河北省石家莊市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題含答案

石家莊市2022~2023學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測高一數(shù)學(xué)注意事項：本試卷分為第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名準(zhǔn)考證號、考試科目寫在答題卡上.第I卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知全集，，，則如圖所示的陰影部分表示的集合是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分析韋恩圖可知，其陰影部分所表示的集合為，再利用集合的交并補(bǔ)運算即可得解.【詳解】分析韋恩圖可知，其陰影部分所表示的集合為，因為，，所以，因為，所以.故選：D.2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題從存在量詞的否定為全稱量詞出發(fā)即可得出答案.【詳解】存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，即先將量詞“"改成量詞“”,再將結(jié)論否定，該命題的否定是“”.故選：B.3.函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，解不等式可得答案．【詳解】令，解得，故定義域為.故選：B.4.已知角的終邊經(jīng)過點，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三角函數(shù)的定義即可得解.【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，所以.故選：A.5.設(shè)，，，則（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定的范圍，進(jìn)而比較大小可得答案.【詳解】因為在上單調(diào)遞增，所以，即；因為在上單調(diào)遞增，所以，因為在上單調(diào)遞減，所以，所以.故選：D．6.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先判斷函數(shù)奇偶性，排除A、D選項，再根據(jù)排除B選項，即可得結(jié)果.【詳解】函數(shù)定義域為,且，所以為偶函數(shù)，排除A、D選項；因為，所以排除B，故選：C.7.數(shù)學(xué)中常用記號表示p，q兩者中較大的一個，用表示p，q兩者中較小的一個，若函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，則t的值為（）A. B.2 C. D.1【答案】D【解析】【分析】先分析與的圖象性質(zhì)，再在同一個坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可分析得的圖象關(guān)于直線對稱，從而求得值．【詳解】對于，易得其圖象關(guān)于軸對稱；對于，易得其圖象關(guān)于對稱；如圖，在同一個坐標(biāo)系中做出兩個函數(shù)與的圖象，

則函數(shù)的圖象為兩個圖象中較低的一個，結(jié)合圖象可知的圖象關(guān)于直線對稱，所以要使函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，故．故選：D.8.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的單調(diào)性，分段討論的單調(diào)性，從而得到，再由在上的單調(diào)性得處有，從而得到，由此得解.【詳解】因為在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以，即；同時，在處，，即，即，因為，所以，即，解得或（舍去），綜上：，即.故選：B.二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分）9.已知函數(shù)圖象經(jīng)過點，則下列命題正確的有（）A.函數(shù)為奇函數(shù)B.函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)C.若，則D.若，則【答案】AC【解析】【分析】將點代入函數(shù)得到，利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷A，舉反例可判斷BD，利用作差法可判斷D.【詳解】因為圖象經(jīng)過點，所以，即，則，對于A，易得的定義域為，關(guān)于原點對稱，又，所以為奇函數(shù)，故A正確；對于B，，函數(shù)不是減函數(shù)，故B錯誤；對于C，因為，所以，即，故C正確.對于D，，故D錯誤；故選：AC.10.成立的充分不必要條件可以是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】先求得的等價條件，再利用充分不必要條件的性質(zhì)得到集合的包含關(guān)系，從而得解.【詳解】令，，由得，故，若是成立的充分不必要條件，則是的真子集，對于A，不是的真子集，故A錯誤；對于B，是的真子集，故B正確；對于C，是的真子集，故C正確；對于D，不是的真子集，故D錯誤；故選：BC.11.下列函數(shù)中以為周期的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】對于ABD，利用三角函數(shù)的性質(zhì)以及周期公式逐一判斷即可；對于C，舉例子證明不是周期函數(shù)即可判斷.【詳解】對于A，，則，故A正確；對于B，，則，所以不以為周期，故B錯誤；對于C，因為，所以，，所以至少存在，使得，所以不是以為周期的周期函數(shù)，故C錯誤；對于D，，則，故D正確.故選：AD.12.已知正數(shù)x、y，滿足，則下列說法正確的是（）A.xy的最大值為1 B.的最大值為2C.最小值為 D.的最小值為1【答案】ABD【解析】【分析】對于AB，利用基本不等式及其推論即可判斷；對于CD，利用換元法與基本不等式“1”的妙用即可判斷.【詳解】對于A，因為，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時，等號成立，所以xy的最大值為1，故A正確；對于B，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時，等號成立，所以的最大值為2，故B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時等號成立，所以的最小值為，故C錯誤；對于D，令，，則，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，即時，等號成立，所以的最小值為1，故D正確.故選：ABD.【點睛】方法點睛：在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知，，則__________.【答案】【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)求解.【詳解】∵，∴，∵，∴，.故答案為：.14.斐波那契螺旋線被稱為自然界最完美的“黃金螺旋”，它的畫法是：以斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8……為邊長的正方形按如圖的方式拼成長方形，并以每個正方形的某一頂點為圓心畫一個圓心角為的圓弧，這些圓弧連成的弧線被稱為斐波那契螺旋線，圖中的弧線就是斐波那契螺旋線的前一部分，則陰影部分的面積與矩形ABCD的面積之比為________．【答案】##【解析】【分析】由圓的面積公式和矩形的面積公式，分別求得其面積，即可得解.【詳解】由題意知，矩形的面積為，而陰影部分的面積為，所以陰影部分的面積與矩形的面積之比為.故答案為：.15.已知函數(shù)在區(qū)間上有零點，則實數(shù)m取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】先利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷得在上都單調(diào)遞增，再利用零點存在定理得到，解之即可得解.【詳解】因為與在上都單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因為在區(qū)間上有零點，所以，即，即，解得，所以實數(shù)m的取值范圍為.故答案為：.16.已知是偶函數(shù)，則________，的最小值為________．【答案】①.②.【解析】【分析】先利用函數(shù)奇偶性的定義可求得實數(shù)的值，從而得到，再利用基本不等式即可推得，由此得解.【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，所以，由的任意性可得，故，所以，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，即，所以，即的最小值為.故答案為：；.四、解答題（本大題共6道小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知，且，求的值．【答案】【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系得，再結(jié)合同角三角函數(shù)的商的關(guān)系求出的值，代入計算即可.【詳解】設(shè),,那么,從而.于是.因為,所以.由,得.所以,所以.，則.18.已知全集為，集合，．（1）若，求集合；（2）請在①“”是“”的充分條件，②，③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題的橫線上，并完成問題解答．若________，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）或（2）或.【解析】【分析】（1）直接根據(jù)集合的補(bǔ)集以及交集的定義計算即可；（2）若選①，則可知，列出相應(yīng)的不等式，解得答案；若選②，求出，再根據(jù)集合的交集運算，列出相應(yīng)的不等式，解得答案；若選③，根據(jù)集合的并集運算，列出相應(yīng)的不等式，解得答案；【小問1詳解】集合或，集合，若，所以或所以或.【小問2詳解】若選①“”是“”的充分條件，則，即或，所以或，或；若選②，所以或或若選③，，則或，或.19.設(shè)（，且）其圖象經(jīng)過點，又的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱．（1）若在區(qū)間上的值域為，且，求c的值；（2）若，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將點代入解析式，即可求出，根據(jù)其單調(diào)性得，則，解出即可；（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系得，則有，則.【小問1詳解】因為（，且）的圖象經(jīng)過點，所以，所以，所以，所以，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，因為，所以，所以，即，解得.【小問2詳解】的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱，，若，則，，所以，所以.20.已知函數(shù)的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為．（1）求的解析式和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上值域．【答案】（1），單調(diào)增區(qū)間為.（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)得出的值，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出函數(shù)在區(qū)間上的值域.小問1詳解】因為相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以的最小正周期，所以，，則，，又因為當(dāng)，時函數(shù)單調(diào)遞增，即，,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；【小問2詳解】（2）當(dāng)時，，所以所以函數(shù)在區(qū)間的值域為.21.酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為，為了保障交通安全，根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：血液中酒精含量達(dá)到的駕駛員即為酒后駕車，及以上認(rèn)定為醉酒駕車．假設(shè)人在喝一定量的酒后，如果停止喝酒，血液中的酒精含量會以每小時p的比率減少．現(xiàn)有駕駛員甲乙兩人喝了一定量的酒后，測試他們血液中的酒精含量均上升到了．（運算過程保留4位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，．．，）（1）若駕駛員甲停止喝酒后，血液中酒精含量每小時下降比率為，則駕駛員甲至少要經(jīng)過多少個小時才能合法駕駛？（最后結(jié)果取整數(shù)）（2）駕駛員乙在停止喝酒5小時后駕車，卻被認(rèn)定為酒后駕車，請你結(jié)合（1）的計算，從數(shù)學(xué)角度給駕駛員乙簡單分析其中的原因，并為乙能夠合法駕駛提出合理建議；（3）駕駛員乙聽了你的分析后，在不改變飲酒量的條件下，在停止飲酒后6小時和7小時各測試一次并記錄結(jié)果，經(jīng)過一段時間觀察，乙發(fā)現(xiàn)自己至少要經(jīng)過7個小時才能合法駕駛．請你幫乙估算一下：他停止飲酒后，血液中酒精含量每小時減少比率的取值范圍．（最后結(jié)果保留兩位小數(shù)）【答案】（1）駕駛員甲至少要經(jīng)過個小時才能合法駕駛（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到，利用對數(shù)運算法則與換底公式運算即可得解；（2）根據(jù)（1）中計算結(jié)果，給予駕駛員乙合理的建議即可；（3）設(shè)駕駛員乙停止喝酒后，血液中酒精含量每小時下降比率為，根據(jù)題意得到關(guān)于的不等式組，解之即可.【小問1詳解】根據(jù)題意，駕駛員甲停止喝酒后，經(jīng)過t小時后，體內(nèi)的酒精含量為，只需，即，所以，可得，取整數(shù)為時，滿足題意.所以駕駛員甲至少要經(jīng)過個小時才能合法駕駛.【小問2詳解】因為駕駛員乙在停止喝酒5小時后駕車，卻被認(rèn)定為酒后駕車，說明駕駛員乙血液中的酒精含量每小時下降比率比駕駛員甲小，所以駕駛員乙在停止喝酒5小時后其血液中的酒精含量大于國家有關(guān)規(guī)定的含量，故此，建議駕駛員乙在停止飲酒后的若干個小時進(jìn)行測試其血液中的酒精含量，從而確定自己停止飲酒后需要經(jīng)過多少小時，才能合法駕駛.【小問3詳解】設(shè)駕駛員乙停止喝酒后，血液中酒精含量每小時下降比率為，則經(jīng)過小時后，駕駛員乙體內(nèi)的酒精含量為，根據(jù)題意可知，駕駛員乙在停止喝酒6小時后其血液中的酒精含量仍不達(dá)標(biāo)，在7小時后其血液中的酒精含量達(dá)標(biāo)