4.1 不等式的性質(zhì)與解集

第四章：不等式及應(yīng)用第4章不等式及應(yīng)用引言

現(xiàn)實世界是豐富多彩的，反映在數(shù)量上除了等量關(guān)系外，還有不等量關(guān)系。我們考察事物，經(jīng)常要進(jìn)行大小多少、輕重、長短的比較。在數(shù)學(xué)中，就要用不等式的知識來研究這類問題。有這樣一個問題：紅蘋果鞋廠產(chǎn)品研發(fā)部準(zhǔn)備開發(fā)一款新式皮鞋，預(yù)測售價500元/雙，原材料、人工等成本285元/雙，機器、廠房、水電費等分?jǐn)傉叟f成本為每月45000元，稅收為售價的6%，試問：每月至少銷售多少雙這種皮鞋才能不虧損？這類問題在經(jīng)濟(jì)活動中很常見，可用不等式的知識來解決！引言§4.1不等式的性質(zhì)與解集第4章不等式及應(yīng)用1.理解不等式的有關(guān)概念2.掌握實數(shù)大小的基本性質(zhì)和不等式的重要性質(zhì)3.明確不等式與集合的聯(lián)系,理解區(qū)間的概念4.會用區(qū)間記法表示不等式的解學(xué)習(xí)目標(biāo)內(nèi)容提要不等式的性質(zhì)與解集不等式的概念與性質(zhì)不等式的解集與區(qū)間1.不等式的有關(guān)概念

用不等號連接兩個算式的式子叫做不等式不等號:

表示兩個量之間大小關(guān)系的記號;

如“≥”;“≤”;“＞”;“＜”;“≠”.例如：6>2；ａ≥ｂ；ｘ≠7；

α2＋β2≤1等都是不等式.4.1.1不等式的概念與性質(zhì)2.實數(shù)的大小關(guān)系

（1）實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序間的關(guān)系

數(shù)軸法：沿數(shù)軸箭頭方向的實數(shù)越來越大

比差法：任意兩個實數(shù)a和b，具有如下基本性質(zhì)ａ－ｂ＞0ａ－ｂ=0ａ－ｂ＜0ａ＝ｂａ＜ｂａ＞ｂ4.1.1不等式的概念與性質(zhì)舉例例：比較下列各組中的兩個實數(shù)的大?。?）（2）

解：（1）∵＜0，

∴

（2）∵＞0，

.∴4.1.1不等式的概念與性質(zhì)實數(shù)的大小關(guān)系.4.1.1不等式的概念與性質(zhì)想一想，練一練比較下列各組中兩個實數(shù)的大小:(1)(2)（2）不等式的性質(zhì)◆性質(zhì)1(對稱性)

如果ａ＞ｂ,那么ｂ＜ａ;

如果ｂ＜ａ,那么ａ＞ｂ.

例如，5>3則3<5；2<7則7>2．4.1.1不等式的概念與性質(zhì)（2）不等式的性質(zhì)◆性質(zhì)2(傳遞性)

如果ａ＞ｂ,且ｂ＞ｃ,那么ａ＞ｃ.例如，21>13且13>9，則21>9．推論：如果ｃ＜ｂ,且ｂ＜ａ,那么ｃ＜ａ.4.1.1不等式的概念與性質(zhì)（2）不等式的性質(zhì)◆性質(zhì)3(加法法則)

如果ａ＞ｂ,那么ａ+ｃ＞ｂ+ｃ

推論：如果ａ>ｂ,且ｃ>ｄ,那么ａ+ｃ>ｂ+ｄ

例如，7>4，那么7+3>4+3,7－3>4－3推論例如,7>4且3>1,顯然有7+3>4+1.4.1.1不等式的概念與性質(zhì)（2）不等式的性質(zhì)◆性質(zhì)4(乘法法則)

如果ａ>ｂ,且ｃ>0,那么ac>bc;

如果ａ>ｂ,且ｃ<0,那么ac<bc

例如，6>2，顯然有6×3>2×3,6×(－3)<2×(－3)．

4.1.1不等式的概念與性質(zhì)（2）不等式的性質(zhì)◆性質(zhì)4(乘法法則)

推論推論1：如果ａ>ｂ>0,ｃ>ｄ>0,那么ac>bd.

推論２

如果ａ>ｂ>0,那么

你能用實例說明這兩個推論嗎？4.1.1不等式的概念與性質(zhì)（2）不等式的性質(zhì)

◆性質(zhì)5(開方性質(zhì))如果ａ>ｂ>0,那么

例如，9>4>0,顯然有

4.1.1不等式的概念與性質(zhì)

舉例例＊已知a>ｂ，c<ｄ，求證ａ-ｃ>ｂ-ｄ．證明:由ａ>ｂ知ａ-ｂ>0.

由ｃ<ｄ知ｄ-ｃ>0.∵(ａ-ｃ)-(ｂ-ｄ)=(ａ-ｂ)+(ｄ-ｃ)>0,∴ａ-ｃ>ｂ-ｄ.4.1.1不等式的概念與性質(zhì)不等式的性質(zhì)

舉例例＊已知a>ｂ＞0，c<0，求證

4.1.1不等式的概念與性質(zhì)不等式的性質(zhì)證明:由ａ>ｂ＞0，

兩邊同乘以正數(shù)

又ｃ<0,∴即得：

4.1.2不等式的解集與區(qū)間1．不等式的解集◆(1)

在含有未知數(shù)的不等式中，能使不等式成立的未知數(shù)值的全體所構(gòu)成的集合，叫做不等式的解集.

4.1.2不等式的解集與區(qū)間1．不等式的解集◆(2)不等式解集的表示法

①集合的描述法:

例如:

不等式ｘ-6<0的解集可表示為｛ｘ｜ｘ<6｝

②區(qū)間表示法

4.1.2不等式的解集與區(qū)間2．區(qū)間的概念◆（１）有限區(qū)間設(shè)ａ、ｂ為任意兩個實數(shù),且ａ<ｂ①

滿足不等式ａ≤ｘ≤ｂ的全體實數(shù)ｘ的集合

{x|ａ≤ｘ≤ｂ},叫做閉區(qū)間,記做［ａ,ｂ］

②

滿足不等式ａ<ｘ<ｂ的全體實數(shù)ｘ的集合

{x|ａ<ｘ<ｂ},叫做開區(qū)間,記做(ａ,ｂ)

4.1.2不等式的解集與區(qū)間2．區(qū)間的概念◆（１）有限區(qū)間設(shè)ａ、ｂ為任意兩個實數(shù),且ａ<ｂ③

滿足不等式ａ≤ｘ<ｂ的全體實數(shù)ｘ的集合{x|ａ≤ｘ<ｂ},叫做右半開區(qū)間,記做［ａ,ｂ)

④滿足不等式ａ<ｘ≤ｂ的全體實數(shù)ｘ的集合{x|ａ<ｘ≤ｂ},叫做左半開區(qū)間,記做(ａ,ｂ］

4.1.2不等式的解集與區(qū)間2．區(qū)間的概念◆（１）有限區(qū)間設(shè)ａ、ｂ為任意兩個實數(shù),且ａ<ｂ以上區(qū)間［ａ,ｂ］(ａ,ｂ)稱為有限區(qū)間,(ａ,ｂ］其中a、b稱為區(qū)間的端點;在數(shù)軸上，上述區(qū)間都可以用以a、b為端點的線段表示，（如下圖所示）區(qū)間端點間的距離稱為區(qū)間長.［ａ,ｂ)

4.1.2不等式的解集與區(qū)間2．區(qū)間的概念xba區(qū)間［ａ,ｂ］xbaxbaxba區(qū)間（ａ,ｂ）區(qū)間［ａ,ｂ）區(qū)間（ａ,ｂ］有限區(qū)間

4.1.2不等式的解集與區(qū)間2．區(qū)間的概念◆（2）無限區(qū)間——區(qū)間概念的推廣

數(shù)集｛ｘ｜ｘ≥ａ｝記作［ａ,+∞);

數(shù)集｛ｘ｜ｘ>ａ｝記作(ａ,+∞);

數(shù)集｛ｘ｜ｘ≤a｝記作(-∞,a];

數(shù)集｛ｘ｜ｘ<a｝記作(-∞,a);

數(shù)集Ｒ,記作(-∞,+∞).

4.1.2不等式的解集與區(qū)間2．區(qū)間的概念在數(shù)軸上，上述區(qū)間可如下圖表示：無限區(qū)間Xa區(qū)間［ａ,＋∞）Xa區(qū)間（ａ,＋∞）Xa區(qū)間(-∞,a]Xa區(qū)間(-∞,a)

4.1.2不等式的解集與區(qū)間溫馨提示在使用區(qū)間記號的時候，左端點的數(shù)值要小于右端點的數(shù)值．

4.1.2不等式的解集與區(qū)間舉例

例1

用區(qū)間記法表示下列不等式的解集:（1）－4≤x≤4(2)2<ｘ<7;(3)ｘ>3;(4)ｘ≤－(5)ｘ≥－(6)ｘ<2.

4.1.2不等式的解集與區(qū)間舉例

例1

用區(qū)間記法表示下列不等式的解集:(答案）可表示為(－∞,－];

解:(1)-4≤ｘ≤6可表示為[-4,6];(2)2<ｘ<7可表示為(2,7);(3)ｘ>3可表示為(3,+∞);(4)ｘ≤－(5)ｘ≥－可表示為[－,+∞);(6)ｘ<2可表示為(－∞,2)

4.1.2不等式的解集與區(qū)間舉例

例2

用集合描述法表示下列區(qū)間:（1）[-2,3];(2)(-3,4);(3)[1,7);(4)(－];(5)(-∞,9];(6)(1,+∞).

4.1.2不等式的解集與區(qū)間舉例

例2

用集合描述法表示下列區(qū)間（答案）:解：（1）[-2,3]可表示為｛ｘ｜-2≤ｘ≤3｝

;(2)(-3,4)可表示為｛ｘ｜-3<ｘ<4｝

;(3)[1,7)可表示為｛ｘ｜1≤ｘ<7｝

;(4)(－]可表示為｛ｘ｜｝

;(5)(-∞,9]可表示為｛ｘ｜ｘ≤9｝

;(6)(1,+∞)可表示為｛ｘ｜ｘ>1｝

.

4.1.2不等式的解集與區(qū)間舉例

例3*寫出下列不等式組的解集并用區(qū)間表示解（1）不等式的解集為：用區(qū)間表示為解：（2）不等式的解集為：用區(qū)間表示為：4.1.2不等式的解集與區(qū)間想一想，練一練1.用區(qū)間記法表示下列不等式的解集:(1)｛ｘ｜ｘ