)字特征.這就是協(xié)方差4.4.1協(xié)方差定義4.4.1設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量,存在，則稱其為隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差.均存在,如果記為即隨機(jī)變量隨機(jī)變量數(shù)各自與相關(guān)系數(shù).計(jì)算協(xié)方差時,當(dāng)

時,常采用公式:證定理4.4.1定理4.4.2(協(xié)方差性質(zhì))(7)X與Y獨(dú)立為任意常數(shù).C為任意常數(shù).設(shè)X與Y是任意兩個隨機(jī)變量，則證(4)(7)X與Y獨(dú)立X與Y獨(dú)立獨(dú)立定義4.4.2定理4.4.4稱4.4.2相關(guān)系數(shù)X和Y的方差都存在,并且均不為零，為X與Y之間的相關(guān)系數(shù).設(shè)隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)存在，則有設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)向量,即例設(shè)隨機(jī)變量X與Y

之間有關(guān)系：求解當(dāng)隨機(jī)變量X與Y

之間有線性關(guān)系時,的絕對值達(dá)到最大.且當(dāng)時,其中為常數(shù).

當(dāng)時,當(dāng)都存在,且為正時,X與Y不相關(guān)X與Y獨(dú)立X與Y不相關(guān)X與Y獨(dú)立,指X與Y之間沒有線性關(guān)系.X與Y不相關(guān),相關(guān)系數(shù)的大小,在某種意義上兩個隨機(jī)變量之間線性聯(lián)系的程度.沒有任何關(guān)系;指X與Y之間度量了已知隨機(jī)變量例求X與Y的相關(guān)系數(shù).解其它已知隨機(jī)變量例求X與Y的相關(guān)系數(shù).解其它已知隨機(jī)變量例求X與Y的相關(guān)系數(shù).解其它已知隨機(jī)變量例求X與Y的相關(guān)系數(shù).解其它同理可得X與Y不相關(guān),但X與Y之間有關(guān)系:X與Y之間不存在線性關(guān)系.X與Y不相互獨(dú)立.作業(yè)P1294，6，7，9CH6數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究怎樣有效地收集、整理和隨機(jī)性的數(shù)據(jù),以便對所考察的問題作出推斷和預(yù)測,分析帶有直至為采取一定的決策和行動提供依據(jù)和建議.這種由局部觀察來對總體下結(jié)論必須建立在科學(xué)的方法基礎(chǔ)上,否則就會犯錯誤.數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)之一就是給出這種統(tǒng)計(jì)推斷以科學(xué)的理論及方法.數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.如何從總體中抽樣?2.如何用所抽樣品對總體進(jìn)行推斷?抽樣全面調(diào)查(如人口普查)部分調(diào)查總體部分抽樣統(tǒng)計(jì)推斷估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)主要研究兩方面的問題:§6.1一、總體與總體分布總體：研究的對象的全體構(gòu)成的集合.個體：組成總體的每一個單元.統(tǒng)計(jì)學(xué)中關(guān)心的不是每個個體的所有特性,而僅僅關(guān)心它的某一項(xiàng)或某幾項(xiàng)數(shù)量指標(biāo).則總體是一個隨機(jī)變量.(或隨機(jī)向量)總體的分布稱為總體分布.定義6.1.1統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱隨機(jī)變量(或隨機(jī)向量)X為總體,并把隨機(jī)變量(或隨機(jī)向量)X的分布稱為總體分布.用X表示每個個體的這一項(xiàng)（幾項(xiàng)）數(shù)量指標(biāo).總體與樣本總體中所含個體的數(shù)量容量有限的總體容量無限的總體稱為總體容量.稱為無限總體.稱為有限總體;說明:1.表示總體的X既可以是隨機(jī)變量，也可以是隨機(jī)向量.如果只關(guān)心每一個體的一項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)，則總體是隨機(jī)變量；數(shù)量指標(biāo)，如果關(guān)心兩項(xiàng)或兩項(xiàng)以上則總體就是隨機(jī)向量.但為簡化討論，本書只考察一項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)的情形,因此,今后總體都是隨機(jī)變量.2.總體的分布就是表示總體的隨機(jī)變量X的分布,通?？傮w的分布是未知的.統(tǒng)計(jì)學(xué)的主要任務(wù)就是對總體的未知分布進(jìn)行推斷.二、樣本與樣本分布由于所以樣本通常但當(dāng)一次抽樣實(shí)現(xiàn)后,稱它們?yōu)闃颖局狄皇侵改炒纬槿〉挠袝r泛指一次抽取的可能結(jié)果,從總體X中隨機(jī)抽取n個個體,稱為總體X的