第01講 5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義（原卷版）

第01講導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①初步了解導(dǎo)數(shù)概念的背景，掌握平均變化率與瞬時(shí)變化率的概念及幾何意義。②會(huì)求函數(shù)的平均變率與瞬時(shí)變化率。③能結(jié)合實(shí)際問(wèn)題求曲線在某點(diǎn)處與某點(diǎn)附近點(diǎn)的切線與割線的斜率的極限值。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會(huì)求函數(shù)的平均變化率與瞬時(shí)變化率.知識(shí)點(diǎn)01：函數(shù)的平均變化率1、定義：一般地，函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為：，表示為函數(shù)從到的平均變化率，若設(shè),則平均變化率為2、求函數(shù)的平均變化率通常用“兩步”法：①作差：求出和②作商：對(duì)所求得的差作商，即.【即學(xué)即練1】（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知函數(shù)，，分別計(jì)算它們?cè)趨^(qū)間，上的平均變化率．【答案】3；3；3；6【詳解】函數(shù)在上的平均變化率為．函數(shù)在上的平均變化率為．函數(shù)在上的平均變化率為．函數(shù)在上的平均變化率為．3、平均變化率的幾何意義平均變化率如圖：表示直線的斜率。知識(shí)點(diǎn)02：函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)（瞬時(shí)變化率）1、定義：函數(shù)在處瞬時(shí)變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù),記作.【即學(xué)即練2】（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知函數(shù)，求自變量x在以下的變化過(guò)程中，該函數(shù)的平均變化率：（1）自變量x從1變到；（2）自變量x從1變到；（3）自變量x從1變到．估算當(dāng)時(shí)，該函數(shù)的瞬時(shí)變化率．【答案】（1）；（2）；（3）；【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以自變量x從1變到的平均變化率為；（2），所以自變量x從1變到的平均變化率為；（3），所以自變量x從1變到的平均變化率為；所以可估算當(dāng)時(shí)，的瞬時(shí)變化率為，證明如下：而，則，所以在處的瞬時(shí)變化率為.2、定義法求導(dǎo)數(shù)步驟：求函數(shù)的增量：；求平均變化率：；求極限，得導(dǎo)數(shù)：.知識(shí)點(diǎn)03：導(dǎo)數(shù)的幾何意義如圖,在曲線上任取一點(diǎn),如果當(dāng)點(diǎn)沿著曲線無(wú)限趨近于點(diǎn)時(shí),割線無(wú)限趨近于一個(gè)確定的位置,這個(gè)確定位置的直線稱為曲線在點(diǎn)處的切線.則割線的斜率【即學(xué)即練3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．【答案】1【詳解】因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，，故答案為：1知識(shí)點(diǎn)04：曲線的切線問(wèn)題1、在型求切線方程已知：函數(shù)的解析式.計(jì)算：函數(shù)在或者處的切線方程.步驟：第一步：計(jì)算切點(diǎn)的縱坐標(biāo)（方法：把代入原函數(shù)中），切點(diǎn).第二步：計(jì)算切線斜率.第三步：計(jì)算切線方程.切線過(guò)切點(diǎn)，切線斜率。根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：.【即學(xué)即練4】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知，求曲線在點(diǎn)處的切線方程．【答案】【詳解】根據(jù)題意，先由導(dǎo)函數(shù)定義求曲線在點(diǎn)處切線的斜率：當(dāng)時(shí)，，從而當(dāng)h趨近于0時(shí)，．因此，曲線在點(diǎn)處切線的斜率為0．根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程為，即；于是，所求切線方程為．2、過(guò)型求切線方程已知：函數(shù)的解析式.計(jì)算：過(guò)點(diǎn)（無(wú)論該點(diǎn)是否在上）的切線方程.步驟：第一步：設(shè)切點(diǎn)第二步：計(jì)算切線斜率；計(jì)算切線斜率；第三步：令：，解出，代入求斜率第三步：計(jì)算切線方程.根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：.【即學(xué)即練5】（2023·高二單元測(cè)試）試求過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線的斜率．【答案】或6【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則有．因?yàn)椋裕芯€方程為，將點(diǎn)代入，得，所以，得或．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以所求直線的斜率為或6．題型01求物體運(yùn)動(dòng)的平均速度(含平均變化率）【典例1】（2023下·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期中）某物體沿直線運(yùn)動(dòng)，其位移（單位：）與時(shí)間（單位：）之間的關(guān)系為，則在這段時(shí)間內(nèi)，該物體的平均速度為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023下·江西九江·高二校聯(lián)考期中）某汽車在平直的公路上向前行駛，其行駛的路程與時(shí)間的函數(shù)圖象如圖.記該車在時(shí)間段，，，上的平均速度的大小分別為，，，，則平均速度最小的是（

）A． B． C． D．【變式1】（2023下·遼寧阜新·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·全國(guó)·高二課堂例題）某物體做自由落體運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為，其中t為下落的時(shí)間（單位：s），g為重力加速度，大小為2．求它在時(shí)間段內(nèi)的平均速度．題型02求物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度（含瞬時(shí)變化率）【典例1】（2023下·寧夏銀川·高二寧夏育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，時(shí)運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度單位：）是，則運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于時(shí)的瞬時(shí)變化率，則（

）A． B．1 C．2 D．【變式1】（2023下·浙江嘉興·高二校聯(lián)考期中）函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知一物體的運(yùn)動(dòng)方程是s＝24t－3t2(s的單位為m，t的單位為s)，則物體在t＝s時(shí)的瞬時(shí)速度為12m/s.題型03曲線在某點(diǎn)處的切線斜率或傾斜角【典例1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，則該函數(shù)在處的切線斜率為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【典例2】（2023下·湖北·高二校聯(lián)考期中）點(diǎn)在曲線上移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)處切線的傾斜角為，則角的范圍是（

）A． B． C． D．【變式1】（2022下·安徽黃山·高二屯溪一中?？计谥校┰O(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是（）A．.2 B． C． D．【變式2】（2022·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為．題型04導(dǎo)數(shù)定義的理解與應(yīng)用【典例1】（2023·上海浦東新·高三華師大二附中?？计谥校┤魹榭蓪?dǎo)函數(shù)，且，則過(guò)曲線上點(diǎn)處的切線斜率為．【典例2】（2023下·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，且，則.【變式1】（2023下·北京豐臺(tái)·高二統(tǒng)考期中）如圖，直線是曲線在點(diǎn)處的切線，則．【變式2】（2023下·上海嘉定·高二上海市育才中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)在處的切線斜率為，且，則題型05求切線方程【典例1】（2023下·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡梅溪湖中學(xué)?？计谥校┰O(shè)為R上的可導(dǎo)函數(shù)，且，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.【典例2】（2023下·四川綿陽(yáng)·高二四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)函數(shù)；(2)求曲線在點(diǎn)處的切線的方程.【典例3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）求函數(shù)的圖象上過(guò)原點(diǎn)的切線方程．【變式1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知曲線上的兩點(diǎn)和，求：(1)割線AB的斜率；(2)過(guò)點(diǎn)A的切線的斜率；(3)點(diǎn)A處的切線的方程．【變式2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）試求過(guò)點(diǎn)P(3，5)且與曲線y＝x2相切的直線方程.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·江蘇連云港·?？寄M預(yù)測(cè)）曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．2．（2023下·廣西桂林·高二統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，則（

）A． B． C． D．3．（2023下·西藏林芝·高二?？计谀┖瘮?shù)在區(qū)間上的平均變化率為（

）A． B． C．2 D．4．（2023下·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期末）定義在上的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的平均變化率為，其中，則函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)（

）A． B． C． D．5．（2023下·安徽滁州·高二?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則下列大小關(guān)系正確的是（

）A．B．C．D．6．（2023下·陜西渭南·高二?？计谥校┤艉瘮?shù)在處的瞬時(shí)變化率為，且，則（

）A．2 B．4 C． D．7．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線在處的增量為，則的值為（）A．－ B．－ C． D．8．（2023下·北京海淀·高二人大附中期末）函數(shù)在附近的平均變化率是（）A． B．C． D．二、多選題9．（2023下·山東日照·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，當(dāng)自變量由變化到時(shí)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)，但不能為0B．函數(shù)值的改變量為C．函數(shù)在上的平均變化率為D．函數(shù)在上的平均變化率10．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，時(shí)運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度(單位：是，判斷下列說(shuō)法正確的是（

）A．運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度是B．運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度是C．運(yùn)動(dòng)員在附近以的速度上升D．運(yùn)動(dòng)員在附近以的速度下降三、填空題11．（2023上·上海奉賢·高三上海市奉賢中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若為可導(dǎo)函數(shù)，且，則過(guò)曲線上點(diǎn)處的切線斜率為．12．（2023下·四川遂寧·高二四川省蓬溪中學(xué)校校考期中）拉格朗日中值定理又稱拉氏定理，是微積分學(xué)中的基本定理之一，它反映了函數(shù)在閉區(qū)間上的整體平均變化率與區(qū)間某點(diǎn)的局部變化率的關(guān)系，其具體內(nèi)容如下：若在上滿足以下條件：①在上圖象連續(xù)，②在內(nèi)導(dǎo)數(shù)存在，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得（為的導(dǎo)函數(shù)）．則函數(shù)在上這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為四、解答題13．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）某人服藥后，吸收藥物的情況可以用血液中藥物的質(zhì)量濃度c（單位：μg/mL）來(lái)表示，它是時(shí)間t（單位：min）的函數(shù)，表示為．下表給出了的一些函數(shù)值：t/min0102030405060708090100(1)求服藥后30min內(nèi)，30min到40min，80min到90min這3段時(shí)間內(nèi)，血液中藥物質(zhì)量濃度的平均變化率；(2)討論刻畫血液中的藥物質(zhì)量濃度變化快慢的方法，并說(shuō)明上述3段時(shí)間中，藥物質(zhì)量濃度變化最快的時(shí)間段．14．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）對(duì)一名工人的研究表明，工作th后生產(chǎn)出的產(chǎn)品量Q（單位：t）可以近似表示為，該工人每天工作8h．(1)求當(dāng)t從2h變到4h，該工人生產(chǎn)的產(chǎn)品量Q關(guān)