新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章預(yù)備知識4一元二次函數(shù)與一元二次不等式4.1一元二次函數(shù)課件北師大版必修第一冊

4.1

一元二次函數(shù)自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯

辨

析隨

堂

練

習(xí)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.熟悉配方法,理解a,b,c(或a,h,k)對二次函數(shù)圖象的作用.2.理解由y=ax2到y(tǒng)=a(x+h)2+k的圖象變換方法.3.能根據(jù)條件靈活選擇二次函數(shù)的三種形式求解析式.4.掌握二次函數(shù)的性質(zhì).5.體會抽象概括的過程,加強(qiáng)直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng).

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、配方法與一元二次函數(shù)【問題思考】1.y=4x2-4x-1如何配方?你能由此求出方程4x2-4x-1=0的根嗎?3.若拋物線y=x2-(m-2)x+m+3的頂點(diǎn)在y軸上,則m的值為(

).A.-3 B.3

C.-2 D.2答案:D二、一元二次函數(shù)圖象的變換【問題思考】1.y=2x2和y=2(x+1)2+3的圖象之間有什么關(guān)系?提示:由y=2x2的圖象經(jīng)過向左平移1個單位長度,再向上平移3個單位長度可以得到函數(shù)y=2(x+1)2+3的圖象.2.一元二次函數(shù)y=a(x-h)2+k(a≠0)的圖象是一條拋物線,可以由y=ax2(a≠0)的圖象經(jīng)過向左(或向右)平移|h|個單位長度,再向上(或向下)平移|k|個單位長度而得到.3.將一元二次函數(shù)y=2x2的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(橫坐標(biāo)不變),得到的新圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式是(

).A.y=x2 B.y=2x2+2C.y=4x2 D.y=2x2-2解析:將一元二次函數(shù)y=2x2的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(橫坐標(biāo)不變),得到的新圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=4x2.答案:C三、一元二次函數(shù)解析式的三種形式【問題思考】1.我們知道y=x2-2x=(x-1)2-1=x(x-2),那么點(diǎn)(1,-1),數(shù)0,2與y=x2-2x有什么關(guān)系?提示:點(diǎn)(1,-1)是函數(shù)y=x2-2x的圖象的頂點(diǎn),0和2是函數(shù)y=x2-2x的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).2.(1)一元二次函數(shù)的一般式:y=ax2+bx+c(a≠0).(2)如果已知一元二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-h,k),則可將一元二次函數(shù)設(shè)為y=a(x+h)2+k(a≠0).(3)如果已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根x1,x2(即拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)),可設(shè)一元二次函數(shù)為y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).3.一元二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,3),且圖象經(jīng)過點(diǎn)(3,1),則這個一元二次函數(shù)的解析式為

.

解析:設(shè)y=a(x-2)2+3,則當(dāng)x=3時,有a(3-2)2+3=a+3=1,解得a=-2,所以y=-2(x-2)2+3.答案:y=-2(x-2)2+3四、一元二次函數(shù)的性質(zhì)【問題思考】1.2.已知函數(shù)y=x2+2(2a-1)x+2,在區(qū)間(-∞,7]上,函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

).A.(-∞,-3)

B.(-3,+∞)C.(-∞,-3] D.[-3,+∞)解析:由函數(shù)y=x2+2(2a-1)x+2在區(qū)間(-∞,7]上的函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小,得-(2a-1)≥7,所以a≤-3.答案:C【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)一元二次函數(shù)y=2x2與y=-2x2的圖象開口大小相同,開口方向相反.(

√

)(2)函數(shù)y=2(x-1)2+1的圖象可由函數(shù)y=2x2的圖象向右平移1個單位長度,再向上平移1個單位長度得到.0(

√

)

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究一

求一元二次函數(shù)的解析式【例1】

已知一元二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(2,-1)和(-1,-1),且它的最大值為8,求一元二次函數(shù)的解析式.解法2:利用一元二次函數(shù)的兩根式.由已知得y+1=0的兩根為x1=2,x2=-1,故可設(shè)一元二次函數(shù)的解析式為y+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即y=ax2-ax-2a-1(a≠0).解得a=-4.故所求一元二次函數(shù)的解析式為y=-4x2+4x+7.求一元二次函數(shù)的解析式,應(yīng)根據(jù)已知條件的特點(diǎn),靈活選取解析式的最佳形式,利用待定系數(shù)法求解.當(dāng)已知拋物線上任意三點(diǎn)時,設(shè)一般式;已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)常設(shè)頂點(diǎn)式;已知拋物線與x軸的交點(diǎn)或交點(diǎn)的橫坐標(biāo)時,常設(shè)兩根式.【變式訓(xùn)練1】

已知一元二次函數(shù)的圖象的對稱軸是直線x=-1,并且經(jīng)過點(diǎn)(1,13)和(2,28),求一元二次函數(shù)的解析式.探究二

一元二次函數(shù)的圖象【例2】

(1)拋物線y=2(x-1)2+3可以看作是由拋物線y=2x2經(jīng)過以下哪種變換得到的(

).A.先向左平移1個單位長度,再向上平移3個單位長度B.先向右平移1個單位長度,再向上平移3個單位長度C.先向左平移1個單位長度,再向下平移3個單位長度D.先向右平移1個單位長度,再向下平移3個單位長度(2)(多選題)已知一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分如圖,則下列結(jié)論正確的是(

).A.b2>4ac

B.2a-b=1C.a-b+c=0

D.3a<b解析:(1)因?yàn)閽佄锞€y=2(x-1)2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3),拋物線y=2x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),所以拋物線y=2(x-1)2+3可以看作由拋物線y=2x2先向右平移1個單位長度,再向上平移3個單位長度得到.(2)由題意可知,函數(shù)圖象與x軸交于兩點(diǎn),所以b2-4ac>0,即b2>4ac,A正確;因?yàn)閳D象的對稱軸為直線x=-1,所以

=-1,所以2a-b=0,B錯誤;由題中圖象可知,當(dāng)x=-1時,y>0,故有a-b+c>0,C錯誤;由b=2a,且圖象開口向下,a<0,得3a<2a=b,D正確.答案:(1)B

(2)AD一元二次函數(shù)的圖象問題的解題策略(1)圖象平移問題按以下三步完成第一步,將函數(shù)解析式化為y=a(x-h)2+k的形式.第二步,分清由哪個函數(shù)變換為另一個函數(shù).第三步,判定h與k的變化,按“左加右減,上加下減”的規(guī)則平移.(2)一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象特征與系數(shù)的關(guān)系開口方向決定a的符號,圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)決定c的大小,對稱軸位置決定

的大小,圖象與x軸的交點(diǎn)個數(shù)決定了判別式b2-4ac的大小.【變式訓(xùn)練2】

(多選題)已知一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖,則下列結(jié)論正確的有(

).A.ab<0

B.b2>4acC.a+b+c<0

D.3a+c<0答案:ABC探究三

一元二次函數(shù)的最值【例3】

已知函數(shù)y=x2-4x-4,x∈[3,4],求函數(shù)的最值.解:y=x2-4x-4=(x-2)2-8的圖象開口向上,對稱軸為直線x=2,所以當(dāng)x∈[3,4]時,函數(shù)y=x2-4x-4的函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大,所以當(dāng)x=3時,函數(shù)取得最小值9-12-4=-7,當(dāng)x=4時,函數(shù)取得最大值16-16-4=-4.1.本例中將“[3,4]”改為“[-3,4]”,其他條件不變,求函數(shù)的最值.解:在區(qū)間[-3,2]上,y=x2-4x-4=(x-2)2-8的函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小,在區(qū)間[2,4]上,函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大,所以函數(shù)的最小值為-8.又因?yàn)楫?dāng)x=-3時,y=17,當(dāng)x=4時,y=-4,所以函數(shù)的最大值為17.2.已知函數(shù)

,若對任意的x∈[1,+∞),y>0恒成立,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解法1:y>0對任意的x∈[1,+∞)恒成立,等價于x2+2x+a>0對任意的x∈[1,+∞)恒成立.設(shè)y1=x2+2x+a,x∈[1,+∞),則問題轉(zhuǎn)化為y1>0在區(qū)間[1,+∞)上恒成立,又在區(qū)間[1,+∞)上,函數(shù)值y1隨自變量x的增大而增大,從而y1的最小值為3+a.于是當(dāng)且僅當(dāng)3+a>0,即a>-3時,y1>0在區(qū)間[1,+∞)上恒成立,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-3,+∞).解法2:y>0對任意的x∈[1,+∞)恒成立,等價于x2+2x+a>0對任意的x∈[1,+∞)恒成立,即a>-x2-2x對x≥1恒成立.令μ=-x2-2x=-(x+1)2+1,在區(qū)間[1,+∞)上函數(shù)值μ隨自變量x的增大而減小,所以當(dāng)x=1時,μ取得最大值,且μmax=-3.因此a>-3.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-3,+∞).易

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析忽視對參數(shù)的討論致誤【典例】

已知一元二次函數(shù)y=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上有最大值3,求實(shí)數(shù)a的值.錯解

由題意,可知該函數(shù)的圖象為開口向下的拋物線,對稱軸為直線x=a,所以當(dāng)x=a時,y取最大值,ymax=a2-a+1=3,解得a=2或a=-1.綜上所述,a=2或a=-1.以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:本題錯解中有兩處錯誤:(1)忽視了函數(shù)在區(qū)間[0,1]上有最大值3;(2)沒有討論對稱軸是不是在區(qū)間[0,1]上.正解:由題意,可知該函數(shù)的圖象的對稱軸為直線x=a,當(dāng)a≤0時,在區(qū)間[0,1]上函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小,則函數(shù)在x=0處取得最大值,即ymax=1-a=3,得a=-2,滿足a≤0,所以a=-2符合條件;當(dāng)0<a<1時,在區(qū)間[0,a]上函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大,在區(qū)間[a,1]上函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小,則函數(shù)在x=a處取得最大值,即ymax=a2-a+1=3,解得a=2或a=-1,又0<a<1,所以a=-1或a=2都不符合條件;當(dāng)a≥1時,在區(qū)間[0,1]上函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大,則函數(shù)在x=1處取得最大值,即ymax=-1+2a+1-a=3,解得a=3滿足a≥1,所以a=3符合條件.綜上所述,a=-2或a=3.這是定區(qū)間,動對稱軸問題,需對它們的關(guān)系進(jìn)行討論,分對稱軸在區(qū)間的左、中、右三種情形討論,確定實(shí)數(shù)a的值.【變式訓(xùn)練】

已知一元二次函數(shù)y=ax2+bx(a,b為常數(shù),且a≠0)滿足條件:其圖象的對稱軸為直線x=1,且方程ax2+bx=2x有兩個相等的實(shí)數(shù)根.求:(1)函數(shù)y=ax2+bx的解析式;(2)函數(shù)y=ax2+bx在區(qū)間[0,t]上的最大值.解:(1)∵方程y=2x有兩個相等的實(shí)數(shù)根,即ax2+(b-2)x=0(a≠0)有兩個相等的實(shí)數(shù)根,∴Δ=(b-2)2=0,解得b=2.又已知直線x=1是函數(shù)y=ax2+bx(a,b為常數(shù),且a≠0)圖象的對稱軸,∴所求函數(shù)的解析式為y=-x2+2x.(2)∵函數(shù)y=-x2+2x的圖象的對稱軸為直線x=1,又x∈[0,t],∴當(dāng)t≤1時,在區(qū)間[0,t]上,函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大,∴函數(shù)在x=t處取得最大值,即ymax=-t2+2t;當(dāng)t>1時,在區(qū)間[0,1]上,函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大,在區(qū)間[1,t]上,函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小,∴函數(shù)在x=1處取得最大值,即ymax=-1+2=1.隨

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習(xí)1.在區(qū)間(-∞,2]上,一元二次函數(shù)y=-x2+bx+3的函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是(

).A.{b|b≥4} B.{4}C.{b|b≤4} D.{-4}答案:A2.已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示,給出下列結(jié)論:①拋物線經(jīng)過原點(diǎn);②4a+b+c=0;③a-b+c<0;④拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,b);⑤當(dāng)x<2時,函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大.其中正確的是(

).A.①②③ B.③④⑤ C.①②④ D.①④⑤解析:①由題意可得,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=2,且拋物線與x軸的一個交點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0),∴拋物線與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),結(jié)論①正確;②∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=2,且拋物線過原點(diǎn),∴

=2,c=0,∴b=-4a,c=0,∴4a+b+c=0,結(jié)論②正確;③當(dāng)∵x=-1和x=5時,y值相同,且均為正,∴a-b+c>0,結(jié)論③錯誤;④當(dāng)x=2時,y=ax2+bx+c=4a+2b+c=(4a+b+c)+b=b,∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,b),結(jié)論④正確;⑤觀察題中圖象可知:當(dāng)x<2時,函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小,結(jié)論⑤錯誤.綜上,正確的結(jié)論有①②④.故選C.答案:C3.若函數(shù)y=(a-1)x2+2x+5