新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1平均變化率與瞬時變化率1.2瞬時變化率課件北師大版選擇性必修第二冊

1.2瞬時變化率第二章內(nèi)容索引010203自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)合作探究釋疑解惑隨堂練習(xí)課標定位素養(yǎng)闡釋1.理解運動物體在某時刻的瞬時速度.2.理解函數(shù)在點x0處的瞬時變化率.3.會求函數(shù)的瞬時變化率.4.體會數(shù)學(xué)抽象的過程,加強數(shù)學(xué)運算能力的培養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)瞬時速度【問題思考】1.以10米跳臺跳水運動為例,若運動員相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位:s)之間的函數(shù)關(guān)系為h(t)=10+6.5t-4.9t2.請回答下面問題:(1)求運動員在下列區(qū)間上的平均速度:[2,2.1],[2,2.01],[2,2.001],[2,2.0001](2)求在2s到(2+Δt)s時間內(nèi),運動員的平均速度;(3)猜測運動員在t=2s時刻的瞬時速度.提示:(1)-13.59

m/s,-13.149

m/s,-13.104

9

m/s,-13.100

49

m/s.(2)(-13.1-4.9Δt)m/s.(3)-13.1

m/s.2.瞬時變化率對于一般的函數(shù)y=f(x),在自變量x從x0變到x1的過程中,若設(shè)Δx=x1-x0,Δy=f(x1)-f(x0),則該函數(shù)的平均變化率為

.如果當(dāng)Δx趨于0時,平均變化率趨于某個值,那么這個值就是f(x)在點x0的瞬時變化率.瞬時變化率刻畫的是函數(shù)在某一點處變化的快慢.3.函數(shù)在某點的瞬時變化率是否與Δx的大小有關(guān)?提示:瞬時變化率是一個與Δx的大小無關(guān)的常量.4.函數(shù)f(x)=x2在x=0處的瞬時變化率為

.

答案:0【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)函數(shù)f(x)的瞬時變化率就是平均變化率.(×)(2)瞬時速度即位移函數(shù)相對于時間的瞬時變化率.(√)(3)當(dāng)x0取不同數(shù)值時,函數(shù)在x0處的瞬時變化率一定不同.(×)(4)瞬時變化率是刻畫某函數(shù)在區(qū)間[x1,x2]上函數(shù)值的變化快慢的量.(×)合作探究釋疑解惑探究一求瞬時速度【例1】

以初速度v0m/s(v0>0)運動的物體,走過的路程s(單位:m)與時間t(單位:s)的函數(shù)關(guān)系為s(t)=v0t+at2,求物體在t0時刻的瞬時速度.瞬時速度是平均速度當(dāng)Δt趨于0時的值.【變式訓(xùn)練1】

若一質(zhì)點的位移s(單位:m)與時間t(單位:s)之間函數(shù)的關(guān)系為s(t)=+t,求該質(zhì)點在t=4s時刻的瞬時速度.探究二求函數(shù)的瞬時變化率【例2】

求函數(shù)y=f(x)=在x=1處的瞬時變化率.【變式訓(xùn)練2】

函數(shù)y=在x=2處的瞬時變化率為

.

探究三求分段函數(shù)的瞬時變化率【例3】

柏油路是用瀝青混合其他材料鋪成的,鋪路工人鋪路時需要對瀝青加熱使之由固體變成黏稠的液體.如果開始加熱后第xh時,瀝青的溫度(單位:℃)為y=f(x)=求開始加熱后第15min和第4h時瀝青溫度的瞬時變化率.解:∵15

min=0.25

h,且當(dāng)0≤x≤1時,f(x)=80x2+20,求分段函數(shù)在x0處的瞬時變化率的關(guān)鍵是根據(jù)x0的值選擇正確的函數(shù)解析式.【變式訓(xùn)練3】

已知函數(shù)y=f(x)=求該函數(shù)在x=1,x=4處的瞬時變化率.分析

按瞬時變化率的定義求解.【易錯辨析】

混淆瞬時變化率(瞬時速度)與平均變化率(平均速度)致誤【典例】

一質(zhì)點A沿直線運動,位移s(單位:m)與時間t(單位:s)之間的函數(shù)關(guān)系為s(t)=3t2+t+1,求質(zhì)點A在t=2s時的瞬時速度.錯解:Δs=3(2+Δt)2+(2+Δt)+1-3×22-2-1=3(Δt)2+(1+12)Δt.∴

=3Δt+13.∴質(zhì)點A在t=2s時的瞬時速度為3Δt+13.以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:錯解中求的是質(zhì)點A在2

s到(2+Δt)s這段時間內(nèi)的平均速度,而不是t=2

s時的瞬時速度.正解:由錯解知

=3Δt+13,當(dāng)Δt趨于0時,

趨于13.∴當(dāng)t=2s時,瞬時速度v=13m/s,即質(zhì)點A在t=2s時的瞬時速度為13m/s.注意區(qū)分瞬時速度和平均速度,瞬時速度是平均速度在Δt趨于0時

的值,為此,要求瞬時速度,應(yīng)先求出平均速度.【變式訓(xùn)練】

已知某一運動物體在xs時離出發(fā)點的距離為f(x)

(單位:m),且滿足f(x)=x3+x2+2x.(1)求在第1s內(nèi)的平均速度;(2)求在第1s末的瞬時速度;(3)經(jīng)過多長時間該物體的速度達到14m/s?所以物體在第1

s末的瞬時速度為6

m/s.令2x2+2x+2=14,解得x=2或x=-3(舍去).即經(jīng)過2

s該物體的速度達到14

m/s.隨堂練習(xí)1.若一物體做直線運動,其位移s(單位:m)與時間t(單位:s)之間的函數(shù)關(guān)系為s(t)=3t-t2,則該物體的初速度為(

).A.0m/s B.-2m/sC.3m/s D.(3-2t)m/s故該物體在t=0時刻的瞬時速度為3

m/s,即該物體的初速度為3

m/s.答案:C2.已知函數(shù)y=f(x)=ax2-2在x=-1處的瞬時變化率為3,則實數(shù)a的值為(

).答案:A3.函數(shù)y=在x=2處的瞬時變化率為

.

4.若函數(shù)y=-x2-4在x=x0處的瞬時變化率為-3,則x0