高二數(shù)學(xué)同步練習(xí)導(dǎo)數(shù)的四則運算法則

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精選修1-23.1.3_parent"導(dǎo)數(shù)的四則運算法則一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝eq\f（1,x3＋2x＋1)的導(dǎo)數(shù)是（)A.eq\f（1,(x3＋2x＋1)2）B.eq\f(3x2＋2,（x3＋2x＋1)2）C.eq\f（－3x2－2，（x3＋2x＋1）2）D。eq\f(－3x2，(x3＋2x＋1）2)［答案］C[解析]f′(x)＝eq\f(－（x3＋2x＋1）′，（x3＋2x＋1)2)＝eq\f(－3x2－2,（x3＋2x＋1)2).2．函數(shù)y＝（x－a）（x－b)在x＝a處的導(dǎo)數(shù)為(）A．a(chǎn)bB．－a(a－b)C．0D．a(chǎn)－b［答案]D[解析］∵y＝(x－a)(x－b）＝x2－(a＋b）x＋ab∴y′＝2x－（a＋b），y′｜x＝a＝2a－a－b＝a－b3．函數(shù)y＝eq\f(cosx，x）的導(dǎo)數(shù)是(）A．－eq\f（sinx,x2）B．－sinxC．－eq\f（xsinx＋cosx，x2)D．－eq\f(xcosx＋cosx,x2)［答案]C［解析]y′＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（cosx，x））)′＝eq\f((cosx）′x－cosx·（x)′，x2）＝eq\f（－xsinx－cosx，x2）.4．已知f（x）＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1）＝4，則a的值是(）A.eq\f(19，3)B.eq\f（16,3)C.eq\f(13,3)D。eq\f（10，3)[答案]D［解析]f′（x）＝3ax2＋6x,∵f′(－1）＝3a∴3a－6＝4,∴a＝eq\f(10,3)。5．已知二次函數(shù)f（x)的圖象如圖所示,則其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象大致形狀是()［答案]B[解析]設(shè)二次函數(shù)的方程y＝ax2＋bx＋c由圖知，a<0，b＝0，c>0所以其方程可表示為y＝ax2＋c.而y′＝2ax，由于a<0，所以B正確．6．函數(shù)y＝（2＋x3)2的導(dǎo)數(shù)為()A．6x5＋12x2B．4＋2x3C．2(2＋x3）2D．2（2＋x3)·3x[答案］A[解析］∵y＝（2＋x3）2＝4＋4x3＋x6,∴y′＝6x5＋12x2.7．f(x)＝ax3＋x2＋3，若f′（1）＝5,則a的值為（)A．－1B．2C．－2D．1[答案]D[解析］∵f′（x）＝3ax2＋2x，f′(1）＝3a∴a＝1。8．若物體的運動方程是s（t）＝tsint，則物體在t＝2時的瞬時速度為()A．cos2＋2sin2B．2sin2－cos2C．sin2＋2cos2D．2cos2－sin2［答案]C［解析]∵s′(t）＝t′·sint＋t(sint)′＝sint＋tcost,∴s′（2）＝sin2＋2cos2.9．下列函數(shù)在點x＝0處沒有切線的是(）A．y＝3x2＋cosxB．y＝xsinxC．y＝eq\f（1，x）＋2xD．y＝eq\f（1,cosx)[答案］C[解析]∵函數(shù)y＝eq\f(1,x）＋2x在x＝0處不可導(dǎo),∴函數(shù)y＝eq\f（1，x)＋2x在點x＝0處沒有切線．10．下列結(jié)論不正確的是()A．若y＝3，則y′＝0B．若y＝eq\f（1，\r（x）），則y′＝－eq\f(1,2）eq\r（x)C．若y＝－eq\r(x）,則y′＝－eq\f(1，2\r（x)）D．若y＝3x，則y′|x＝1＝3［答案]B［解析]y＝eq\f（1,\r(x）），y′＝－eq\f（1,2x\r(x)）.二、填空題11．若函數(shù)f(x)＝eq\f（1－sinx，x）,則f′(π)________________．[答案］eq\f(π－1，π2)［解析]f′（x）＝eq\f（（1－sinx）′·x－（1－sinx）x′，x2）＝eq\f（sinx－xcosx－1，x2），∴f′(π)＝eq\f(sinπ－πcosπ－1，π2)＝eq\f（π－1,π2）.12．曲線y＝x3在點（1，1）處的切線與x軸、直線x＝2所圍成的三角形的面積為________．[答案］eq\f（8，3）[解析］∵y′|x＝1＝3x2｜x＝1＝3，∴切線為y＝3x－2，如右圖所示．A(eq\f（2,3)，0），B(2,4），∴S△＝eq\f(1,2)（2－eq\f(2,3))×4＝eq\f（8,3）.13．已知P(－1,1),Q(2,4）是曲線f(x）＝x2上的兩點，則與直線PQ平行的曲線y＝x2的切線方程是________．[答案]4x－4y－1＝0[解析]y＝x2的導(dǎo)數(shù)為y′＝2x。設(shè)切點M（x0，y0)，則y′｜x＝x0＝2x0.∵PQ的斜率k＝eq\f（4－1，2＋1）＝1，又切線平行于PQ，∴k＝y(tǒng)′|x＝x0＝2x0＝1?！鄕0＝eq\f（1，2).∴切點M為(eq\f(1,2）,eq\f（1，4））．∴切線方程為y－eq\f（1，4)＝x－eq\f（1，2)，即4x－4y－1＝0.14．(2009·福建文，15)若曲線f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)a的取值范圍是________．［答案］(－∞，0)[解析]本小題主要考查導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、不等式等基礎(chǔ)知識．f′(x)＝2ax＋eq\f(1，x）＝0有解(x>0)，即2ax2＝－1有解，∴a〈0.三、解答題15．已知曲線y＝x3－3x2＋2x－9在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)為11,求x0的值．［解析]∵y′＝（x3－3x2＋2x－9）′＝3x2－6x＋2，∴y′|x＝x0＝3xeq\o\al(2，0)－6x0＋2。由題知3xeq\o\al（2,0)－6x0＋2＝11,∴3xeq\o\al（2，0)－6x0－9＝0，xeq\o\al（2,0）－2x0－3＝0，∴x0＝－1或x0＝3。16．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1）y＝tanx；（2)y＝xsinx－eq\f(2,cosx）.[解析］(1)∵y＝tanx＝eq\f（sinx,cosx)，∴y′＝（eq\f（sinx,cosx））′＝eq\f（（sinx)′·cosx－sinx·(cosx)′,cos2x）＝eq\f(cos2x＋sin2x，cos2x)＝eq\f(1,cos2x)。（2)y′＝(xsinx）′－(eq\f（2，cosx))′＝sinx＋xcosx－eq\f(2sinx,cos2x)。17．已知曲線y＝eq\f（1,t－x）上兩點P（2,－1)、Q（－1，eq\f（1,2))．求：(1)曲線在點P處，點Q處的切線斜率;（2）曲線在點P、Q處的切線方程．［解析］∵－1＝eq\f(1,t－2),∴t＝1，∴y＝eq\f(1,1－x)，∴y′＝eq\f(1,(1－x)2).(1）當(dāng)P為切點時,k1＝y(tǒng)′｜x＝2＝1，當(dāng)Q為切點時，k2＝y(tǒng)′｜x＝－1＝eq\f（1，4)。（2）當(dāng)P為切點時，方程為x－y－3＝0；當(dāng)Q為切點時，切線方程為x－4y＋3＝0。18．已知直線l1為曲線y＝x2＋x－2在點（1，0)處的切線,l2為該曲線的另一條切線，且l1⊥l2。(1)求直線l2的方程；（2）求由直線l1，l2和x軸所圍成的三角形的面積．[解析］（1）y′＝2x＋1，直線l1的方程為y＝3x－3。設(shè)直線l2過曲線y＝x2＋x－2上的點B（b，b2＋b－2)，則l2的方程為y＝（2b＋1)x－b2－2.因為l1⊥l2，則有2b＋1＝－eq\f（1，3），b＝－eq\f(2，3)。所以直線l2的方程為y＝－eq\f(1，3)x－eq\f(22,9）.(2)解方程組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝3x－3，，y＝－\f(1,3)x－\f(22,9)，)）得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,6)，,y＝－\f（