【2023屆新高考數(shù)學(xué)考前模擬沖刺卷】 模擬沖刺仿真卷04 （新高考通用）解析版

絕密★考試結(jié)束前

【2023屆新高考考前模擬沖刺卷】模擬沖刺仿真卷04（新高考通用）

數(shù)學(xué)

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

2023年高考臨近，在原有江蘇省、廣東省、湖南省、湖北省、山東省等10個省市納入新

高考范圍基礎(chǔ)上，浙江省高考數(shù)學(xué)今年從新高考自主命題卷調(diào)整為新高考全國卷，安徽省、

山西省、吉林省、黑龍江省、云南省，5省高考數(shù)學(xué)今年從老高考全國卷調(diào)整為新高考全國卷，

針對新高考出題的最新動態(tài)和命題趨勢，特推出《2023屆新高考考前模擬沖刺卷》以供大家

參考！

一、2023高考四大趨勢

?落實立德樹人，鮮明體現(xiàn)時代主題

?高考由“考知識”向“考能力”轉(zhuǎn)變

?聚焦“關(guān)鍵能力”和“思維品質(zhì)”的考察

。高考由“以綱定考”到“考教銜接”轉(zhuǎn)變

數(shù)學(xué)：出題方式發(fā)生重大變化，數(shù)學(xué)考試出題將加入復(fù)雜情景，重點強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維方法考察，比以往

的數(shù)學(xué)難度更大。

二、2023年新高考數(shù)學(xué)命題方向

<|新高考數(shù)學(xué)卷以情境作為依托，呈現(xiàn)出新氣象，營造出“理念新、內(nèi)容新、結(jié)構(gòu)新”的新氛圍。

國高考卷預(yù)期會繼續(xù)強(qiáng)化情境類試題的命制，側(cè)重知識的應(yīng)用性:情境類試題可以分為:課程學(xué)習(xí)情境、

探索創(chuàng)新情境、生活實踐情境。

跟意板塊知識均有可能命制壓軸題，不固化試題的位置；

?!、題的最后兩題不再是函數(shù)唱主角，數(shù)列、三角、立體幾何、新定義等內(nèi)容將登場

教材有而新教材刪減的內(nèi)容，原則上不會考查，新高考主干知識的試題量明顯增加。

三、2022年新高考卷試題整體分析

今年數(shù)學(xué)新高考I卷，難度堪稱十幾年來的最高，今年數(shù)學(xué)新高考I卷試題難度大，主要體現(xiàn)在基礎(chǔ)

性題型偏少，難題量比往年增加，總體計算量比往年增加較大。今年新高考I卷題型難中易比例大概4:3:3,

體現(xiàn)出綜合性、創(chuàng)新性的考查。在考查學(xué)科素養(yǎng)方面，突出理性思維和數(shù)學(xué)運算的考查。在試題的設(shè)置上，

體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的靈活性以及數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，增加了綜合性、探究性和創(chuàng)造性試題內(nèi)容，突出數(shù)學(xué)

學(xué)科在高考中的選拔性功能。今年數(shù)學(xué)新高考I卷高考很好的貫徹了深化考試內(nèi)容改革.試題設(shè)置上，給

人第一感覺就是中規(guī)中矩，考題中沒有出怪題、偏題，但真正在兩個小時內(nèi)要完成考卷，考出理想分?jǐn)?shù)卻

是非常不容易，其中，除了考題總體計算量偏大外，更加體現(xiàn)了命題者在問題設(shè)置、考查的角度上非常有

考究。試題從考查的知識點來看，都是高中數(shù)學(xué)的主干知識，但題目的問法更加靈活，這就意味著我們更

加需要重視學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解和思維能力的培養(yǎng)。

四、2023年高考備考建議

?重視教考銜接

?研究高考命題方向

?夯實基礎(chǔ)，落實“四基”

。加強(qiáng)學(xué)生運算素養(yǎng)的培養(yǎng)

?重視學(xué)生思維的訓(xùn)練

2022年新高考數(shù)學(xué)卷，很好地落實了“立德樹人，服務(wù)選才，引導(dǎo)教學(xué)”的核心功能，堅持高考的核心

價值，突出學(xué)科特色，重視數(shù)學(xué)本質(zhì)，體現(xiàn)新課改理念.試卷的靈活性難度有所提高，計算量也相對偏大，

對學(xué)生的心理素質(zhì)要求較高。此外，試卷命題符合高考評價體系要求，很好地發(fā)揮了高考的選拔功能，對

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革發(fā)揮了積極的導(dǎo)向作用。我們教師要指導(dǎo)學(xué)生從整體上架構(gòu)起高中知識體系，系統(tǒng)學(xué)習(xí)

各章節(jié)知識，打通各個章節(jié)的聯(lián)系，綜合學(xué)習(xí)和運用所學(xué)知識，才能在考試時游刃有余。2023年新高考數(shù)

學(xué)備考中，大家一起加油，為學(xué)生決戰(zhàn)高考保駕護(hù)航。

注意事項:

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回

第I卷（選擇題）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的）

1.已知集合4=卜|牙20},集合8={x|y=lg（2x-l）},則AB=（）

A.（0,1]B.C（3/D.g+8）

【答案】C

【分析】解分式不等式求得集合A,求函數(shù)定義求得集合B，由此求得兩個集合的交集.

【詳解】由上三20解得0<xWl,由2x—1>0解得x>[,故48=^,1],

x212一

故選C.

【點睛】本小題主要考查交集的概念和運算，考查分式不等式的解法，考查對數(shù)函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)

題.

2.已知復(fù)數(shù)Z=2+i,z2=-l+2i,則4一五=()

z?

A.1B.2夜C.2D.75

【答案】B

【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的運算法則和模長公式即可求解.

2+i(2+i)(-l-2i)__5i

【詳解】???2二-i=|2+i+i|=2夜.

一l+2i(-l+2i)(-l-2i)-V

故選：B

3.己知等比數(shù)列｛%｝滿足4=2,且％,%，“9成等差數(shù)列，則。4=()

A.-2B.-]C.1D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】設(shè)｛〃“｝的公比為＜7,則％=44=2%%=子=；,佝=40、=2".

由%，%，旬成等差數(shù)列，得%+4,=2%,即2q+20'=±,

q

于是。"+42-2=0,(d+2四2—1)=0,故gJl,從而4=，=2.

故選：D

4.在.ABC中，“tanAtanB=1"是"cosZA+cos'B=1"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】利用切化弦和三角恒等變換判斷出“taManB=l”是“cos2A+cos2B=l”的充分條件，利用T的代換

將COS2A+COS2B=1化為8s.,+8s-8,=I,判斷出“tanAtanB=1”不是“cos?A+cos28=1”的必

sin~A+cos~Asin-B+cos-B

要條件.

【詳解】若lanAlanB=l,則包空?.旦!竺_=i,g[jcosAcosB-sinAsird?=cos(A+B)=-cosC=0,

cosAcosB

所以C=H.所以A+B=工，即4=工-8,所以cosA=cos(g-8],

222<2J

所以cos2A=cos2^y-^j=sin2^=l-cos2B,所以cos2A+cos2B=1,

所以“tanAtanB=1"是“cos?A+cos*=1"的充分條件；

COS2A+COS2B

若COS2A+COS2B=1,

sin?A+cos2Asin)+cos2B

即HT+ET

所以tan2Atan2B=1,所以tanAtanB=1或tanAtanB=-1,

所以,、tanAtanB=1"不是“cos?A+cos?8=1''的必要條件，

所以“tanAtanB=1"是"cos2A+cos23=1"的充分不必要條件.

故選：A.

5.在一個具有五個行政區(qū)域的地圖上(如圖)，用四種顏色給這五個行政區(qū)著色，當(dāng)相鄰的區(qū)域不能用同

一顏色時，則不同的著色方法共有（）

C.180種D.390利?

【答案】A

【分析】可分2種情況討論：若選3種顏色時，必須2,4同色且1,5同色；若4種顏色全用，只能2,4同色或

1,5同色，其它不相同，從而可得結(jié)果.

【詳解】選用3種顏色時,必須2,4同色且1,5同色,與3進(jìn)行全排列,

涂色方法有C1用=24種;

4色全用時涂色方法：2,4同色或1,5同色，有2種情況,

涂色方法有C；?A：=48種,

不同的著色方法J9有48+24=72種，故選A.

【點睛】本題主要考查分步計數(shù)原理與分類計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于簡單題.有關(guān)計數(shù)原理的綜合問題，往往

是兩個原理交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題

過程中要首先分清”是分類還是分步“，在應(yīng)用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏,

這樣才能提高準(zhǔn)確率.

6.已知函數(shù)/(x)=2sin(s+0)(0>O,O<e<1^的部分圖象如圖，/(xl)=/(x2)=-|,則

B療

4

【答案】C

【分析】首先結(jié)合已知條件和圖像求出/（X）的解析式，然后利用函數(shù)的對稱關(guān)系求出4與4之間的關(guān)系式，

然后通過=求出Sin（［占+］）=-［,進(jìn)而即可求出cosJ（x2-%,）.

2364L6_

【詳解】結(jié)合題意可知，/（0）=2sin^=l=>sin^=p

0<<p=—,

又由圖像可知，=—>5^0<ty<—,

22co5

55IT57rTt2

又由/'（一）=2sin（—G+—）=0,即一/+一=人4，即ty=---+一%），keZ,

22626155

從而<w=g,故/（x）=2sin（gx+￡）,

336

—x+—=—4-k7t=>x=14-3A:,kGZ,

362

從而/（x）的對稱軸為x=l+34,keZ,

7

由圖像可知，x=%與x=%關(guān)于工=一2對稱，即%+/uYn"?二一4一%，且石￡（_展_2）,

因為/（用）=2sin（g玉+［）=_］=sin（g演+g）=-=，

362364

所以cos［^（x2-玉）］=cos/（-4-2%）］=cos（y玉+.+9=_sin（?X|+^）=|?

故選：C.

7.已知拋物線犬=4），與過拋物線焦點且斜率為1的直線相交于兩點，以A,8為切點與拋物線相切的直

線以,PB相交于點P,則的面積為

A.8&B_16&C.1072D.］4收

【答案】A

【解析】設(shè)點4%,：玉2）,B?，；彳??）,聯(lián)立直線與拋物線方程求出再+/0々，代入弦長公式求出|明，再

分別求出兩條切線用，PB,聯(lián)立兩切線方程求出點尸的坐標(biāo)及點尸到直線AB的距離乩最后代入

即可得解.

【詳解】作出函數(shù)圖像如圖所示:

y

拋物線焦點為尸(0,1)，直線/：y=x+l,設(shè)點A(4;

x2=4V

聯(lián)立直線與拋物線方程)^X2-4X-4=0,

y=x+\

則x,+x2=4,中2=-4,.-.|AB|=Jl+3J(%+X2)2-4X/2=國16+16=8

因為y=!/,y'=\x,

42

所以直線外的方程為：)，=g±(x-xj+；x：①,

直線PB的方程為：②，

_X]+x2

-7

聯(lián)立①②可得，,所以點P(2,-l),

尸華

點P到直線AB的距離為d==2V2,

J2

SA|陰々=8五.

故選：A

【點睛】本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用,韋達(dá)定理及弦長公式，求曲線的切線方程，涉及點到直線的

距離，屬于中檔題.

8.已知函數(shù)/(x)=ln(|x-2|+l)_2_4X+5‘則()

A./(e2)</(-l)</(2c)B./(-l)</(e2)</(2e)

C./(-l)</(2c)</(e2)D./(2c)</(e2)</(-1)

【答案】C

【分析】先分析/*)的圖象關(guān)于直線X=2對稱，可得到/(-1)=."5),然后得到/(X)在(2,E)的單調(diào)性，構(gòu)

InX

造函數(shù)g(x)=—,0<x<e,利川導(dǎo)數(shù)可得到屋>2。，并比較2,與5的大小，結(jié)合/⑴單調(diào)性即可求解

x

【詳解】因為f(x)=ln(|x-2|+l)--^~-=ln(|x-2|+l)--^―

X'-4x+5(x-2)+1

對于xe(-00,2)52,+oo),

〃4-X)=M2-xl+D-記*=Mk2|+D-號7rA幻.

所以/(X)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，則/(-I)=/(5),

當(dāng)x>2時，/(x)=ln(A-l)--~~^―)

(x-2)+1

因為二次函數(shù)y=(x-2)2+1在(2,+oo)上為增函數(shù)，R.^=(X-2)2+1>0,

1_

所以y=ln(x-l),y=—~一;在(2,+8)上為增函數(shù)，

(x-2)+1

所以AM在(2,田)上為增函數(shù)，

令g(x)=?^,0<x4e,則g(x)=lI："。,

故g(x)在(0,e］為增函數(shù),所以g⑵<g(e)即竽<嗎

2e

所以eln2=ln20<21ne=lne2,所以

又因為2。>2==4&>5,即e?>2。>5,所以/)>/(2。)>/(5)=/(-I).

故選：C

【點睛】思路點睛：構(gòu)造函數(shù)是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數(shù)的結(jié)構(gòu)特點，以及數(shù)與數(shù)之間的

內(nèi)在聯(lián)系，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.

二、多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

全部選對得5分，有選錯得0分，部分選對得2分)

9.在曲線。:42+珍2=1(4>0,3>0)中，()

A.當(dāng)/>8時，則曲線C表示焦點在)，軸的橢圓

B.當(dāng)AwB時.，則曲線C為橢圓

C.曲線C關(guān)于直線y=x對稱

D.當(dāng)AwB時，則曲線C的焦距為2,2二包

AB

【答案】ABD

【分析】將曲線C化為工+l=l（A>°，B>0）,再根據(jù)此方程表示橢圓得出AB的關(guān)系即可判斷AB,求

AB

出橢圓的焦距即可判斷D,根據(jù)橢圓的對稱性即可判斷C.

%2y2

【詳解】解：將曲線C:-2+助2=I（A>0,3>0）化為丁+丁=1（1>°1>0）,

AB

對于A,當(dāng)/>6時，則二'</，

所以曲線C表示焦點在y軸的橢圓，故A正確；

對于B,當(dāng)AHB時，曲線C為橢圓，故B正確；

對于C,當(dāng)AwB時，曲線C為橢圓，

橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，不關(guān)于直線V=x對稱，故C錯誤；

對于D,當(dāng)AWB時，則曲線C為橢圓，

則曲線C的焦距為2-'=2=2，故D正確.

故選：ABD.

10.袋中裝有4個相同的小球，分別編號為1,2,3,4,從中不放回的隨機(jī)取兩個球，A表示事件“取出的

兩個球中至少有一個球的編號為奇數(shù)“，B表示事件“取出的兩個球的編號之和為偶數(shù)”，則下列說法正確的

有（）

A.事件A與事件8獨立

B.事件A與事件8不互斥

C.在事件A發(fā)生的前提下，事件8發(fā)生的概率為g

D.在事件B發(fā)生的前提下，事件4發(fā)生的概率為:

【答案】BC

【分析】根據(jù)互斥事件和獨立事件的概念判斷A,B的正誤，根據(jù)條件概率公式分別計算事件A發(fā)生的前

提下，事件8發(fā)生的概率以及在事件8發(fā)生的前提下，事件4發(fā)生的概率判斷C,D的正誤.

【詳解】對選項A：事件A的概率P⑷=1-P（司=1爺=，，

C2+C21C21

事件B的概率P（B）==;=A，事件AB的概率尸（A3）=占=g

C43C4o

因為P（A8）HP（A），（8）,所以事件4與事件B不獨立，選項A錯誤；

對選項B：“取出的兩個球的編號均為奇數(shù)”既在事件A中，也在事件8中,

故事件4與事件8不互斥，選項B正確：

C|_5

對選項C：事件A的概率尸（A）=1-P（Z）=1-

Cf=6

c2+C21C21

事件8的概率P（B）事件AB的概率尸（A8）=±=：.

C43C46

1

6-1

=-=

在事件A發(fā)生的前提下,55-

6-

選項C正確；

對選項D：事件A的概率尸（A）=1-P?=1爺=，,

O

C；+C；1

事件B的概率P（B）=c；=3'

事件A8的概率尸（A8）=方C=：1.

。46

]_

在事件A發(fā)生的前提下，事件B發(fā)生的概率為P（A|B）=g，

3

選項D錯誤.

故選：BC.

11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓K:（x-Af+（y-Z）2=[,其中ZHO,則（）

A.圓K過定點B.圓K的圓心在定直線上

C.圓K與定直線相切D.圓K與定圓相切

【答案】BC

【分析】利用反證法可判斷AD選項；求出圓心所在直線的方程，可判斷B選項；判斷圓K與直線

y=（2±@x的位置關(guān)系，可判斷C選項.

【詳解】對于A選項，圓K的方程可化為丁+丁-2刈X+），）+、=（）,

X2+y2=：0,

fx=y=0

若圓K過定點，則x+y=o,可得，八，矛盾，A錯;

,K=0

對于B選項，圓K的圓心坐標(biāo)為（/㈤，則圓心在直線y=x匕B對:

對于C選項，圓心到直線y=（2-百卜的距離為"

#_廚+1,8—4百

故直線）'=（2-若卜與圓K相切,

同理可知，直線y=（2+W卜與圓K也相切，C對;

對于D選項，設(shè)定圓的圓心為（a,b）,半徑為r，設(shè)%>0,

若定圓與圓K外切，則，（.-少+9-爐=r+*k,

化簡得5公一（24+26+夜r*+a2+戶-/=。，

a

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，關(guān)于火的二次函數(shù)〃4）=5二-（2。+?+夜4％+/+〃-，在％>0時的值不可能

恒為零，舍去：

若定圓與圓K內(nèi)切，則J（a-kf+（t>-k）~=r_%k,

化簡可得。無2一（2〃+2。一&r）%+/+〃一/=0,

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，關(guān)于k的二次函數(shù)g任）=,占一（2a+26-JL?快+/+/一/在％>0時的值不可能

恒為零，舍去.

同理可知，當(dāng)上<0時，不存在定圓與圓K相切，D錯.

故選：BC.

12.如圖，若正方體的棱長為1,點M是正方體ABCD-A4cA的側(cè)面AORA上的一個動點（含邊界）,

尸是棱C0的中點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.沿正方體的表面從點A到點P的最短路程為姮

2

B.若保持卜夜，則點M在側(cè)面AORA內(nèi)運動路徑的長度為3

C.三棱錐8-的體積最大值為:

D.若點M在AA上運動，則R到直線PM的距離的最小值為正

3

【答案】ABC

【分析】A選項，把兩個平面展開到同一平面內(nèi)，利用兩點之間，線段最短進(jìn)行求解，注意展開方式可能

有多種；B選項，找到點M在側(cè)面內(nèi)的運動軌跡是圓弧，再求解弧長；C選項，利用等體積法和建立空間

直角坐標(biāo)系，求出匕-GM0的最大值，即為VW-CM最大值；D選項，在空間直角坐標(biāo)系中利用點與線距離公

式即可判斷該選項.

【詳解】對于A,將平面A網(wǎng)A與平面8CG片展開到同一平面內(nèi)，連接AP,此時AP=(1+1)2+

也可將平面ABC。與平面展開到同一平面內(nèi)，此時AP=--<--,故A止

22

確;

對于B,取。。/中點E,連EM,PE,如圖，因尸是正方體ABC。-A4GA的棱CG中點,

則PE〃C力，而平面4力。4,則有PEL平面ADDA/,EMu平面40m4,于是得PE1EM,由

PM2=PE2+EM2=2>PE=1得,EM=\,因此，點M在側(cè)面AQRA內(nèi)運動路徑是以E為圓心，

i為半徑的圓在正方形AORA內(nèi)的圓弧，如圖，圓弧所對圓心角為圓弧長為彳

對于C,連接GB,G。，BD,MD,MB,MCt,則3￡)=6。=。田=0,所以S。明=￥*(貶了=乎，

以D為坐標(biāo)原點，分別以D4,DC,。。所在宜線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則0(0,0,0),

3(1,1,0),C)(0,1,1),設(shè)M(6,0,〃)，(OWmWl,0<n<l),設(shè)平面C/f)的法向量為亢=(x,y,z),則

n-DB=x+y=0.、,、

,令y=l,得：x=z=-lf所以〃=(一1』,一1),設(shè)到平面G8。的距離為力，

n-DC1=y+z=0

DM,7?I——nl\in4-7?|/7O

則力=LTTJ=J7-----^展」，故當(dāng)%=1，”=1時，人取得最大值，為彳=會"，此時三棱錐B-GMO

忖Vl+1+1V3G3

體積最大，V=V=—Xx=—'C正確；

BcMDiMrl-iC..yBDlDJ3233

對于D,正方體的棱長為1,P為CC,的中點，點H在AA匕^動，設(shè)4W=2例(0W/141),可得，A(l,0,0),

A(l,0,l),P(0,l,|),D,(0,0,1),A4,-(0,0,1),可得4M=(0,(M),得"(1,0,/L),PD,=(0,-1,^),

PM=(1由圖可見，明顯地，當(dāng)〃與A重合時，必有。到直線PM的距離的最小，此時，4=1,

故PM=(I,-R),設(shè)直線P?！概c直線尸河的夾角為，，可得cose=,PRj=€,則sine=4,故2到

2.阿33

直線PM的距離的最小值為d=|尸￡訃sin。=正x2="，故D選項錯誤；

I'I233

z

第n卷（非選擇題）

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知向量4=（加,14）,/?=（〃,-1）,o=（2,4）,4〃。且6_1_°,則相=.

【答案】-28

【分析】由平面向量平行與垂直的坐標(biāo)運算，列方程組求解

（一加一14〃=0

【詳解】因為a〃b且匕，c，所以L,八，解得機(jī)=-28.

[2〃-4=0

故答案為：-28

14.若12+4-2]（*+附3（機(jī)>（））的展開式中*3的系數(shù)為3,貝.

【答案】3##0.5

【分析】根據(jù)二項式展開式通項特征，即可根據(jù)7-r-2%=3得”,，?的取值，進(jìn)而求解.

【詳解】由（》2+與一2）（X+機(jī)）3=（x-L）（X+W）3,

則其通項為C：（」）x4-*-CXx3-r=（-1）*C*C>rx7-r-2\0<r<3,0<^<4,r,jleZ,

令7-z*—2攵=3,則k=10=2或左=2/=。，

所以（一1）七；之〃+（-1）2（2兀>°=3=-124+6=3,由于機(jī)>0,所以根=g,

故答案為：g

15.葫蘆是一種爬藤植物，在我國傳統(tǒng)文化中，其枝密集繁茂，象征著兒孫滿堂、同氣連枝；其音近于“福

祿“，寓意著長壽多福、事業(yè)發(fā)達(dá)；其果口小肚大，代表著心胸開闊、和諧美滿.如圖，一個葫蘆的果實可

以近似看做兩球相交所得的幾何體。，其中。的下半部分是半徑為3指的球。1的一部分，。的上半部分是

半徑為3的球。2的一部分，且002=6,則過直線002的平面截。所得截面的面積為

【分析】設(shè)N是兩球面的一個公共點，且位于截面上，通過條件提供的數(shù)據(jù)可求得NQQMNOzaN,進(jìn)而

利用扇形的面積公式可得截面的面積.

【詳解】設(shè)N是兩球面的一個公共點，且位于截面上，

222

由OtN+O2N=+3=36=0,0；,得。N_L0/,

故tanNORN=黑=6,從而NO.N=1,Z020,^=%.

所以截面面積為1xfx^+^x學(xué)X(36)2+3X3>/5=^+96.

23262

3fg工577c,、G

故答案為：-^―+9v3

16.已知函數(shù)/(同=工(。-皿力一。，若存在唯一整數(shù)小,使得21n毛—。成立，則實數(shù)a的取值

范圍為.

.【八答六案但】.(匕1,In丁3+1

【分析】首先將不等式整理為(x-2)lnx<ar-l,分別構(gòu)造函數(shù)G(x)=(x-2)lnx與”(力=依-1,然后利

用導(dǎo)數(shù)研究G(x)的函數(shù)性質(zhì)并將作出其圖象，進(jìn)而將原問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的交點問題，結(jié)合函數(shù)圖象

即可求出參數(shù)。的取值范圍.

【詳解】已知/(x)>l-21nx-a,即(x-2)Inxvox—1,

令G(x)=(x-2)lnx,x>0,H^x)=ax-\,

則G(x)=lnx+1—：,易知G'(x)在(0,+巧上單調(diào)遞增，又G⑴=—IvO,Gr(2)=ln2>0,所以存在實數(shù)

me(l,2),使得G'(〃7)=0,

且當(dāng)xe(0⑺時,G'(x)<0,G(x)在(0,次)上單調(diào)遞減,

當(dāng)X?m,+00)時，G(x)>0,G(x)在(肛+0。)上單調(diào)遞增,

所以G(力?=G(m),又G⑴=*=0,

“(X)是過定點C(0,-l)的直線，所以畫出函數(shù)G(x)和〃(x)的大致圖象如圖所示，

令4。,0),3(2,0),0(3,In3),由圖可知若存在唯一整數(shù)%,使得/(%)>l—21nx0-a成立，則需

kBC<a<nun[kAC,kDC],

,.,.(In3+12—In3廣廣…，(

川所以

因為L=g，所以g<44也詈，即實數(shù)a的取值范圍是(；，若史.

”(1In3+1

故答案為：I—，---

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是將不等式變形為(x-2)lnx<ar-1,并構(gòu)造函數(shù)G(x)=(x-2)lnx

^H(x)=ax-\,將原問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的交點問題，進(jìn)而通過導(dǎo)數(shù)畫出G(x)與H(x)的大致圖像，通

過數(shù)形結(jié)合的方法求出參數(shù)。的取值范圍，該方法是解決函數(shù)整數(shù)解問題或者零點問題的一種重要手段.

四、解答題(本題共6小題，其中17題10分，18、19、20、21、22題各12分,共70分。

解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.在中，AB=2AC,。是邊BC上一點，ZCAD=2ZBAD.

（1）若NBAC=當(dāng)，求器的值；

⑵若AC=1,求的取值范圍.

【答案】⑴巖=&

⑵（。，|）

【分析】(1)首先求出NBA。、ACAD,再在△A5。、AC。、...ABC中分別利用正弦定理計算可得;

(2)設(shè)/班。=a,則NC4Q=2a,NB4C=3a,由面積公式表示出S4時、SA皿、5ACD,即可得到

sin3cr=A￡>(sintz+sinacosez),從而得到4Q=4cos"一,令l+8sa=f,則40=4/+°-8,設(shè)

1+cosat

/⑺=4f+；-8利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出/⑺的值域，即可得解.

3冗

【詳解】(1)解：由N8AC二二，ZCAD=2ZBAD

41

7T

可得N8AO=—,NCAO=?.

42

在△AS。中，由正弦定理得8。=絲包華我；

sinB

在eACD中，由正弦定理得CD=ADsin;―一；

sinC

在.ABC中，由正弦定理得吟=A嘿R，

sinBAC

.71

“BDsinZBADsinCSin4ABy[2r-

所以——=--------------=——=—x2=，2.

CDsinZCADsin8.nAC2

sin—

2

(2)解：由AC=1,得AB=2.

設(shè)N8AD=a,則NC4O=2a,ZBAC=3a,

所以S^ABC=~AB?ACsinZBAC=sin3a,SA45D=；AB?ADsinZ.BAD=A￡)sina,

S^ACD=gAC?ADsinZ.CAD=ADsinacosa,則sin3a=AD(sina+sinacosa),

枚A。_sin3a_sinacos2a+cosasin2a_4cos2a-1

sina+sinacosasina+sinacosa1+cosa

設(shè)l+cosa=f,則AD=4r+--8.

t

因為0<NBAC<TT,所以0<a<四，貝ij3</<2.

32

設(shè)/（/）=4，+：_8,|</<2,則:?）=4_j.

因為當(dāng)g<r<2時，r（f）>0,所以函數(shù)/⑺在區(qū)間（右2）上單調(diào)遞增.

因為/停）=0,"2）=1，所以0</（f）<g，

故4）的取值范圍為收）.

18.已知S“為數(shù)列｛q｝的前“項和，4=2,S?+l=5?+4a?-3,記”=log2（a“-1）+3.

⑴求數(shù)列出｝的通項公式；

⑵已知%=（T）"*'記數(shù)列｛%｝的前"項和為，，求證：Tn>^-.

【答案】（l）d=2〃+l（”€N*）

（2）證明見解析

【分析】（1）利用S“與?！钡年P(guān)系，整理數(shù)列｛”“｝的遞推公式，根據(jù)構(gòu)造法，可得通項，可得答案:

（2）寫出數(shù)列｛%｝的通項，利用裂項相消，可得騫，分奇偶兩種情況，可得答案.

【詳解】（1）由S,用=S,,+4a“-3,得S/「S“=44-3.

二4+1=4%-3,則%-1=4(4-1).二4一1=2-1=1,

，數(shù)列1｝是以1為首項，4為公比的等比數(shù)列,

=代=22=(〃wN):=log2(q-1)+3,

22

：.bn=^,2"-+3=2?+1(?6^).

⑵“㈠)力

441+1

C=(-1丫用____2〃+2_

"I'(2〃+1)(2〃+3)3焉++

：.TII=C}+C2+C3+--+C?

=罪+{|-2+#(泊卜…+(力"’(*+熹)]

當(dāng)〃為奇數(shù)時

當(dāng)〃為偶數(shù)時，*>｛口是遞增數(shù)歹u,卜系

綜上得：T?>^2.

19.今天，中國航天仍然邁著大步向浩瀚宇宙不斷探索，取得了舉世矚目的非凡成就.某學(xué)校為了解學(xué)生

對航天知識的知曉情況，在全校學(xué)生中開展了航天知識測試（滿分100分），隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的測試

成績，按照［60,70）,［70,80）,［80,90）,［90,100］分組，得到如下所示的樣本頻率分布直方圖：

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計該校學(xué)生測試成績的中位數(shù)；

⑵用樣本的頻率估計概率，從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生的成績，用P（X=Z）表示這10名學(xué)生中

恰有人名學(xué)生的成績在［90,100］上的概率，求P（X=k）取最大值時對應(yīng)的k的值；

（3）從測試成績在［90,100］的同學(xué)中再次選拔進(jìn)入復(fù)賽的選手，一共有6道題，從中隨機(jī)挑選出4道題進(jìn)行測

試，至少答對3道題者才可以進(jìn)入復(fù)賽.現(xiàn)有甲、乙兩人參加選拔，在這6道題中甲能答對4道，乙能答

對3道，且甲、乙兩人各題是否答對相互獨立.記甲、乙兩人中進(jìn)入復(fù)賽的人數(shù)為求4的分布列及期望.

【答案】⑴82.5

（2）k=2

4

⑶分布列見解析；￡（^）=-

【分析】（1）根據(jù)題意，由中位數(shù)的意義列出方程，即可得到結(jié)果；

/、.？（X=A:）*尸（X=Z+l）

（2）根據(jù)題意可得，當(dāng)P（X=%）取最大值時，則

然后求解，即可得到結(jié)果；

（3）由題意可得，甲乙分別進(jìn)入復(fù)賽的概率，然后求得P（4=0,l,2）的概率，即可得到分布列與期望.

【詳解】（1）因為前兩個矩形的面積之和為（0.01+003）X10=0.4<0.5,前三個矩形面積為

（0.01+0.03+0.04）x10=0.8>0.5,

所以中位數(shù)在（80,90）之間，設(shè)中位數(shù)為x,

則10x（0.01+0.03）+（x—80）x0.04=0.5,解得x=82.5,故中位數(shù)為82.5.

（2）由題意可得，成績在［90,100］上的概率為0.2,則不在［90,100］的概率為0.8,

所以X5（10,0.2）,即有P（X=A）=C：。（0.2）*（0.8）'°Y,A:=0,1,2,,10,

/、［（）（）

當(dāng)尸（X明取最大值時,則P似X=提kZPX=Z+l

%（0.2）*.（0.8）1°-*>C優(yōu)（0.2廣（0.8廣

"［cfo（O.2）*?（0.8）叫“：丁（0.2廣（0.8）'i'

解得（10+1）x02-1444（10+1）x0.2,即1.24Z42.2,

且keN,所以％=2.

（3）由題意可知，從6道題中選4題共有C：=15,

因為甲能答對6道題中的4道題，故甲能進(jìn)復(fù)賽的情況共有C：C；+C：=9,

9332

所以甲能進(jìn)復(fù)賽的概率為西=g,則甲不能進(jìn)復(fù)賽的概率為1-m二于

因為乙能答對6道題中的3道題，故乙能進(jìn)復(fù)賽的情況共有C；C；=3,

3114

所以乙能進(jìn)復(fù)賽的概率為亮=:,則乙不能進(jìn)復(fù)賽的概率為1--=-;

依題可得，J的可能取值為0,1，2,

所以叱。）=|*5仁］）=|*弁嚙sg2,

則分布列為:

&012

8143

P

252525

Qxll2xAl

則E(/=0x石+1+=

25255

20.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-EFG//中，點”是正方體的中心，將四棱錐8CGF繞直線CG

逆時針旋轉(zhuǎn)a（0<a<兀）后，得到四棱錐M'-B'CGF'.

（2）是否存在a,使得直線MF_L平面M3C?若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.

【答案】（I）證明見解析

（2）不存在，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)面面平行的判定定理即可證明結(jié)論；

（2）假設(shè)存在a,使得直線M歹，平面M8C,建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點坐標(biāo)，求出平面平面

cosa-sina=0

的法向量，則求出仞歹的坐標(biāo)，由AT尸〃機(jī)可得-cosa+sina=/l,此方程組無解，即可得出結(jié)論.

1=2

7T

【詳解】（1）證明：若a=］，則平面DCG"、平面CBT'G為同一個平面，

連接則M是中點，M'是BF，中點,

故是BHF'的中位線，所以'〃GF',MM，=；HF，=GF'.

因為=,所以平面四邊形MM行'G是平行四邊形，所以MG〃M'F'.

又MG<2平面戶'u平面M'B'F',所以MG〃平面M'B'F'

同理MC〃平面戶'，且"Gu平面MCG,〃Cu平面MCG,MGMC=M,

所以，平面MCG〃平面尸

(2)假設(shè)存在a,使得直線M尸，平ifiiMBC.

以。為原點，分別以C5,OC,CG為％，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

則C(0,0,0),8(2,0,0),加(1,7,1),故C3=(2,0,0),CM=dl).

m-CB=0

設(shè)機(jī)=(x,y,z)是平面的法向量，則＜

mCM-0

2x=0

所以-y+z=。'取y"得'"QLD是平面MBC的一個法向量,

則PM1CG,PQ1CG,PMUCG.

于是NMPM'是二面角M—CG—M'的平面角，NMPQ是二面角M—CG—Q的平面角,

IT

NQPM，是二面角Q—CG—AT的平面角，于是/MPM'=a,NMPQ=2,

4

所以"金?！磺褻G"?面=應(yīng)，

。一：),1],[nJfi|lFr(2cosa,2sina,2),

故”

71兀

所以用戶'=2cosa-V2a——,2sina-V2sina~~，1，

4

兀

因為2cosa-\[lcosa——=2cosa-42cosacos--Vasinasin—=cosa—sina,

444

n

2sin6Z-V2sina——=2sina-血sinacos—+V2cosasin—=cosa+sina,

4