高中文科數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)與核心歸納：利用導(dǎo)數(shù)解不等式及參數(shù)范圍

利用導(dǎo)數(shù)解不等式及參數(shù)范圍-2-命題熱點(diǎn)一命題熱點(diǎn)二命題熱點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)證明不等式【思考】

如何利用導(dǎo)數(shù)證明不等式?例1已知函數(shù)f(x)=ex-ax(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點(diǎn)A,曲線y=f(x)在點(diǎn)A處的切線斜率為-1.(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值;(2)求證:當(dāng)x>0時(shí),x2<ex.-3-命題熱點(diǎn)一命題熱點(diǎn)二命題熱點(diǎn)三(1)解

由題意可知點(diǎn)A(0,1).由f(x)=ex-ax,得f'(x)=ex-a.所以f'(0)=1-a=-1,得a=2.所以f(x)=ex-2x,f'(x)=ex-2.令f'(x)=0,得x=ln

2,當(dāng)x<ln

2時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>ln

2時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.所以當(dāng)x=ln

2時(shí),f(x)取得極小值,極小值為f(ln

2)=2-2ln

2=2-ln

4.f(x)無(wú)極大值.(2)證明

令g(x)=ex-x2,則g'(x)=ex-2x.由(1)得g'(x)=f(x)≥f(ln

2)=2-ln

4>0,則g(x)在R上單調(diào)遞增.因?yàn)間(0)=1>0,所以當(dāng)x>0時(shí),g(x)>g(0)>0,即x2<ex.-4-命題熱點(diǎn)一命題熱點(diǎn)二命題熱點(diǎn)三題后反思利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,主要是構(gòu)造函數(shù),通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,由函數(shù)的單調(diào)性證明不等式成立,或通過(guò)求函數(shù)的最值,當(dāng)該函數(shù)的最大值或最小值對(duì)不等式成立時(shí),則不等式是恒成立,從而可將不等式的證明轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.-5-命題熱點(diǎn)一命題熱點(diǎn)二命題熱點(diǎn)三對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2018全國(guó)Ⅲ,文21)已知函數(shù)

.(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,-1)處的切線方程;(2)證明:當(dāng)a≥1時(shí),f(x)+e≥0.因此曲線y=f(x)在(0,-1)處的切線方程是

2x-y-1=0.(2)當(dāng)a≥1時(shí),f(x)+e≥(x2+x-1+ex+1)e-x.令g(x)=x2+x-1+ex+1,則g'(x)=2x+1+ex+1.當(dāng)x<-1時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>-1時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;所以g(x)≥g(-1)=0.因此f(x)+e≥0.-6-命題熱點(diǎn)一命題熱點(diǎn)二命題熱點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)解與不等式恒成立有關(guān)的問(wèn)題【思考】

求解不等式的恒成立問(wèn)題和有解問(wèn)題、無(wú)解問(wèn)題的基本方法有哪些?例2已知函數(shù)f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1).(1)設(shè)a=2,b=.①求方程f(x)=2的根;②若對(duì)于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求實(shí)數(shù)m的最大值;(2)若0<a<1,b>1,函數(shù)g(x)=f(x)-2有且只有1個(gè)零點(diǎn),求ab的值.-7-命題熱點(diǎn)一命題熱點(diǎn)二命題熱點(diǎn)三-8-命題熱點(diǎn)一命題熱點(diǎn)二命題熱點(diǎn)三(2)因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=f(x)-2只有1個(gè)零點(diǎn),而g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0,所以0是函數(shù)g(x)的唯一零點(diǎn).因?yàn)間'(x)=axln

a+bxln

b,又由0<a<1,b>1知ln

a<0,ln

b>0,所以g'(x)=0有唯一解令h(x)=g'(x),則h'(x)=(axln

a+bxln

b)'=ax(ln

a)2+bx(ln

b)2,從而對(duì)任意x∈R,h'(x)>0,所以g'(x)=h(x)是區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)的單調(diào)增函數(shù).于是當(dāng)x∈(-∞,x0)時(shí),g'(x)<g'(x0)=0;當(dāng)

x∈(x0,+∞)時(shí),g'(x)>g'(x0)=0.因而函數(shù)g(x)在區(qū)間(-∞,x0)內(nèi)是單調(diào)減函數(shù),在區(qū)間(x0,+∞)內(nèi)是單調(diào)增函數(shù).-9-命題熱點(diǎn)一命題熱點(diǎn)二命題熱點(diǎn)三-10-命題熱點(diǎn)一命題熱點(diǎn)二命題熱點(diǎn)三題后反思1.不等式的恒成立問(wèn)題和有解問(wèn)題、無(wú)解問(wèn)題的解題方法是依據(jù)不等式的特點(diǎn),進(jìn)行等價(jià)變形.構(gòu)造函數(shù),借助圖象觀察或參變分離,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)處理.如不等式f(x)>g(x)恒成立的處理方法一般是構(gòu)造F(x)=f(x)-g(x),F(x)min>0;或分離參數(shù),將不等式等價(jià)變形為a>h(x)或a<h(x),進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)h(x)的最值.-11-命題熱點(diǎn)一命題熱點(diǎn)二命題熱點(diǎn)三對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)=4x-x4,x∈R.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)曲線y=f(x)與x軸正半軸的交點(diǎn)為P,曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y=g(x),求證:對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,都有f(x)≤g(x);(3)若方程f(x)=a(a為實(shí)數(shù))有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2,且x1<x2,求證:(1)解

由f(x)=4x-x4,可得f'(x)=4-4x3.當(dāng)f'(x)>0,即x<1時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)f'(x)<0,即x>1時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.所以,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞).-12-命題熱點(diǎn)一命題熱點(diǎn)二命題熱點(diǎn)三(2)證明

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,0),則x0=,f'(x0)=-12.曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線方程為y=f'(x0)(x-x0),即g(x)=f'(x0)(x-x0).令函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=f(x)-f'(x0)(x-x0),則F'(x)=f'(x)-f'(x0).由于f'(x)=-4x3+4在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,故F'(x)在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.又因?yàn)镕'(x0)=0,所以當(dāng)x∈(-∞,x0)時(shí),F'(x)>0,當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),F'(x)<0,所以F(x)在區(qū)間(-∞,x0)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(x0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,所以對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,F(x)≤F(x0)=0,即對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,都有f(x)≤g(x).-13-命題熱點(diǎn)一命題熱點(diǎn)二命題熱點(diǎn)三-14-命題熱點(diǎn)一命題熱點(diǎn)二命題熱點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)解函數(shù)中的探索性問(wèn)題【思考】

解決探索性問(wèn)題的常用方法有哪些?例3設(shè)a,b∈R,|a|≤1.已知函數(shù)f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,g(x)=exf(x).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)已知函數(shù)y=g(x)和y=ex的圖象在公共點(diǎn)(x0,y0)處有相同的切線,①求證:f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于0;②若關(guān)于x的不等式g(x)≤ex在區(qū)間[x0-1,x0+1]上恒成立,求b的取值范圍.-15-命題熱點(diǎn)一命題熱點(diǎn)二命題熱點(diǎn)三(1)解

由f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,可得f'(x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)[x-(4-a)].令f'(x)=0,解得x=a或x=4-a.由|a|≤1,得a<4-a.當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:所以,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,a),(4-a,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(a,4-a).-16-命題熱點(diǎn)一命題熱點(diǎn)二命題熱點(diǎn)三②解

因?yàn)間(x)≤ex,x∈[x0-1,x0+1],由ex>0,可得f(x)≤1.又因?yàn)閒(x0)=1,f'(x0)=0.故x0為f(x)的極大值點(diǎn),由(1)知x0=a.另一方面,由于|a|≤1,故a+1<4-a,-17-命題熱點(diǎn)一命題熱點(diǎn)二命題熱點(diǎn)三由(1)知f(x)在區(qū)間(a-1,a)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(a,a+1)內(nèi)單調(diào)遞減,故當(dāng)x0=a時(shí),f(x)≤f(a)=1在區(qū)間[a-1,a+1]上恒成立,從而g(x)≤ex在區(qū)間[x0-1,x0+1]上恒成立.由f(a)=a3-6a2-3a(a-4)a+b=1,得b=2a3-6a2+1,-1≤a≤1.令t(x)=2x3-6x2+1,x∈[-1,1],所以t'(x)=6x2-12x,令t'(x)=0,解得x=2(舍去)或x=0.因?yàn)閠(-1)=-7,t(1)=-3,t(0)=1,因此,t(x)的值域?yàn)閇-7,1].所以,b的取值范圍是[-7,1].-18-命題熱點(diǎn)一命題熱點(diǎn)二命題熱點(diǎn)三題后反思解決探索性問(wèn)題的常用方法:(1)從最簡(jiǎn)單、最特殊的情況出發(fā),有時(shí)也可借助直覺(jué)觀察或判斷,推測(cè)出命題的結(jié)論,必要時(shí)給出嚴(yán)格證明.(2)假設(shè)結(jié)論存在,若推證無(wú)矛盾,則結(jié)論存在;若推出矛盾,則結(jié)論不存在.(3)使用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想,找出命題成立的充要條件.-19-命題熱點(diǎn)一命題熱點(diǎn)二命題熱點(diǎn)三對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3設(shè)函數(shù)f(x)=(x+a)lnx,g(x)=.已知曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線2x-y=0平行.(1)求a的值.(2)是否存在自然數(shù)k,使得方程f(x)=g(x)在區(qū)間(k,k+1)內(nèi)存在唯一的根?如果存在,求出k;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)設(shè)函數(shù)m(x)=min{f(x),g(x)}(min{p,q}表示p,q中的較小值),求m(x)的最大值.解：(1)由題意知,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為2,所以f'(1)=2.-20-命題熱點(diǎn)一命題熱點(diǎn)二命題熱點(diǎn)三-21-命題熱點(diǎn)一命題熱點(diǎn)二命題熱點(diǎn)三-22-命題熱點(diǎn)一命題熱點(diǎn)二命題熱點(diǎn)三-23-規(guī)律總結(jié)拓展演練1.無(wú)論不等式的證明、解不等式,還是不等式的恒成立問(wèn)題、有解問(wèn)題、無(wú)解問(wèn)題,構(gòu)造函數(shù),運(yùn)用函數(shù)的思想,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性和最值),達(dá)到解題的目的,是一成不變的思路,合理構(gòu)思,善于從不同角度分析問(wèn)題是解題的法寶.2.當(dāng)利用導(dǎo)數(shù)求解含參問(wèn)題時(shí),首先,要具備必要的基礎(chǔ)知識(shí)(導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性上的應(yīng)用、函數(shù)的極值求法、最值求法等);其次,要靈活掌握各種解題方法和運(yùn)算技巧,比如參變分離法,分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想等.當(dāng)涉及極值和最值問(wèn)題時(shí),一般情況下先求導(dǎo)函數(shù),然后觀察能否分解因式,若能,則比較根的大小,并與定義域比較位置關(guān)系、分段考慮導(dǎo)函數(shù)符號(hào),劃分單調(diào)區(qū)間,判斷函數(shù)大致圖象;若不能,則考慮二次求導(dǎo),研究函數(shù)是否具有單調(diào)性.-24-規(guī)律總結(jié)拓展演練1.已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)=2,且f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)在R上恒有f'(x)<1,則不等式f(x)<x+1的解集為(

)

A.(-∞,-1)B.(1,+∞)C.(-1,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)答案解析解析關(guān)閉不等式f(x)<x+1可化為f(x)-x-1<0,令g(x)=f(x)-x-1,則g'(x)=f'(x)-1.因?yàn)閒'(x)<1,所以g'(x)<0,則函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減,又g(1)=f(1)-1-1=2-2=0,則g(x)<0,即g(x)<g(1),得x>1.答案解析關(guān)閉B-25-規(guī)律總結(jié)拓展演練2.已知函數(shù)f(x