基本不等式的十五種類型-原卷版

十五種類型解決基本不等式TOC\o"1-1"\h\z\u類型1:基本不等式的直接運用與取等條件 2類型2:換“1”法求最值 3類型3:代換法與解不等式法求最值 4類型4:恒成立問題 5類型5:齊次化處理后用基本不等式 6類型6:換元—較難 7類型7:萬能k 8類型8:兩次均值不等式—較難 9類型9:配湊后用基本不等式求最值—難 10類型10:整理與代換—難 11類型11:多變量代換減少變量后運用基本不等式—較難 12類型12:湊系數問題使基本不等式滿足取等條件—難 12類型13:雙勾函數的應用—較難 13類型14:利用x2+y2≥-2xy求范圍 14類型15:三元均值不等式 15類型1:基本不等式的直接運用與取等條件典型例題例1.設某同學從甲地到乙地往返的速度分別為a和b(a<b則()A.v=aba+bB.v=abC.ab<v例2.(多選)若a,b∈R,且abA.a+4a≥4B.a2+16a例3.已知x,y∈R+,且滿足3x+4y=1,例4.若0<x<12,則x(跟蹤練習1.(多選)已知實數a,b,下列不等式一定成立的是()A.a+b2≥abB.a+1a≥2C.2.(多選)下列說法正確的有()A.不等式a+b≥2ab恒成立B.存在C.若a>0,b>0,則ba+ab≥23.設x>0,則x1-44.若x>0,y>0,x+2y=5,則x+1(5.若x>0,y>0,(x+3)(y+1)=12,則x+3y的類型2:換“1”法求最值典型例題例1.已知正數x,y滿足x+2y=1，求1x+1y的最小值∵x>0,y>0∴例2.若x>0,y>0,x+2y=2,則1x+例3.若實數a>1,b>2,且滿足2a+b-6=0,例4.若x>0,y>0,1x+2y=例5.若整數x,y滿足x+y+15=1xA.x為定值,但y的值不確定B.x不為定值,但y是定值C.x,y均為定值D.x,y的值均不確定跟蹤練習1.已知0<x<1,則1x+2.若x>0,y>0,1x+1y=3.(多選)已知兩個不等的正數a,b滿足a+b=1,則下列說法正確的是()A.ab<14B.1a+1b<4C.4.已知a>0,b>0,且4a+b=ab,A.ab≥16B.2a+b≥6+42C.a5.若x>0,y>0,x+y=1,則yx6.若正數a,b,c滿足1a+4類型3:代換法與解不等式法求最值典型例題1.已知正實數x,y滿足xy+x+2y=6,則xy的最大值為_____.2.已知正實數x,y滿足xy+2x+y=4,則x+y的最大值為_____.跟蹤練習1.已知x>0,y>0,x2+4y2+x2.已知x>0,y>0,滿足x2+2xy-1=0,A.2B.3C.23D3.已知5x2y24.(多選)若正實數a，b滿足ab+a+b=8A.ab≤4 B.a+bC.a+2b≥62-3D類型4:恒成立問題典型例題1.已知x>0,y>0,且x+y=2,若4x+1跟蹤練習1.正數a,b滿足9a+b=ab,若不等式a+b≥-x22.已知正實數x,y滿足x+2y+xy-7=0,3t2-2t類型5:齊次化處理后用基本不等式典型例題1.已知x>0,y>0,z>0,x2-3xy+4y2.已知x>0,y>0,x跟蹤練習1.設a>0,b>0,a+b=2.已知a>0,b>0,且a+3b3.若對任意實數x>0,y>0，不等式2x+xy≤a(2x+y)恒成立，則實數aA．2-14 B．6+24 C．6類型6:換元—較難典型例題1.若x>0,y>0,則yx+2.設a>b>0,則3.設a>b>0,若a2+3b2+44.若x>0,y>0,35.設a,b,c為?ABC的三邊的長,求證:abc≥(a+跟蹤練習1.已知x>0,y>0,5x2.已知正數a,b滿足ab+a+3b3.已知正實數x,y滿足2xy-x-y=A.xy的最小值為3+12B.xC.x+2y的最小值為6+324.設a,b,c為?ABC10.設a,b,c為正實數,求證:類型7:萬能k典型例題1.已知x,y∈R,x2+跟蹤練習1.已知x,y∈R,4x2+類型8:多次均值不等式—較難典型例題1.若m>0,n>0,則n+1m+4mn2的最小值為2.若a,b∈R,ab>0,則ab3.若x>y>0,則xy+x+2跟蹤練習1.設a>b>0，求a2+16b(a-b)2.已知正實數a,b滿足a+2b=1,則a4b3.已知正數x,y滿足x2+2y2=3類型9:配湊后用基本不等式求最值—難典型例題1.若a,b,c均為正實數,且aa+b+c+bc=4-23,則2a+b+c的最小值是2.若2a2+b2=4a+43.若x,y均為正實數,(x-y)2=(xy)3跟蹤練習1.正實數a,b,c滿足ab+bc2.已知正實數a,b滿足2b2+ab-4ba+2=0,則3.若x>0,y>0,x2+類型10:整理與代換—難典型例題1.設ab=14,a,b∈2.已知a>0,b>0,a+跟蹤練習1.已知a>b>0,a+b=12.已知正實數a,b,c滿足b+c=2abc,則a+bc3.已知x>0,y>0,4xy(x+y)=(x-y類型11:多變量代換減少變量后運用基本不等式—較難典型例題1.已知x>0,y>0,z>0,x2+跟蹤練習2.設a>0,b>0,c>0,d>0,a+b=13.設a>0,b>0,c>0,b+c≥類型12:湊系數問題使基本不等式滿足取等條件—難典型例題1.已知x>0,y>0,z>0,則xy+yz2.已知x>0,y>0,z>0,則x跟蹤練習1.正數a,b,c,a2+b2.命題P:?x>0,y>0,使得不等式(2xy+4y)λ>xA.λ|λ>52B.λ|λ>53類型13:雙勾函數的應用—較難典型例題1.已知a,b,c∈R且a+b+c=0,a>b>c,則aA.2,+∞B.-∞,-2C.-跟蹤練習1.已知正數x,y滿足x2-xy+y2=112.已知x1,x212(3)x證明:y2類型14:利用x2+y2≥-2典型例題1.對于實數x,y,x2+y2跟蹤練習1.若實數x,y,滿足x2+A.x+y<C.x2+y類型15:三元均值不等式1.我們學習了二元基本不等式:如果