2022年佛山市普通高中高三教學質量檢測數學分析報告

2022年佛山市普通高中高三教學質量檢測（二）

數學學科分析報告

佛山市教育局教學研究室2022.4

一、命題指導思想

2022年高考數學（廣東卷）命題遵循《2022年廣東省高考〈考

試大綱〉的說明》要求，認真落實命題指導思想堅持“注重數學本質，

深化能力考查”的思路，以能力考查為主，加強對數學基礎的考查，

體現應用意識與探究創(chuàng)新同時查漏補缺，為后階段一個月的復習

提供服務與參考為命題思路.在命題選材上和形式上更加注重與高考

接軌,強調原創(chuàng),模擬真實情境.

加強對基礎知識的考查，突出基本思想和方法以及基本技能的

考查.數學學科的系統(tǒng)性和嚴密性決定了數學知識之間深刻的聯系，

各部分知識存在著縱向和橫向的聯系，在知識交匯處設計試題，能更

好地檢測考生對知識的理解和具備數學能力的狀況.堅持在選擇題和

填空題中以中等難度和容易題為主考查數學基礎；堅持知識的綜合

性，注重在知識網絡交匯處設計試題.注重考查對數學概念的理解運

用，引導從數學概念出發(fā)解決問題，淡化特殊技巧.

深化能力考查.在全面考查基本能力的同時，突出學科核心能力

的考查能力立意”以知識為載體，以數學思想方法為主要工具.

體現應用意識和探究創(chuàng)新，就是反應新課程特點，創(chuàng)設能反映

和符合學生學習生活實際的試題，考查學生解決簡單數學問題的能

力，以及創(chuàng)設體現學生發(fā)現問題、提出問題、創(chuàng)造性解決問題的能力

的試題.堅持對應用意識的考查必須貼近生活、背景公平、難度符合

考生實際的原則.

二'試卷特點

（―）加強考查基礎知識、基本概念，重點考查主干知識

加強對基礎知識的考查就是加強對數學“雙基”的考查，主要體現

在三個方面：一是加大了試題中基礎知識的比重，并達到必要的深度;

而是在選擇、填空題的必做部分主要考查必修內容；三是合理調節(jié)選

擇、填空題的難度，這部分試題均設置為容易或中等難度題.

加強對基礎知識的考查還體現在對知識的考查即全面又突出重

點.試題覆蓋了主要知識點，對支撐學科知識體系的主干知識進行了

重點考查.

2022年佛山質檢與09年試題主要知識點賦分比較:

文科理科

佛佛佛佛

分類2009山山2009山山

高考高考

模模模模

代數：

7

包括函數及其導數性質和應6870726568

0

用，三角函數，數列，不等式

幾何：包括立體幾何，坐標方

494848484948

法與向量（解析幾何及向量）

概率與統(tǒng)計

201915251717

包括概率、統(tǒng)計

合計137137135138134135

注：以上按試題素材的內容劃分，不涉及解答方法內容

加強對基礎知識的考查還體現在注重知識之間的綜合方面.為實

現對基礎知識的考查達到必要的深度，除注重考查主干知識外，無論

是選擇、填空，還是解答題都注重在知識的交匯處設計試題。強調知

識之間的交叉、滲透和綜合.這一命題思想貫穿全卷.如理科第1題綜

合了函數定義域、簡單一元二次不等式、集合的交并補運算等模塊間

的知識；理科第5題綜合了簡單的三角恒等變化和角公式的正逆使

用、誘導公式等模塊內知識.解答題部分則更是體現得淋漓盡致.如文

科16題綜合了三角同角函數圖像特征和正余弦定理的應用、和角公

式的運用等知識.理科17題綜合了統(tǒng)計（圖、表）分析的概率期望等

知識點.理科21（文科21）題綜合了函數、導數、數列、不等式等知

識.文科20理20題綜合考查雙曲線、拋物線、圓、直線等知識，全

面而深刻.正是這些綜合使得整份試卷分量厚重，同時也增加了難點.

在客觀試題的設計中綜合考查多個知識點，如理科第6題，考查了常

用邏輯用語中的全部知識；理科第7題，考查指對幕三種函數的圖像

特征.文科10題，綜合考查了二元一次不等式組和均值不等式等章內

知識.

加強對基礎知識的考查還體現在注重通性通法方面.試題情景更

貼近學生實際，解答淡化特殊技巧.試卷中的試題有相當部分是學生

平時接觸過的類型.試題大都可以從基本概念和基本方法出發(fā)，運用

數學思想方法去解決.如理科第8題，考查等差和等比數列的概念，

引導從概念本身出發(fā)解決問題.理科12題考查截距的概念.（本題相

當部分的學生因概念出錯而錯填2）.大部分試題入手較容易、有層

次感，解答題都設置了多個問（甚至問中有問，環(huán)環(huán)相扣），形成一

定的梯度.學生可以跟著設問逐步遞進解決問題.

對知識的考查，注重了對數學概念本質的理解，在試題情景設計

時，注意數學概念的拓展運用，減少靠簡單模仿獲得技巧的作用.文

理兩份試卷，其中在客觀題部分尤為關注考查考生對基本概念的理解

與認識.這也是本次客觀題考生普遍感覺困難的原因.一方面考查概

念，而要將問題說清楚，則又需要強調閱讀理解.這也告訴我們在教

學與學習中一定要好好落實基本概念，加強對概念的理解.講數學一

定要講概念.這也是進入大學進一步學習能力形成的要求.

（三）突出核心能力、深化能力考查

本次二模對考試大綱列出的五種數學能力進行了有意識的

全面考查.其中對反映邏輯思維能力的推理論證能力和運算求解能力

考查貫穿全卷，突出反映在含字母的算式推演運算上，試卷中同一道

題往往涉及多個字母，試題設計更具有數學味道.如理科20、21,著

重以代數運算為主考查考生掌握算理和推理運算的情況，深入考查了

考生對式子正確進行分解變形和組合變形的能力.立體幾何與解析幾

何中的字母運算則更不在話下.這也使得高考試題，考生做起來容易

混淆的重要的原因.

試題對于運算求解能力的考查貫穿全卷.文理科解答題中尤以三

角函數（正余弦定理的應用）、概率統(tǒng)計題的運算量為最大，其中理

科17題是造成整份試卷平均分降低的“罪魁禍首”，數據和閱讀是其

中的最大障礙！

試卷突出考查了空間想象能力，尤為突出對圖形想象的考查.如

理科第3題考查有圖想圖及投影的概念，文科第7題以符號語言閱讀

的方式著重考查考生無圖想圖的能力.文科第18題一常見的錐體的

側位放置方式著重考查有圖想圖能力；理18題以正方體為背景，考

查線面位置關系和定值的描述方式考查有圖想圖能力，重點考查了空

間線面關系，以及識圖，平面空間數量轉化的能力，同時兼顧幾何推

理和數值計算的能力.

抽象概括能力是重要的數學思維能力，試卷突出了對抽象概括能

力的考查，如理科19、20、21題，文科的20、21題.對思維的嚴謹

性和概括能力要求較高.

試題更為關注對數學思想方法的考查.七個基本數學思想在試卷

中都涉及了：

?函數與方程的基本數學思想.（通過函數題）

?數形結合的基本數學思想.（通過函數題，解析幾何綜合題，構

造圖形等）

?分類與整合的基本數學思想.（通過綜合題，概率，函數參數討

論題（文16、17、理19、20））

?化歸與轉化的基本數學思想.（通過數列題）

?特殊與一般的基本數學思想.（通過綜合題，如文理15題）

?有限與無限的基本數學思想.（通過極限、微積分函數題）

?或然與必然的基本數學思想.（通過概率、統(tǒng)計題）

其中，函數與方程的數學思想方法、數形結合的數學思想方法、

化歸與轉化、分類與整合的數學思想方法體現得較為突出.

（四）注重應用意識，考查數據處理能力

新課程和廣東高考十分關注對應用意識和數據處理能力的考查.

本次考試有意針對考生熟知的背景和社會熱點問題進行應用問題的

設計.文科第6題以2022春季西南大旱為背景考查社會捐助等的概率

為題，11題以考生熟悉的志愿者為背景，19題國家助學貸款問題；

理科第9題廣州亞運會的志愿者問題、16題的海上運油問題，17題

的企業(yè)“低碳經濟”的改造問題等等；背景緊緊圍繞廣東考生熟知的

身邊的生活問題.同時逐步引導考生從文字類應用問題向函數模型、

不等式模型、正余弦定理模型、數列模型等的建模能力的應用問題發(fā)

展.

（五）重視創(chuàng)新意識，注重逆向探究

創(chuàng)新意識能較好地反映考生的數學能力與素養(yǎng)，是理性思維的高

層次表現.佛山二模重視了創(chuàng)新意識的考查，通過創(chuàng)設新情境、新設

問和一定深廣度的數學問題，檢測考生對數學知識的遷移和融匯程

度，以及創(chuàng)新性解決問題的能力.對創(chuàng)新意識主要通過情景創(chuàng)新以及

結合數學探究的考查進行.通過創(chuàng)設適度開放需進行探索討論的問

題，給學生創(chuàng)設進行數學探究的空間，進而檢測考生的數學素養(yǎng).本

次考試在情景創(chuàng)新上較為突出，其中理科第4題虛數指數曙問題、第

8等差數列子列問題，文科第9題的對數函數性質問題，19題助學貸

款問題，理科17題的“低碳經濟”的技術改造問題，情景較為新穎.

在設問和題設敘述上，則更突出數學味，強調新穎.如文科14題點到

直線的問題陳述為兩點間距離最小值問題、文20的定值探究等，再

如理科18題，本就是一個最基本的立幾中的定值問題，當采取向量

的方式陳述后，新穎感立顯.在問題探究中，大量采用逆向探究，既

有適當開放的空間，又明確探究的目的.這類問題較多，如文科第二

題復數的虛部的探求，第8題框圖中判斷條件的探求，11題的樣本

總體的探求、13題指數函數底的逆向探索、18題已知多面體體積逆

向探求線面關系等.再如理4題，復數指數塞運算，12題的約束條件

的探求.20題已知直線垂直及弦長比，探求點尸的坐標等，都具有適

度探究的特點.

三、數據分析

（一）各區(qū)平均分'最高分統(tǒng)計（區(qū)統(tǒng)計分）

單位文科均最高理科均最高分

分分分

全市144136

禪城71.1413875.42129

南海65.8114471.91134

順德64.0013569.10136

三水65.8313966.00134

高明58.4013263.7129

（-）各區(qū)平均分、最高分統(tǒng)計（市統(tǒng)計分）

單位文科均最高理科均最高分

分分分

全市66.0814470.67136

禪城75.2413875.78129

南海65.6414471.78134

順德63.3413569.28136

三水73.4813967.16134

高明60.1713264.54129

佛山二模數學

分數段

四'試題及答卷分析

（一）理科試題分析（具體數據以南海為例）

一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分，共40分,在每小題給出的

四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.設。=1<,集合A=3y=^/^^,x訓，fi={xeZ|x2-4<0},則下列

結論正確的是

A.AAB={-2,-l}B.也磯8=(-8,0)

C.AUB=[0,y)D.(^,A)QB={-2,-1}

命題意圖：考查集合的含義、集合的交并補運算，考查函數的定義域、

簡單的一元一次不等式，一元二次不等式

平均分：4.23

說明：本題考查的知識都較為簡單而淺，但綜合性強.一般來說，集

合是起點題，難度不大，但是對于集合的含義和基本的運算要熟練掌

握.

2.已矢口向量3=(1,石)，^=(-1,0),則|Z+2B|=

A.1B.V2C.2D.4

命題意圖：考查向量的坐標數乘運算以及向量模的概念和運算

平均分：4.56

說明：平面向量的考查主要體現于基本的概念和基本的運算，在向量

的復習中要始終關注向量運算的幾何意義，同時讓學生熟練掌握

向量的代數和幾何特征的互表.

3.如圖：正方體中，E、F、G、H、K、L分別為43、

BB】、BiCi>C.DHDID、D4的中點，則六邊形在正方

ABD

命題意圖：考查平行投影的概念和空間想象能力

平均分：4.31

說明：空間幾何體的結構及其體積運算、三視圖和直觀圖等的考查高

考中多有涉及，這部分試題的難度相對不大，著眼于基本結構的認識.

關注逆向探求，即已知空間幾何體體面積，探求相關的邊或三視圖中

呈現出來的邊長.

4.已知z?是虛數單位，使(1+i)"為實數的最小正整數〃為

A.2B.4C.6D.8

命題意圖：考查復數的基本概念、虛數單位的幕指運算特征和二項式

定理.

平均分：3.99

說明：本題表面上看是考查二項式定理，但如若考生熟練虛數指數球

的規(guī)律特征，則難度相對較小.關鍵是把握一些基本的運算.如

(l±i)2=±2i,"=T,史=匚復數問題仍然要以基本概念和基本運算為

1+z1-z

主.

5.已知sin(a+—)+sina=<a<0,則cos(a+紅)等于

3523

4334

A.--B.--C.-D.-

5555

命題意圖：考查和角公式的正逆向使用，誘導公式中的互補與互余關

系以及轉化與化歸思想

平均分：3.03

說明：本題直接取材于人教A版必修4復習參考題中的習題.從中也可

以說明考生對于三角和角公式的熟練運用還存在一定的困難，其中對

于基本誘導公式的靈活運用還需進一步強化.三角函數的簡單的恒等

變換要以突出同角三角函數關系、誘導公式和和差角公式運用為主

6.下列說法中，不走硬的是

A.“國=3”是“x=/’的必要不充分條件；

B.命題〃:VxeR,sinxWl,則―1P:玉eR,sinx>1;

C.命題“若x,y都是偶數，則x+y是偶數”的否命題是“若x,y不

是偶數，則x+y不是偶數”；

D.命題p:所有有理數都是實數，“:正數的對數都是負數，則

(->p)v(->9)為真命題.

命題意圖：考查常用邏輯用語中四種條件、量詞、四種命題和邏輯聯

結詞等四個方面的知識.

平均分：3.11

說明：本題的設計全面而深刻，需要考生熟練運用常用邏輯用語描述

數學問題.事實上，具體到每一個問題而言，難度不大，但問題就出

在考生對一些概念表示似是而非，如本題C中“都不是”和“不都是”

的含義的理解.

7.已知實數機,“滿足0c〃<加<1,給出下列關系式

①2"'=3"②log2m=log3n③/=/

其中可能成立的有

A.0個B.1個C.2個D.3個

命題意圖：考查基本初等函數中的指對暴函數的圖像特征和單調性，

數形結合思想

平均分：1.40

說明：本題考查全面，涉及指對賽三種函數，充分考查考生對函數圖像

和性質的理解水平.同時還考查考生的估算思想.得分率低反映出考

生對指對幕函數和性質還需進一步提升.

8.設“嗎，…，。.（〃24）是各項均不為各的等差數列，且公差d#（）.設￡（"）

是將此數列刪去某一項得到的數列（按原來的順序）為等比數列的最

大的“值，則￡（〃）=

A.4B.5C.6D.7

命題意圖：考查考生對等差等比數列概念和閱讀理解能力和創(chuàng)新意識

平均分：2.38

說明：本題立意深刻，深入考查等差等比數列概念的理解水平.以等

差等比數列中的一個基本事實入題.即若一個等差數列中有連續(xù)的三

項成等比數列，則這個數列公差為零.本題的另一個值得關注的問題

是命題切入的方式.

二、填空題:本大共7小題,考生作答6小題,每小題5分,滿分30分）

（一）必做題（9?13題）

5=0

9.某體育賽事志愿者組織有1000名志愿者，其中參加過2駟用

北京奧運會志愿服務的有250名，新招募的2022生廣州還赳

愿者750名.現用分層抽樣的方法從中選出100名志愿者

否

的服務能力，則選出新招募的廣州亞運會志愿者的天數是

Z

zZ輸/s/

命題意圖：考查分層抽樣方法和閱讀理解能力

（結束）

平均分：4.83第11題圖

10.已知函數/（x）=（sinx+cosx）2-1,xeR,

則/（%）的最小正周期是.

命題意圖：考查同角三角函數關系和倍角公式及周期的概念

平均分：4.72

說明：本題直接取材于教材中的習題的變式，考查最基本的三角函數

問題.事實上，對于三角函數還需進一步突出對函數圖像特征的理解.

11.右圖給出的是計算工+工+工+…+’的值的一個框圖，其中菱形判

24620

斷框內應填入的條件是.

命題意圖：考查對算法程序框圖以及閱讀理解能力

平均分：3.98

2x-y>0,

12.若實數x、y滿足<y2光，且z=2x+y的最小值為3,則實數人的

y>-x+b,

值為.

命題意圖：考查線性規(guī)劃的知識和數形結合思想和你想探究能力

平均分：1.95

說明：本題得分如此之低實出乎意料.事實上，本題在設計之初已經

料到一部分學生會陷入。=2的陷阱.但得分之低卻充分反映出我們考

生的圖形探究能力和逆向探究能力還需進一步提升.

13.若等差數列｛a“｝的首項為",公差為d,前”項的和為S“，則數列

｛2｝為等差數列，且通項為2=《+(〃-1)應.類似地，若各項均為正

nn2

數的等比數列出｝的首項為小公比為4,前〃項的積為7“，則數列｛物｝

為等比數列,通項為.

命題意圖：考查等差等比數列的概念和類比推理能力

平均分：1.21

說明：等差等比數列的類比在教學中應該加以關注.以數列為載體考

查學生的類比能力，典型錯誤為：1)把等差數列的首項為誤為等比數

列的首項；2）把新的等比數列的公比誤為幺；3）誤以為要用到等比數

2

列的前〃項和公式.

（-）選做題（14?15題,考生只能從中選做一題）

14.（坐標系與參數方程）極坐標系中，直線/的極坐標方程為

psin（6+為=2,則極點在直線/上的射影的極坐標是____________.

6

命題意圖：考查極坐標方程、極坐標與直角坐標的轉化

平均分：1.09

說明：錯誤的形式為1）把（p,e）改以（8,p）表達⑵特殊靴三角

函數值混亂，學生答案中出現,葛情況較多.

15.（幾何證明選講）如圖，以AB=4為直徑的圓與△A3C4舸選一y

分別交于E,尸兩點，ZACB=60,則所=.-----/

--------------------------第15題圖

命題意圖：考查幾何證明選講中的圓的內接四邊形性質

平均分：1.85

說明：本題考查對圖形的深入理解和思維的深刻性.是將三角形ABC

特殊化為等邊三角形，答案立刻可以出來，而從學生的答案反映，能這

樣做的學生應該不多，因為選做這道題的學生中，各種各樣的答案都

有.

三、解答題:本大題共6小題，滿分80分，解答須寫出文字說明'證明

過程或演算步驟.

16.（本題滿分12分）

已知海岸邊4B兩海事監(jiān)測站相距60〃mile.為了測量海平面K

兩艘油輪C,。間距離，在A6兩處分別測得4黑-------------1

ZABC=30,"48=45"NC4Z）=60。\'、、、、

在同一個水平面內）.\/

請計算出C,。兩艘輪船間距離.熱堞＜5：_、蓊喘XV

第16題圖

命題意圖：綜合考察正弦定理、余弦定理

以及運用定理解決實際問題的能力，運算求解能力

平均分：5.47

說明：考生做錯的原因有以下幾點：

一、對解三角的這種最常規(guī)的題型很陌生，不知從何入手；

二、解題的思路不夠清晰，不明確在哪個三角形中來求線段CQ

的長，盡做無用功，例如，求完AC,又求3c或求完AZ),又求

BD;

三、運算能力不過關，例如sin75。=°"+娓，cos60°=—,以及

22

最后代入余弦定理運算錯誤等等；

四、題目的圖令考生誤會了，考生以為4B〃CQ,因此解錯；

五、答題過程不規(guī)范，例如，有的考生沒寫明在哪個三角形中

求解，很多考生沒有答數，還有最后結果沒有化成最簡.

17.(本題滿分12分)

某市為鼓勵企業(yè)發(fā)展“低碳經濟”，真正實現“低消耗、高產出”,

施行獎懲制度.通過制定評分標準，每年對本市50%的企業(yè)抽查評估,

評出優(yōu)秀、良好、合格和不合格四個等次，并根據等級給予相應的獎

懲(如下表).某企業(yè)投入100萬元改造，由于自身技術原因，能達到

以上四個等次的概率分別為且由此增加的產值分別為60萬

23824

元、40萬元、20萬元、-5萬元.設該企業(yè)當年因改造而增加利潤為久

(I)在抽查評估中，該企業(yè)能被抽到且被評為合格及其以上等次的

概率是多少？

(II)求J的數學期望.

評估得

(0,60)[60,70)[70,80)[80400]

分

評定等不合

合格良好優(yōu)秀

級格

獎懲（萬

-803060100

元）

命題意圖：考查獨立事件與互斥事件的概率，離散型隨機變量的分布

列和期望，閱讀理解能力和運算求解能力、數據處理能力.

平均分：2.78

說明：一、常見問題

1、審題不清：

①第一問“被評為合格以上等次”，很多學生沒有把“合格”算進

去，只考慮了“良好”與“優(yōu)秀”兩種情況；

②第一問“該企業(yè)被抽到且被評為……”，很多學生沒有考慮“被

抽到”的概率僅為

2

③題目要求的“因改造而增加的利潤”，很多學生沒有減去成本，

即投入改造的100萬元；

2、理解不透徹，解題思路不清晰

企業(yè)改造一定進行，但在評估的時候存在“抽到”與“不抽到”

兩種情況，只有“抽到”的才評定等級，評了等級之后才進行獎懲。

很多同學在答題中只注意了評級之后的獎懲而沒有注意這是在“抽

到”之后才發(fā)生的。

3、答題不規(guī)范

解題中沒有必要的文字說明，很多同學只有結果沒有過程（尤其

第一問）；

4、運算能力欠缺

①第一問簡單的分式運算不過關，粗心大意，比如：

1/11、232323號

2238249664

②部分同學能夠列出期望的表達式，但不能算出正確的結果.

二、幾點建議

1、繼續(xù)加強解題規(guī)范性的訓練，解答題必須寫出必要的文字說明和

解答過程；

2、加強學生閱讀理解能力的培養(yǎng)和訓練；

3、加強數學思想方法在解題中的運用的訓練.

18.（本題滿分14分）

如圖，在棱長為1的正方體A8CD-A用CQ中，P為線段AA上的點,

且滿足^^=4⑸（4>0）.:—77r

（I）當;1=1時，求證：平面ABCQ,平用乙￡,J'//

（II）試證無論4為何值，三棱錐O-P6G:燈}\J

恒為定值；/\\N

（III）求異面直線GP與cq所成的角的余/

命題意圖：考查空間中的線面關系、空間想卜“I"/

第18題圖

運算求解能力、推理論證能力、轉化與化歸的思想.

平均分：7.04

說明：本次考試的立幾題，立意新穎.解法較多.題目第一問人口較寬.

主要考查學生對線面，面面垂直的掌握，學生對這些知識點掌握得比較

好，主要存在問題是對定理運用的嚴謹性與規(guī)范作答上有待進一步規(guī)

-W-

汜.

第二問要求證明三棱錐的體積為定值，通過線面平行時，直線上的

各點到平面的距離相等而實現.但考生對這一幾何性質掌握得不理想.

考生對這一知識點的說理很不充分.往往表述為”無論P點在什么地方,

它到面DBG的距離都相等.”但為什么相等卻沒有說清楚.

第三問很多考生受人這一參數變化的影響，沒能認清楚。5_1面

ABC\D\從而有CBi，尸G.所以在第三問中才使用上坐標法.在確定點

P的坐標時,部分考生設為P(x,O,l-x),則基本可以順利完成.部分考生

想利用人這一參數確定點P的坐標，則往往不能成功.說明學生對直線

上動點的坐標的確定掌握不理想.在后續(xù)訓練中應多注意.

19.(本題滿分14分)

已知函數/(x)=x?+ax+blnx(x>0,實數a,。為常數).

(I)若a=l,O=-1,求函數/(x)的極值；

(II)若a+b=-2,討論函數"X)的單調性.

命題意圖：考查函數與導數的知識、分類與整合思想、函數與方程的

思想和運算求解能力

平均分：5.42

說明：第一問存在問題是:①忽略了定義域的前提條件;②沒有說明極

值點左右兩側導數的符號，從而忽略了單調性的討論；

第二問存在問題是①恒等變形的能力比較差，代數式的變形出現

錯誤;②分類討論的層次混亂甚至是分類討論的意識不強；

的應用問題把握的不夠，總起來講，許多人顯得力不從心.’

20.（本題滿分14分）

22

如圖，拋物線C：/=8x與雙曲線C,:三-4=1（〃>0力>0）有公共焦

ab

點尸2，點A是曲線G，G在第一象限的交點，且|A居1=5.

（1）求雙曲線。2的方程；

（II）以G為圓心的圓M與雙曲線的一條漸近線相切，

圓N:（x-2尸+:/=1.平面上有點p滿足:存在過

點P的無窮多對互相垂直的直線4，個它們分別與圓M,N相交，且直

線4被圓M截得的弦長與直線4被圓N截得的弦長的比為6:1,試求

所有滿足條件的點P的坐標.

命題意圖：綜合考查雙曲線、拋物線的定義和幾何性質、直線與圓的

位置關系，數形結合思想、圖形探究能力、運算求解能力.

平均分：3.64

說明：得0分的有近1100人，3分以下的有3000多人，大部分考生

只思考了第一問.

第一問是求雙曲線方程，主要考查考生對圓錐曲線基本概念的理

解。本小問有兩種方法求解：定義法和待定系數法。從答題情況來看，

考生絕大部分都是采用了待定系數法，極少使用定義法。這說明考生

對圓錐曲線的標準方程的結構形式很熟悉，但對圓錐曲線的定義還不

能靈活地運用。而在使用待定系數法的求解過程中，很多考生能夠將

方程組正確列出，卻不能求出正確結果，這暴露出學生的運算能力的

低下，需要在后期的復習備考中加以重視。

第二問主要涉及直線與圓相切、圓的弦長計算以及尋求不變量的

思想。事實上，第2問總體難度不大，如果考生能靜下心，仔細運算，

即使最終定點P不會求解，也可以得到6分之多.所以在備考中要多

鼓勵學生敢于去做解幾題，即使不能做全，也可以靠步驟多拿分。從

答題情況來看，對弦長的計算考生還比較熟悉，問題還是出在運算上，

考生對字母的運算能力還有待加強。對定點P的求解運用了變與不變

的思想方法，有一定難度，只有很少一些考生答出.在考生的答題過

程中還出現了以下一些問題，值得大家關注：1.有部分考生對兩直線

垂直的斜率關系錯誤地理解成互為相反數；2.很多考生將漸近線方程

寫成了y=±3x,說明考生對標準方程中的a力認識不清.

21.（本題滿分14分）

設a>0,函數/(元)=一一.

(I)證明:存在唯一實數9€(0」)，使，(%)=/；

a

(II)定義數列{/}：X]=0,xn+i=f(G,nwN*.

(i)求證:對任意正整數"都有%T<X0<%；

(ii)當。=2時，若0</4；(4=2,3,4,...),

證明：對任意加wN*都有：|-刈<丁密.

3-4

命題意圖：綜合考查函數與導數、零點的存在性定理、等比數列、絕

對值不等式等知識.考查數學歸納法、放縮法、轉化與化歸思想、函

數與方程的思想；運算求解能力、推理論證能力.

平均分：0.86

說明：反映出的主要問題：

一是考慮問題不嚴謹。有部分同學考慮了單調性，而沒有考慮用

零點存在定理.或知道用零點存在定理但不知道用導數法研究函數單

調性.這種情況得：2分。

二是得4分，就是考慮了單調性也考慮了用零點存在定理.完整完

成第一問。

三是全區(qū)得9分以上人數很少：全區(qū)只有幾個人.一個是說明此類

題.平時沒特別訓練，另外是前面運算量太大，使很多學生沒時間做最

后一題.

還有就是部分同學寫出了變形過程，沒能做徹底，沒有研究到函數

的單調性，也沒有用到零點存在定理.這種情況為了鼓勵學生給1分.

(二)文科試題分析

一'選擇題:本大題共10小題,每小題5分，共50分,在每小題給出的

四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.設。=1<,集合A=3y=4T,x>l},B={-2,-1,1,2},則下列結論

正確的是

A.AA5={-2,-l}B.0A)U8=(-8,0)

C.AUB=(0,+a))D.&A)C|B={-2,-1}

命題意圖：同理科

平均分：4.4

2.設復數z=l+"i(AeR)在復平面對應的點為Z,若國=2(。為

復平面原點)，則復數z的虛部為

A.73B.±V3zC.士也D.±1

命題意圖：考查復數模的運算及其幾何意義，復數的概念

平均分：3.8

3.在抽查某批產品尺寸的過程中，樣本尺寸數據的頻率分布表如下,

則m等于

分

[100,200](200,300](300,400](400,5001(500,600](600,700]

組

頻

1030408020tn

數

頻

0.050.150.20.4ab

率

A.10B.20C.30

D.40

命題意圖：考查頻率分布表及其含義

平均分：4.8

4.單位向量z與坂的夾角為《，則q=

A.y/3B.1C.V2

D.2

命題意圖：考查向量的幾本運算

平均分：3.12

5.已知命題p:基函數的圖像不過第四象限，命題/指數函數都是增

函數.則下列命題中為真命題的是

A.(—>/?)vqB.p/\qC.(—>/?)v(―i/7)

D.(—>p)A(-I^)

命題意圖：考查指數函數與幕函數的圖像和性質，邏輯聯結詞

平均分：3.4

6.我國西南今春大旱.某基金會計劃給與援助，6家礦泉水企業(yè)參

與了競標.其中A企業(yè)來自浙江省，6、C兩家企業(yè)來自福建省，。、

E、/三家企業(yè)來自廣東省.此項援助計劃從兩家企業(yè)購水，假設每

家企業(yè)中標的概率相同.則在中標的企業(yè)中，至少有一家來自廣東省

的概率是

A43C1

--

?55-*2

D1

.5-

命題意圖：考查古典概率、應用意識

平均分：3.96

7.已知a/是兩個不同的平面，/,私〃是不同的直線，下列命題不正

確的是

A.若/_L加,/J_〃，mua,力ua,貝lj/_L二；

B.若I//m,lta,mua,則I〃a;

C.若a_1_反二「|4=’,根ua,m_L/,則加_1_尸；

。?若aJ_/7,〃2_La,〃_L,，,則機J_〃

命題意圖：考查空間中的線面關系、符號語言與圖形語言、文字語言

之間的轉化

平均分：3.52(開$始)

8.如圖給出的是計算工+」+4+...+上的值的一個框圖，節(jié)廠

24620i=i

其中菱形判斷框內應填入的條件是?

s=s+—

A.Z>8?B.Z>9?——3—1

Ij="1"l

C.z>10?D.Z>11?木

命題意圖：同理科

/輸輝/

平均分：3.62(結'束)

9.已知函數/(x)=logjx|在(0,+8)上單調遞增，則第8題圖

A./(3)</(-2)</(1)B./(1)</(-2)</(3)

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

C./(-2)</(1)</(3)D.八3)</■⑴</(-2)

命題意圖：考查對數函數的奇偶性和單調性

平均分：3.77

x+y>\

10.設滿足約束條件<x-y2T,若目標函數z=ar+0y(a>0,。>0)的

2x-y<2

最大值為7,則之+3的最小值為

ah

4n7+4^/3「24

A.4AB.----------C.——

77

D.7

命題意圖：考查線性規(guī)劃知識、基本不等式

平均分：1.56

說明：本題綜合了不等式一章的兩個核心知識，從中也可以反映出考

生綜合解決問題的能力還有待進一步提升.

二、填空題：本大共5小題,考生作答4小題,每小題5分，滿分20分）

（一）必做題⑴?13題）

11.兩個志愿者組織共有志愿者2400人，現用分層抽樣的方法，從

所有志愿者中抽取一個容量為160的樣本，已知從甲志愿者組織中抽

取的人數為150,那么乙志愿者組織志愿者的人數是.

命題意圖：考查分層抽樣的方法、應用意識

平均分：3.34

12.已知橢圓上一點P到兩個焦點之間距離的和為4,其中一個焦點

的坐標為（6,0）,則橢圓的離心率為.

命題意圖：考查橢圓的定義與幾何性質、標準方程平均分：3.88

13.已知函數/（幻=|優(yōu)-1卜2a（a>0,且"1）有兩個零點，貝!的取值范

圍是.

命題意圖：考查指數函數的圖像特征、函數零點的概念、數形結合思

想

平均分：0.46

說明：典型問題：（1）無從下手；（2）用數形結合時，不會作圖形變

換或作圖不標準；（3）沒有分類討論.較多師生此題選擇數形結合方

法，其實還可以直接用代數方法更簡單！

解：/（x）=[a*-“-2a=0=>上/_1=2a=>優(yōu)=1±2a,要使原函數有兩個零

點，則方

程a'=1±2a都要成立.而

⑴a*=l+2a>0,若a>0顯然成立；（2）優(yōu)=1—2a>0且。>0,

貝”可以有0<a<L.

2

（-）選做題（14?15題,考生只能從中選做一題）

14.（坐標系與參數方程）在極坐標中，已知點P為方程

p（cose+sin8）=l所表示的曲線上一動點。（2彳］,則闿的最小值為

命題意圖：考查極坐標、直線的極坐標方程與直角坐標的轉化，點到

直線的距離公式

平均分：1.56c.

15.（幾何證明選講）如圖，以AB=4為直徑的圓與［赫

分別交于E,F兩點，ZACB=60,則歷=__________A上:

命題意圖：同理科'―）

第15題圖

平均分：1.6

三、解答題:本大題共6小題，滿分80分，解答須寫出文字說明'證明

過程或演算步驟.

16.（本題滿分12分）.

已知函數/（x）=sin（<yx+0）（切>0,0<°<乃）的一系列對應值如卜

表:

7C7171冗3%

X0

-7~6~4~2T

y010-10

2

（I）求了（X）的解析式；

（H）若在AABC中，AC=2,BC=3,f（A）=-g,求AABC的面積.

命題意圖：考查三角函數的圖像、性質、五點法、正余弦定理等知識,

考查運算求解能力、推理論證能力.

平均分：5.22

說明：第16題屬于三角函數題，設有2個小題，第1小題求函

數解析式，第2小題是解三角形求值題。本題平均得分為502分左

右，大部分學生只能答對第1小題，而第2問求三角形面積，由于計

算量大，加上有兩種情況考慮，學生能完成的，也只是考慮到一種情

況。從卷面反饋的情況主要有以下幾點：

1、學生把表格中的數據制成圖表，從圖象中求周期；

2、公式不熟悉，把數據代入函數f(x)中求值時，計算錯誤；

3、絕大部分學生計算角A的值時只考慮一種情況，從而求出

面積只有一個解。

17.(本題滿分12分)

已知函數/(x)=+公2+bx(a,beE)在x=-l時取得極值.

(I)試用含。的代數式表示。；

(II)求/(X)的單調區(qū)間.

命題意圖：考查函數與導數、不等式、一元二次方程等知識，考查分

類與整合、函數與方程思想、運算求解能力

平均分：3.64

說明：1、求導數出錯，如：f\x)=3x2+2ax+b;

2、沒有理解極值的含義，如：/(-I)=1x(-1)3+a(-1)2+^(-1)=0,

解得0=4」；

3

3、計算出錯：如：八-1)=l+2o+b=0,解答Z?=—為-1；

4、求出a和b的值,如:

m田二必-i

LTL),，⑴■?衣犯f+6-亦叫fia-l

，彳(K)二、’」MX

二Y'+T)當?%=同工'W小：華

j々［7x)=0嗝塔7片華:T

?\x\2Ax+(2a"/)二。

■，Yi--5

…號二力

?x=-，4取分法件

四、典型解答

為d/?,I-、-"一?

:.%E,或晌＞枸或砒匚-1，L^nJ卷eT為＜-K，T＞，

怎A＞?,dTy?_,

?：專:嬴心二浦3］，刁3，通己向打—

為A=|

依R,力。4以而?

九出K人砧，冬次

18.(本題滿分14分)

如圖所示，AZ＞，平面ABC,CEJ_平面ABC,AC=AD=AB=\,

BC=6,凸多面體ABCE。的體積為L

2

(I)求證：AE〃平面6OE;

(II)求證：平面瓦無，平面3CE.

命題意圖：考查空間中的線面關系、空間幾何體的林根圖

考查空間想象能力、運算求解能力、推理論證能力

平均分:5.56

1、說明：大部分學生能作出“取8E中點G,連結。G,G尸這樣

的輔助線，說明學生對平時訓練的內容印象深刻。

2、也有一些學生利用“取CE中點”，連結AH,FH，,通過證明

面面平行得出線面平行。

3、大部分學生在處理線面平行，線面垂直，面面垂直這些問題中

的格式、表達還算比較清晰

不足之處

1、很多學生沒有利用已知條件的體積，求出CE,而是生硬的說

出GFHAD從而得出線線平行。

2、一些同學在用體積求CE的過程中沒有指出“底面ADEC為梯

形”、“43，面4。七。'

3、學生在第二問表達線線垂直的時候說理不夠清晰

教學建議：

1、加強學生立體幾何解題思維的訓練，“由已知想性質，由所求想判

定”

2、繼續(xù)強調立幾證明的表達以及在利用定理時條件不能漏寫

3、強調用解決錐體體積問題時，必須指明（證明）"底面''和

“高”是什么

4、加強學生在立體幾何中數據的觀察與處理能力

19.（本題滿分14分）

國家助學貸款是由財政貼息的信用貸款，旨在幫助高校家庭

經濟困難學生支付在校學習期間所需的學費、住宿費及生活費.

每一年度申請總額不超過6000元.某大學2022屆畢業(yè)生凌霄在本

科期間共申請了24000元助學貸款，并承諾在畢業(yè)后3年內（按36個

月計）全部還清.

簽約的單位提供的工資標準為第一年內每月1500元，第13個月

開始，每月工資比前一個月增加5%直到4000元.凌霄同學計劃前

12個月每個月還款額為500,第13個月開始，每月還款額比上一月

多x兀.

(I)若凌霄恰好在第36個月(即畢業(yè)后三年)還清貸款，求x

的值；

(II)當x=50時，凌霄同學將在第幾個月還清最后一筆貸款？他

當月工資的余額是否能滿足每月3000元的基本生活費？

(參考數據:1.0518=2.406,1.0519=2.526,1.O520=2.653,1.0521=2.786)

命題意圖：考查等差數列的知識，考查方程思想、運算求解能力、應

用意識

平均分：1.61

說明：(一)學生的優(yōu)勢，發(fā)揚光大

1.本題從生活情景出發(fā)，考查學生的應用數學的能力。

(1)本題方法多，既考查學生對“等差數列、等比數列”的基本概

念的理解，又考查了“求和”公式的應用，很多能從分時間段求

出還款總數。

(2)聰明的學生用小學生都會的方法，每一項寫出，得分很爽，出

現

500*12+(500+x)+(500+2x)+(500+3x)+…(500+24A)=24000

2.學生能根據本題的特點，分別寫出數列的各項，直到“還清所有

款項”，體現了“持之以恒”對未來充滿信心的態(tài)度。

如，第一年還款額是：500*12=6000

第二年還款額是：500*12+550=6550

第三年還款額是：6550+550=7100

第四年還款額是：7100+550=7650

第31年還款額是：25000>24000

(二)學生有待改進的方面：

1.不敢下筆的同學較多，出現很多“0”分卷，反思的是：

(1)不在答題區(qū)解答

(2)時間不夠：前三大題是學生的主戰(zhàn)場，因為花費時間過得而無

暇顧及；

(3)畏懼心理：看到應用題就“敬而遠之”，導致與得分擦肩而過；

(4)未能抓住“主要矛盾”得分：如第19題第(I)題，所求的是

“每月的還款額”，但水平較高的同學則求出“工資額”(用分

段函數表達)雖然思路清晰，但浪費大量的時間和經歷，得不

償失，結果與得分無緣。

2、閱讀能力有待提高，理解題意不清。

如第19題第(I)題，不能領悟是等差數列的求和問題，出現

“500*12+24*(500+%)=24000”的今昔誤

3、計算能力方面還有很大的提升空間。

出現“幼稚”的錯誤，如500*12=3000

會列式，但計算錯誤的大有人在。

4、學生的文字語言、符號語言的表述有待加強.

整個解答過程未出現用文字去分析題意，構成等差數列、等比數列模

型的文字說明，而直接利用“等差數列的求和公式”進行解答者大有

人在。

5、基本等差、等比數列的通項公式、前n項和數學公式的應用有待

加強.

學生雖然理解是等差數列，但公式記不準，導致與得分揮手告別。

6、數學的書寫規(guī)范有待加強。

7、數學的得分技巧有待提高。

⑴分步驟得分；

⑵題意理解不清的，沒能用特值法分步書寫；

⑶文字語言、符號語言的轉化不夠準確。

⑷老師要時刻灌輸給學生觀念：“解答題再難也要啃一口”。

20.(本題滿分14分)

22

如圖，拋物線G：/=8x與雙曲線6：5-二=1(“>0,10)有公共焦

ab

點招，點A是曲線在第一象限的交點，且J

網=5.\/

(I)求雙曲線G的方程；\/x

(H)以耳為圓心的圓M與雙曲線的一條\Jr

漸近線相切，------