5.3誘導(dǎo)公式第二課時(shí)講義-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

人教A版（2019）高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)課時(shí)同步學(xué)案5.3誘導(dǎo)公式(2)第2課時(shí)誘導(dǎo)公式五、六【知識(shí)梳理】【知識(shí)點(diǎn)一】誘導(dǎo)公式公式五：sin＝cosα，cos＝sinα.公式六：sin＝cosα，cos＝－sinα.如圖：角eq\f(π,2)－α與角α的終邊關(guān)于y＝x對(duì)稱．【知識(shí)點(diǎn)二】公式五和公式六的理解(1)函數(shù)名稱：eq\f(π,2)±α的正弦(余弦)函數(shù)值，分別轉(zhuǎn)化為α的余弦(正弦)函數(shù)值．(2)符號(hào)：函數(shù)值前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)．(3)作用：利用誘導(dǎo)公式五或六，可以實(shí)現(xiàn)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化．(4)簡記：“函數(shù)名改變，符號(hào)看象限”．【題型探究】【類型一】利用誘導(dǎo)公式求值【例1】(1)已知角α是第四象限角，且滿足sin－3cos(α－π)＝1，則tan(π－α)是()A.eq\r(3) B．－eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3) D．－eq\f(\r(3),3)(2)若sin＝eq\f(\r(5),5)，那么cos的值為()A.eq\f(2\r(5),5) B．－eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(\r(5),5) D．－eq\f(\r(5),5)【方法歸納】解決化簡求值問題的策略1首先要仔細(xì)觀察條件式與所求式之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)它們的互補(bǔ)、互余關(guān)系.2可以將已知式進(jìn)行變形，向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形，向已知式轉(zhuǎn)化.【變式訓(xùn)練1】(1)已知cos31°＝m，則sin239°tan149°的值是()A.eq\f(1－m2,m) B.eq\r(1－m2)C．－eq\f(1－m2,m) D．－eq\r(1－m2)(2)已知cos(eq\f(π,2)＋φ)＝eq\f(\r(3),2)，且|φ|<eq\f(π,2)，則tanφ＝________.【類型二】利用誘導(dǎo)公式化簡、證明【例2】(1)化簡eq\f(cosα－π,sinπ－α)·sincos＝________.(2)證明：＝tanα.【方法歸納】三角恒等式的證明策略對(duì)于恒等式的證明，應(yīng)遵循化繁為簡的原則，從左邊推到右邊或從右邊推到左邊，也可以用左右歸一、變更論證的方法.常用定義法、化弦法、拆項(xiàng)拆角法、“1”的代換法、公式變形法，要熟練掌握基本公式，善于從中選擇巧妙簡捷的方法.【變式訓(xùn)練2】求證：＋tan2(π－x)＝1＋tan2x.【類型三】誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用【例3】已知f(α)＝.(1)化簡f(α)；(2)若α是第三象限角，且cos＝eq\f(1,5)，求f(α)的值；(3)若α＝－eq\f(31π,3)，求f(α)的值．【方法歸納】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡、求值的前提是熟記誘導(dǎo)公式一～六，上述誘導(dǎo)公式可以概括為一句口訣：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”；即把已知角統(tǒng)一寫成eq\a\vs4\al(“k·\f(π,2)＋α，k∈Z”)的形式，根據(jù)k的奇偶性選擇函數(shù)名進(jìn)行化簡.再綜合利用三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)等知識(shí)解決問題.此時(shí)注意要三看：一看角：①化大為?。虎诳唇桥c角間的聯(lián)系，可通過相加、相減分析兩角的關(guān)系.,二看函數(shù)名稱：一般是弦切互化.,三看式子結(jié)構(gòu)：通過分析式子，選擇合適的方法，如分式可對(duì)分子分母同乘一個(gè)式子變形.【變式訓(xùn)練3】已知f(α)＝eq\f(sin2π－αtanπ＋αcos－α－π,cosπ－αtan3π－α).(1)將f(α)化為最簡形式；(2)若f(α)－f＝eq\f(1,5)，且α∈(0，π)，求tanα的值．【類型四】整體代換【例4】已知cos(75°＋α)＝eq\f(1,3)，求cos(105°－α)－sin(15°－α)的值．【方法歸納】誘導(dǎo)公式的應(yīng)用中，利用互余(互補(bǔ))關(guān)系求值問題是最重要的問題之一，也是高考考查的重點(diǎn)、熱點(diǎn)，一般解題步驟如下．(1)定關(guān)系：確定已知角與所求角之間的關(guān)系，一般常見的互余關(guān)系有：eq\f(π,3)－α與eq\f(π,6)＋α；eq\f(π,3)＋α與eq\f(π,6)－α；eq\f(π,4)＋α與eq\f(π,4)－α等．常見的互補(bǔ)關(guān)系有：eq\f(π,3)＋α與eq\f(2π,3)－α；eq\f(π,4)＋α與eq\f(3π,4)－α等．(2)定公式：依據(jù)確定的關(guān)系，選擇要使用的誘導(dǎo)公式．(3)得結(jié)論：根據(jù)選擇的誘導(dǎo)公式，得到已知值和所求值之間的關(guān)系，從而得到結(jié)果．【課堂練習(xí)】1．已知sinα＝eq\f(2,3)，則cos等于()A.eq\f(2,3) B．－eq\f(2,3)C.eq\f(\r(5),3) D．－eq\f(\r(5),3)2.＝()A．tanα B．－tanαC．1 D．－13．已知sin(eq\f(π,6)－θ)＝eq\f(1,3)，則cos(eq\f(π,3)＋θ)等于________.4．已知cosα＝eq\f(1,5)，且α為第四象限角，那么cos(α＋eq\f(5π,2))等于_________.5．化簡eq\r(1＋2sin\f(π,2)－2·cos\f(π,2)＋2).【課堂小結(jié)】1．學(xué)習(xí)了本節(jié)知識(shí)后，連同前面的誘導(dǎo)公式可以統(tǒng)一概括為“k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)”的誘導(dǎo)公式．當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，得α的同名函數(shù)值；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，得α的異名函數(shù)值，然后前面加一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)．2．誘導(dǎo)公式反映了各種不同形式的角的三角函數(shù)之間的相互關(guān)系，并具有一定的規(guī)律性，“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，是記住這些公式的有效方法．3．誘導(dǎo)公式是三角變換的基本公式，其中角α可以是一個(gè)單角，也可以是一個(gè)復(fù)角，應(yīng)用時(shí)要注意整體把握、靈活變通．【參考答案】【例1】(1)A(2)D【解析】(1)由sin－3cos(α－π)＝1，得－cosα＋3cosα＝1，即cosα＝eq\f(1,2)，因?yàn)榻铅潦堑谒南笙藿牵詓inα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(\r(3),2).所以tan(π－α)＝－tanα＝－eq\f(sinα,cosα)＝eq\r(3).(2)由題意可得cos＝sin＝sin＝－sin＝－eq\f(\r(5),5).【變式訓(xùn)練1】(1)B解析：sin239°tan149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cos31°(－tan31°)＝sin31°＝eq\r(1－m2).(2)－eq\r(3).解析：∵cos(eq\f(π,2)＋φ)＝－sinφ＝eq\f(\r(3),2)，∴sinφ＝－eq\f(\r(3),2).∵|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝－eq\f(π,3)，∴tanφ＝tan(－eq\f(π,3))＝－taneq\f(π,3)＝－eq\r(3).【例2】【答案】(1)－cos2α(2)見解析【解析】(1)原式＝eq\f(cos[－π－α],sinα)·sin(－sinα)＝eq\f(cosπ－α,sinα)·(－sinα)＝eq\f(－cosα,sinα)·(－cosα)(－sinα)＝－cos2α.(2)證明：左邊＝＝eq\f(－tanα－sinαcosα,cosαsinα)＝tanα＝右邊，所以原式成立．【變式訓(xùn)練2】證明：左邊＝＋tan2x＝＋tan2x＝eq\f(cosx·tanx,sinx)＋tan2x＝1＋tan2x＝右邊．故原式得證．【例3】【解】(1)f(α)＝＝eq\f(－sinα·cosα·－cosα,－cosα·sinα)＝－cosα.(2)因?yàn)閏os＝－sinα，所以sinα＝－eq\f(1,5)，又α是第三象限角，所以cosα＝－＝－eq\f(2\r(6),5).所以f(α)＝eq\f(2\r(6),5).(3)因?yàn)椋璭q\f(31π,3)＝－6×2π＋eq\f(5π,3)，所以f＝－cos＝－cos＝－coseq\f(5π,3)＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2)，所以f(α)＝－eq\f(1,2).【變式訓(xùn)練3】解：(1)f(α)＝eq\f(－sinαtanα－cosα,－cosα－tanα)＝sinα.(2)f(α)－f＝sinα－sin＝sinα＋cosα＝eq\f(1,5)①.兩邊平方可得1＋2sinαcosα＝eq\f(1,25)，2sinαcosα＝－eq\f(24,25)<0，又α∈(0，π)，所以α∈，sinα－cosα>0，(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝eq\f(49,25)，所以sinα－cosα＝eq\f(7,5)②.由①②可得：sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝－eq\f(3,5)，所以tanα＝－eq\f(4,3).【例4】解：cos(105°－α)－sin(15°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]－sin[90°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－eq\f(2,3).【課堂練習(xí)】1．A解析：cos＝sinα＝eq\f(2,3)，故選A.2．C解析：＝eq\f(cosα,cosα)＝1.故選C.3．eq\f(1,3).解析：cos＝cos＝sin(eq\f(π,6)－θ)＝eq\f(1,3).4．eq\f(2\