人教A版選擇性必修第一冊(cè)331拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課件

3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程第三章3.32023內(nèi)容索引010203自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)合作探究釋疑解惑隨堂練習(xí)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.了解拋物線的定義及焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的概念.2.了解拋物線的幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程.3.明確p的幾何意義,并能解決簡(jiǎn)單的求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程問(wèn)題.4.培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、拋物線的定義1.前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,試求到直線y=-1的距離與到定點(diǎn)F(0,1)的距離相等的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程,這是我們以前學(xué)過(guò)的什么函數(shù)?試畫(huà)出它的圖象,并判斷其圖象是一條什么曲線?這是我們學(xué)過(guò)的二次函數(shù),圖象是一條拋物線.如圖,2.若將直線方程改為x=-1,點(diǎn)F的坐標(biāo)改為(1,0),動(dòng)點(diǎn)M到直線x=-1的距離與到點(diǎn)F的距離相等,則點(diǎn)M的軌跡方程又是什么?其圖象與上一條曲線有什么聯(lián)系?提示:軌跡方程是y2=4x.圖象可由x2=4y的圖象繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到.3.在上面兩條曲線中,動(dòng)點(diǎn)M滿足的條件是什么?提示:到定直線的距離與到定點(diǎn)的距離相等.4.拋物線的定義

5.到直線x=2與到定點(diǎn)P(-2,0)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是(

)A.拋物線 B.雙曲線

C.橢圓 D.直線答案:A二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【問(wèn)題思考】1.如圖,設(shè)定點(diǎn)F到定直線l的距離|FK|=p,類比橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過(guò)程,試建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.提示:取經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且垂直于直線l的直線為x軸,以線段FK的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系Oxy,如圖.2.根據(jù)定點(diǎn)F與定直線l的位置關(guān)系,你認(rèn)為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有幾種類型?開(kāi)口方向有哪些?提示:拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種類型,開(kāi)口方向有向右、向左、向上、向下.3.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

4.下列關(guān)于拋物線x2=4y的描述正確的是(

)A.開(kāi)口向上,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)答案:A【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)方程x2=2py表示的拋物線開(kāi)口向上.(×)(2)拋物線的方程都是y關(guān)于x的二次函數(shù).(×)(3)標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)中的p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.(√)(4)拋物線的焦點(diǎn)位置由一次項(xiàng)及一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定.(√)(5)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線.(×)合作探究釋疑解惑探究一求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】

分別求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)過(guò)點(diǎn)(-3,2);(3)焦點(diǎn)在直線x-2y-4=0上;(4)焦點(diǎn)在y軸上,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5.分析:根據(jù)已知條件求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的p即可,注意標(biāo)準(zhǔn)方程的形式.(2)由題知點(diǎn)(-3,2)在第二象限,設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-2px或x2=2py(p>0),(3)①令x=0,由方程0-2y-4=0得y=-2,故拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2).設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-2py(p>0),則由

=2,得2p=8,故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-8y.②令y=0,由x-0-4=0得x=4,故拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0).設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0),由

=4得2p=16,故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=16x.綜上可知,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-8y或y2=16x.(4)已知拋物線的焦點(diǎn)在y軸上,可設(shè)方程為x2=2my(m≠0),由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5,知|m|=5,m=±5,所以滿足條件的拋物線有兩條,它們的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為x2=10y和x2=-10y.反思感悟

1.用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟:2.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)需注意的三個(gè)問(wèn)題(1)把握開(kāi)口方向與方程間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.(2)當(dāng)拋物線的類型沒(méi)有確定時(shí),可設(shè)方程為y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),這樣可以減少討論情況的個(gè)數(shù).(3)注意p與

的幾何意義.【變式訓(xùn)練1】

根據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)焦點(diǎn)在y軸上且過(guò)點(diǎn)(-1,-3);(2)過(guò)點(diǎn)(4,-8).解:(1)如圖①所示,設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-2py(p>0),(2)如圖②所示,設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0)或x2=-2py(p>0),將(4,-8)代入y2=2px,得p=8,將(4,-8)代入x2=-2py,得p=1,故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=16x或x2=-2y.探究二拋物線的定義及其應(yīng)用答案:C【例2】

(1)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),若|PF|=4,則△POF的面積為(

)(2)已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)是F,點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),對(duì)于定點(diǎn)A(4,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo).分析:(1)由條件及拋物線的定義求出點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo),則△POF的面積易得.(2)利用拋物線的定義,把|PF|轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.解:如圖,作PN⊥l于點(diǎn)N(l為準(zhǔn)線),作AB⊥l于點(diǎn)B,則|PA|+|PF|=|PA|+|PN|≥|AB|,當(dāng)且僅當(dāng)P為AB與拋物線的交點(diǎn)時(shí),取等號(hào).故(|PA|+|PF|)min=|AB|=4+1=5.此時(shí)yP=2,代入拋物線方程得xP=1,P(1,2).將本例(2)點(diǎn)A坐標(biāo)改為(3,4),點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離為d,其他條件不變,則|PA|+d的最小值為

.

解析:由題意可知點(diǎn)(3,4)在拋物線的外部,d=|PF|.∵|PA|+d=|PA|+|PF|的最小值即為A,F兩點(diǎn)間的距離,反思感悟

拋物線定義的兩種應(yīng)用(1)實(shí)現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化.根據(jù)拋物線的定義,拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離,因此,由拋物線定義可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距與點(diǎn)線距的相互轉(zhuǎn)化,從而簡(jiǎn)化某些問(wèn)題.(2)解決最值問(wèn)題.在拋物線中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的最小值時(shí),往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化,即化折線為直線解決最值問(wèn)題.【變式訓(xùn)練2】

(1)已知點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到點(diǎn)A(0,2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為(

)解析:由拋物線的定義可知,拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于到焦點(diǎn)的距離.由圖可得,點(diǎn)P到準(zhǔn)線x=-的距離d=|PF|,易知點(diǎn)A(0,2)在拋物線y2=2x的外部,連接AF,交拋物線y2=2x于點(diǎn)P',欲使所求距離之和最小,只需A,P,F共線,答案:A(2)若拋物線y2=-2px(p>0)上有一點(diǎn)M,其橫坐標(biāo)為-9,它到焦點(diǎn)的距離為10,求拋物線方程和點(diǎn)M的坐標(biāo).解得p=2.故拋物線方程為y2=-4x,將x=-9代入y2=-4x,解得y=±6,故M(-9,6)或M(-9,-6).探究三與拋物線有關(guān)的軌跡方程【例3】

(1)已知?jiǎng)訄AM與直線y=2相切,且與定圓C:x2+(y+3)2=1外切,求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.(2)某河上有一座拋物線形的拱橋,當(dāng)水面距拱頂5m時(shí),水面寬8m,一木船寬4m,高2m,載貨的木船露在水面上的部分為0.75m,當(dāng)水面上漲到與拱頂相距多少時(shí),木船開(kāi)始不能通航?分析:(1)利用|MC|的長(zhǎng)度比點(diǎn)M到直線y=2的距離大1求解.(2)先建立平面直角坐標(biāo)系,確定拋物線的方程,由對(duì)稱性知,木船的軸線與y軸重合,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求出x=2時(shí)的y值.解:(1)設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x,y),半徑為r,則由題意可得M到圓心C(0,-3)的距離與到直線y=3的距離相等.由拋物線的定義可知,動(dòng)圓圓心的軌跡是以C(0,-3)為焦點(diǎn),以y=3為準(zhǔn)線的一條拋物線,其方程為x2=-12y.(2)以橋的拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn),拱高所在的直線為y軸,建立直角坐標(biāo)系(如圖).設(shè)拋物線的方程是x2=-2py(p>0),由題意知點(diǎn)A(4,-5)在拋物線上,設(shè)水面上漲,木船面兩側(cè)與拋物線形拱橋接觸于點(diǎn)B,B'時(shí),木船開(kāi)始不能通航,故當(dāng)水面上漲到與拋物線形的拱頂相距2

m時(shí),木船開(kāi)始不能通航.反思感悟

1.求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法:定義法,判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否滿足拋物線的定義.若滿足拋物線的定義,則可按拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式寫出方程.2.求解與拋物線有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題的五個(gè)步驟:(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系;(2)設(shè)出合適的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程;(3)通過(guò)計(jì)算求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(4)求出需要求出的量;(5)還原到實(shí)際問(wèn)題中,從而解決實(shí)際問(wèn)題.【變式訓(xùn)練3】

已知?jiǎng)訄AM經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0),且與直線l:x=-3相切,求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.解:設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x,y),☉M與直線l:x=-3的切點(diǎn)為N,則|MA|=|MN|,即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)A和定直線l:x=-3的距離相等,故點(diǎn)M的軌跡是拋物線,且以A(3,0)為焦點(diǎn),以直線l:x=-3為準(zhǔn)線,則

=3,p=6,故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是y2=12x.【易錯(cuò)辨析】

考慮問(wèn)題時(shí)思維不嚴(yán)密致誤【典例】

已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)到y(tǒng)軸的距離比它到定點(diǎn)(2,0)的距離小2,求動(dòng)點(diǎn)M(x,y)的軌跡方程.錯(cuò)解:因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離比它到定點(diǎn)(2,0)的距離小2,所以動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)(2,0)的距離與它到定直線x=-2的距離相等,所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以(2,0)為焦點(diǎn),x=-2為準(zhǔn)線的拋物線,且p=4,所以拋物線的方程為y2=8x,即所求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為y2=8x.以上解答過(guò)程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:錯(cuò)解只考慮了一種情況.在此題中,(2,0)到y(tǒng)軸的距離為2,故x軸上原點(diǎn)左側(cè)的點(diǎn)也滿足題中條件.正解:因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離比它到定點(diǎn)(2,0)的距離小2,所以動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)(2,0)的距離與它到定直線x=-2的距離相等,所以以(2,0)為焦點(diǎn),x=-2為準(zhǔn)線的拋物線方程滿足軌跡方程,且p=4,所以拋物線的方程為y2=8x.又x軸上原點(diǎn)左側(cè)的點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離比它到點(diǎn)(2,0)的距離小2,所以方程y=0(x<0)也滿足軌跡方程.綜上,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為y=0(x<0)或y2=8x.防范措施

考慮問(wèn)題時(shí)要注意題目中的隱含條件,本題中點(diǎn)(2,0)到y(tǒng)軸的距離正好等于2,又點(diǎn)(2,0