安全系統(tǒng)工程3.2

事故樹結(jié)構(gòu)函數(shù)定義結(jié)構(gòu)函數(shù)的性質(zhì)簡單系統(tǒng)事故樹的結(jié)構(gòu)函數(shù)復(fù)雜系統(tǒng)事故樹的結(jié)構(gòu)函數(shù)結(jié)構(gòu)函數(shù)運算法則二、事故樹的定性分析二、事故樹的定性分析事故樹定性分析，是根據(jù)事故樹求取其最小割集或最小徑集，確定頂事件發(fā)生的事故模式、原因及其對頂事件的影響程度，為經(jīng)濟有效地采取預(yù)防對策和控制措施，防止同類事故發(fā)生提供科學(xué)依據(jù)。Qualitativeassessment

definestheminimalcutsetandminimalpathsetbasedonFT,determinesfaultmodelsandcausesofthetopevent,includingitseffectsdegreeonthetopevent.Thisanalysiscanofferscientificfoundationforeconomicalandeffectivepreventionandcontrolcountermeasuressoastopreventsimilarfaults二、事故樹的定性分析1.StructureFunction/結(jié)構(gòu)函數(shù)

若事故樹有n個相互獨立的基本事件，Xi表示基本事件的狀態(tài)變量，Xi僅取1或0兩種狀態(tài)；φ表示事故樹頂事件的狀態(tài)變量，φ也僅取1或0兩種狀態(tài)，則有如下定義：因為頂事件的狀態(tài)完全取決于基本事件Xi的狀態(tài)變量

(i=1,2,…,n),所以φ是X的函數(shù),

即：

φ=φ(X)

其中,X=(X1，X2，…Xn),稱φ(X)為事故樹的結(jié)構(gòu)函數(shù)。

二、事故樹的定性分析1.StructureFunction/結(jié)構(gòu)函數(shù)

結(jié)構(gòu)函數(shù)φ(X)具有如下性質(zhì):

(1)當(dāng)事故樹中基本事件都發(fā)生時,頂事件必然發(fā)生;當(dāng)所有基本事件都不發(fā)生時,頂事件必然不發(fā)生。

(2)當(dāng)基本事件Xi以外的其他基本事件固定為某一狀態(tài),基本事件Xi由不發(fā)生轉(zhuǎn)變?yōu)榘l(fā)生時,頂事件可能維持不發(fā)生狀態(tài),也有可能由不發(fā)生狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榘l(fā)生狀態(tài)。

(3)由任意事故樹描述的系統(tǒng)狀態(tài),可以用全部基本事件作成

"或"結(jié)合的事故樹表示系統(tǒng)的最劣狀態(tài)(頂事件最易發(fā)生),也可以用全部基本事件作成

"與"結(jié)合的事故樹表示系統(tǒng)的最佳狀態(tài)(頂事件最難發(fā)生)。二、事故樹的定性分析1.StructureFunction/結(jié)構(gòu)函數(shù)

簡單系統(tǒng)事故樹的結(jié)構(gòu)函數(shù)——與門的結(jié)構(gòu)函數(shù)

二、事故樹的定性分析1.StructureFunction/結(jié)構(gòu)函數(shù)

上式表明，由n個獨立事件用“與門”結(jié)合的事故樹，只要n個基本事件中有一個不發(fā)生(狀態(tài)值為0)，則頂事件就不會發(fā)生(狀態(tài)值為0)。所以，函數(shù)φ(X)決定于基本事件Xi中的最小狀態(tài)值。Theaboveformulaindicatesthatthetopeventwillnotoccur(statevalueis0),ifonebasiceventdoesnotoccur(statevalueis0)inaFTwhichiscombinedbynindependenteventusingANDgate.Therefore,functionφ(X)dependsontheminimalstatevalueofbasiceventXi.

二、事故樹的定性分析1.StructureFunction/結(jié)構(gòu)函數(shù)

簡單系統(tǒng)事故樹的結(jié)構(gòu)函數(shù)——或門結(jié)構(gòu)函數(shù)二、事故樹的定性分析1.StructureFunction/結(jié)構(gòu)函數(shù)

上式表明，由n個獨立事件用“或門”結(jié)合構(gòu)成的事故樹，只要n個基本原因事件中有一個發(fā)生(狀態(tài)值為1)，頂上事件就會發(fā)生(狀態(tài)值為1)。所以，函數(shù)學(xué)φ(X)決定于基本事件Xi，中的最大狀態(tài)值。Itindicatesthatthetopeventwilloccur(statevalueis1),ifanybasiceventoccurs(statevalueis1)inaFTwhichiscombinedbynindependenteventusingORgate.Therefore,thefunctionφ(X)dependsonthemaximumstatevalueofbasiceventXi.

二、事故樹的定性分析2.MinimalCutSet/最小割集

割集和最小割集:導(dǎo)致頂事件發(fā)生的基本事件的集合，也就是說，事故樹中，一組基本事件能夠引起頂事件發(fā)生，這組基本事件就稱為割集，也稱截集或截止集。導(dǎo)致頂事件發(fā)生的最低限度的基本事件的集合稱為最小割集，最小割集是引起頂事件發(fā)生的充分必要條件。

二、事故樹的定性分析2.MinimalCutSet/最小割集

Cutsetandminimalcutset:A

cutsetisasetofbasiceventwhose(simultaneous)occurrenceensuresthatthetopeventoccurs.Thatmeans,asetofbasiceventwillcausethetopeventtooccurinaFTandthesetofbasiceventiscalledcutset.

Asetissaidtobeminimalifthesetcannotbereducedwithoutloosingitsstatusasacutset.Minimalcutsetisthenecessaryandsufficientconditionfortheoccurrenceofthetopevent

二、事故樹的定性分析2.MinimalCutSet/最小割集

求最小割集的方法:求最小割集的方法有多種，但常用的有布爾代數(shù)法和行列法等。

Methodsoffindingminimalcutset:

BooleanalgebraicmethodsandMOCUSalgorithmarethemostcommonusedmethodsamongthoseoffindingminimalcutset.二、事故樹的定性分析2.MinimalCutSet/最小割集

布爾代數(shù)法:化簡布爾函數(shù)，其最簡析取標(biāo)準(zhǔn)式中每個最小項所屬變元構(gòu)成的集合，便是最小割集。若最簡析取標(biāo)準(zhǔn)式中含有m個最小項，則該事故樹有m個最小割集。

根據(jù)布爾代數(shù)的性質(zhì)，可把任何布爾函數(shù)化為析取和合取兩種標(biāo)準(zhǔn)形式。

析取標(biāo)準(zhǔn)形式為：

合取標(biāo)準(zhǔn)形式為：

二、事故樹的定性分析2.MinimalCutSet/最小割集

布爾代數(shù)法:可以證明，Ai和Bi分別是事故樹的割集和徑集。如果定義析取標(biāo)準(zhǔn)式的布爾項之和Ai中各項之間不存在包含關(guān)系，即其中任意一項基本事件布爾積不被其他基本事件布爾積所包含，則該析取標(biāo)準(zhǔn)式為最簡析取標(biāo)準(zhǔn)式，那么為結(jié)構(gòu)函數(shù)f的最小割集。同理，可以直接利用最簡合取標(biāo)準(zhǔn)式求取事故樹的最小徑集。二、事故樹的定性分析2.MinimalCutSet/最小割集

布爾代數(shù)法:用布爾代數(shù)法計算最小割集，通常分四個步驟進行：第一，建立事故樹的布爾表達式。一般從事故樹的頂事件開始，用下一層事件代替上一層事件，直至頂事件被所有基本事件代替為止。第二，將布爾表達式化為析取標(biāo)準(zhǔn)式。第三，化析取標(biāo)準(zhǔn)式為最簡析取標(biāo)準(zhǔn)式。第四，根據(jù)最簡析取標(biāo)準(zhǔn)式寫出最小割集。

化簡最普通的方法是，當(dāng)求出割集后，對所有割集逐個進行比較，使之滿足最簡析取標(biāo)準(zhǔn)式的條件。二、事故樹的定性分析

集合的概念與運算二、事故樹的定性分析2.MinimalCutSet/最小割集

布爾代數(shù)法:在事故樹分析中常用的布爾代數(shù)法則和關(guān)系式

二、事故樹的定性分析2.MinimalCutSet/最小割集

布爾代數(shù)法:[Example3-1]FindminimalcutsetofFTinfigure3.7withBooleanalgebramethods.

X1T·+A1·B1·+X2X1X3A2·X4B2·+X6C·X4X5二、事故樹的定性分析2.MinimalCutSet/最小割集

布爾代數(shù)法:①WritedowntheBooleanexpressionofFT.T=A1+A2=(X1B1X2)+(X4B2)=(X1(X1+X3)X2)+(X4(C+X6))=(X1(X1+X3)X2)+(X4(X4X5+X6))②TurntheBooleanexpressionintodisjunctivenormalform.

T

=

X1X1X2+X1X3X2+X4X4X5+X4X6二、事故樹的定性分析2.MinimalCutSet/最小割集

布爾代數(shù)法:③Findsimplestdisjunctivenormalform.T

=

X1X2+X4X5+X4X6SoFThasthreeminimalcutset:E1={X1，X2}，E2={X4，X5}，E3={X4，X6}。二、事故樹的定性分析2.MinimalCutSet/最小割集

布爾代數(shù)法:Accordingtothedefinitionofminimalcuts,theformerFTcanbesimplifiedintoanothernewequivalentFT.T·+E1E3E2··X1X2··X4X5··X4X6二、事故樹的定性分析2.MinimalCutSet/最小割集

行列法行列法是1972年福塞爾提出的方法，所以也稱其為福塞爾法。其理論依據(jù)是：事故樹“或門”使割集的數(shù)量增加，而不改變割集內(nèi)所含事件的數(shù)量；“與門”使割集內(nèi)所含事件的數(shù)量增加，而不改變割集的數(shù)量。求取最小割集時，首先從頂事件開始，順序用下一事件代替上一層事件，在代換過程中，凡是用“或門”連接的輸入事件，按列排列，用“與門”連接的輸人事件，按行排列；這樣，逐層向下代換下去，直到頂事件全部為基本事件表示為止。二、事故樹的定性分析2.MinimalCutSet/最小割集

行列法最后列寫的每一行基本事件集合，即是一個割集；經(jīng)過簡化，若集合內(nèi)元素不重復(fù)出現(xiàn)，且各集合間沒有包含的關(guān)系，這些集合便是最小割集；一般情況下，需要用布爾代數(shù)法、質(zhì)數(shù)代表法等對各行進行化簡，而求得最小割集。二、事故樹的定性分析2.MinimalCutSet/最小割集

行列法我們看到，頂上事件T與中間事件A1、A2是用“或門”連接的，所以，應(yīng)當(dāng)成列擺開，即

A1、A2與下一層事件B1、B2、X1、X2、X4的連結(jié)均為“與門”，所以成行排列：

二、事故樹的定性分析2.MinimalCutSet/最小割集

行列法下面依此類推：二、事故樹的定性分析2.MinimalCutSet/最小割集

行列法整理上式得：又根據(jù)A＋AB＝A，則X1·X2＋X1·X2·X3＝X1·X2，即二、事故樹的定性分析2.MinimalCutSet/最小割集

行列法二、事故樹的定性分析2.MinimalCutSet/最小割集

行列法:[Example3-2]FindminimalcutsetofFTinfigure3.7withtheMOCUSalgorithm.Thenminimalcutsetis:

E1={X1，X2}，E2={X4，X5}，E3={X4，X6}二、事故樹的定性分析2.MinimalCutSet/最小割集

行列法

于是，就得到三個最小割集{X1，X2}，{X4，X5}，{X4，X6}。按最小割集化簡后的事故樹，如下圖所示:

二、事故樹的定性分析3.MinimalPathSet/最小徑集

徑集與最小徑集:某些基本事件的集合不發(fā)生，則頂上事件也不發(fā)生，把這組基本事件的集合稱為徑集，也稱通集或路集。

使頂事件不發(fā)生的最低限度的基本事件的集合稱為最小徑集，如果徑集中任意去掉一個基本事件后就不再是徑集，那么該徑集就是最小徑集。所以，最小徑集是保證頂事件不發(fā)生的充分必要條件。

二、事故樹的定性分析3.MinimalPathSet/最小徑集

Pathsetandminimalpathset:

Ifcertainbasiceventsetdoesnotoccur,thetopeventwillnotoccureither.Thesetofthesebasiceventsarepathset.Aminimalpathsetistheminimumbasiceventwhichcausetopeventnottooccur.Ifonebasiceventiseliminatedfromthepathset,itisnolongerapathset;thenthepathsetissaidtobeminimal.Therefore,minimalpathsetisthenecessaryandsufficientconditionwhichensuresthatthetopeventwillnotoccur.二、事故樹的定性分析3.MinimalPathSet/最小徑集

求最小徑集的方法:（1）對偶樹法。根據(jù)對偶原理，成功樹頂事件發(fā)生，就是其對偶樹（事故樹）頂事件不發(fā)生。因此，求事故樹最小徑集的方法是，首先將事故樹變換成其對偶的成功樹，然后求出成功樹的最小割集，即是所求事故樹的最小徑集。

二、事故樹的定性分析3.MinimalPathSet/最小徑集

將事故樹變?yōu)槌晒涞姆椒ㄊ?，將原事故樹中的邏輯或門改成邏輯與門，將邏輯與門改成邏輯或門，并將全部事件符號加上“′”，變成事件補的形式，這樣便可得到與原事故樹對偶的成功樹。二、事故樹的定性分析3.MinimalPathSet/最小徑集

求最小徑集的方法:根據(jù)德.摩根律（A+B）’＝A’·B’

（A·B）’＝A’+B’

事件或的補等于補事件的與，事件與的補等于補事件的或。二、事故樹的定性分析3.MinimalPathSet/最小徑集

求最小徑集的方法:根據(jù)這一規(guī)律成功樹：我們把事故樹的事件發(fā)生用事件不發(fā)生代替，把與門用或門代替，或門用與門代替，得到與原事故樹對偶的成功樹，就可以利用成功樹求出原事故樹的最小徑集。對于成功樹，它的最小割集是使其頂上事件（原事故樹頂上事件的補事件）發(fā)生的一種途徑，即使原事故樹頂上事件不發(fā)生的一種途徑。所以，成功樹的最小割集就是原事故樹的最小徑集。只要求出成功樹的最小割集，也就求出了原事故樹的最小徑集。二、事故樹的定性分析3.MinimalPathSet/最小徑集

求最小徑集的方法:利用成功樹求最小徑集，關(guān)鍵是熟練掌握各種邏輯門的變換情況，以便正確地作出成功樹，邏輯門的變換遵從德·摩根律，最基本的是與門和或門，其變換原則已如上述。另外，經(jīng)常用到的還有條件或門、條件與門和限制門的變換。我們將各種邏輯門的變換情況集中列在下圖中，以便于查閱。二、事故樹的定性分析3.MinimalPathSet/最小徑集

一些常見的邏輯門轉(zhuǎn)換關(guān)系如圖3.8所示?！x1x2+T′x1′x2′·Tx1x2+T′x1′x2′二、事故樹的定性分析3.MinimalPathSet/最小徑集

一些常見的邏輯門轉(zhuǎn)換關(guān)系如圖3.8所示?！x1x2α+T′x1′x2′x3′TBα+T′α′B二、事故樹的定性分析3.MinimalPathSet/最小徑集

一些常見的邏輯門轉(zhuǎn)換關(guān)系如圖3.8所示。+Tx1x2α·T′α′+x1′x2′A(e)二、事故樹的定性分析3.MinimalPathSet/最小徑集

求最小徑集的方法:[Example3-3]FindminimalpathsetofFTinfigure3.7withdualtreemethod.

First,transformFT.Second,simplifythesuccesstreewiththedeterminantorBooleanalgebramethodstofindminimalcutsetofthesuccesstree.ThatisminimalpathsetoftheformerFT.二、事故樹的定性分析3.MinimalPathSet/最小徑集

X1T·A1·+B1·X2X1X3A2·+X4B2·X6C·+X4X5′′′′′′′′′′′′′′X1T·+A1·B1·+X2X1X3A2·X4B2·+X6C·X4X5二、事故樹的定性分析3.MinimalPathSet/最小徑集

求最小徑集的方法：用T’、A1’、A2’、B1’、B2’、C’、X1’、X2’、X3’、X4’、X5’、X6’分別表示各事件T、A1、A2、B1、B2、C、X1、X2、X3、X4、X5、X6不發(fā)生。用求最小割集的第三種方法，即用布爾代數(shù)化簡法，求最小徑集：二、事故樹的定性分析3.MinimalPathSet/最小徑集

求最小徑集的方法：

T’＝A1’·A2’

＝(X1’＋B1’＋X2’)·(X4’＋B2’)

＝(X1’＋X1’·X3’＋X2’)·(X4’＋C’·X6’)

＝(X1’＋X2’)·[X4’＋(X4’＋X5’)·X6’］＝(X1’＋X2’)·(X4’＋X4’·X6’＋X5’·X6’)

＝(X1’＋X2’)·(X4’＋X5’·X6’)

＝X1’·X4’＋X1’·X5’·X6’＋X2’·X4’＋X2’·X5’·X6’二、事故樹的定性分析3.MinimalPathSet/最小徑集

求最小徑集的方法：

這樣，就得到成功樹的四個最小割集，經(jīng)對偶變換就是事故樹的四個最小徑集，即

T＝(X1＋X4)·(X1＋X5＋X6)

·(X2＋X4)·(X2＋X5＋X6)每一個邏輯和就是一個最小徑集，則得到事故樹的四個最小徑集為{X1,X4}，{X2,X4}，{X1,X5,X6}，{X2,X5,X6}二、事故樹的定性分析3.MinimalPathSet/最小徑集

求最小徑集的方法：Theminimalcutsetofsuccesstreeare:

{X1＇，X4＇}，{X2＇，X4＇}，{X1＇，X5＇，X6＇}，{X2＇，X5＇，X6＇}Therefore,theminimalpathsetofFT:

{X1，X4}，{X2，X4}，{X1，X5，X6}，{X2，X5，X6}.二、事故樹的定性分析3.MinimalPathSet/最小徑集

求最小徑集的方法：同樣，也可以用最小徑集表示事故樹，其中P1,P2,P3,P4分別表示四個最小徑集。二、事故樹的定性分析4.FunctionsofMinimalCutSetandMinimalPathSetinFTA

最小割集在事故樹分析中的作用：(1)表示系統(tǒng)的危險性。最小割集的定義明確指出,每一個最小割集都表示頂