高等幾何課件

1．映射與變換設(shè)有集合S和S/，若對(duì)S中每一元素M，按照確定的法則T，在S/中總存在唯一元素M/與之對(duì)應(yīng)，則稱此法則T為集合S到集合S/的映射，記為

T:S

S/．(1.1)若在T之下，元素M(

S)的對(duì)應(yīng)元素是M/(

S/)，則說(shuō)T將M映成M/，記為

變換群與幾何學(xué)___§1變換與變換群并稱M/為M在T之下的象，M為M/在T之下的原象．M

M/

T(M)，T§1變換與變換群T(S)：集合S的全體元素在T之下的象的集合．滿射：T(S)

S/；單射：S的不同元素的象元素也不同；雙射：既是單射又是滿射的映射．術(shù)語(yǔ)約定：兩個(gè)集合之間的雙射稱為對(duì)應(yīng)；將集合到自身的雙射稱為變換．幾種常見(jiàn)變換例1．恒等變換若變換T，將S上每一元素變到自身，即則稱為恒等變換(或單位變換)，記為I．M

T(M)

M，

M

S，TOijxyMM/a§1變換與變換群取直角標(biāo)架[O;i,j]，設(shè)M(x,y)，M/(x/,y/)，

a

{a1,a2}，則Ta的坐標(biāo)表達(dá)式為：簡(jiǎn)稱為平移．記為Ta．Ta：x/

x

a1y/

y

a2(1.2)

例2．平移變換將平面上的點(diǎn)M按定向量方向a移動(dòng)到點(diǎn)M/，使得MM/

a的變換稱為平移變換，

oijxyMM/

§1變換與變換群例3．旋轉(zhuǎn)變換對(duì)平面上固定點(diǎn)O和有向定角

，使原象點(diǎn)M與象點(diǎn)M/滿足的點(diǎn)變換稱為以O(shè)為中心的旋轉(zhuǎn)變換，簡(jiǎn)稱旋轉(zhuǎn)，記為R

．其表達(dá)式為：R

：x/

xcos

ysin

y/

xsin

ycos

(1.3)

|OM/|

|OM|，

MOM/

例4．鏡射變換對(duì)平面上的定直線

，使原象點(diǎn)M與象點(diǎn)M/之間的線段被

垂直平分的點(diǎn)變換稱為以

為軸的鏡射變換，簡(jiǎn)稱鏡射．建立如圖坐標(biāo)系，則其表達(dá)式為：§1變換與變換群OijxyMM/

x/

xy/

yMox：(1.4)

ABCDEMA/E/B/C/D/M/

/

例5．平行射影二平面

、

/交于直線

，向量

與二平面都不平行．對(duì)于

上任意點(diǎn)M，過(guò)M作平行于

的直線，交

/于M/，則將M映成M/的點(diǎn)對(duì)應(yīng)稱為平面

到平面

/

的平行射影，向量

為投射方向．性質(zhì)：

1．將直線變成直線；

2．保持平行性和平行線段之比；

3．對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線平行，直線

上的點(diǎn)不變．§1變換與變換群2．映射的乘積與逆設(shè)點(diǎn)M先用R

作用得到M/，再用Ta作用得到M//，則由(1.3)和(1.2)可得M到M//的變換為：§1變換與變換群x//

xcos

ysin

a1y//

xsin

ycos

a2

我們稱這種從M到M//的變換為R

和Ta的乘積，記為Ta

。R

(或Ta

R

)．一般地，設(shè)有映射T1:S

S/和T2:S/

S//，則乘積

T2T1:S

S//

定義為對(duì)任意M

S，

T2T1(M)

T2[T1(M)]．結(jié)合律成立：T3(T2T1)

(T3T2)T1．但乘積一般不可換．對(duì)于變換T:S

S，有

TT

1

T

1T

I．易知：Ta

1

T

a，TaTb

Ta

b；

R

1

R

，R

R

R

．§1變換與變換群3．不動(dòng)元素與不動(dòng)子集對(duì)于變換T:S

S

，若存在元素M

S

，使T(M)

M，則稱M為此變換的不動(dòng)元素；若存在S的子集F，使T(F)

F

，則稱F為此變換的不動(dòng)子集．注意：

1．不動(dòng)元構(gòu)成的子集是不動(dòng)子集；但不動(dòng)子集的元素不一定是不動(dòng)元．如，與非零向量a

平行的直線都是平移Ta

的不動(dòng)直線，但Ta

無(wú)不動(dòng)點(diǎn)．

2．變換T:S

S

與T

1有相同的不動(dòng)子集．§1變換與變換群§1變換與變換群解：設(shè)直線

經(jīng)此鏡射作用后的象為

/：Ax/

By/

C

0，將變換式代入，得Ax

By

C

0．

不動(dòng)(即

與

/重合)的充要條件為

A/A

B/(

B)

C/C，此式等價(jià)于2AB

2BC

0，即A

0，B

0，C

0或A

0，B

0，故不動(dòng)直線的方程為

y

0和Ax

C

0(A

0)．例求鏡射變換的不動(dòng)直線．x/

xy/

y

4．變換群若集合S上的某些變換構(gòu)成的集合G滿足條件：

1.G中任二變換的乘積仍屬于G

；

2.G中每一變換T的逆T

1也屬于G

，則稱G為集合S上的一個(gè)變換群．由定義知：任何變換群一定包含恒等變換．可以證明：平面上繞定點(diǎn)O的旋轉(zhuǎn)變換的集合G是一個(gè)變換群，稱為旋轉(zhuǎn)群．記為G1．只含恒等變換的集合{I}也是變換群．若二變換群G*、G滿足G*

G

，則稱G*為G的子(變換)群．§1變換與變換群如：變換群G是其自身的子群，{I}是任意變換群的子群．可以證明：G*

{R0

I，R

/2，R

，R3

/2}是旋轉(zhuǎn)群G1的非平凡子群(即真子群)．§1變換與變換群§2仿射坐標(biāo)與仿射平面1．仿射坐標(biāo)與仿射坐標(biāo)變換平面上一定點(diǎn)O及二不共線向量e1、e2構(gòu)成一個(gè)仿射標(biāo)架，記為

[O；e1，e2]．任意點(diǎn)M的向徑的分解式為：OxyMEyExe2e1a則有序數(shù)對(duì)(x,y)稱為點(diǎn)M關(guān)于標(biāo)架

的仿射坐標(biāo)．OM

xe1

ye2(1)

{x,y}也稱為向量OM的坐標(biāo)(或分量)．

顯然，原點(diǎn)O的坐標(biāo)是(0,0)；x軸上的單位點(diǎn)為Ex(1,0)；y軸上的單位點(diǎn)為Ey(0,1)．若在平面上給定仿射標(biāo)架，則平面上全體點(diǎn)的集合與全體有序數(shù)對(duì)的集合有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，故也說(shuō)在平面上建立了一個(gè)仿射坐標(biāo)系Oxy．因此常直接稱標(biāo)架

[O；e1，e2]為仿射坐標(biāo)系，O稱為坐標(biāo)原點(diǎn)，e1和e2稱為基本向量．習(xí)慣上，將建立了仿射坐標(biāo)系的平面稱為仿射平面．§2仿射坐標(biāo)與仿射平面仿射坐標(biāo)變換§2仿射坐標(biāo)與仿射平面OO/yxMe1e2e1/e2/考察M在

下的坐標(biāo)(x,y)與在

/下的坐標(biāo)(x/,y/)之間的關(guān)系，即求仿射坐標(biāo)變換式．仿射平面上給定二仿射坐標(biāo)系

[O;e1,e2]和

/

[O/;e1/,e2/]．設(shè)在

下，新原點(diǎn)及新基本向量的坐標(biāo)分別為O/(a1,a2)，e1/

{a11,a21}，e2/

{a12,a22}，則仿射坐標(biāo)變換式為：寫(xiě)成矩陣形式，為§2仿射坐標(biāo)與仿射平面x

a11x/

a12y/

a1y

a21x/

a22y/

a2，det(aij)

0(2)

x

a11a12x/

a1y

a21

a22y/a2

，det(aij)

0(2)/

由(2)可得，向量在

下的坐標(biāo){u,v}與在

/下的坐標(biāo){u/,v/}之間的關(guān)系為：故有定理1

點(diǎn)的仿射坐標(biāo)變換是滿秩線性變換．定理2

向量的仿射坐標(biāo)變換是滿秩齊次線性變換．特例：直角坐標(biāo)變換§2仿射坐標(biāo)與仿射平面u=a11u/

a12v/v=a21u/

a22v/

，det(aij)≠0(3)

OO/xyM

y/x/e1/e2/e1e2記有向角

e1,e1/

，則e1/

{a11,a21}

{cos

,sin

}，e2/

{a12,a22}

{

sin

,cos

}，§2仿射坐標(biāo)與仿射平面代入(2)式即得平面解析幾何中的直角坐標(biāo)變換式：x

x/cos

y/sin

a1y

x/sin

y/cos

a2．

§2仿射坐標(biāo)與仿射平面仿射平面上的幾個(gè)常用結(jié)論過(guò)點(diǎn)M0(x0,y0)，平行于向量

{u,v}的直線

的方程為：

(x

x0)/u

(y

y0)/v，(1)

稱為直線

的點(diǎn)向式方程．u

0時(shí)，可變形為：y

kx

b；其中，k

v/u稱為直線的方向數(shù)；

u

0時(shí)，成為：x

x0，約定其方向數(shù)為

．上述分析表明，直線方程總形如：Ax

By

C

0(A，B不同時(shí)為0)，稱為直線的一般式方程．OxyMM0

e1e2仿射平面上關(guān)于點(diǎn)與直線的幾個(gè)結(jié)論：1.

二直線

(i)：Aix

Biy

Ci

0(i

1,2)

相交

A1/A2

B1/B2；平行

A1/A2

B1/B2

C1/C2；重合

A1/A2

B1/B2

C1/C2．§2仿射坐標(biāo)與仿射平面直線的參數(shù)方程：x

x0

uty

y0

vt(

t

)

且若P3分線段P1P2成定比

，則

x3

(x1

x2)/(1

)，y3

(y1

y2)/(1

)．2.

三點(diǎn)Pi(xi,yi)(i

1,2,3)共線

x1

y11x2

y21=0，x3

y31

§2仿射坐標(biāo)與仿射平面3.

三直線

(i)：Aix

Biy

Ci

0(i

1,2,3)共點(diǎn)或平行的充要條件是：A1

B1

C1A2

B2

C2

0．A3

B3

C3

注：以上結(jié)論與直角坐標(biāo)系下相應(yīng)結(jié)論一致；但特殊的直角坐標(biāo)系下成立的結(jié)論不能完全照搬到一般仿射坐標(biāo)系下．§3仿射變換1．透視仿射變換uv

*MNM/N/M*N*

設(shè)平面

與

*

交于直線

，取分別具有投射方向u，v的兩個(gè)平行射影T1：

*和T2：

*

，則乘積

T

T2T1：

稱為

上的透視仿射變換．§3仿射變換幾何性質(zhì)：

I.

將點(diǎn)變成點(diǎn)，將直線變成直線；

II.

保持平行性和平行線段之比；

III.

對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線平行；

IV.

交線

上的點(diǎn)均為不動(dòng)點(diǎn)．對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線所具有的固定方向稱為透視方向；平面

與

*交線

稱為透視仿射軸(簡(jiǎn)稱軸)．可以證明：一對(duì)對(duì)應(yīng)直線與軸這三條直線或者三線共點(diǎn)，或者三線平行．定理1軸和一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)決定唯一透視仿射變換．（存在性易得．唯一性見(jiàn)后圖）§3仿射變換A/M/M//AMB

C2．仿射變換的定義及性質(zhì)平面

上的點(diǎn)變換T:

，若將直線變成直線，且保持平行性和平行線段之比，則稱為仿射變換．基本性質(zhì)：

1．同素性；

2．結(jié)合性；

3．將向量變成向量且保持向量的線性關(guān)系．§3仿射變換若A、B、C是共線三點(diǎn)，則AC

BC．

稱系數(shù)

為A、B、C的簡(jiǎn)單比，記為

(ABC)；稱A、B為基點(diǎn)，C為分點(diǎn)．

4．仿射變換保持共線三點(diǎn)的簡(jiǎn)單比．設(shè)在給定仿射坐標(biāo)系下，A(xA,yA)，B(xB,yB)，C(xC,yC)，則

(ABC)

(xC

xA)/(xC

xB)(yC

yA)/(yC

yB)．又(xC

xA)/(xC

xB)(yC

yA)/(yC

yB)

AC/BC．故簡(jiǎn)單比也可定義為：(ABC)

AC/BC．§3仿射變換例求證：若仿射變換有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)M

和N，則直線MN上每一點(diǎn)都是此變換的不動(dòng)點(diǎn)．證明：設(shè)P

是直線MN

上任一點(diǎn)，其在仿射變換下的象為P/，則

(PMN)

(P/MN)，即PN/MN

P/N/MN．故P

P/，即直線MN

上的點(diǎn)都是不動(dòng)點(diǎn)．§3仿射變換3.仿射變換的表達(dá)式如圖，設(shè)Oe1e2e/1e/2ExMxEyMyE/xM/xE/yM/yO/x/y/xyM/MM(x,y)

M/(x/,y/)TMx

Mx/TT

O

O/(a1,a2)My

My/Te1

OEx

T

O/Ex/

e1/

{a11,a21}

e2

OEy

T

O/Ey/

e2/

{a12,a22}

§3仿射變換故得仿射變換的表達(dá)式為：x/

a11x

a12y

a1y/

a21x

a22y

a2，det(aij)

0．(2)

T則OMx

xOEx

O/Mx/

xO/Ex/

TOMy

yOEy

O/My/

yO/Ey/

但OM/

OO/

O/Mx/

O/My/，

即OM/

OO/

xO/Ex/

yO/Ey/，(1)

其矩陣形式為：于是有定理2

在給定的仿射坐標(biāo)系下，平面上的仿射變換是滿秩線性變換．反之，可證明滿秩線性變換是仿射變換．推論1

在仿射坐標(biāo)系

=[O;e1,e2]下，對(duì)仿射變換(2)而言,{a11,a21}=e1/,{a12,a22}=e2/分別是e1,e2的仿射象,O/(a1,a2)是原點(diǎn)O的仿射象．§3仿射變換

x/

a11a12x

a1y/

a21

a22ya2，det(aij)

0(2)/

推論2

仿射變換將仿射坐標(biāo)系變成仿射坐標(biāo)系，且象點(diǎn)在象坐標(biāo)系下的坐標(biāo)等于原象點(diǎn)在原坐標(biāo)系下的坐標(biāo)．推論3

代數(shù)曲線的次數(shù)在仿射變換下不變．注意：將仿射點(diǎn)變換(2)與§2的仿射坐標(biāo)變換(2)比較，可見(jiàn)二者在形式上均為滿秩線性變換．意味著，對(duì)滿秩線性變換可作兩種不同解釋：一、可理解為在同一坐標(biāo)系下，點(diǎn)的坐標(biāo)與其仿射象點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系；二、可看成在二不同坐標(biāo)系下，同一點(diǎn)的不同坐標(biāo)之間的關(guān)系．按照上述思想，從向量的坐標(biāo)變換式立即得到§3仿射變換定理3

在仿射變換(2)下，若向量

{u,v}的象為

/

{u/,v/}，則例1

位似變換§3仿射變換Oxye1e21．不動(dòng)點(diǎn)：原點(diǎn)；2．不動(dòng)直線：過(guò)原點(diǎn)的直線；3．不是透視仿射變換．u/

a11u

a12vv/

a21u

a22v，det(aij)

0(3)

x/

axy/

ay，a

0

例2伸縮變換不動(dòng)點(diǎn)：x軸上的所有點(diǎn)；不動(dòng)直線：平行于y軸的所有直線以及x軸．在直角坐標(biāo)系下，圓x2

y2

1經(jīng)其作用后變成橢圓x/2

y/2/a2

1．問(wèn)：伸縮變換是透視仿射變換嗎？§3仿射變換OxyPP/e1e2x/

xy/

ay，a

0

Oyxe1e2PP/MM/y=y0例3推移變換不動(dòng)點(diǎn)：

x軸上的所有點(diǎn)；不動(dòng)直線：平行于x軸的所有直線．問(wèn)：伸縮變換是透視仿射變換嗎？§3仿射變換x/

x

ayy/

y，a

0

4．重要定理定理4

設(shè)Pi(xi,yi)和Pi/(xi/,yi/)(i

1,2,3)分別是平面上不共線三點(diǎn)，則存在唯一仿射變換將Pi映成Pi/．§3仿射變換證明：設(shè)仿射變換為將

(xi,yi)

(xi/,yi/)代入，得在上式的第一式中，令i

1,2,3，得xi/

a11xi

a12yi

a1yi/

a21xi

a22yi

a2，(1)

x/

a11x

a12y

a1y/

a21x

a22y

a2，det(aij)

0．

§3仿射變換因P1、P2

、P3不共線，故因此方程組(2)有唯一解a11,a12,a1，同理可求唯一確定的a21,a22,a2．再由(2)可得x1/

a11x1

a12y1

a1x2/

a11x2

a12y2

a1x3/

a11x3

a12y3

a1，(2)

x1

y11x2

y21

0，x3

y31

x2/

x1/y2/

y1/x3/

x1/y3/

y1/x2

x1

y2

y1x3

x1

y3

y1a11

a21a12

a22

，

§3仿射變換因P1/、P2/、P3/不共線，故

故定理成立．推論1

仿射變換是透視仿射變換

該仿射變換有一條由不動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的直線．推論2

仿射變換是恒等變換

該仿射變換有不共線三不動(dòng)點(diǎn)．x2/

x1/y2/

y1/x3/

x1/y3/

y1/0．

從而，0．a(chǎn)11

a21a12

a22

定理5

非透視的仿射變換可通過(guò)至多三次透視仿射變換來(lái)實(shí)現(xiàn)．

定理5的證明思路：設(shè)A、B、C

是仿射變換T

的三不共線的非不動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)依次為A/、B/、C/．§3仿射變換A/B/C2

A/B1C1ABCA/B/C/

定理6

平面上全體仿射變換的集合構(gòu)成一個(gè)變換群，稱為仿射群．記為G6．T1

T2

T3§4歐氏平面和保距變換1.保距變換的定義及表達(dá)式建立了直角坐標(biāo)系的平面稱為歐氏平面．歐式平面上，保持距離不變的仿射變換稱為保距變換(或正交變換)．x/

a11a12x

a1y/

a21

a22ya2，det(aij)

0T：是保距變換

A(aij)是正交矩陣．

定理1

直角坐標(biāo)系下，仿射變換：

證明：設(shè)在仿射變換T作用下

v

{v1,v2}變成v/

{v1/,v2/}．由于(v1/v2/)

(v1

v2)AT，從而對(duì)任意向量v，v/2

v2的充要條件是ATA

E，等價(jià)于A

1

AT．注：正交條件A1

AT

用矩陣元素表示為：

a112

a212

a122+a2221，a11a12

a21a220．也等價(jià)于：

a112

a122

a212

a2221，a11a21

a12a220．正交條件也可描述為：矩陣的兩個(gè)行向量單位正交，或二列向量單位正交．利用上述代數(shù)條件不難得出下面的結(jié)論：§4歐氏平面和保距變換

(v1

v2)ATA

v1v2故v/2

(v1/v2/)v1/v2/

例將點(diǎn)(0,1)，(2,0)分別變成(

1,0)，(0,2)的保距變換是否存在？若存在，寫(xiě)出變換式．

解：假定保距變換存在，設(shè)為§4歐氏平面和保距變換x/cos

sin

x

a1y/sin

cos

ya2定理2

直角坐標(biāo)系下，保距變換可表示為：其中，定角

(

,

]．

x/

a11a12x

a1y/

a21a22

ya2．

1

a11a120

a10a21a22

1a2則，

§4歐氏平面和保距變換且0

a11a122

a12a21a22

0a2，

由此得a12

a1

1(1)a22

a2

0(2)2a11

a1

0(3)2a21

a2

2(4)a112

a1221(5)a212

a2221(6)a11a21

a12a220(7)

由(1)、(3)、(5)解得a1

0a11

0a121a1

8/5a11

4/5a123/5或

§4歐氏平面和保距變換故所求保距變換存在，為由(2)、(4)、(6)解得a2

0a22

0a211a2

4/5a22

4/5a213/5或

a1

0a11

0a121a2

0a22

0a211a1

8/5a11

4/5a123/5a2

4/5a22

4/5a213/5由(7)得或

x/4/5

3/5

x

8/5y/3/5

4/5

y4/5x/0

1

xy/10

y

或

．

§4歐氏平面和保距變換2.保距變換的實(shí)現(xiàn)定理3行列式為

1的非恒等保距變換是旋轉(zhuǎn)與平移的乘積．

證明：容易看到，保距變換的乘積．即T

TaR

．

x/cos

sin

x

a1y/sin

cos

ya2

T:

R

：x//

xcos

ysin

y//

xsin

ycos

是旋轉(zhuǎn)

與平移Ta：x/

x//

a1y/

y//

a2

§4歐氏平面和保距變換定理4行列式為

1的非恒等保距變換是旋轉(zhuǎn)、鏡射和平移的乘積．

證明：保距變換的乘積．即T

TaRoxR(

)．x/cos

sin

x

a1y/sin

cos

ya2

T:

x//

xcos(

)

ysin(

)y//

xsin(

)

ycos(

)是旋轉(zhuǎn)R(

)：

鏡射Mox：x///

x//

y///

y//

與平移Ta：x/

x///

a1y/

y///

a2

§4歐氏平面和保距變換行列式為

1的保距變換稱為正運(yùn)動(dòng)；行列式為

1的保距變換稱為反運(yùn)動(dòng)．3.保距變換的性質(zhì)定理5保距變換保持向量?jī)?nèi)積不變．

證明：設(shè)在保距變換下，

{u1,u2}

{u1/,u2/}，{v1,v2}

{v1/,v2/}，則

(u1

u2)ATA

v1v2

u1v1

u2v2．v1v2

(u1,u2)

u1/v1/

u2/v2/

(u1/,u2/)v1/v2/

§4歐氏平面和保距變換定理6保距變換保持向量夾角不變．推論保距變換保持面積不變．定理7仿射變換是保距變換

它將直角坐標(biāo)系變成直角坐標(biāo)系．定理8平面上全體保距變換的集合構(gòu)成一個(gè)變換群，稱為歐氏群(或運(yùn)動(dòng)群)．記為G3．易證：全體正運(yùn)動(dòng)的集合構(gòu)成群，稱為正運(yùn)動(dòng)群．顯然，正運(yùn)動(dòng)群是歐氏群的子群，而歐氏群是仿射群的子群．§5幾何學(xué)與變換群的關(guān)系1．Klein觀點(diǎn)介紹若給定集合S和S上的一個(gè)變換群G，則稱配對(duì)(S,G)為空間．若對(duì)S中的圖形F

和F/，存在G

的變換T，使F變成F/，則稱F

和F/

有關(guān)系，記為F/

F．利用近世代數(shù)知識(shí)不難證明引理上述圖形間的關(guān)系“

”是等價(jià)關(guān)系．由此可按照等價(jià)關(guān)系“

”對(duì)S的圖形進(jìn)行分類：等價(jià)圖形屬于同一類，不等價(jià)圖形屬于不同類．每一等價(jià)類中各圖形所共有的性質(zhì)和量為在群G的變換下的不變性質(zhì)和不變量．§5幾何學(xué)與變換群的關(guān)系對(duì)于空間(S,G)而言，研究圖形關(guān)于群G

下的不變性質(zhì)、不變量和圖形分類的所有命題的集合，稱為集合S上群G附屬的幾何學(xué)．若集合S上的群G*

是G的子群，則稱G*

附屬的幾何是G附屬的幾何的子幾何．顯然，群所含變換越少，不變性質(zhì)和不變量就越多，從而其所附屬的幾何學(xué)包含的內(nèi)容就多．2．變換群與幾何學(xué)平面上歐氏群附屬的幾何學(xué)稱為歐氏平面幾何．平面上仿射群附屬的幾何學(xué)稱為仿射幾何．§5幾何學(xué)與變換群的關(guān)系按照Klein觀點(diǎn)，變換群與幾何學(xué)的關(guān)系如下：對(duì)于給定的空間，不同的變換群附屬不同的幾何學(xué)，它研究圖形在此變換群下的不變性質(zhì)、不變量和圖形分類．如仿射幾何研究的平行性、同素性、結(jié)合性是仿射不變性質(zhì)，簡(jiǎn)單比是其不變量．而歐氏群附屬的歐氏幾何研究的長(zhǎng)度、角度、面積是其不變性質(zhì)，簡(jiǎn)單比、距離是其不變量．由于歐氏群是仿射群的子群，故歐氏幾何是仿射幾何的子幾何．而后面將學(xué)習(xí)的射影幾何則是比仿射幾何更大的幾何．例1

下列圖形在仿射變換下的對(duì)應(yīng)圖形是什么？平行四邊形；梯形；等腰三角形；二全等的矩形例2

下列幾何量和性質(zhì)是哪種(最大的)幾何學(xué)討論的對(duì)象？線段的長(zhǎng)度；兩直線所成的角；離心率；平行線段之比；三角形面積；平行；垂直；平行四邊形對(duì)角線互相平分．例3

仿射變換下，正方形有哪些性質(zhì)不變？其仿射象是什么圖形？

例4“三角形重心”與“二互相垂直直線”的仿射象各是什么？§5幾何學(xué)與變換群的關(guān)系

二次曲線的射影理論

§1.配極與二次曲線1.二階曲線與二級(jí)曲線給定配極射影平面上，配極的自共軛直線的軌跡稱為二級(jí)曲線．射影平面上，配極的自共軛點(diǎn)的軌跡稱為二階曲線．其中，aij

aji，Aij是(aij)中aij的代數(shù)余子式．其對(duì)應(yīng)的二階曲線和二級(jí)曲線方程為：

(

1,

2,

3)(x1,x2,x3)(aij)

(x1,x2,x3)(

1,

2,

3)(Aij)．

：

§1.配極與二次曲線由于配極有兩種類型，故曲線也如此．若配極為雙曲型，則其對(duì)應(yīng)二級(jí)曲線有無(wú)窮多實(shí)直線，故也稱為二次線束．(如下圖)若配極為雙曲型，則其對(duì)應(yīng)二階曲線有無(wú)窮多實(shí)點(diǎn)，故也稱為二次點(diǎn)列．(如下圖)配極對(duì)應(yīng)的二級(jí)曲線方程為：配極對(duì)應(yīng)的二階曲線方程為：(x1,

x2,x3)(aij)0．(1)x1x2x3(

1,

2,

3)(Aij)0．(1)/

1

2

3即

aijxixj

0,aij

aji．即

Aij

i

j

0,Aij

Aji．

§1.配極與二次曲線若配極是橢圓型的，則其對(duì)應(yīng)二級(jí)曲線不存在，或說(shuō)對(duì)應(yīng)虛二級(jí)曲線．若配極是橢圓型的，則其對(duì)應(yīng)二階曲線不存在，或說(shuō)對(duì)應(yīng)虛二階曲線．由于配極與曲線的對(duì)應(yīng)，故可將配極的相關(guān)概念移植到曲線．下面就雙曲型配極對(duì)應(yīng)的曲線討論點(diǎn)、直線與曲線的關(guān)系．§1.配極與二次曲線1.

切線：

的自共軛直線．切點(diǎn)為該直線上的自共軛點(diǎn)；(其等價(jià)定義：切線是有唯一屬于二階曲線的點(diǎn)的點(diǎn)列)1.

切點(diǎn)：

的自共軛點(diǎn)．切線為過(guò)該點(diǎn)的自共軛直線；(其等價(jià)定義：切點(diǎn)是有唯一屬于二級(jí)曲線的直線的線束)2.

二切點(diǎn)線(割線)：過(guò)二自共軛點(diǎn)的直線；2.

二切線點(diǎn)：有二自共軛直線通過(guò)的點(diǎn)；3.

無(wú)切點(diǎn)線(離線)：不過(guò)自共軛點(diǎn)的直線．3.

無(wú)切線點(diǎn)：無(wú)自共軛直線通過(guò)的點(diǎn)．

abc§1.配極與二次曲線2.極點(diǎn)與極線二次曲線配極的極點(diǎn)和極線，稱為其對(duì)應(yīng)二階曲線和二級(jí)曲線的極點(diǎn)和極線．定理1/

對(duì)于二級(jí)曲線定理1

對(duì)于二階曲線直線

的極點(diǎn)方程為點(diǎn)y

的極線方程為(x1,

x2,x3)(aij)0．(2)x1x2x3(

1,

2,

3)(Aij)0．(2)/

1

2

3

(y1,

y2,y3)(aij)0．(3)x1x2x3(

1,

2,

3)(Aij)0．(3)/

1

2

3

§1.配極與二次曲線下述定理表明，二階曲線與二級(jí)曲線就其本質(zhì)而言是一樣的．推論1/

點(diǎn)y關(guān)于二級(jí)曲線(2)/的極線坐標(biāo)為(

1,

2,

3)

(y1,y2,y3)(aij)．推論1直線

關(guān)于二階曲線(2)的極點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,x2,x3)

(

1,

2,

3)(Aij)．推論2/

屬于二級(jí)曲線(2)/的任意直線

的切點(diǎn)方程為推論2在二階曲線(2)上的任意點(diǎn)y的切線方程為(y1,

y2,y3)(aij)0．x1x2x3(

1,

2,

3)(Aij)0．

1

2

3

§1.配極與二次曲線定理2/

二級(jí)曲線定理2

二階曲線的切點(diǎn)集合為二階曲線的切線集合為二級(jí)曲線其中，

Aij是(aij)中aij的代數(shù)余子式．其中，

Bij是(bij)中bij的代數(shù)余子式．(x1,

x2,x3)(aij)0．(2)x1x2x3(

1,

2,

3)(bij)0．

1

2

3

(x1,

x2,x3)(Bij)0．x1x2x3(

1,

2,

3)(Aij)0．(2)/

1

2

3

xyz

定理3

不在二次曲線上的點(diǎn)為二切線點(diǎn)

其極線是二切點(diǎn)線，且極線與曲線的兩交點(diǎn)與此二切線點(diǎn)所連直線是切線．因上述二相互對(duì)偶的定理，二階曲線與二級(jí)曲線統(tǒng)一了起來(lái)，將二者統(tǒng)稱為二次曲線．方程(2)和(2)/

分別是二次曲線的點(diǎn)坐標(biāo)方程和線坐標(biāo)方程．由此可知：二級(jí)曲線是配極變換的自共軛直線的集合，它與二階曲線是對(duì)偶的．§1.配極與二次曲線xyz

證明：設(shè)過(guò)二切線點(diǎn)x的兩條切線

、

的切點(diǎn)分別為y、z．從而x的極線

與曲線交于y、z兩點(diǎn)．即

是二切點(diǎn)線．反之，設(shè)點(diǎn)x的極線

與曲線交于y、z兩點(diǎn)．因點(diǎn)x的極線

過(guò)y、z兩點(diǎn)，故y、z的極線

、

過(guò)x．這即是說(shuō)

、

就是過(guò)x的兩條切線．因y、z的極線

、

過(guò)x，故x的極線過(guò)y、z．§1.配極與二次曲線§1.配極與二次曲線推論不在曲線上的點(diǎn)是無(wú)切線點(diǎn)

其極線是無(wú)切點(diǎn)線．例1

已知二次曲線:x123x22

x322x1x24x1x30和點(diǎn)a(1,0,1)，試判定點(diǎn)a是二次曲線

的哪一類點(diǎn)．解法1：

方程可改寫(xiě)為：由此可得a關(guān)于

的極線

:x1

x2

x3

0，解得

x3

x1

x2，代入

方程得x1x2x3(x1,x2,x3)1121302010．(*)

3x122x1x22x22

0．因

22

4

3

2

20<0，故

為

的無(wú)切點(diǎn)線，從而a是

的無(wú)切線點(diǎn)．解法2：由(*)式可得，

與a的線坐標(biāo)方程分別為：

:3

123

222

322

1

212

1

34

2

30，

a:

1

30，將a的線坐標(biāo)方程代入

的線坐標(biāo)方程，得

7

122

1

22

22

0，其判別式

22

4

7

2

52<0，故線束a中無(wú)

的切線，即a是

的無(wú)切線點(diǎn)．§1.配極與二次曲線§1.配極與二次曲線若一對(duì)點(diǎn)是配極

的共軛點(diǎn)對(duì)，則稱它們是

對(duì)應(yīng)的二次曲線的共軛點(diǎn)對(duì)．定理4

若過(guò)點(diǎn)對(duì)x、x/的直線

交二次曲線

于u、v兩點(diǎn)，則x與x/是

的共軛點(diǎn)對(duì)

(uv;xx/)

1．xx/vu

證明：設(shè)

：(x)(aij)(x)T

0．因x、x/、u、v共線，故可設(shè)

(x)

(u)

(v)，

(x/)

(u)+(v)．又(x)(aij)(x/)T

[

(u)+(v)](aij)[

(u)+(v)]T

(u)(aij)(u)T+[

+

](u)(aij)(v)T+(v)(aij)(v)T．因u、v為

上二點(diǎn)，故(u)(aij)(v)T

0且

(x)(aij)(x/)T

[

+

](u)(aij)(v)T．所以，x與x/是

的共軛點(diǎn)對(duì)

(x)(aij)(x/)T

0

[

+

](u)(aij)(v)T0

+

0

(uv;xx/)

1．§1.配極與二次曲線注意：此定理將共軛與調(diào)和共軛聯(lián)系了起來(lái)．a(chǎn)/b/c/ab//c//sbca//qpr§1.配極與二次曲線證明：因三點(diǎn)形abc與三點(diǎn)形a//b//c//對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線共點(diǎn)，故對(duì)應(yīng)邊交點(diǎn)

(a

b)

(a//

b//)

p，

(b

c)

(b//

c//)

q，

(c

a)

(c//

a//)

r共線．例2由二次曲線的內(nèi)接三點(diǎn)形abc的各頂點(diǎn)作此曲線的切線，構(gòu)成外切三點(diǎn)形a/b/c/，從不在上述各直線上任一點(diǎn)s與a、b、c分別連直線交對(duì)邊于a//、b//、c//．求證：

a/

a//、b/

b//、c/

c//共點(diǎn)．a(chǎn)/b/c/ab//c//sbca//qpr在完全四點(diǎn)形sa//cb//的對(duì)角線a

b上，有

(ba;pc//)

1，因a、b在曲線上，故p

與

c//是一對(duì)共軛點(diǎn)．又p

在

c/的極線a

b上，故p

與

c/共軛．因此，p

的極線是c/

c//．§1.配極與二次曲線同理，q

的極線是a/

a//，

r

的極線是b/

b//．從而，因p、q、r

共線，故a/

a//、b/

b//、c/

c//共點(diǎn)．uwabcdxyv二次曲線

對(duì)應(yīng)的配極的自極三點(diǎn)形稱為二次曲線

的自極三點(diǎn)形．定理5

二次曲線的內(nèi)接完全四點(diǎn)形的對(duì)角三點(diǎn)形是曲線的自極三點(diǎn)形．證明：設(shè)

的內(nèi)接完全四點(diǎn)形abcd的對(duì)角三點(diǎn)形為uvw，并設(shè)x

(u

v)

(a

d)，

y

(u

v)

(b

c)，則(ad;xw)

1，故由定理4知x與w共軛，即w的極線過(guò)x；§1.配極與二次曲線同理，w的極線過(guò)y．因此，w的極線為x

y

u

v．同理，u的極線為w

v；v的極線為u

w．所以三點(diǎn)形uvw是自極三點(diǎn)形．§1.配極與二次曲線利用定理5可以解決一些作圖問(wèn)題．例3作不在曲線

上的已知點(diǎn)v關(guān)于

的極線．a(chǎn)bcduwv

uΓxy例4過(guò)不在曲線

上的已知點(diǎn)u，作

的切線．作法：

1)由例3作出u的極線，與曲線交得二點(diǎn)；

2)分別與u連線，則得切線．§1.配極與二次曲線§1.配極與二次曲線例5

直線關(guān)于二次曲線Γ的極點(diǎn)．作法：直線上任取二不在曲線上的點(diǎn)，作出各自的極線，則二線交點(diǎn)為直線的極點(diǎn)．例6任意點(diǎn)x

關(guān)于二次曲線的極線．作法：過(guò)x任取兩條直線，由例5作法作二直線的極點(diǎn)，連接二點(diǎn)所得直線即為x

的極線．§1.配極與二次曲線3.二次曲線方程的簡(jiǎn)化形式因以自極三點(diǎn)形為坐標(biāo)三點(diǎn)形時(shí)，配極可化為標(biāo)準(zhǔn)形式，故二次曲線的點(diǎn)坐標(biāo)方程可簡(jiǎn)化為：

b1x12

b2x22

b3x32

0．下面是另一種簡(jiǎn)化形式：定理6

以二次曲線的一個(gè)二切線點(diǎn)和由此點(diǎn)作出的二切線的切點(diǎn)構(gòu)成的三點(diǎn)形為坐標(biāo)三點(diǎn)形，則曲線方程可寫(xiě)為：

x12

kx2x3

0(k

0)．注：也可寫(xiě)為：x22

kx1x3

0或x32

kx1x2

0．o(1)o(2)o(3)

a22

a33

0．又點(diǎn)(1,0,0)的極線為(1,0,0)，故a12

a13

0．再令k

2a23/a11即得證．§1.配極與二次曲線證明：取該二切線點(diǎn)為o(1)，由其所引切線而得二切點(diǎn)分別為o(2)

、o(3)，以o(1)o(2)o(3)為坐標(biāo)三點(diǎn)形．設(shè)曲線為

:(x)(aij)(x)T

0，aij

aji．因點(diǎn)(0,1,0)和(0,0,1)在

上，故代入方程可得§1.配極與二次曲線推論若在定理6中，選單位點(diǎn)在二次曲線上，則曲線方程為：x12

x2x3

0．下面證明此處定義的切線與通常的切線定義一致．例7證明：直線為二次曲線的切線

此直線與二次曲線交于二重點(diǎn)．證明：選取如推論中的坐標(biāo)系，則

的點(diǎn)坐標(biāo)方程為：x12

x2x3

0，其對(duì)應(yīng)矩陣為200(aij)001．

010

§1.配極與二次曲線故

的線坐標(biāo)方程為：

124

2

30．設(shè)直線

：

1x1

2x2

3x30．因直線x1=0為二切點(diǎn)線，故不妨

30．由此解出x3，代入點(diǎn)方程得

3x12

1x1x2

2x22

0．故

與

交于二重點(diǎn)

12

4

2

30

的坐標(biāo)滿足

的線坐標(biāo)方程

是

的切線．此矩陣的伴隨矩陣為：(Aij)100002020，

§2.一維射影對(duì)應(yīng)與二次曲線本節(jié)將用一維射影對(duì)應(yīng)研究二次曲線，并證明Pascal定理和Brianchon定理．1.二次曲線的射影定義定理1/

設(shè)

和

/是二級(jí)曲線

/的二不同定直線，

是

/的動(dòng)直線，則由

/

定義的點(diǎn)列

到點(diǎn)列

/的映射是非透視的射影對(duì)應(yīng)．定理1(Steiner)設(shè)z和z/是二階曲線

的二不同定點(diǎn)，x是

的動(dòng)點(diǎn)，則由z

x

z/

x定義的線束z到線束z/的映射是非透視的射影對(duì)應(yīng)．定理1證明思路：建立如圖坐標(biāo)系，則曲線方程為：x22

x1x3

0，故可設(shè)x坐標(biāo)為x(

2,

,

2)．由此可計(jì)算對(duì)應(yīng)直線坐標(biāo)o(2)exz/

o(3)z

o(1)

/

/

z

z/

(0,0,1)

(0,1,0)

(0,1,0)

(1,0,0)

(0,1,1)

/(1,1,0)

(0,

,

)

/(

,

,0)進(jìn)而可驗(yàn)證(

;

)(

;

/

/)．由此證得定理．上述二對(duì)偶定理實(shí)際上給出了二階曲線與一維射影對(duì)應(yīng)的關(guān)系．上述定理的逆定理也成立：§2.一維射影對(duì)應(yīng)與二次曲線o(2)o(1)o(3)ex

/

/§2.一維射影對(duì)應(yīng)與二次曲線定理2/設(shè)二不同底的點(diǎn)列成非透視的射影對(duì)應(yīng)，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線集合(或包絡(luò))為包含二點(diǎn)列底的二級(jí)曲線．定理2

設(shè)二不同心的線束成非透視的射影對(duì)應(yīng)，則對(duì)應(yīng)直線的交點(diǎn)軌跡為通過(guò)二線束中心的二階曲線．證明定理2：以此二線束的中心為o(1)、o(3)，記

o(1)

o(3)．設(shè)在此射影對(duì)應(yīng)T

下，

，

．TT1令o(2)

．以o(1)o(2)o(3)為坐標(biāo)三點(diǎn)形，并以一對(duì)對(duì)應(yīng)直線

和

/的交點(diǎn)為單位點(diǎn)e．§2.一維射影對(duì)應(yīng)與二次曲線設(shè)在此射影對(duì)應(yīng)T

下，一對(duì)動(dòng)對(duì)應(yīng)直線

和

/的交點(diǎn)為x．由于

o(1)

e，

/

o(3)

e，故其坐標(biāo)分別為

(0,1,1)，

/(1,1,0)．從而(

)(

)(

)(

/

)(

)(

)．T設(shè)(

)

(

)

(

)，則由(

;

)=(

;

/

/)得(

)

(

)

(

)(

/)

(

)+

(

)．T故

和

/的坐標(biāo)分別為

(0,

,

)，

/(

,

,0)．所以，x

/的坐標(biāo)為

(x1,x2,x3)

(

2，

,

2)．可見(jiàn)，x

/的坐標(biāo)滿足方程x22

x1x3

0．顯然，o(1)、o(3)的坐標(biāo)也滿足此方程．得證．§2.一維射影對(duì)應(yīng)與二次曲線成射影對(duì)應(yīng)的二線束(點(diǎn)列)稱為射影線束(點(diǎn)列)．利用上述成對(duì)偶的互逆定理，可給出二階曲線和二級(jí)曲線的射影定義．二不同底的非透視射影點(diǎn)列的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的集合稱為二級(jí)曲線．二不同中心的非透視射影線束的對(duì)應(yīng)直線交點(diǎn)的軌跡稱為二階曲線．若二點(diǎn)列

和

/成透視，則將過(guò)二點(diǎn)列公共點(diǎn)y及透視中心x的所有直線的集合稱為退化二級(jí)曲線．(見(jiàn)后圖)若二線束z和z/成透視，則將二線束公共直線

及透視軸

的所有點(diǎn)作成的集合稱為退化二階曲線．(見(jiàn)后圖)§2.一維射影對(duì)應(yīng)與二次曲線zz/

yx

/

退化二次曲線將在§3討論，現(xiàn)仍討論非退化的情形．證明定理3：定理3/

給定每三線不共點(diǎn)的五線，恰有一條二級(jí)曲線包含這五線．定理3

給定每三點(diǎn)不共線的五點(diǎn)，恰有一條二階曲線通過(guò)這五點(diǎn)．§2.一維射影對(duì)應(yīng)與二次曲線aa/b(1)b(2)b(3)如圖，a、a/、b(1)、b(2)、b(3)是每三點(diǎn)不共線的五點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)關(guān)系

a

b(i)

a/

b(i)(i

1,2,3)確定了線束a到線束a/

的唯一射影對(duì)應(yīng)

T：a{b(1),b(2),b(3)