新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3導(dǎo)數(shù)的計算課件北師大版選擇性必修第二冊

§3導(dǎo)數(shù)的計算第二章內(nèi)容索引010203自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)合作探究釋疑解惑隨堂練習(xí)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.掌握用定義法求函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0).2.了解導(dǎo)函數(shù)的概念,會根據(jù)定義求一些簡單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).3.掌握并應(yīng)用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用.4.加強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、求幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【問題思考】1.(1)回顧根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)的步驟.提示:第一步,求Δy=f(x+Δx)-f(x);(2)如何用定義法求函數(shù)f(x)=c在x=x0處的導(dǎo)數(shù)?類似地,你能求出函數(shù)提示:∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=c-c=0,2.計算函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟如下:(1)通過自變量在x=x0處的改變量Δx,確定函數(shù)值在x0處的改變量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).3.如何理解“常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0”這一幾何意義?提示:設(shè)f(x)=c(c為常數(shù)),則f'(x)=0的幾何意義為函數(shù)f(x)=c的圖象上每一點處的切線的斜率都為0.解:Δy=f(1+Δx)-f(1)=[-(1+Δx)2+2]-(-12+2)=-(Δx)2-2Δx.4.已知f(x)=-x2+2,求f'(1).二、函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)【問題思考】1.已知函數(shù)f(x)=x2,試回答下列問題:(1)求f'(x0);(2)第(1)問中x0取f(x)定義域內(nèi)任一值m,f'(m)是否等于2m?(3)對任意x0的取值,是否有唯一的f'(x0)值與之對應(yīng)?(2)是.(3)是.2.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)一般地,如果一個函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)的每一點x處都有導(dǎo)數(shù)f'(x)=,那么f'(x)是關(guān)于x的函數(shù),稱f'(x)為y=f(x)的導(dǎo)函數(shù),也簡稱導(dǎo)數(shù),有時也將導(dǎo)數(shù)記作y'.3.導(dǎo)數(shù)公式表(如表2-3-1)表2-3-14.(1)函數(shù)y=lgx的導(dǎo)數(shù)為(

).(2)設(shè)y=e3,則y'等于(

).A.3e2 B.e2C.0 D.以上都不是解析:(1)∵y=lg

x,∴y'=.故選C.(2)∵y=e3是一個常數(shù),∴y'=0.故選C.答案:(1)C

(2)C【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.

合作探究釋疑解惑探究一利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)【例1】

已知函數(shù)y=f(x)=x-,求f'(1).在例1中,求曲線y=f(x)=x-在點(1,0)處的切線方程.解:由例1知,曲線在點(1,0)處的切線的斜率k=f'(1)=2,∴切線方程為y-0=2(x-1),即2x-y-2=0.利用定義求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的一般步驟(1)確定函數(shù)y=f(x)在其對應(yīng)區(qū)間上的每一點是否都有導(dǎo)數(shù);(2)計算Δy=f(x+Δx)-f(x);【變式訓(xùn)練1】

已知函數(shù)y=f(x)=,求f'(2).探究二利用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)在例2中,求f'(1),[f'(1)]'.用公式求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法(1)若所求函數(shù)符合導(dǎo)數(shù)公式,則直接利用公式求解.(2)對于不能直接利用公式的類型,合理轉(zhuǎn)化函數(shù)的關(guān)系式為可以直接應(yīng)用公式的基本初等函數(shù)形式.探究三導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用【例3】

求證:曲線xy=1上任意一點處的切線與坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形的面積為常數(shù).分析

要證明三角形的面積為定值,應(yīng)求出直線在兩坐標(biāo)軸上的截距,因此要先求出直線的方程.故曲線上任意一點處的切線與坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形的面積為常數(shù).利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究曲線的切線問題,解題的關(guān)鍵是分析切點的特點:①切點在曲線上,②切點在切線上,③在切點處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率.求出切點的坐標(biāo),進(jìn)一步利用點斜式求出切線方程.【變式訓(xùn)練3】

點P是曲線y=ex上的任意一點,求點P到直線y=x的最小距離.圖2-3-1解:根據(jù)題意設(shè)平行于直線y=x的直線與曲線y=ex相切于點P(x0,y0),該切點即為曲線y=ex上與y=x距離最近的點,如圖2-3-1.則在點(x0,y0)處的切線斜率為1,即f'(x0)=1.【易錯辨析】

錯用導(dǎo)數(shù)公式致誤【典例】

已知y=e2x,求y'.錯解:根據(jù)公式知,y'=(e2x)'=e2x.以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:以上解題的錯誤是將e2x與ex混淆,錯用了求導(dǎo)公式.正解:∵y=e2x=(e2)x,∴y'=(e2)x·lne2=2e2x.牢記公式.對于不具備基本初等函數(shù)特征的函數(shù),在求導(dǎo)前應(yīng)先化簡變形,將其轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的形式,再利用公式求導(dǎo).【變式訓(xùn)練】

若函數(shù)f(x)=3lg,則f'(x)=

.

隨堂練習(xí)1.函數(shù)y=3x2在x=1處的導(dǎo)數(shù)為(

).A.6 B.3x C.3+Δx D.6x答案:A2.已知函數(shù)f(x)=x2-x+5,則f'(x)等于(

).A.x2-x B.2x+5C.2x-1 D.x2-x+5答案:C3.若函數(shù)f(x)=tan,則f'(x)=

.

答案:04.若f(x)=x2,g(x)=x3,則滿足f'(x)+1=g'(x)的x的值為

.

解析:由導(dǎo)數(shù)的公式知,f'(x)=2x,g'(x)=3x2.因為f'(x)+1=g'(x),所以2x+1=3x2,即3x2-2x-1=0,解得x=1或x=-.答案:1或-5.求y=f(x)=3x2-2x的導(dǎo)數(shù)f'(x),并利用f'(x)求f'(1),f'(-2)