廣東省佛山市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題含答案

2023~2023學(xué)年上學(xué)期佛山市普通高中教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)高一數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由集合并集的定義即可求.【詳解】由集合并集的定義可得，.故選：A2.已知命題，是無(wú)理數(shù)．則的否定是（）A.，是有理數(shù) B.，是有理數(shù)C.，是有理數(shù) D.，是有理數(shù)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱(chēng)命題的否定可直接得到結(jié)果.【詳解】由全稱(chēng)命題的否定知，命題，是無(wú)理數(shù)的否定是：，是有理數(shù).故選：D.3.已知，則“”是“點(diǎn)在第一象限內(nèi)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】結(jié)合三角函數(shù)的想先符號(hào)判斷即可.【詳解】若，則在第一或三象限，則或，則點(diǎn)在第一或三象限，若點(diǎn)在第一象限，則，則.故“”是“點(diǎn)在第一象限內(nèi)”的必要不充分條件.故選：B4.在某個(gè)時(shí)期，某湖泊中的藍(lán)藻每天以的增長(zhǎng)率呈指數(shù)增長(zhǎng)，已知經(jīng)過(guò)天以后，該湖泊的藍(lán)藻數(shù)大約為原來(lái)的倍，那么經(jīng)過(guò)天后該湖泊的藍(lán)藻數(shù)大約為原來(lái)的（）A.18倍 B.倍 C.倍 D.倍【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造指數(shù)函數(shù)模型，計(jì)算即可.【詳解】某湖泊中的藍(lán)藻每天以的增長(zhǎng)率呈指數(shù)增長(zhǎng)，經(jīng)過(guò)30天以后，該湖泊的藍(lán)藻數(shù)大約為原來(lái)的6倍，設(shè)湖泊中原來(lái)藍(lán)藻數(shù)量為，則，經(jīng)過(guò)60天后該湖泊的藍(lán)藻數(shù)量為：經(jīng)過(guò)60天后該湖泊的藍(lán)藻數(shù)大約為原來(lái)的36倍.故選：C.5.函數(shù)的大致圖像是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先判斷函數(shù)奇偶性，再判斷趨近于時(shí)函數(shù)值的大小.【詳解】,故函數(shù)為奇函數(shù)，故排除A、C;當(dāng)趨近于，則趨近于0，則趨近于，又在趨于時(shí)增速遠(yuǎn)比快，故趨近于0，故當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0，故排除D;故選：B6.甲、乙分別解關(guān)于x的不等式．甲抄錯(cuò)了常數(shù)b，得到解集為；乙抄錯(cuò)了常數(shù)c，得到解集為．如果甲、乙兩人解不等式的過(guò)程都是正確的，那么原不等式解集應(yīng)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)韋達(dá)定理求得參數(shù)b、c，解不等式即可.【詳解】由韋達(dá)定理得，即，故不等式為，解集為.故選：A7.定義在上的函數(shù)滿足：是偶函數(shù)，且函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像共有n個(gè)交點(diǎn)：，，…，，則（）A.0 B.n C.2n D.4n【答案】C【解析】【分析】觀察解析式得兩個(gè)函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸均為，則交點(diǎn)也對(duì)稱(chēng).【詳解】是偶函數(shù)，則，則關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，又也關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)兩兩關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則,故選：C.8.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】對(duì)對(duì)數(shù)同步升冪，利用將對(duì)數(shù)變形，再利用中間值比較大小.【詳解】，，故；，，故；故，故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.已知，，則（）A.的取值范圍為 B.的取值范圍為C.ab的取值范圍為 D.的取值范圍為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)依次討論各選項(xiàng)即可得答案;【詳解】解：因?yàn)?，，所以，，，所以，的取值范圍為，的取值范圍為，故A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以，，，，所以，ab的取值范圍為，的取值范圍為故C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC10.在直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】對(duì)ABC，由三角函數(shù)定義即可列式求解；對(duì)D，由正切倍角公式可求解判斷.【詳解】對(duì)A，由終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)得，A對(duì)；對(duì)BC，由得，，B對(duì)C錯(cuò)；對(duì)D，，解得，D錯(cuò).故選：AB11.取整函數(shù)的函數(shù)值表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如：，，則（）A.， B.，C.，， D.，【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)取整函數(shù)，設(shè)，，進(jìn)而依次討論各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)，，，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)，，故，，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)，即，所以，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)當(dāng)時(shí)，，；所以，，，故D正確．故選：ABD12.已知函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)C，由零點(diǎn)存在定理判斷端點(diǎn)；對(duì)AB，由函數(shù)單調(diào)性判斷不等式；對(duì)D，由對(duì)數(shù)運(yùn)算形式分別得，，（），結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可得，即可判斷.【詳解】對(duì)C，，，，，由零點(diǎn)存在定理得，函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)，C對(duì).對(duì)AB，由解析式知，、均為增函數(shù)，則，，A錯(cuò)B對(duì)；對(duì)D，.，令，則即.∵是增函數(shù)，故，D對(duì).故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.______．【答案】【解析】【分析】運(yùn)用指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】，故答案為：14.用一根長(zhǎng)度為4m的繩子圍成一個(gè)扇形，當(dāng)扇形面積最大時(shí)，其圓心角為_(kāi)_____弧度．【答案】2【解析】【分析】由題意得，結(jié)合基本不等式得，代入面積方程可計(jì)算面積的最大值，結(jié)合取等情況可得圓心角大小.【詳解】由題意得，則，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值1，圓心角，故答案為：2.15.寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿足下列性質(zhì)①②③的函數(shù)解析式：______．①定義域?yàn)?；②值域?yàn)?；③是奇函?shù)．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)三個(gè)性質(zhì)，寫(xiě)出符合條件的函數(shù)即可.【詳解】如，定義域?yàn)椋?，因?yàn)椋?，，又，故是奇函?shù)．故答案為：（答案不唯一）16.若實(shí)數(shù)滿足，，則的最大值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】由基本不等式求出，變形得到，求出，從而求出的最大值.詳解】由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，解得：，又因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得：，因，所以，所以，即，所以，所以，故的最大值是.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知集合，，其中．（1）若，求的取值范圍；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解一元二次不等式可求得集合；根據(jù)交集結(jié)果可知，分別在和的情況下解不等式求得結(jié)果；（2）分別在和的情況下，求得時(shí)的范圍，取補(bǔ)集即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由得：，即；，；當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，由得：，解得：；綜上所述：實(shí)數(shù)取值范圍為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知：；當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，或，解得：；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.18.從①，②，③，三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，再回答后面兩個(gè)小問(wèn)．已知，且滿足______．（1）判斷是第幾象限角；（2）求值：．【答案】（1）是第二象限角（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）選擇①②由平方關(guān)系可得，結(jié)合可得，由此可知是第二象限角，選擇③利用誘導(dǎo)公式結(jié)合正切值的符號(hào)求解即可；（2）選擇①②由平方關(guān)系求解的值即可求解；選擇③利用同角三角函數(shù)關(guān)系及齊次式即可求解.【小問(wèn)1詳解】選擇①：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，進(jìn)而可得，由此可知是第二象限角．選擇②：因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，進(jìn)而可得，由此可知是第二象限角．選擇③因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以是第二象限．【小?wèn)2詳解】選擇①：由（1）得，所以，又由，，可知，所以，與聯(lián)立解得，，所以.選擇②：由（1）得，所以，所以，與聯(lián)立解得，所以．選擇③：因?yàn)槭堑诙笙藿牵?，又因?yàn)?，，所?9.已知函數(shù)．（1）若，求的值；（2）若對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分別在和的情況下解方程即可求得結(jié)果；（2）由單調(diào)性可知；當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，可知；當(dāng)時(shí)，分離變量可得，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，由此可得的范圍.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，由得：，解得：，又，，則；綜上所述：.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則；當(dāng)時(shí)，，則，則；當(dāng)時(shí)，，，，解得：；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.20.已知是奇函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)的值．（2）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義加以證明．【答案】（1），（2）在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)得，進(jìn)而得，解方程即可得，再根據(jù)得，再檢驗(yàn)成立即可；（2）當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)的定義域?yàn)?，由題知，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，，即，故．由于，，所以，即，故．當(dāng)，時(shí)，，，所以是奇函數(shù)，所以，，．【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)時(shí)，．在區(qū)間上單調(diào)遞增，理由如下：證法一：，，且，所以，，因?yàn)?，，，所以，即．進(jìn)而有，即．所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增．證法二：，，且，有．因?yàn)?，，，，，所以，進(jìn)而有，即．所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增．21.黨的二十大報(bào)告強(qiáng)調(diào)，要加快建設(shè)交通強(qiáng)國(guó)、數(shù)字中國(guó)．專(zhuān)家稱(chēng)數(shù)字交通讓出行更智能、安全、舒適．研究某市場(chǎng)交通中，道路密度是指該路段上一定時(shí)間內(nèi)通過(guò)的車(chē)輛數(shù)除以時(shí)間，車(chē)輛密度是該路段一定時(shí)間內(nèi)通過(guò)的車(chē)輛數(shù)除以該路段的長(zhǎng)度，現(xiàn)定義交通流量為，x為道路密度，q為車(chē)輛密度，已知當(dāng)?shù)缆访芏葧r(shí)，交通流量，其中．（1）求a的值；（2）若交通流量，求道路密度x的取值范圍；（3）求車(chē)輛密度q的最大值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由題，待定系數(shù)解方程即可得答案；（2）根據(jù)題意，解不等式即可得答案；（3）由題知，進(jìn)而分段研究最值即可得答案；【小問(wèn)1詳解】解：依題意，，即，故正數(shù),所以，a的值為.【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，F(xiàn)最大為，故的解集為空集；當(dāng)時(shí)，由，解得，即所以，交通流量，道路密度x的取值范圍為．【小問(wèn)3詳解】解：依題意，，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由于，所以，當(dāng)時(shí)，q取得最大值．因?yàn)?，所以?chē)輛密度q的最大值為．22.已知，，其中且．（1）若，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）用表示中的最大者，設(shè)，討論零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)值域可知，結(jié)合且可得結(jié)果；（2）當(dāng)或時(shí)，由（1）可知無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由，結(jié)合可知恰有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)和時(shí)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可確定的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【小問(wèn)1詳解】對(duì)，恒成立，，解得：，又且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小問(wèn)2詳解】①若或，則由（1）知：恒成