北師大版 七年級數(shù)學(xué) 乘法公式

*桑茫公式跖

骸課前刪忒

【題目】課前測試

(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)=

【答案】|x(316-1)

【解析】

解：(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)

=*x(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)

=*x(32-1)(32+1)(34+1)(38+1)

=?-I)(34+1)(38+1)

寺(316-1).

故答案為：1x(316-1).

總結(jié)：本題考查的是平方差公式的應(yīng)用，平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等

于這兩個數(shù)的平方差，(a+b)(a-b)=a2-b2.

【難度】4

【題目】課前測試

如果a+b+|Vc^l-ll=4V^2+2Vb+T-4,那么a+2b-3c=.

【答案】0

【解析】

解：原等式可變形為：

a-2+b+l+NcT'1|=4\/a-2+2Vb+l-5

(a-2)+(b+1)+|G-1|-4信-2阿+5=0

(a-2)-4孤互+4+(b+1)-2后I+l+|G>l|=0

(曰-2產(chǎn)+(后I-1)2+|G-l|=0;

即：Va—2'2=0,Jb+1'1=0<Vc—1-1=0,

??Va-2=2,Vb+l=l，Vc-l=l，

.1.a-2=4,b+l=l,c-1=1,

解得：a=6,b=0,c=2;

.,.a+2b-3c=6+0-3x2=0.

總結(jié)：此題較復(fù)雜，能夠發(fā)現(xiàn)所給等式的特點(diǎn)，并能正確地進(jìn)行配方是解答此題的關(guān)鍵.

【難度】3

適用范圍北師大版，七年級

知識點(diǎn)概述：本章重點(diǎn)部分是平方差公式和完全平方公式的熟練運(yùn)用，本章節(jié)要求學(xué)生能

獨(dú)立推導(dǎo)乘法公式、了解公式的幾何背景，并能利用公式進(jìn)行簡單運(yùn)算。

適用對象:成績中等偏上的學(xué)生

注意事項(xiàng):需要學(xué)生熟練掌握平方差和完全平方公式

重點(diǎn)選講：

f-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

①利用公式化簡求值

I

②找規(guī)律

③乘法公式的幾何應(yīng)用

如衣椅理

摩如出精,鋰1:平右爰公式

\1/

［管.平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2

歸納：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差。

結(jié)構(gòu)特征：

①左邊是兩個二項(xiàng)式相乘，并且這兩個二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，；另一項(xiàng)互為相反數(shù);

②右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差（相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方）.

摩如詛精,if2：完全平右公式

亍強(qiáng)?完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b2

歸納：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加（或減）它們的積的2倍。

結(jié)構(gòu)特征：

左邊是二項(xiàng)式（兩數(shù)和（差））的平方；右邊是兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的

兩倍。

礪艘需第

題型1:利用公式化簡求值

223324

心艮據(jù)(x-1)(x+1)=x?1,(x-1)(x+x+l)=x-1z(x-1)(x+x+x+l)=x

-1，…的規(guī)律，則可以得出22叫22016+22015+...+23+22+2+1的結(jié)果可以表示為

【答案】22018.1

【解析】

22017+22016+22。15+...+23+22+2+1

=(2-1)(22017+22016+22015+...+23+22+2+1)

=220”.1.

故答案為：22。18.1.

總結(jié)：考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，本題主要鍛煉學(xué)生從已知的題中找規(guī)律，學(xué)生平時要注意培

養(yǎng)自己的總結(jié)概括能力.

【難度】4

【題目】題型1變式練習(xí)1:利用公式化簡求值

簡便計(jì)算：80002-16000x7998+79982=

【答案】4

【解析】

解:80002-16000x7998+79982

=80002-2x8000x7998+79982,

二(8000?7998)x(8000-7998),

=2x2,

=4.

故答案為：4.

總結(jié)：本題考查了對完全平方公式的靈活運(yùn)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算的能力.

【難度】3

【題目】題型1變式練習(xí)2:利用公式化簡求值

2

2

已知x_4x+l=0,那么dX的值是______________

x-4x+1

【答案】擊

【解析】

解：把x2-4x+l=0方程兩邊都除以x得，x+§=4,

兩邊平方得，X2+方■+2=16,

X

所以,x2+-^-=14,

X

91

—_____-

X4-4X2+1xY;y14-410-

故答案為：擊.

總結(jié)：本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，把已知條件與所求代數(shù)式進(jìn)行變形出現(xiàn)x互為倒數(shù)

的和的形式是解題的關(guān)鍵.

【難度】4

題型2:找規(guī)律

如圖，觀察下列各式：

(X-1)(X+1)=x2-1

(X-1)(x2+x+l)=x3-1

(x-1)(x3+x2+x+l)=x4-1,

根據(jù)前面各式的規(guī)律可得(x-1)(xn+xn-1+...+X+1)=(其中n為正整數(shù)).

【答案】X-1-1

【解析】

解：(X-1)(Xn+XnT+...X+1)=Xn+1-1.

故答案為：xn+1-1.

總結(jié)：本題考查了平方差公式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：右邊X的指數(shù)正好比前邊X的最高指數(shù)大1是

解題的關(guān)鍵.

【難度】3

【題目】題型2變式練習(xí)1:找規(guī)律

若mi,m2，…m2oi5是從0,1,2這三個數(shù)中取值的一列數(shù)，若mi+m2+...+m20i5=1525,

222

(mi-1)+(m2-1)+...+(m2oi5-1)=1510,則在mizm2,...012015中,取值為

2的個數(shù)為_____________

【答案】510

【解析】

2

解：?；(m-1)2+(m2-1)2+...+(m2oi5-1)=1510,

.mi,m2，…，m2oi5是從0,1,2這三個數(shù)中取值的一列數(shù),

..mi,m2，…，012015中為1的個數(shù)是2015-1510=505,

；mi+m2+…+m20i5=1525,

??.2的個數(shù)為(1525-505)+2=510個.

故答案為：510.

總結(jié)：此題考查完全平方的性質(zhì)，找出運(yùn)算的規(guī)律.利用規(guī)律解決問題.

【難度】3

【題目】題型2變式練習(xí)2:全等三角形的判定和性質(zhì)

觀察下歹II各式:(X-1)(x+1)=x2-1；(X-1)(x2+x+l)=x3-1;(x-1)(x3+x2+x+l)

=x4-1...

m

(1)根據(jù)上面各式的規(guī)律得：(x-1)(X-1+xm-2+xm-3+...+x+l)=；(其

中n為正整數(shù))；

(2)根據(jù)這一規(guī)律，計(jì)算1+2+22+23+24+...+268+269的值.

【答案】(1)xm-1(2)27。-1

【解析】

解：(1)(X-1)(Xm-1+Xm-2+Xm-3+...+x2+x+l)=xm-1;

(2)根據(jù)上面的式子可得:l+x+x2+x3+...+xn=(xn+1-1)-T(X-1),

.-.l+2+22+...+268+269=(269+1-1)+(2-1)=270一i.

總結(jié)本題考查了平方差公式，認(rèn)真觀察各式根據(jù)指數(shù)的變化情況總結(jié)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【難度】3

題型3:乘法公式的幾何應(yīng)用

如圖（1）所示在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形（a>b）,把拿下的部

分剪拼成一個矩形如圖（2）所示，通過計(jì)算兩個圖形陰影部分的面積，驗(yàn)證了一個等式,

則這個等式是（）

圖⑴圖②

A.a2-b2=(a+b)(a-b)B.(a+b)2=a2+2ab+b2

C.(a-b)2=a2-2ab+b2D.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2

【答案】A

【解析】

解曲題可得:a2-b2=(a-b)(a+b).

故選：A.

總結(jié)：此題主要考查了平方差公式的幾何背景.解題的關(guān)鍵是運(yùn)用陰影部分的面積相等得出

關(guān)系式.

【難度】2

【題目】題型3變式練習(xí)1:乘法公式的幾何應(yīng)用

從邊長為a的正方形內(nèi)去掉一個邊長為b的小正方形(如圖1),然后將剩余部分剪拼成一

個矩形(如圖2),上述操作所能驗(yàn)證的等式是()

困1圖2

A.(a-b)2=a2-2ab+b2B.a2-b2=(a+b)(a-b)

C.(a+b)2=a2+2ab+b2D.a2+ab=a(a+b)

【答案】B

【解析】

解：?從邊長為a的正方形內(nèi)去掉一個邊長為b的小正方形，剩余部分的面積是：a2-b2,

拼成的矩形的面積是：(a+b)(a-b),

根據(jù)剩余部分的面積相等得:a2-b2=(a+b)(a-b),

故選：B.

總結(jié)：本題考查了平方差公式的運(yùn)用，解此題的關(guān)鍵是用算式表示圖形的面積，用的數(shù)學(xué)思

想是轉(zhuǎn)化思想，即把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成用數(shù)學(xué)式子表示出來.

【難度】3

【題目】題型3變式練習(xí)2:乘法公式的幾何應(yīng)用

如圖，由一個邊長為a的小正方形與兩個長、寬分別為a、b的小矩形拼接成矩形ABCD,

則整個圖形可表達(dá)出一些有關(guān)多項(xiàng)式分解因式的等式，請你寫出其中任意三個等式：

【答案】a2+2ab=a(a+2b);

a(a+b)+ab=a(a+2b);

a(a+2b)-a(a+b)=ab

【解析】

解：把圖形分割成一個正方形，兩個長方形計(jì)算面積，則有：a2+2ab=a(a+2b);

把圖形分割成兩個長方形，一邊長分別是a+b,b，寬都是a，則有2(a+b)+ab=a(a+2b);

用整個圖形的面積減去一個邊長為a,a+b的長方形，得到另外一個長方形,邊長是a,b,

即：a(a+2b)-a(a+b)=ab.

故本題答案為:a2+2ab=a(a+2b);a(a+b)+ab=a(a+2b);a(a+2b)-a(a+b)

=ab.

總結(jié)：本題考查了用面積分割法檢驗(yàn)乘法算式，是學(xué)習(xí)乘法運(yùn)算最常見的形式，這種方法形

象直觀，容易理解.

【難度】2

【題目】興趣篇1

如圖，正方形ABCD的邊長為a,點(diǎn)E在AB邊上，四邊形EFGB也是正方形，它的邊長為

b(a>b),連結(jié)AF、CF、AC.

(1)用含a、b的代數(shù)式表示GC=；

(2)若兩個正方形的面積之和為60,即a2+b2=60,又ab=20,圖中線段GC的長;

(3)若a=8,MFC的面積為S,則S=.

【答案】(1)a+b(2)10(3)32

【解析】

解：(1);GC=GB+BC,

.■.GC=a+b

(2)V(a+b)2=a2+b2+2ab=60+20x2=100

.-.a+b=10

.-.GC=10

(3)S?AFC=S4AFE+S口FGBE+SSBC-S-FGC

=4b(a-b)+b2+^-a2-7-b(b+a)

222

=《ab-7-b2+b2+7-a2--^-b2-《ab

22222

=—x82

2

=32

總結(jié)：本題主要考查了完全平方公式運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是完全平方公式展開與合并.運(yùn)用幾

何直觀理解、通過幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對完全平方公式做出幾何解釋的知識點(diǎn).

【難度】3

【題目】興趣篇2

如圖，我校一塊邊長為2x米的正方形空地是八年級1-4班的衛(wèi)生區(qū)，學(xué)校把它分成大小

不同的四塊，采用抽簽的方式安排衛(wèi)生區(qū)，下圖是四個班級所抽到的衛(wèi)生區(qū)情況，其中1班

的衛(wèi)生區(qū)是一塊邊長為(x-2y)米的正方形，其中0<2y<x.

(1)分別用x、v的式子表示八年3班和八年4班的衛(wèi)生區(qū)的面積；

(2)求2班的衛(wèi)生區(qū)的面積比1班的衛(wèi)生區(qū)的面積多多少平方米？

【答案】(I)x2-4y2x2-4y2(2)8xy

【解析】

解：(1)八年3班的衛(wèi)生區(qū)的面積=(x-2y)[2x-(x-2y)]=x2-4y2;

八年4班的衛(wèi)生區(qū)的面積=(x-2y)[2x-(x-2y)]=x2-4y2;

(2)[2x-(x-2y)]2-(x-2y)2=8xy.

答：2班的衛(wèi)生區(qū)的面積比1班的衛(wèi)生區(qū)的面積多8xy平方米.

總結(jié)：本題考查的是平方差公式的幾何表示，根據(jù)幾何圖形表示出相關(guān)圖形的面積、正確應(yīng)

用平方差公式和完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

【難度】3

【題目】備選題目1

已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程(x2+2x+3)(3y2+2y+l)，則

x+y=__________________

【答案】

【解析】

4

解：???(x2+2x+3)(3y2+2y+l)=—,

(x+1)2+2][3y2+2y+l]x3=4,

.-.[(x+l)2+2][9y2+6y+3]=4,

22

.?.[(x+l)+2][(3y+l)+2]=4,

V(x+1)2>0,(3y+l)2>0,

/.x+l=0,3y+l=0,

..x=-1i,y=-—1,

4

--X+y='3-

總結(jié)：本題考查了完全平方公式，巧妙運(yùn)用了完全平方公式和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，整理成平方的

形式是解題的關(guān)鍵.

【難度】3

【題目】備選題目2

若|x+y-4|+(xy-3)2=0,求x?+y2的值.

【答案】