復變函數(shù)與積分變換課件

1

Laplace變換Fourier變換的兩個限制：2§1Laplace變換的概念

3tf(t)Otf(t)u(t)e-btO41.定義：5例1求單位階躍函數(shù)根據(jù)拉氏變換的定義,有這個積分在Re(s)>0時收斂,而且有6例2求指數(shù)函數(shù)f(t)=ekt的拉氏變換(k為實數(shù)).這個積分在Re(s)>k時收斂,而且有其實k為復數(shù)時上式也成立,只是收斂區(qū)間為Re(s)>Re(k)根據(jù)拉氏變換的定義,有72.拉氏變換的存在定理若函數(shù)f(t)滿足:

(1)在t0的任一有限區(qū)間上分段連續(xù);

(2)當t

時,f(t)的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù),即存在常數(shù)M>0及c0,使得

|f(t)|Mect,0t<

則f(t)的拉氏變換在半平面Re(s)>c上一定存在,并且在Re(s)>c的半平面內(nèi),F(s)為解析函數(shù).8MMectf(t)tO9說明：由條件2可知,對于任何t值(0

t<),有

|f(t)est|=|f(t)|e-bt

Me-(b-c)t,Re(s)=b,

若令b-c

e>0(即b

c+e=c1>c),則

|f(t)e-st|Me-et.所以注1:大部分常用函數(shù)的Laplace變換都存在(常義下);注2：存在定理的條件是充分但非必要條件.

10§2Laplace變換的性質(zhì)與計算

本講介紹拉氏變換的幾個性質(zhì),它們在拉氏變換的實際應用中都是很有用的.為方便起見,假定在這些性質(zhì)中,凡是要求拉氏變換的函數(shù)都滿足拉氏變換存在定理中的條件,并且把這些函數(shù)的增長指數(shù)都統(tǒng)一地取為c.在證明性質(zhì)時不再重述這些條件.11例3求f(t)=sinkt(k為實數(shù))的拉氏變換同理可得122.微分性質(zhì):

此性質(zhì)可以使我們有可能將f(t)的微分方程轉(zhuǎn)化為F(s)的代數(shù)方程.特別當時，有13例4求的拉氏變換（m為正整數(shù)）。14象函數(shù)的微分性質(zhì):例5求(k為實數(shù))的拉氏變換.153.積分性質(zhì):例6求的拉氏變換.16象函數(shù)積分性質(zhì):則17例7求函數(shù)的拉氏變換.18

函數(shù)f(t-t)與f(t)相比,f(t)從t=0開始有非零數(shù)值.而f(t-t)是從t=t開始才有非零數(shù)值.即延遲了一個時間t.從它的圖象講,f(t-t)是由f(t)沿t軸向右平移t而得,其拉氏變換也多一個因子e-st.Ottf(t)f(t-t)19例8求函數(shù)的拉氏變換.1u(t-t)ttO20例9求的拉氏變換.21§3Laplace逆變換

前面主要討論了由已知函數(shù)f(t)求它的象數(shù)F(s),但在實際應用中常會碰到與此相反的問題,即已知象函數(shù)F(s)求它的象原函數(shù)f(t).本節(jié)就來解決這個問題.

由拉氏變換的概念可知,函數(shù)f(t)的拉氏變換,

實際上就是f(t)u(t)e-bt的傅氏變換.22因此,按傅氏積分公式,在f(t)的連續(xù)點就有等式兩邊同乘以ebt,則23

積分路線中的實部b有一些隨意,但必須滿足的條件就是e-btf(t)u(t)的0到正無窮的積分必須收斂.

計算復變函數(shù)的積分通常比較困難,但是可以用留數(shù)方法計算.右端的積分稱為拉氏反演積分.24RO實軸虛軸LCRb+jRb-jR為奇點b解析252627§4卷積

1.卷積的概念：兩個函數(shù)的卷積是指如果f1(t)與f2(t)都滿足條件:當t<0時,f1(t)=f2(t)=0,則上式可以寫成：2829卷積定理：注：卷積公式可用來計算逆變換或卷積.30例231例332§5Laplace變換的應用

對一個系統(tǒng)進行分析和研究,首先要知道該系統(tǒng)的數(shù)學模型,也就是要建立該系統(tǒng)特性的數(shù)學表達式.所謂線性系統(tǒng),在許多場合,它的數(shù)學模型可以用一個線性微分方程來描述,或者說是滿足疊加原理的一類系統(tǒng).這一類系統(tǒng)無論是在電路理論還是在自動控制理論的研究中,都占有很重要的地位.本節(jié)將應用拉氏變換來解線性微分方程.33微分方程的拉氏變換解法

首先取拉氏變換將微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程,解代數(shù)方程求出象函數(shù),再取逆變換得最后的解.如下圖所示.象原函數(shù)(微分方程的解)象函數(shù)微分方程象函數(shù)的代數(shù)方程取拉氏逆變換取拉氏變換解代數(shù)方程34例1求解。35例2求解解析函數(shù)§2.1解析函數(shù)的概念1復變函數(shù)的導數(shù)

定義：存在,則就說f(z)在z0可導,此極限值就稱為f(z)在z0的導數(shù)，記作應該注意：上述定義中的方式是任意的。容易證明：可導可微；可導連續(xù)。如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可導,就說f(z)在Ｄ內(nèi)可導.

例1

求f(z)=z2

的導數(shù)。[解]因為所以

f'(z)=2z.復變函數(shù)的導數(shù)具有與實函數(shù)同樣的求導法則。（即f(z)=z2

在復平面處處可導。）例2問f(z)=x+2yi是否可導?[解]

這里所以f(z)=x+2yi

的導數(shù)不存在.（即f(z)=x+2yi

在整個復平面處處不可導.）例3討論的可導性。解：所以在復平面上除原點外處處不可導。2.解析函數(shù)的概念函數(shù)在一點解析在該點可導。反之不一定成立。在區(qū)域內(nèi)：例如f(z)=z2

在整個復平面上解析；僅在原點可導，故在整個復平面上不解析；f(z)=x+2yi在整個復平面上不解析。定義否則稱為奇點。例4討論函數(shù)f(z)=1/z的解析性.解：故f(z)=1/z除

z=0外處處解析；z=0是它的一個奇點。解析函數(shù)的性質(zhì)：(1)

兩個解析函數(shù)的和、差、積、商仍為解析函數(shù)；(2)

兩個解析函數(shù)的復合函數(shù)仍為解析函數(shù)；(3)

一個解析函數(shù)不可能僅在一個點或一條曲線上解析；所有解析點的集合必為開集。問題：對函數(shù)

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，如何判別其解析（可導）性？換句話說：設(shè)函數(shù)于是u(x,y)

與v(x,y)

在該點可微,并且滿足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。設(shè)u(x,y)

與v(x,y)

在點(x,y)可微,于是（x,

y0時,ek0,(k=1,2,3,4)）并且滿足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。即函數(shù)f(z)在點z=x+iy處可導.由z的任意性可知：定理1

函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定義域D內(nèi)解析的充要條件是u(x,y)與v(x,y)在D內(nèi)可微,并滿足Cauchy-Riemann方程.定理2函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定義在區(qū)域D內(nèi)一點z=x+iy可導的充分必要條件是:u(x,y)與v(x,y)在點(x,y)可微,在該點滿足Cauchy-Riemann方程。推論：例題1

解：例題2

判斷下列函數(shù)在何處可導,在何處解析:解：

得u=x,v=-y,所以在復平面內(nèi)處處不可導,處處不解析；2)由w=zRe(z)=x2+ixy,得u=x2,v=xy,

所以當且僅當x=y=0時,因而函數(shù)僅在z=0可導,但在復平面內(nèi)任何地方都不解析.是區(qū)域內(nèi)的正交曲線族。

(正交：兩曲線在交點處的切線垂直

)例題3

證：得證。

解析函數(shù)退化為常數(shù)的幾個充分條件：(a)

函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析且導數(shù)恒為零；(b)

解析函數(shù)的實部、虛部、?；蜉椊侵杏幸粋€恒為常數(shù)；(c)

解析函數(shù)的共軛在區(qū)域內(nèi)解析。例如兩族分別以直線y=

x和坐標軸為漸近線的等軸雙曲線x2-y2=c1,2xy=c2互相正交。1-1-1-10-8-6-4-2x2468v=101y-10-8-6-4-2u=02468uv1010-10-10§2.2解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)的關(guān)系定義1

(稱為調(diào)和方程或Laplace方程)定理1：

證明：

且u,v有任意階連續(xù)偏導數(shù)

同樣可得

注：逆定理顯然不成立，即

對區(qū)域D內(nèi)的任意兩個調(diào)和函數(shù)u,v,不一定是解析函數(shù)

.定義2

若u與v是區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)且滿足C-R程，

則稱v為u的共軛調(diào)和函數(shù)

.定理2：

在區(qū)域D內(nèi)解析

v為u的共軛調(diào)和函數(shù)

.解析函數(shù)的虛部為實部的共軛調(diào)和數(shù)例如：是解析函數(shù)，不是解析函數(shù)。已知共軛調(diào)和函數(shù)中的一個，可利用C-R方程求得另一個，從而構(gòu)成一個解析函數(shù)。例題1已知一調(diào)和函數(shù)求一解析函數(shù)解：由C-R方程于是（法一）從而即為所求解析函數(shù)。（法二）(0,0)(x,y)(x,0)（法三）§2.3初等函數(shù)3.1指數(shù)函數(shù)

定義：

性質(zhì)：

3.2三角函數(shù)定義：性質(zhì)：(1)Euler公式仍然成立：(2)全平面解析函數(shù)，(3)各種三角恒等式仍然成立(半角公式除外)(4)sinz為奇函數(shù)，cosz為偶函數(shù)例如(7)定義其他的三角函數(shù)：3.3雙曲函數(shù)定義：

（1）全平面解析函數(shù)：（2）以2pi為基本周期的周期函數(shù)：（3）chz為偶函數(shù),shz為奇函數(shù)。（4）與三角函數(shù)的關(guān)系：例題1解方程解：3.4對數(shù)函數(shù)定義：記：

多值性-------主值支例如：性質(zhì)：(2)Lnz為無窮多值函數(shù)，每兩個值相差2πi的整數(shù)倍，(4)除去原點與負實軸,lnz在復平面內(nèi)處處解析：

今后我們應用對數(shù)函數(shù)Lnz時,指的都是它在除去原點及負實軸的平面內(nèi)的某一單值分支.

問題：3.5冪函數(shù)定義：----單值函數(shù)----n值函數(shù)----n值函數(shù)----無窮多值函數(shù)在除原點和負實軸復平面內(nèi)主值支及各分支解析，且例3解下列方程：[解]66保形映射67z平面內(nèi)的任一條有向曲線C可用z=z(t),a

t

b

表示,它的正向取為t增大時點z移動的方向,z(t)為一條連續(xù)函數(shù).

如果z'(t0)0,a<t0<b,則表示z'(t)的向量(把起點放取在z0.以下不一一說明)與C相切于點z0=z(t0).z(t0)z(a)z(b)z'(t0)§1保形映射的概念68

事實上,如果通過C上兩點P0與P的割線P0P的正向?qū)趖增大的方向,則這個方向與表示的方向相同.Oxyz(t0)P0Pz(t0+Dt)C(z)當點P沿C無限趨向于點P0,割線P0P的極限位置就是C上P0處的切線.因此,表示的向量與C相切于點z0=z(t0),且方向與C的正向一致.z'(t0)69我們有Argz'(t0)就是z0處C的切線正向與x軸正向間的夾角;相交于一點的兩條曲線C1與C2正向之間的夾角就是它們交點處切線正向間夾角Ox(z)z0701.解析函數(shù)的導數(shù)的幾何意義設(shè)函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)

解析,z0為D內(nèi)的一點,且f‘(z0)0.又設(shè)C為z平面內(nèi)通過點z0的一條有向光滑曲線:z=z(t),a

t

b,且z0=z(t0),z'(t0)0,a<t0<b.映射w=f(z)將C映射成w平面內(nèi)通過點z0的對應點w0=f(z0)的一條有向光滑曲線G:w=f[z(t)],a

t

b.OxyOuvz0P0rzPDzC(z)(w)Gw0Q0QwrDw71

根據(jù)復合函數(shù)求導法,有w'(t0)=f'(z0)z'(t0)

0.

因此,在G上點w0處也有切線存在,且切線正向與u軸正向的夾角是Argw'(t0)=Argf'(z0)+Argz'(t0).若原來的切線的正向與映射過后的切線的正向之間的夾角理解為曲線C經(jīng)過w=f(z)映射后在z0處的轉(zhuǎn)動角,

則

1)導數(shù)f

'(z0)0的輻角Argf

'(z0)是曲線C經(jīng)過w=f(z)映射后在z0處的轉(zhuǎn)動角;OxyOuvz0P0rzPDzC(z)(w)Gw0Q0QwrDw即Argf'(z0)=Argw'(t0)-Argz'(t0)722)轉(zhuǎn)動角的大小與方向跟曲線C的形狀與方向無關(guān).所以這種映射具有轉(zhuǎn)動角的不變性.

通過z0點的可能的曲線有無限多條,其中的每一條都具有這樣的性質(zhì),即映射到w平面的曲線在w0點都轉(zhuǎn)動了一個角度Argf'(z0).OxyOuv(z)(w)z0w073相交于點z0的任何兩條曲線C1與C2之間的夾角,在其大小和方向上都等同于經(jīng)w=f(z)映射后C1與C2對應的曲線G1與G2之間的夾角,所以這種映射具有保持兩曲線間夾角與方向不變的性質(zhì).這種性質(zhì)稱為保角性.yaOxOuv(z)(w)z0w0aC1C2G1G274稱為曲線C在z0的伸縮率.3)

上式表明|f

'(z)|是兩象點間距離和兩原象點間距離比值的極限，從而可視為映射w=f(z)在點z0處沿曲線C的伸縮率,它與曲線C的形狀及方向無關(guān).所以這種映射又具有伸縮率不變性.上式可視為75例1求w=f(z)=z3在z=0,z=i處的導數(shù)值,并說明幾何意義。解：w=f(z)=z3在全平面解析，f

'(z)=3z2。在z=i處具有伸縮率不變和保角性。伸縮率為3，旋轉(zhuǎn)角為。定理一

設(shè)函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,z0為D內(nèi)的一點,且

f

'(z0)0,則映射w=f(z)在z0具有兩個性質(zhì):

1)保角性.即通過z0的兩條曲線間的夾角跟經(jīng)過映射后所得兩曲線間的夾角在大小和方向上保持不變。

2)伸縮率的不變性.即通過z0的任何一條曲線的伸縮率均為|f'(z0)|而與其形狀和方向無關(guān).762.保形映射的概念

定義設(shè)函數(shù)w=f(z)在z0的鄰域內(nèi)是一一的,在z0具有保角性和伸縮率不變性,則稱映射w=f(z)在z0是保形的,或稱w=f(z)在z0是保形映射.如果映射w=f(z)在D內(nèi)的每一點都是保形的,就稱w=f(z)是區(qū)域D內(nèi)的保形映射.

僅具有保角性和伸縮率不變性的映射稱為第一類保形映射；而具有伸縮率不變性和保持角度絕對值不變而旋轉(zhuǎn)方向相反的映射稱為第二類保形映射。例如是第二類保形映射。77定理二如果函數(shù)w=f(z)在z0解析,且f

'(z0)0,則映射w=f(z)在z0是保形的,而且Argf

'(z0)表示這個映射在z0的轉(zhuǎn)動角,|f

'(z0)|表示伸縮率.如果解析函數(shù)w=f(z)在D

內(nèi)是一一的，且處處有f

'(z)0,則映射w=f(z)是D內(nèi)的保形映射.

保形映射是把區(qū)域雙方單值的映射成區(qū)域，在每一點保角，在每一點具有伸縮率不變性。例如函數(shù)在是第一類保角的；在是保形的。78在D內(nèi)作以z0為其一個頂點的小三角形,在映射下,得到一個以w0為其一個頂點的小曲邊三角形,這兩個三角形對應邊長之比近似為|f'(z0)|,有一個角相等,則這兩個三角形近似相似.OxyOuv(z)(w)z0w0aaC1C2G1G2定理一的幾何意義.79OxyOuv(z)(w)z0w0aaC1C2G1G280§2分式線性映射分式線性映射81

兩個分式線性映射的復合,仍是一個分式線性映射.例如82

也可將一般的分式線性映射分解為一些簡單映射的復合,83由此可見,一個一般形式的分式線性映射是由下列三種特殊映射復合而成:下面討論三種映射,為了方便,暫且將w平面看成是與z平面重合的.84i)w=z+b.這是一個平移映射.因為復數(shù)相加可以化為向量相加,z沿向量b的方向平移一段距離|b|后,就得到w.O(z)

(w)zwb85ii)w=az,a0.這是一個旋轉(zhuǎn)與伸長(或縮短)的映射.設(shè)a=leia將z先轉(zhuǎn)一個角度a,再將|z|伸長(或縮短)l倍后,就得到w.O(z)=(w)zwa86圓周的對稱點OP

OP'=r2,因為DOP'T相似于DOPT.因此,OP':OT=OT:OP,即OP

OP'=OT2=r2.CPP'rTOP與P'關(guān)于圓周C互為對稱點87zw1w1881.保角性分式線性映射的幾何性質(zhì)89而i)與ii)是平移，旋轉(zhuǎn)和伸縮變換顯然是保形的，所構(gòu)成的復合映射w=az+b在整個擴充復平面上是保形的,而分式線性映射是上述三種映射復合而構(gòu)成的,因此有定理一分式線性映射在擴充復平面上是一一對應的,且具有保角性.902.保圓性

映射w=az+b和w=1/z都具有將圓周映射成圓周的特性,（這里將直線看作是無窮大半徑的圓）這種性質(zhì)稱作保圓性.映射w=az+b顯然具有保圓性,

下面說明w=1/z具有保圓性.91

因此,映射w=1/z將方程a(x2+y2)+bx+cy+d=0

變?yōu)榉匠蘢(u2+v2)+bu-cv+a=0。

當a0,d0：圓周映射為圓周;

當a0,d=0：圓周映射成直線;

當a=0,d0：直線映射成圓周；

當a=0,d=0：直線映射成直線.

這就是說,映射w=1/z把圓周映射成圓周.或者說,映射w=1/z具有保圓性.92

根據(jù)保圓性,在分式線性映射下,如果給定的圓周或直線上沒有點映射成無窮遠點,則它就映射成半徑為有限的圓周;如果有一個點映射成無窮遠點,它就映射成直線.定理二

分式線性映射將擴充z平面上的圓周映射成擴充w平面上的圓周,即具有保圓性.93z1,z2是關(guān)于圓周C的一對對稱點的充要條件是經(jīng)過z1,z2的任何圓周G都與C正交.CRz0z1z2z'G3.保對稱點性94定理三設(shè)點z1,z2是關(guān)于圓周C的一對對稱點,則

在分式線性映射下,它們的象點w1與w2

也是關(guān)于C的象曲線G的一對對稱點.[證]設(shè)經(jīng)過w1與w2的任一圓周G‘是經(jīng)過z1與z2的圓周G由分式線性映射過來的.由于G與C正交,而分式線性映射具有保角性,所以G'與C'(C的象)也必正交,因此,w1與w2是一對關(guān)于C'

的對稱點.95§3唯一決定分式線性映射的條件分式線性映射中含有四個常數(shù)a,b,c,d.但是,如果用這四個數(shù)中的一個去除分子和分母,就可將分式中的四個常數(shù)化為三個常數(shù).所以,上式中實際上只有三個獨立的常數(shù).因此,只需給定三個條件,就能決定一個分式線性映射.96定理在z平面上任意給定三個相異的點

z1,z2,z3,在w平面上也任意給定三個相異的點w1,w2,w3,則存在唯一的分式線性映射,將zk(k=1,2,3)依次映射成wk(k=1,2,3).9798由此得

這就是所求的分式線性映射.如果有另外一個分式線性映射,也把z平面上三個相異點z1,z2,z3依次映射成w平面上的三個相異點w1,w2,w3,則重復上面的步驟,消去常數(shù)后,最后得到的仍然是(6.3.1)式.所以(6.3.1)式是由三對相異的對應點唯一確定的分式線性映射.99100

現(xiàn)在研究,在給定兩個圓周C與C‘,在圓周上分別取定三個點,必能找到一個分式線性映射將C映射成C’.但是這個映射會將C內(nèi)部映射成什么呢?.

如果在C內(nèi)任取一點z0,而點z0的象在C‘的內(nèi)部,則C的內(nèi)部就映射成C’的內(nèi)部;如果z0的象在C‘的外部,則C的內(nèi)部就映射成C’的外部.

或者在C上取定三點z1,z2,z3,它們在C‘的象分別為w1,w2,w3.如果C依z1

z2

z3的繞向與C’依w1

w2

w3的繞向相同,則C的內(nèi)部就映射成C‘的內(nèi)部,否則映射成C’的外部。101z1z2zz3w1w2w3w1w2w3ww102

現(xiàn)討論在z平面內(nèi)兩個圓包圍的區(qū)域的映射情況.根據(jù)前面的討論可知:

(I)當二圓周上沒有點映射成無窮遠點時,這二圓周

的弧所圍成的區(qū)域映射成二圓弧所圍成的區(qū)域;

(II)當二圓周上有一個點映射成無窮遠點時,這二圓

周的弧所圍成的區(qū)域映射成一圓弧與一直線所

圍成的區(qū)域;

(III)當二圓周交點中的一個映射成無窮遠點時,這

二圓周的弧所圍成的區(qū)域映射成角形區(qū)域.103x1-ii-1C1C2y(z)O104[解]所設(shè)的兩個圓弧的交點為-i與i,且相互正交.交點-i映射成無窮遠點,i映射成原點.因此所給的區(qū)域經(jīng)映射后映射成以原點為頂點的角形區(qū)域,張角等于p/2.此點在第三象限的分角線C1'上.由保角性知C2映射為第二象限的分角線C2.105映射的角形區(qū)如圖所示x1-ii-1C1C2y(z)OC2'C1'Ouv(w)106例2求將上半平面Im(z)>0映射成單位圓|w|<1的分式線性映射.O1-1xylO1-1uiv(z)(w)107[解法一]在x軸上任意取定三點:z1=-1,z2=0,z3=1使它們對應于|w|=1上三點:w1=1,w2=i,w3=-1,則因z1

z2

z3跟w1

w2

w3的繞向相同,由(6.3.1)6.3.1)式得所求的分式線性映射為化簡后即得108注意:如果選取其他三對不同點,勢必也能得出滿足要求的,但不同于(6.3.3)的分式線性映射.此可見,把上半平面映射成單位圓的分式線性映射不

是唯一的,而是有無窮多.[解法二]將上半平面看成半徑為無窮大的圓域,實軸就是圓域的邊界圓周.因為分式線性映射具有保圓性,因此它必能將上半平面Im(z)>0映射成單位圓|w|<1.由于上半平面總有一點z=l要映成單位圓周|w|=1的圓心w=0,109從而所求的分式線性映射具有下列形式:其中k為常數(shù).110

反之,形如上式的分式線性映射必將上半平面Im(z)>0映射成單位圓|w|<1.因為當z取實數(shù)時111即把實軸映射成|w|=1.又因為上半平面中的z=l映射成w=0,所以(6.3.3)必將Im(z)>0映射成|w|<1.112113例4求將上半平面Im(z)>0映射成單位圓|w|<1且滿

足w(2i)=0,argw‘(2i)=0的分式線性映射.故有從而得所求的映射為解：由條件w(2i)=0知,所求的映射要將上半平面中的點z=2i映射成單位圓周的圓心w=0.所以由(6.3.3)得114例5求將單位圓|z|<1映射成單位圓|w|<1的分式線

性映射.x1y(z)OOuv(w)1a115[解]設(shè)z平面上單位圓|z|<1內(nèi)部的一點a映射成w平

面上的單位圓|w|<1的中心w=0.這時與116由于z平面上單位圓周上的點要映成w平面上單位圓周上的點,所以當|z|=1,|w|=1.將圓周|z|=1上的點z=1代入上式,得所以|k'|=1,即k'=eij.這里j是任意實數(shù).因此,將單位圓|z|<1映射成單位圓|w|<1的分式線性映射的一般表示式是117

反之,形如上式的映射必將單位圓|z|<1映射成單位圓|w|<1.這是因為圓周|z|=1上的點z=eiq(q為實數(shù))映射成圓周|w|=1上的點:同時單位圓|z|<1內(nèi)有一點z=a映射成w=0.所以(6.3.5)必將單位圓|z|<1映射成單位圓|w|<1.118例6求將單位圓映射成單位圓且滿足條件

w(1/2)=0,w'(1/2)>0的分式線性映射.[解]由條件w(1/2)=0知,所求的映射要將z=1/2

映射成|w|<1的中心.所以由((6.3.5)得119例7求將Im(z)>0映射成|w-2i|<2且滿足條件w(2i)=2i,argw‘(2i)=-p/2的分式線性映射.[解]容易看出,映射z=(w-2i)/2將|w-2i|<2映射成|z|<1.但將Im(z)>0映射成|z|<1且滿足z(2i)=0的映射易知為1202i(z)O(z)2i(w)w=2(i+z)121§4幾個初等函數(shù)所構(gòu)成的映射1.冪函數(shù)w=zn(n2為自然數(shù))在z平面內(nèi)處處可導,它的導數(shù)是因而當z0時,所以,在z平面內(nèi)除去原點外,由w=zn所構(gòu)成的映射處處保形.映射的特點是:把以原點為頂點的角形域映射成以原點為頂點的角形域,但張角變成了原來的n倍.122O(z)q0O(w)nq0w=zn(z)(w)OO上岸下岸w=zn123例1求把角形域0<argz<p/4映射成單位圓|w|<1的一個映射.[解]z=z4將所給角形域0<argz<p/4映射成上半平面

Im(z)>0.又從上節(jié)的例2知,映射124(z)OO(z)1(w)z=

z4125126例3求把下圖中由圓弧C2與C3所圍成的交角為a的月牙域映射成角形域j0<argw<j0+a的一個映射.aj0(w)O1C1C2a(z)O-ii127aO(z)aj0(w)O1C1C2a(z)O-ii1128[解]令C1,C2的交點z=i與z=-i分別映射成z平面中的z=0與z=,將所給月牙域映射成z平面中的角形域的映射是具有以下形式的分式線性函數(shù):其中k為待定的復常數(shù).1292.指數(shù)函數(shù)w=ez由于在z平面內(nèi)w‘=ez0。所以,由w=ez所構(gòu)成的映射是0<y<2p上的保形映射.設(shè)z=x+iy,w=reij,則w=ez=ex+iy=reij

推出=ex：z平面上垂直線x映射成w平面上圓周r；（x=0-單位圓周,x<0-單位圓內(nèi),x>0-單位圓外）j=y：z平面上水平直線y映射成w平面上射線j

。

帶形域0<Im(z)<a映射成角形域0<argw<a.特別是帶形域0<Im(z)<2p映射成沿正實軸剪開的w平面:0<argw<2p.它們間的點是一一對應的.130aiOxy(z)argw=auOv(w)2piOxy(z)Ouv(w)w=ezz=lnw131由指數(shù)函數(shù)w=ez所構(gòu)成的映射的特點是:把水平的帶形域0<Im(z)<a(a

p)映射成角形域0<argw<a.例4求把帶形域0<Im(z)<p映射成單位圓|w|<1的一個映射.z=ez132例4求映射把如圖所示的半帶狀域映成上半單位圓。1-11-1133O(z)ab(w)Opi(z)Ow=ezO(s)b-a例5求把帶形域a<Re(z)<b映射成上半平面Im(w)>0

的一個映射.O(t)(b-a)i134例6求把具有割痕Re(z)=a,0Im(z)h的上半

平面映射成上半平面的一個映射.xOy(z)C(a+ih)BDaOuv(w)a-haa+hBCD135xOy(z)C(a+ih)BDaOuv(w)a-haa+hBCDO(z1)CBDih-h2COBD(z2)COBh2D(z3)O(z4)CBD-h+hz1=z-az2=z12z3=z2+h2w=z4+a136[解]不難看出,解決本題的關(guān)鍵顯然是要設(shè)法將垂直于x軸的割痕的兩側(cè)和x軸之間的夾角展平.由于映射w=z2能將頂點在原點處的角度增大到兩倍,所以利用這個映射可以達到將割痕展平的目的.

首先,把上半z平面向左平移一個距離a:z1=z-a.

第二,由映射z2=z12,得到具有割痕-h2Re(z2)<+,

Im(z2)=0的z2平面.

第三,把z2平面向右作一距離為h2的平移:z3=z2+h2,

便得到去掉了正實軸的z3平面.137138

Fourier變換Recall:周期函數(shù)在一定條件下可以展開為Fourier級數(shù)；但全直線上的非周期函數(shù)不能有Fourier表示；引進類似于Fourier級數(shù)的Fourier積分

(周期趨于無窮時的極限形式)139§1Fourier積分公式1.1Recall:

在工程計算中,無論是電學還是力學,經(jīng)常要和隨時間而變的周期函數(shù)fT(t)打交道.例如:具有性質(zhì)fT(t+T)=fT(t),其中T稱作周期,而1/T代表單位時間振動的次數(shù),單位時間通常取秒,即每秒重復多少次,單位是赫茲(Herz,或Hz).t140

最常用的一種周期函數(shù)是三角函數(shù)。人們發(fā)現(xiàn),所有的工程中使用的周期函數(shù)都可以用一系列的三角函數(shù)的線性組合來逼近.----Fourier級數(shù)方波4個正弦波的逼近100個正弦波的逼近141

研究周期函數(shù)實際上只須研究其中的一個周期內(nèi)的情況即可,通常研究在閉區(qū)間[-T/2,T/2]內(nèi)函數(shù)變化的情況.142引進復數(shù)形式：143144145

對任何一個非周期函數(shù)f(t)都可以看成是由某個周期函數(shù)fT(t)當T

時轉(zhuǎn)化而來的.

作周期為T的函數(shù)fT(t),使其在[-T/2,T/2]之內(nèi)等于f(t),在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整個數(shù)軸上,則T越大,fT(t)與f(t)相等的范圍也越大,這就說明當T

時,周期函數(shù)fT(t)便可轉(zhuǎn)化為f(t),即有146例矩形脈沖函數(shù)為如圖所示:1-1otf(t)1147

現(xiàn)以f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為T的周期函數(shù)fT(t),令T=4,則1-13T=4f4(t)t148則149sinc函數(shù)介紹sinc(x)x150前面計算出w151

現(xiàn)在將周期擴大一倍,令T=8,以f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為8的周期函數(shù)f8(t)1-17T=8f8(t)t152則153則在T=8時,w154如果再將周期增加一倍,令T=16,可計算出w155一般地,對于周期T156

當周期T越來越大時,各個頻率的正弦波的頻率間隔越來越小,而它們的強度在各個頻率的輪廓則總是sinc函數(shù)的形狀,因此,如果將方波函數(shù)f(t)看作是周期無窮大的周期函數(shù),則它也可以看作是由無窮多個無窮小的正弦波構(gòu)成,將那個頻率上的輪廓即sinc函數(shù)的形狀看作是方波函數(shù)f(t)的各個頻率成份上的分布,稱作方波函數(shù)f(t)的傅里葉變換.1571.2

Fourier積分公式與Fourier積分存在定理158{O

w1

w2

w3

wn-1wn{w159160161也可以轉(zhuǎn)化為三角形式162又考慮到積分163§2Fourier變換2.1Fourier變換的定義164Fourier積分存在定理的條件是Fourier變換存在的一種充分條件.165

在頻譜分析中,傅氏變換F(w)又稱為f(t)的頻譜函數(shù),而它的模|F(w)|稱為f(t)的振幅頻譜(亦簡稱為頻譜).由于w是連續(xù)變化的,我們稱之為連續(xù)頻譜,對一個時間函數(shù)f(t)作傅氏變換,就是求這個時間函數(shù)f(t)的頻譜.166例1求矩形脈沖函數(shù)的付氏變換及其積分表達式。167168tf(t)1692.2單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換

在物理和工程技術(shù)中,常常會碰到單位脈沖函數(shù).因為有許多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì),如在電學中,要研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢作用后產(chǎn)生的電流;在力學中,要研究機械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運動情況等.研究此類問題就會產(chǎn)生我們要介紹的單位脈沖函數(shù).170

在原來電流為零的電路中,某一瞬時(設(shè)為t=0)進入一單位電量的脈沖,現(xiàn)在要確定電路上的電流i(t).以q(t)表示上述電路中的電荷函數(shù),則

當t0時,i(t)=0,由于q(t)是不連續(xù)的,從而在普通導數(shù)意義下,q(t)在這一點是不能求導數(shù)的.171如果我們形式地計算這個導數(shù),則得

這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個函數(shù)能夠表示這樣的電流強度.為了確定這樣的電流強度,引進一稱為狄拉克(Dirac)的函數(shù),簡單記成d-函數(shù):有了這種函數(shù),對于許多集中于一點或一瞬時的量,例如點電荷,點熱源,集中于一點的質(zhì)量及脈沖技術(shù)中的非常窄的脈沖等,就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣,以統(tǒng)一的方式加以解決.172de(t)1/eeO（在極限與積分可交換意義下）工程上將d-函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù)。173

可將d-函數(shù)用一個長度等于1的有向線段表示,這個線段的長度表示d-函數(shù)的積分值,稱為d-函數(shù)的強度.tOd(t)1d-函數(shù)有性質(zhì)：可見d-函數(shù)和任何連續(xù)函數(shù)的乘積在實軸上的積分都有明確意義。174d-函數(shù)的傅氏變換為:于是d(t)與常數(shù)1構(gòu)成了一傅氏變換對.證法2：若F(w)=2pd(w),由傅氏逆變換可得例1證明：1和2pd(w)構(gòu)成傅氏變換對.證法1：175由上面兩個函數(shù)的變換可得176例如常數(shù),符號函數(shù),單位階躍函數(shù)以及正,余弦函數(shù)等,然而它們的廣義傅氏變換也是存在的,利用單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換就可以求出它們的傅氏變換.所謂廣義是相對于古典意義而言的,在廣義意義下,同樣可以說,原象函數(shù)f(t)和象函數(shù)F(w)構(gòu)成一個傅氏變換對.

在物理學和工程技術(shù)中,有許多重要函數(shù)不滿足傅氏積分定理中的絕對可積條件,即不滿足條件177例4

求正弦函數(shù)f(t)=sinw0t的傅氏變換。tpp-w0w0Ow|F(w)|

178例5證明：證：179180§3Fourier變換與逆變換的性質(zhì)

這一講介紹傅氏變換的幾個重要性質(zhì),為了敘述方便起見,假定在這些性質(zhì)中,凡是需要求傅氏變換的函數(shù)都滿足傅氏積分定理中的條件,在證明這些性質(zhì)時,不再重述這些條件.1.線性性質(zhì):1812.位移性質(zhì):證明：

返回1823.相似性：證明：183例1計算。

方法1：（先用相似性，再用平移性）184方法2：（先用平移性，再用相似性）1854.微分性：

1865.積分性：

6.帕塞瓦爾(Parserval)等式187

實際上,只要記住下面五個傅里葉變換,則所有的傅里葉變換都無須用公式直接計算而可由傅里葉變換的性質(zhì)導出.188例2

利用傅氏變換的性質(zhì)求d(t-t0),性質(zhì)性質(zhì)189例3

若f(t)=cosw0t

u(t),求其傅氏變換。1907.卷積與卷積定理卷積定義：卷積的簡單性質(zhì)：191例1求下列函數(shù)的卷積：由卷積的定義有192卷積定理：193例2求的傅氏變換。性質(zhì)194利用卷積公式來證明積分公式：證明：復變函數(shù)的積分（與實函數(shù)中二型線積分類比）§3.1復積分的概念線積分復積分一個復積分的實質(zhì)是兩個實二型線積分dz?復積分存在的一個充分條件：復積分的性質(zhì)：1線性性：

例題1

（2）C：左半平面以原點為中心逆時針方向的單位半圓周。解（1）

（2）參數(shù)方程為可見積分與路徑有關(guān)。例題2

解：

例如例題3

證明：

例如練習例題4

解：可見，積分與路徑無關(guān)僅與起點和終點有關(guān)?！?.2柯西積分定理定理1（Cauchy）

如果函數(shù)f(z)在單連通域D內(nèi)處處解析,則它在D內(nèi)任何一條封閉曲線C的積分為零:

注1：定理中的曲線C可以不是簡單曲線.此定理成立的條件之一是曲線C要屬于區(qū)域D。

注2：如果曲線C是D的邊界,函數(shù)f(z)在D內(nèi)與C上解析,即在閉區(qū)域D+C上解析,甚至f(z)在D內(nèi)解析,在閉區(qū)域D+C上連續(xù),則f(z)在邊界上的積分仍然有推論：如果函數(shù)f(z)在單連通域D內(nèi)處處解析,C屬于D，與路徑無關(guān)僅與起點和終點有關(guān)。于是是解析函數(shù)。解析函數(shù)的導數(shù)仍為解析函數(shù)特別地例如：注：以上討論中D為單連通域。這里D為復連通域?？蓪⒖挛鞣e分定理推廣到多連通域的情況定理2

假設(shè)C及C1為任意兩條簡單閉曲線,C1在C內(nèi)部,設(shè)函數(shù)f(z)在C及C1所圍的二連域D內(nèi)解析,在邊界上連續(xù)，則證明：取這說明解析函數(shù)沿簡單閉曲線積分不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值。------閉路變形原理推論（復合閉路定理）：(互不包含且互不相交)，

所圍成的多連通區(qū)域，

例題1C如圖所示：解：

存在f(z)的解析單連通域D包含曲線C，故積分與路徑無關(guān)，僅與起點和終點有關(guān)。從而例題2C為包含0與1的任何正向簡單閉曲線。解：

（由閉路變形原理）§3.3柯西積分公式若

f(z)在D內(nèi)解析，則分析：.定理(柯西積分公式)如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處解析,C為D內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線,它的內(nèi)部完全含于D,z0為C內(nèi)的任一點,則---解析函數(shù)可用復積分表示。[證]由于f(z)在z0連續(xù),任給e>0,存在d(e)>0,當|z-z0|<d

時,|f(z)-f(z0)|<e.設(shè)以z0為中心,R為半徑的圓周K:|z-z0|=R全部在C的內(nèi)部,且R<d.DCKzz0R根據(jù)閉路變形原理,該積分的值與R無關(guān),所以只有在對所有的R積分為值為零才有可能。推論1如果C是圓周z=z0+Reiq,則柯西積分公式成為------一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.推論2設(shè)f(z)在二連域D內(nèi)解析，在邊界上連續(xù)，則例題1

解：

§3.4解析函數(shù)的高階導數(shù)

一個解析函數(shù)不僅有一階導數(shù),而且有各高階導數(shù),它的值也可用函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示.這一點和實變函數(shù)完全不同.一個實變函數(shù)在某一區(qū)間上可導,它的導數(shù)在這區(qū)間上是否連續(xù)也不一定,更不要說它有高階導數(shù)存在了.定理

解析函數(shù)f(z)的導數(shù)仍為解析函數(shù),它的n階導數(shù)為:

其中C為在函數(shù)f(z)的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞z0的任何一條正向簡單曲線,而且它的內(nèi)部全含于D.[證]設(shè)z0為D內(nèi)任意一點,先證n=1的情形,即

因此就是要證按柯西積分公式有因此現(xiàn)要證當Dz0時I0,而f(z)在C上連續(xù),則有界,設(shè)界為M,則在C上有|f(z)|

M.d為z0到C上各點的最短距離,則取|Dz|適當?shù)匦∈蛊錆M足|Dz|<d/2,因此L是C的長度這就證得了當Dz0時,I0.Dz0dC這就證得了再利用同樣的方法去求極限:依此類推,用數(shù)學歸納法可以證明:高階導數(shù)公式的作用,不在于通過積分來求導,而在于通過求導來求積分.例1求下列積分的值,其中C為正向圓周:|z|=r>1.[解]1)函數(shù)在C內(nèi)的z=1處不解析,但cospz在C內(nèi)卻是處處解析的.Cauchy不等式：

證明：注1：解析函數(shù)的導數(shù)模的估計與區(qū)域的大小有關(guān)；注2：

Liouville定理：全平面的有界解析函數(shù)必為常數(shù)。證明：對復平面上任一點z，

最大模原理：設(shè)D為有界單連通或復閉路多連通區(qū)域，證明：注：220級數(shù)§1復數(shù)項級數(shù)2211.復數(shù)列的極限設(shè){an}(n=1,2,...)為一復數(shù)列,其中an=an+ibn,又設(shè)a=a+ib為一確定的復數(shù).如果任意給定e>0,相應地能找到一個正數(shù)N(e),使|an-a|<e在n>N時成立,則a稱為復數(shù)列{an}當n

時的極限,記作此時也稱復數(shù)列{an}收斂于a.222定理一

復數(shù)列{an}(n=1,2,...)收斂于a的充要條件是[證]如果,則對于任意給定的e>0,就能找到一個正數(shù)N,當n>N時,223反之,如果2242.級數(shù)概念設(shè){an}={an+ibn}(n=1,2,...)為一復數(shù)列,表達式稱為無窮級數(shù),其最前面n項的和

sn=a1+a2+...+an稱為級數(shù)的部分和.如果部分和數(shù)列{sn}收斂,225定理二

級數(shù)收斂的充要條件是級數(shù)

和都收斂

[證]因sn=a1+a2+...+an=(a1+a2+...+an)

+i(b1+b2+...+bn)=sn+itn,

其中sn=a1+a2+...+an,tn=b1+b2+...+bn分別為

和的部分和,由定理一,{sn}有極限存在的充要條件是{sn}和{tn}的極限存在,即級數(shù)和都收斂.226定理二將復數(shù)項級數(shù)的審斂問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)項級數(shù)的審斂問題.227定理三[證]228229230另外,因為的各項都是非負的實數(shù),所以它的收斂也可用正項級數(shù)的判定法來判定.例1下列數(shù)列是否收斂?如果收斂,求出其極限.231[解]1)因2322)由于an=ncosin=nchn,因此,當n

時,an.所以an發(fā)散.

例2下列級數(shù)是否收斂?是否絕對收斂?[解]1)

因發(fā)散;收斂,

故原級數(shù)發(fā)散.2332)因,由正項級數(shù)的比值審斂法知

收斂,故原級數(shù)收斂,且為絕對收斂.3)因收斂;也收斂,

故原級數(shù)收斂.但因

為條件收斂,所以原級數(shù)非絕對收斂.234§2冪級數(shù)2351.冪級數(shù)的概念設(shè){fn(z)}(n=1,2,...)為一復變函數(shù)序列,其中各項在區(qū)域D內(nèi)有定義.表達式稱為復變函數(shù)項級數(shù).最前面n項的和

sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)稱為這級數(shù)的部分和.236存在,則稱復變函數(shù)項級數(shù)(4.2.1)在z0收斂,而s(z0)稱為它的和.如果級數(shù)在D內(nèi)處處收斂,則它的和一定是z的一個函數(shù)s(z):

s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...如果對于D內(nèi)的某一點z0,極限s(z)稱為級數(shù)的和函數(shù)237這種級數(shù)稱為冪級數(shù).如果令z-a=z,則(4.2.2)成為,這是(4.2.3)的形式,為了方便,今后常就(4.2.3)討論當fn(z)=cn-1(z-a)n-1或fn(z)=cn-1zn-1時,就得到函數(shù)項級數(shù)的特殊情形:238定理一(阿貝爾Abel定理)z0xyO239[證]2402412422.收斂圓和收斂半徑利用阿貝爾定理,可以定出冪級數(shù)的收斂范圍,對一個冪級數(shù)來說,它的收斂情況不外乎三種:

i)對所有的正實數(shù)都是收斂的.這時,根據(jù)阿貝爾定理可知級數(shù)在復平面內(nèi)處處絕對收斂.

ii)對所有的正實數(shù)除z=0外都是發(fā)散的.這時,級數(shù)在復平面內(nèi)除原點外處處發(fā)散.

iii)既存在使級數(shù)收斂的正實數(shù),也存在使級數(shù)發(fā)散的正實數(shù).設(shè)z=a(正實數(shù))時,級數(shù)收斂,z=b(正實數(shù))時,級數(shù)發(fā)散.243顯然a<b,將收斂域染成紅色,發(fā)散域為藍色.RCROabCaCbxy244當a由小逐漸變大時,Ca必定逐漸接近一個以原點為中心,R為半徑的圓周CR.在CR的內(nèi)部都是紅色,外部都是藍色.這個紅藍兩色的分界圓周CR稱為冪級數(shù)的收斂圓.在收斂圓的外部,級數(shù)發(fā)散.收斂圓的內(nèi)部,級數(shù)絕對收斂.收斂圓的半徑R稱為收斂半徑.所以冪級數(shù)(4.2.3)的收斂范圍是以原點為中心的圓域.對冪級數(shù)(4.2.2)來說,收斂范圍是以z=a為中心的圓域.在收斂圓上是否收斂,則不一定.245例1求冪級數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).[解]級數(shù)實際上是等比級數(shù),部分和為2462473.收斂半徑的求法248249250251252例2求下列冪級數(shù)的收斂半徑2532542552564.冪級數(shù)的運算和性質(zhì)象實變冪級數(shù)一樣,復變冪級數(shù)也能進行有理運算.設(shè)在以原點為中心,r1,r2中較小的一個為半徑的圓內(nèi),這兩個冪級數(shù)可以象多項式那樣進行相加,相減,相乘,所得到的冪級數(shù)的和函數(shù)分別就是f(z)與g(z)的和,差與積.257258更為重要的是代換(復合)運算這個代換運算,在把函數(shù)展開成冪級數(shù)時,有著廣泛的應用.259260Oxyab當|z-a|<|b-a|=R時級數(shù)收斂2612623)f(z)在收斂圓內(nèi)可以逐項積分,即§3泰勒級數(shù)

設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,而|z-z0|=r為D內(nèi)以z0為中心的任何一個圓周,它與它的內(nèi)部全含于D,把它記作K,又設(shè)z為K內(nèi)任一點.z0Kzrz按柯西積分公式,有且z0Kzrz由解析函數(shù)高階導數(shù)公式,上式可寫成在K內(nèi)成立,即f(z)可在K內(nèi)用冪級數(shù)表達.q與積分變量z無關(guān),且0

q<1.z0KzrzK含于D,f(z)在D內(nèi)解析,在K上連續(xù),在K上有界,因此在K上存在正實數(shù)M使|f(z)|

M.因此,下面的公式在K內(nèi)成立:稱為f(z)在z0的泰勒展開式,它右端的級數(shù)稱為f(z)在z0處的泰勒級數(shù).

圓周K的半徑可以任意增大,只要K在D內(nèi).所以,如果z0到D的邊界上各點的最短距離為d,則f(z)在z0的泰勒展開式在圓域|z-z0|<d內(nèi)成立.定理(泰勒展開定理)設(shè)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,z0為D內(nèi)的一點,d為z0到D的邊界上各點的最短距離,則當|z-z0|<d時,

注：如果f(z)在z0解析,則使f(z)在z0的泰勒展開式成立的圓域的半徑R等于從z0到f(z)的距z0最近一個奇點a的距離,即R=|a-z0|.yz0ax

任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)的結(jié)果就是泰勒級數(shù),因而是唯一的.

利用泰勒展開式,我們可以直接通過計算系數(shù):把f(z)在z0展開成冪級數(shù),這被稱作直接展開法例如,求ez在z=0