【淺析數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透6700字（論文）】

摘要數(shù)形結(jié)合思想方法，顧名思義，就是將數(shù)和形結(jié)合起來的一種思想方法，這種思想方法可以將很復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題形象化及簡單化，能讓學(xué)生更加容易接受和理解，以此來解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題.在數(shù)學(xué)的教學(xué)中，向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合思想非常的重要，它不僅可以讓我們要研宄的數(shù)學(xué)問題變得簡單，還能讓中職生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣變得更加濃厚。本文中首先簡單的介紹數(shù)形結(jié)合思想的提出，然后通過數(shù)形結(jié)合的目標性、反復(fù)性、反復(fù)滲透、學(xué)生參與等原則和概念理論以及思想方法的途徑，然后講述了數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的等價性、雙向性、簡潔性和實踐性等應(yīng)用原則和應(yīng)用實例，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用從以下三個方面來展開：以數(shù)化形，以形解數(shù)，數(shù)形結(jié)合。等方法解決幾何問題，最后做出了總結(jié)。關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；思想；數(shù)學(xué)；教學(xué)；滲透

一、引言眾所周知，數(shù)學(xué)分為代數(shù)和幾何兩大部分。所謂的代數(shù)和幾何主要是針對數(shù)和圖形進行分析和研究的過程，代數(shù)和幾何之間是不僅相對獨立的，而且他們之間的聯(lián)系是密切的。我們常常會面臨復(fù)雜的代數(shù)的復(fù)雜問題，如果我們直接進行計算的話計算量會非常的大而且不好計算，如果我們把所要解決的為題轉(zhuǎn)化成直觀的圖形來看待問題的話我們能夠很直觀的從圖形中找到我們的答案。還有我們平時遇到一些圖形等因為多種因素，比如沒有考慮到輔助線等問題而無法得到相應(yīng)的答案，但是如果我們換一個思路，換一種方法比如坐標軸等工具的協(xié)助，往往能夠很容易就能得到答案。這一種圖形和數(shù)的相互轉(zhuǎn)換又相互協(xié)助的思想方法在數(shù)學(xué)上叫做數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是能夠良好的聯(lián)系數(shù)和形的橋梁，對于我們能快手而準確的解決數(shù)學(xué)問題起著非常重要的作用。數(shù)形結(jié)合教育思想教學(xué)方法的重要教學(xué)應(yīng)用價值及其教學(xué)解題指導(dǎo)功能，已被廣大高校數(shù)學(xué)學(xué)科教育研究工作者所廣泛認識，其數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)研究與教學(xué)實踐也逐漸變得深入。然而，數(shù)形結(jié)合思想在我們的學(xué)校教育的實際教育教學(xué)工作中沒有能夠很好的落實到位，而它沒有落實到位的主要表現(xiàn)在教師在教學(xué)過程中沒有能夠明確數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)目標，也沒有能夠在教學(xué)過程中做到合理的安排并帶領(lǐng)學(xué)生一步步的了解其含義和應(yīng)用，沒有做到由淺入深，有簡單到復(fù)雜的過程。在教學(xué)課堂中盲目性，隨意性較大，甚至有的教師在教學(xué)過程中把簡單的數(shù)形結(jié)合思想看成一種解題的手段，只是在教學(xué)過程中一帶而過。

二、數(shù)形結(jié)合思想概念的提出恩格斯有句名言：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)?！盧EF_Ref26053\r\h[2]數(shù)形結(jié)合這種思想方法研究分析并揭示問題所包含的數(shù)學(xué)意義和幾何直觀，這樣就能夠?qū)?shù)學(xué)符號語言和圖形結(jié)合起來，從而能夠?qū)崿F(xiàn)形象思維和抽象思維的統(tǒng)一。著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！盧EF_Ref26157\r\h[3]這首小詞能夠揭示“數(shù)形結(jié)合”這種數(shù)學(xué)思想方法的本質(zhì)和其價值。數(shù)形結(jié)合的思想方法從字面的意思來看就是把我們所學(xué)的代數(shù)和幾何結(jié)合起來的思想方法。運用這種方法的過程中，通過“以數(shù)助形”的這種數(shù)學(xué)思想方法可以使復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，使抽象思維為變?yōu)樾蜗笏季S。REF_Ref9332\r\h[2]通過“以數(shù)輔形"的這種教學(xué)思想方，有利于充分發(fā)展培養(yǎng)學(xué)生的多種直覺數(shù)學(xué)思維，形象思維和抽象思維，有利于引導(dǎo)學(xué)生正確把握應(yīng)用數(shù)學(xué)研究問題的理論本質(zhì)，加深對應(yīng)用數(shù)學(xué)的整體認識，實現(xiàn)應(yīng)用數(shù)學(xué)的理論靈活性與數(shù)學(xué)規(guī)律性的有機性相結(jié)合的整體思想教學(xué)方法。在我國數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育中可使教師靈活運用轉(zhuǎn)換數(shù)字和數(shù)學(xué)圖形，能夠十分注重運用數(shù)形原理結(jié)合數(shù)學(xué)思想的轉(zhuǎn)化滲透，可以有效幫助引導(dǎo)學(xué)生簡單、快速的理解和解決復(fù)雜的問題。同時還認為可以有效幫助廣大學(xué)生不斷擴展自己的理論學(xué)習(xí)運維思路，為學(xué)生研究和創(chuàng)新探索現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識體系開發(fā)了一條有效的教學(xué)方法。三、數(shù)形結(jié)合思想的滲透（一）數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的滲透原則1.目標性原則數(shù)學(xué)課程標準中要求應(yīng)當在教學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識時把數(shù)學(xué)的思想方法納入到其教學(xué)中，教師在進行課堂教學(xué)和教學(xué)設(shè)計時應(yīng)該注意數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)目標在課堂教學(xué)中的滲透。數(shù)學(xué)教師注意并掌握數(shù)學(xué)課程中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，能夠有效地分解和細化在中職中某些重要的數(shù)學(xué)思想方法并能夠把數(shù)學(xué)思想方法恰到好處的運用和分配到教學(xué)環(huán)節(jié)當中，能夠在“三維”立體目標中體現(xiàn)出來。所以在滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法時嚴格遵循目標性的原則。2.反復(fù)滲透原則數(shù)學(xué)中的所運用的數(shù)學(xué)方法是具有高度的概括性的，需要教師精心的設(shè)計并在教學(xué)過程中逐步的引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會其內(nèi)涵。因此教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中需要采用反復(fù)滲透的原則。首先，作為教師要深入了解并善于挖掘其課堂教育教學(xué)的內(nèi)容，明白教學(xué)過程需要的教學(xué)方法并能夠設(shè)計好教學(xué)過程和步驟，為逐步滲透數(shù)形結(jié)合思想做準備。其次，教師要在課堂中有意識的運用設(shè)計好的數(shù)學(xué)方法，讓學(xué)生在課堂中盡可能的多積累數(shù)學(xué)思想方法。為了達到這一要求教師需要在教學(xué)過程中反復(fù)滲透數(shù)學(xué)方法。3.學(xué)生參與原則在教學(xué)過程中職生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的指引者和引導(dǎo)者。在中職的數(shù)學(xué)過程中不應(yīng)該以教師講為主，教師在教學(xué)過程中要引導(dǎo)學(xué)生參與到教學(xué)過程來，教師應(yīng)該給多一點空間和時間供學(xué)生思考。教師應(yīng)該善于制造良好的氛圍，使更多的學(xué)生主動地參與到教學(xué)活動中，能夠獨立、積極地思考。從而養(yǎng)成積極思考，愛動手的好習(xí)慣。（二）教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想方法的途徑1.概念理論教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想方法教師在講授數(shù)學(xué)概念知識的過程中應(yīng)該要注意知識的運用的的全過程。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)的課堂中應(yīng)當注意到每一位學(xué)生的學(xué)習(xí)，使學(xué)生養(yǎng)成在課堂上及時學(xué)習(xí)的好習(xí)慣，并且能夠明白自己所學(xué)習(xí)的只是是怎么來的、應(yīng)該在實際問題中怎么運用。概念知識的學(xué)習(xí)是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識最直接的體現(xiàn)，學(xué)生只有自己親身經(jīng)歷并參與到學(xué)習(xí)的全部過程，才能夠真正理解概念的含義。利用數(shù)學(xué)思想方法系統(tǒng)進行數(shù)學(xué)概念化的教學(xué)，可以更好地幫助突破教學(xué)難點，使中職生順利地正確理解數(shù)學(xué)概念。利用直觀的圖形給學(xué)生介紹概念從而幫助學(xué)生能夠更好地理解其含義，促進了中職生對一個概念整體認知的有結(jié)構(gòu)性的發(fā)展。因此在概念理論的教學(xué)過程中滲透數(shù)形結(jié)合的思想是學(xué)生學(xué)習(xí)好數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法的好時機。2.在案例講解中介紹數(shù)形結(jié)合思想方法教師在講解典型的數(shù)學(xué)案例時一定首先要注意能夠特別善于用典型的教學(xué)例子和題對引導(dǎo)學(xué)生自己進行案例解題和教學(xué)示范，要特別注意如何引導(dǎo)他們從中出發(fā)去深入思考，如何引導(dǎo)學(xué)生正確的思考。特別是面對幾何和代數(shù)的問題時要發(fā)散思維，從多個方面入手，題目中看到關(guān)于代數(shù)的問題有意識的想到它的圖形，如果在題目中遇到幾何問題要往代數(shù)方面思考。要有意識的考慮到利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。這種思考的過程不僅鍛煉的師生的邏輯思維，也培養(yǎng)了教師和學(xué)生對于空間的想像力，激發(fā)了他們的創(chuàng)造性意識。3.在習(xí)題解決中鞏固數(shù)形結(jié)合思想方法教師要在解決數(shù)學(xué)習(xí)題的過程中注重解題思路的數(shù)學(xué)思想方法分析，增強解題過程的數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)，提倡解題以后的數(shù)學(xué)思想方法的反思。通過在習(xí)題的解決中親身感受和運用數(shù)形結(jié)合的思想方法的技巧手段和方法，使學(xué)生加深對數(shù)形結(jié)合思想的理解和認識并且能夠真正的學(xué)會這種數(shù)學(xué)思想方法，能夠獨立的解決問題。為學(xué)生能夠在實際操作中利用數(shù)形結(jié)合的思想方法提供了很大的幫助。學(xué)生在利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決分析實際問題的同時也能夠感受數(shù)形結(jié)合的思想方法帶來的便利。能夠讓學(xué)生在解題時把復(fù)雜的抽象問題化成簡單的具體的問題，對于學(xué)生能夠打開視野、突破思考定勢具有很好的意義。四、數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用原則（一）等價性原則在數(shù)學(xué)教學(xué)中利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決同一個問題時會用到數(shù)和形兩種方法，在這兩種方法相互轉(zhuǎn)換過程中就需要用到等價性原則。在實際操作中如果不能做到等價，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)換成幾何問題或把幾何問題轉(zhuǎn)換成幾何問題結(jié)果就會出現(xiàn)偏差。（二）雙向性原則在中職的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法是，我們要注意這兩種轉(zhuǎn)換的優(yōu)缺點和對應(yīng)的轉(zhuǎn)換規(guī)則。面對不同的題目采取不同的方法，有些題目只能用代數(shù)來解決、有些題目只能用幾何來解決、而有些題目需要用到兩者結(jié)合才能解決。所以我們在解決問題時充分發(fā)揮兩種方法的各自的優(yōu)勢，體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法的優(yōu)勢。（三）簡潔性原則教師在講授數(shù)形結(jié)合的思想方法時要盡量保證做到準確、簡潔，向?qū)W生倡導(dǎo)利用簡單的方法解決問題。在解決問題時要做到構(gòu)圖簡單、簡潔，代數(shù)計算時盡量避免復(fù)雜繁瑣的計算方法降低解題難度。在解題中如果不注意這兩點在會浪費我們大量的時間和精力，甚至?xí)霈F(xiàn)解答錯誤或解不出來等狀況（四）實踐性原則數(shù)形結(jié)合的實踐性原則就是指學(xué)生把這種數(shù)學(xué)思想運用到實際的解題過程中來。能夠靈活的運用老師在課堂上所講的方法及學(xué)生自己總結(jié)得來的思想方法。除此之外，學(xué)生需要不斷的進行實際的練習(xí)。

五、數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用（一）以數(shù)化形1.利用代數(shù)法解決幾何問題例題1：如圖1，，則S?AGC=_________圖1例題1解析：延長AG，CG分別交AB，BC于點D，E，連接DE，所作圖如下圖2所示。在Rt?ABC中，因為∠BAC=90o，AB=3，AC=2，所以因為G是?ABC的重心，所以AG=2EG，CG=2DG又因為D，E分別是AB，BC的中心，所以DE∥AC，且設(shè)S?DGE=m，則S?ADG=S?EGC=2m，S?AGC=4m，所以S?ADE=S?BDE=3m，則S?ABC=12m因為12m=3，所以，所以S?AGC=1圖2例題1解析這個例題是關(guān)于求解三角形的面積問題，解決問題的過程，需要用到兩個相同高度的三角形的面積之比等于兩個底部的線段的長度。雖然題目中給出的已知條件很少，但是我們可以通過題干尋找到題目的隱藏條件，即重心的性質(zhì)，只要抓住這個重要的性質(zhì)就可以順利地利用代數(shù)的方法進行解題，使得原本的幾何問題簡單化。這道例題如果直接求解?AGC的面積比較困難，解題步驟比較繁瑣，這時需要應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想進行解題，嘗試選擇用代數(shù)的方法去解決問題，這樣就可以簡化書寫解題的過程。2.利用面積法解決幾何問題例題2：Rt?ABC中，∠ACB=90o，a，b為兩直角邊，斜邊AB上的高為h，求證：圖3例題2解析：在Rt?ABC中，∠ACB=90o，CD⊥AB，所以從而得到ab=AB·h，則a2b2=AB2·h2=(a2+b2)·h2等式的兩邊同時除以a2+b2，得：面積法的一大優(yōu)點是能夠具體化和可視化抽象問題。用面積法解決數(shù)學(xué)問題既可以發(fā)展圖形感，同時可以深入理解各種問題的共同點。此外面積法還可以起到訓(xùn)練學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識的作用。這個例題要證明邊長與高之間的數(shù)量關(guān)系式，單純地從圖形上來判斷，很難知道他們之間的關(guān)系。運用面積法可以輕松地通過面積表達式找出數(shù)量關(guān)系，從而順利地求解出結(jié)果。這道例題要求證明線段之積相等，而且題目所給的條件很少，因此解題時要有發(fā)散性的思維。運用面積法進行證明，只需要兩步就可以證明出來，大大提高了解題效率。應(yīng)用面積法解決幾何問題不僅可以鍛煉學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的意識，而且能夠豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)解題方法。（二）以形解數(shù)1.利用圖形解決不等式問題例題5：解不等式組并寫出它的所有負整數(shù)解解析：解不等式，得；解不等式，得所以原不等式組的解集是，圖4不等式組解集這道例題不僅要求解不等式組的解集，而且要求寫出所有的負整數(shù)解。如果不利用數(shù)軸解決問題，那么很容易將負整數(shù)有所遺漏，造成解題結(jié)果不完整。這時利用數(shù)形結(jié)合思想，借助數(shù)軸解題，通過數(shù)軸來表示不等式組的解集會顯得簡單且清楚，可以清晰直接地看出所有的負整數(shù)解，不僅可以提高了解題的速度，而且可以提高了解題的正確率。不等式組的解集可以用口訣來幫助記憶，但是這個口訣里出現(xiàn)“大”和“小”的次數(shù)較多，學(xué)生在記憶的時候容易出現(xiàn)偏差，而且只是單純地背誦口訣，沒有真正理解其意義。數(shù)軸是建立在實數(shù)和函數(shù)之間各個點一一相互對應(yīng)的關(guān)系，是數(shù)與形之間交流溝通橋梁，使得這種抽象化的數(shù)量關(guān)系具有了一種直觀而又形象的幾何意義。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想求解不等式組的題，不僅可以加深對不等式解集概念的理解，還可以直觀地看出解集。2.利用圖形解決函數(shù)類問題例題6:己知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，現(xiàn)有下列結(jié)論:①abc>0;②b<a+c;③4a+2b+c>0；④bz-4ac>0;其中正確的結(jié)論有()個。A.①B.②C.③D.④分析:①根據(jù)圖像知，拋物線開口向下，則a<0，拋物線對稱軸為x=-1，則b=2a<0，拋物線與y軸交于y,軸正半軸，則c>0，故abc>0，則①正確；②由圖像可知，當x=-1時函數(shù)值大于零，則有a-b+c>0，故有b<a+c，則②正確;③根據(jù)圖像知:當x=1時函數(shù)值小于零，由函數(shù)圖像性質(zhì)當x=2時函數(shù)值也小于零，故有4a+2b+c<0，則③錯誤;④由于函數(shù)圖像與x軸有兩個交點，則△=b2一4ac>0，故④正確。（三）數(shù)形結(jié)合以數(shù)學(xué)為例，下面列出數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中幾種基本函數(shù)中的應(yīng)用。用幾個表格列出，更加有助于直觀的判斷和觀察圖像與函數(shù)的關(guān)系。1.數(shù)形結(jié)合方法在二次函數(shù)中的應(yīng)用二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0)無論是由形推數(shù)，還是由數(shù)思形，都是數(shù)和形在交替發(fā)揮主導(dǎo)作用，從而解決數(shù)學(xué)問題的過程。數(shù)與形各有各的優(yōu)點并相互結(jié)合、互相補充。數(shù)通過其嚴謹?shù)奶匦允剐蔚谋憩F(xiàn)更為準確，形通過其直觀、具象的特點讓數(shù)變得容易理解，進而使人易于接受。所以大多數(shù)情況下都要將數(shù)形結(jié)合起來并相互轉(zhuǎn)換才會找到問題的正確答案。這種數(shù)形并用的方法和羅增儒的思想別無二致，即數(shù)與形的結(jié)合起到了一個雙向溝通的作用，一方面通過幾何圖形將復(fù)雜的代數(shù)結(jié)構(gòu)具象化，另一方面幾何問題也在代數(shù)的理論分析中得到了解決，二者相輔相成?！纠薄慷魏瘮?shù)的平移問題既是圖象中的平移變換內(nèi)容，更是二次函數(shù)基本性質(zhì)的考查，只有確實體會二次函數(shù)每一部分數(shù)值的具體意義，才能得到二次函數(shù)圖象變化的規(guī)律，見圖5。教師在講授這部分的內(nèi)容，可以讓學(xué)生獨立探索相關(guān)的內(nèi)容，再根據(jù)教師在大屏幕上展示的平移變換去總結(jié)規(guī)律。將數(shù)與形對應(yīng)并靈活地運用，有利于更好地培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力。圖5二次函數(shù)的平移步驟學(xué)生們可以自行對圖象與二次函數(shù)解析式之間的關(guān)系進行探索，從而對比、歸納總結(jié)出二次函數(shù)開口、對稱軸、頂點問題。這便是數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)新授課過程中最重要的體現(xiàn)。在圖形變化中讓學(xué)生體會函數(shù)中參數(shù)的意義，在新授課中向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合思想，以探究的形式，使學(xué)生們通過作圖提高其對函數(shù)學(xué)習(xí)的主動性和積極性，教師使用動態(tài)的圖象展示會加深學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的理解，有助于學(xué)生記憶，對于后續(xù)習(xí)題課、復(fù)習(xí)課中利用數(shù)形結(jié)合思想來解決實際問題的題目也有所幫助。2.數(shù)形結(jié)合方法在三角函數(shù)中的應(yīng)用三角函數(shù)sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB【例２】如圖6，己知Rt?ABC中，∠C=90?，AC=6，AB=10，以C為圓心，AC為半徑的?C交AB于點D。求AD的長?！窘馕觥垦娱LAC成直徑AK，連接DK，則?ADK是直角三角形，有cosA=，在直角三角形ACB中，同樣有得則圖6這里就是三角函數(shù)定義代替了相似三角形的判定以及比例式的推導(dǎo)，直接從等角得到比例式，相比較于采用相似三角形的方法更加簡單。

結(jié)束語數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教育方面的有效運用將使學(xué)生數(shù)學(xué)知識的理解能力有所提升，為學(xué)生更好更深入的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識創(chuàng)