清單05 函數(shù)概念與性質（11個考點梳理題型解讀提升訓練）（原卷版）

清單05函數(shù)概念與性質（11個考點梳理+題型解讀+提升訓練）【知識導圖】【考點分布圖】【知識清單】（一）函數(shù)的概念和圖象1、函數(shù)與映射的概念函數(shù)映射兩集合設A，B是非空的實數(shù)集設A，B是非空的集合A，B對應關系f：A→B如果按照某種對應關系f，使對于集合A中的每一個實數(shù)x，在集合B中都有唯一的實數(shù)y和它對應如果按某一個確定的對應關系f，使對于集合A中的每一個元素，在B中都有唯一的元素與之對應定義稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)稱對應為從集合A到集合B的映射記法y＝f(x)，x∈A映射f：A→B提醒：映射實質是一對一或多對一，函數(shù)是特殊的映射．2、函數(shù)的有關概念(1)函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{y|y＝f(x)，x∈A}稱為函數(shù)的值域．顯然，值域是集合B的子集．(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應關系．(3)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)．3、函數(shù)的圖象將自變量的一個值作為橫坐標，相應的函數(shù)值作為縱坐標，就得到坐標平面上的一個點.當自變量取遍函數(shù)定義域A的每一個值時，就得到一系列這樣的點.所有這些點組成的集合（點集）為，所有這些點組成的圖形就是函數(shù)的圖象.（二）函數(shù)的表示法（1）表示函數(shù)的常用方法有：解析法、圖象法、列表法．提醒：兩個函數(shù)的值域和對應關系相同，但兩個函數(shù)不一定相同，例如，函數(shù)f(x)＝|x|，x∈[0,2]與函數(shù)f(x)＝|x|，x∈[－2,0]．（2）分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內，對于定義域內的不同取值區(qū)間，有著不同的對應關系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．分段函數(shù)雖然由幾部分組成，但它表示的是一個函數(shù)．提醒：分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．（三）函數(shù)的單調性4、單調函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為，區(qū)間，如果對于區(qū)間I內的任意兩個值x1，x2當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)當x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是減函數(shù)單調區(qū)間I是y＝f(x)的增區(qū)間I是y＝f(x)的減區(qū)間圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的5、提醒：(1)單調區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用不等式或集合表示．(2)有多個單調區(qū)間應分別寫，不能用符號“∪”連接，也不能用“或”連接，只能用“逗號”或“和”連接．6、函數(shù)的最值設函數(shù)y＝f(x)的定義域為A，存在x0∈A，使得對于任意的，都有，那么稱為y＝f(x)的最大值，記為；設函數(shù)y＝f(x)的定義域為A，存在x0∈A，使得對于任意的，都有，那么稱為y＝f(x)的最小值，記為7、函數(shù)單調性的結論(1)?x1，x2∈D(x1≠x2)，?f(x)在D上是增函數(shù)；?f(x)在D上是減函數(shù)．(2)對勾函數(shù)y＝x＋eq\f(a,x)(a＞0)的增區(qū)間為(－∞，－eq\r(a)]和[eq\r(a)，＋∞)，減區(qū)間為[－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a)]．(3)當f(x)，g(x)都是增(減)函數(shù)時，f(x)＋g(x)是增(減)函數(shù)．的單調性呢？(4)若k＞0，則kf(x)與f(x)單調性相同；若k＜0，則kf(x)與f(x)的單調性相反．(5)函數(shù)y＝f(x)在公共定義域內與的單調性相反．(6)復合函數(shù)y＝f[g(x)]的單調性與函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的單調性關系是“同增異減”．8、函數(shù)最值存在的兩個結論(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值．(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大(小)值．（四）函數(shù)的奇偶性9、函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)定義如果對于函數(shù)f(x)的定義域內任意一個，都有并且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)并且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)圖象特征關于y軸對稱關于原點對稱10、提醒：(1)函數(shù)的定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件．(2)若f(x)≠0，則奇(偶)函數(shù)定義的等價形式如下：①f(x)為奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?.②f(x)為偶函數(shù)?f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?.11、函數(shù)奇偶性的四個重要結論(1)如果一個奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調性；偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調性．即“奇同偶反”.(4)若y＝f(x＋a)是奇函數(shù)，則f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則f(－x＋a)＝f(x＋a)．【考點精講】考點1：求函數(shù)的定義域例1．（2023·廣東深圳·高一?？计谥校┖瘮?shù)的定義域為（

）A． B． C． D．例2．（2023·湖北武漢·高一武漢市新洲區(qū)第一中學校聯(lián)考期中）已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為（

）A． B．C． D．例3．（2023·河北石家莊·高一河北師范大學附屬中學?？计谥校┮阎瘮?shù)的定義域是，函數(shù)，則函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．考點2：函數(shù)的最值(值域)例4．（2023·高一課時練習）求下列函數(shù)的值域．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)（）．例5．（2023·河北石家莊·高一石家莊市第六中學校考期中）已知是二次函數(shù)，若，且．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)當時，求二次函數(shù)的最大值與最小值．例6．（2023·廣東佛山·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值19，最小值5.(1)求，的值；(2)設，求的最小值.考點3：分段函數(shù)及其應用例7．（多選題）（2023·遼寧阜新·高一阜新市高級中學?？计谥校┮阎瘮?shù)的圖象由如圖所示的兩條線段組成，則（

）A．的值域為B．C．D．，不等式的解集為例8．（多選題）（2023·河北保定·高三河北省唐縣第一中學?？奸_學考試）已知函數(shù)，關于函數(shù)的結論正確的是（

）A．的定義域為 B．的值域為C． D．若，則x的值是例9．（多選題）（2023·河北保定·高一保定一中?？计谀┤艉瘮?shù)在上為單調減函數(shù)，則實數(shù)的值可以為（

）A． B． C． D．例10．（2023·廣東深圳·高一深圳市高級中學?？计谥校?，用表示中的最小者，記為，，則的最大值為．考點4：函數(shù)解析的求法例11．（2023·甘肅金昌·高一永昌縣第一高級中學?？计谀?）已知，求函數(shù)的解析式；（2）已知是二次函數(shù)，且滿足，，求函數(shù)的解析式；（3）已知，求函數(shù)的解析式；例12．（2023·山東淄博·高一?？计谥校?）已知，求函數(shù)的解析式；（2）已知是二次函數(shù)，且滿足，，求函數(shù)的解析式；例13．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)滿足：對一切實數(shù)、，均有成立，且.求函數(shù)的表達式.考點5：函數(shù)單調性的判斷與證明例14．（2023·江蘇宿遷·高一江蘇省泗陽中學?？计谥校┮阎瘮?shù)的定義域為，當時，．(1)求的值；(2)證明：函數(shù)在上為單調減函數(shù)；(3)解不等式．例15．（2023·重慶開州·高一臨江中學?？计谥校┮阎嵌魏瘮?shù)，不等式的解集是，且在區(qū)間上的最大值是12.(1)求的解析式；(2)試判斷函數(shù)在上的單調性，并用單調性的定義證明.例16．（2023·四川·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)滿足．(1)求的值；(2)試判斷在上的單調性，并用定義證明．考點6：求函數(shù)的單調區(qū)間例17．（2023·天津寶坻·高一天津市寶坻區(qū)第一中學校考階段練習）已知函數(shù)，則的單調遞增區(qū)間為.例18．（2023·遼寧大連·高三大連八中?？茧A段練習）函數(shù)的單調遞減區(qū)間是.例19．（2023·高一校考課時練習）函數(shù)的單調區(qū)間是．考點7：函數(shù)單調性的應用例20．（2023·廣東深圳·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)是上的增函數(shù)，則的取值范圍是.例21．（2023·江蘇無錫·高一?？计谥校┘褐瘮?shù)在區(qū)間上單調，則實數(shù)m的取值范圍是．例22．（2023·福建莆田·高一莆田第六中學?？茧A段練習）函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則的取值范圍為.考點8：函數(shù)奇偶性的判斷例23．（2023·河北石家莊·高一?？计谥校┫铝泻瘮?shù)中的奇函數(shù)是（

）A． B． C． D．例24．（2023·廣東廣州·高一華南師大附中校考期中）函數(shù)，的圖象大致是（

）A． B．C． D．例25．（2023·河北·高一校聯(lián)考階段練習）判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性，并說明理由．(1)；(2)；(3)考點9：函數(shù)奇偶性的應用例26．（2023·重慶·高一重慶南開中學?？茧A段練習）設函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M，最小值為N，則的值為（

）A． B． C．1 D．0例27．（2023·浙江寧波·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，滿足，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4例28．（2023·福建莆田·高一莆田一中?？计谥校┮阎瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當時，，則當時，的解析式為（

）A． B． C． D．例29．（2023·黑龍江雞西·高一?？计谀┮阎瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，，且，則（

）A． B． C． D．例30．（2023·重慶云陽·高一重慶市云陽鳳鳴中學校校聯(lián)考階段練習）已知為偶函數(shù)，則（

）A．1 B． C．0 D．2考點10：函數(shù)奇偶性、單調性的綜合應用例31．（2023·山西·高一統(tǒng)考期中）已知定義域為的偶函數(shù)滿足：對任意的，都有．若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例32．（2023·湖北武漢·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)為奇函數(shù)，與的圖像有8個交點，分別為，則.例33．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，且，則．例34．（2023·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學?？奸_學考試）已知函數(shù)，若，則x的取值范圍是．例35．（2023·遼寧·高三校聯(lián)考期末）定義在上的函數(shù)滿足：，且對于上的有：.則關于的不等式解集為.考點11：抽象函數(shù)的綜合應用例36．（2023·江蘇宿遷·高一?？计谥校┘褐瘮?shù)為上的函數(shù)，對于任意，都有，且當時，.(1)求；(2)證明函數(shù)是奇函數(shù)；(3)解關于的不等式，例37．（2023·山東青島·高一青島二中?？计谥校┰O函數(shù)是增函數(shù)，對于任意都有．(1)證明是奇函數(shù)；(2)關于x的不等式的解集中恰有3個正整數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．【提升練習】一、單選題1．（2023·福建·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)是R上的減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第六中學校?？茧A段練習）已知是定義在R上的單調函數(shù)，關于對稱，若實數(shù)m，n滿足等式，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023·內蒙古赤峰·高一赤峰二中?？茧A段練習）已知函數(shù)的定義域為，，當時，，函數(shù)是奇函數(shù)，則（

）A． B．C．在上單調遞增 D．4．（2023·廣東深圳·高一深圳市高級中學?？计谥校┮阎瘮?shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．5．（2023·河北石家莊·高一河北師范大學附屬中學?？计谥校└咚故堑聡臄?shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號．他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)．例如，，已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．6．（2023·北京·高一北京四中?？计谥校┖瘮?shù)在區(qū)間上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題7．（2023·河南南陽·高一南陽中學?？茧A段練習）給出以下四個判斷，其中正確的是（

）A．函數(shù)的值域為，則函數(shù)的值域為B．函數(shù)的圖象與直線的交點最多有1個C．已知，則函數(shù)D．函數(shù)在上為減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍8．（2023·廣東佛山·高一?？茧A段練習）已知定義在上的偶函數(shù)在上單調遞減，且，，則下列結論正確的是（

）A．在上單調遞減 B．C．在上的最小值為 D．不等式的解集為9．（2023·河北石家莊·高一河北師范大學附屬中學?？计谥校┮阎瘮?shù)為偶函數(shù)，當，時，成立，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．10．（2023·河北石家莊·高一河北師范大學附屬中學校考期中）已知函數(shù)與的定義域均為，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，，則下列說法正確的有（

）A． B．在上單調遞增C．為奇函數(shù) D．三、填空題11．（2023·山東濰坊·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，為奇函數(shù)，若，則.12．（2023·河南南陽·高一南陽中學校考階段練習）已知，，若任取，存在，使得，則實數(shù)的取值范圍.13．（2023·廣東廣州·高一廣州大學附屬中學校聯(lián)考期中）已知函數(shù)且，則.14．（2023·北京·高一北京市第十二中學?？茧A段練習）已知函數(shù).（1）若，則求在上的最小值.（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則給出