機(jī)械控制工程基礎(chǔ) 課件 第四章 控制系統(tǒng)的頻域分析

第4章頻域分析4.1頻率特性的基本概念及圖示方法4.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性4.3系統(tǒng)開環(huán)頻率特性4.4閉環(huán)頻率特性及性能分析學(xué)習(xí)重點理解頻率特性的基本概念，掌握其不同的表示方法；掌握典型環(huán)節(jié)的頻率特性，重點掌握系統(tǒng)頻率特性的伯德圖和奈氏圖的繪制方法；建立開環(huán)頻率特性和系統(tǒng)性能指標(biāo)之間的對應(yīng)關(guān)系，能夠定性地分析系統(tǒng)的性能；

頻域分析法：是一種圖解分析方法，基于描述系統(tǒng)的另一種數(shù)學(xué)模型—頻率特性，不必求解系統(tǒng)的微分方程就可以根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能，并能方便的分析系統(tǒng)中的各參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響，指明改進(jìn)系統(tǒng)性能的途徑。是一種工程上廣泛應(yīng)用的方法。研究的問題是系統(tǒng)的瞬態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能；時域分析：重點研究過渡過程，通過階躍或脈沖輸入下的統(tǒng)瞬態(tài)時間響應(yīng)來研究系統(tǒng)性能。

頻域分析：通過系統(tǒng)在不同頻率ω的正弦輸入作用下的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)來研究系統(tǒng)的性能。4.1頻率特性的基本概念及圖示方法比較：RC1、頻率特性的概念例1

RC電路，ui(t)=A0sinwt,求uo(t)=?4.1頻率特性的基本概念及圖示方法RC0穩(wěn)態(tài)輸出：穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的幅值成正比，與輸入同頻率，相位滯后。推廣到一般的線性定常系統(tǒng)：0t頻率響應(yīng)：線性定常系統(tǒng)對正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。頻率響應(yīng)為與輸入同頻率的正弦函數(shù)。頻率特性概念:對于線性定常系統(tǒng)，當(dāng)輸入某一頻率的正弦信號，經(jīng)過充分長的時間后，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)仍是同頻率的正弦信號，當(dāng)不斷改變輸入正弦信號的頻率（由0→∞）時，輸出與輸入幅值比和相位差稱為系統(tǒng)的頻率特性。頻率特性幅頻特性（幅值比）相頻特性（相位差）頻率特性分為：例1，已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為輸入信號，求穩(wěn)態(tài)輸出頻率特性解：頻率特性的求法(1)微分方程→頻率特性在已知系統(tǒng)的微分方程的情況下，當(dāng)輸入為正弦函數(shù)時，求其穩(wěn)態(tài)解，再求G(jω)=Xo(jω)/Xi(jω)；(2)傳遞函數(shù)→頻率特性令傳遞函數(shù)中的s=jω來求取，G(s)→G(jω)；(3)實驗法：一種常用而又重要的方法。如果在不知道系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或數(shù)學(xué)模型時，可以通過實驗獲取頻率特性。系統(tǒng)模型間的關(guān)系頻率特性的特點（1）頻率特性是通過分析系統(tǒng)對不同頻率正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)來獲得系統(tǒng)的動態(tài)特性。（2）頻率響應(yīng)有明確的物理意義，并且可以用實驗的方法獲得，這對于不能用解析法建模的元件或系統(tǒng)，具有非常重要的意義。（3）便于研究系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響。（4）不需要解閉環(huán)特征方程，利用奈奎斯判據(jù)，根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性就可以研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2、頻率特性的表示方法①極坐標(biāo)圖（Nyquist圖）②對數(shù)坐標(biāo)圖（Bode圖）③對數(shù)幅相特性圖（Nichols圖）（1）數(shù)學(xué)式表達(dá)方法（2）圖形表示方法4.1頻率特性的基本概念及圖示方法實頻特性虛頻特性（1）

數(shù)學(xué)式表達(dá)方式①直角坐標(biāo)表達(dá)式（實頻-虛頻）設(shè)系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為令s=jω，可得系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的頻率特性

U(ω)是頻率特性的實部，稱為實頻特性，V(ω)為頻率特性的虛部，稱為虛頻特性。其中：2、頻率特性的表示方法幅頻特性相頻特性②指數(shù)表達(dá)式（幅頻-相頻）A(ω)為復(fù)數(shù)頻率特性的?；蚍?，即幅頻特性φ(ω)為復(fù)數(shù)頻率特性的輻角或相位，即相頻特性其中：（1）

數(shù)學(xué)式表達(dá)方式2、頻率特性的表示方法0變量之間的幾何關(guān)系：(1)極坐標(biāo)圖（Nyquist圖）

在極坐標(biāo)復(fù)平面上，ω由0→∞時的向量G（jω）端點的軌跡，通常稱為極坐標(biāo)圖或奈奎斯特（Nyquist）圖。（2）圖形表示方法2、頻率特性的表示方法映射0G(jw)與w的映射關(guān)系G(jw)曲線是S平面上變量jw沿正虛軸變化時在G(jw)平面上的映射。由于是偶函數(shù)，所以當(dāng)從 和變化時，奈奎斯特曲線對稱于實軸。在曲線上的任意一點可以同時確定實頻、虛頻、幅頻和相頻特性極坐標(biāo)圖實例（2）對數(shù)坐標(biāo)圖（Bode圖）兩邊取對數(shù)，得一般不考慮0.434這個系數(shù)Bode圖分為兩幅圖對數(shù)幅頻特性圖

橫軸：縱軸：對數(shù)相頻特性圖橫軸：縱軸：Bode圖以lgw為橫軸的特點

：縱軸“分貝”橫軸按lgw分度，用w真實值標(biāo)注；Lgw為等間隔分度，對應(yīng)w等比dec“十倍頻程”dec4.2典型環(huán)節(jié)的bode圖1、比例環(huán)節(jié)00K=1K>1K<1對數(shù)幅頻曲線：過點（1，20lgK）的水平線相頻曲線：與0°線重合2、

積分環(huán)節(jié)推廣：v重積分，L(ω)=-20vlgω，幅頻特性曲線過點（1，0），斜率為-20v；相頻曲線：-90v度000.110120-90-180-20-40000.11012090°3、理想微分環(huán)節(jié)-20與積分環(huán)節(jié)相對比，二者傳遞函數(shù)成倒數(shù)關(guān)系，伯德圖關(guān)于橫軸對稱。004、

慣性環(huán)節(jié)低頻漸近線高頻漸近線轉(zhuǎn)折頻率精確曲線005、一階微分環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率與慣性環(huán)節(jié)關(guān)于橫軸（頻率軸）對稱低頻漸近線高頻漸近線6、振蕩環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率00-406、振蕩環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率與二階振蕩環(huán)節(jié)Bode圖對稱于頻率軸。7、二階微分環(huán)節(jié)000.11101008、延遲環(huán)節(jié)4.3系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖4.3.1

開環(huán)Nyquist圖的繪制1、繪制Nyquist圖的基本步驟將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)寫成若干典型環(huán)節(jié)相串聯(lián)的標(biāo)準(zhǔn)形式；1ReIm(-KT，j0)2、例題ReIm2例4-3繪制奈奎斯特圖，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性幅頻相頻ReIm3、總結(jié)規(guī)律（1）Nyquist曲線的低頻段由系統(tǒng)的類型確定；0（2）Nyquist曲線的高頻段總是以順時針方向終止于原點；（3）Nyquist曲線的中頻部分，可以計算一些特殊點，

如：曲線與負(fù)實軸交點。0型、3階Ⅰ型、4階Ⅰ型、3階Ⅱ型、6階3、三個類型系統(tǒng)的Nyquist圖比較例：4.3.2系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)坐標(biāo)圖（伯德（Bode）圖）1、疊加法⑴

開環(huán)傳遞函數(shù)G（s）化為若干典型環(huán)節(jié)頻率特性相乘的形式；⑵

求出各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率、阻尼比ξ等參數(shù)；⑶

分別畫出各典型環(huán)節(jié)的幅頻曲線的漸近線和相頻曲線；⑷

將各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻曲線的漸近線進(jìn)行疊加，得到系統(tǒng)幅頻曲線的漸近線，并對其進(jìn)行修正(存在震蕩環(huán)節(jié)時，用）；⑸

將各環(huán)節(jié)相頻曲線疊加，得到系統(tǒng)的相頻曲線。4.3系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖例1試?yán)L制系統(tǒng)伯德圖。解：1.化成典型環(huán)節(jié)串聯(lián)（相乘）形式

比例積分震蕩慣性一階微分比例積分慣性一階微分震蕩比例：積分：振蕩：慣性：一階微分：

2.各典型環(huán)節(jié)參數(shù)04020-40-200.22201468103、畫近似幅頻折線和相頻曲線并疊加3轉(zhuǎn)折頻率有：，2，3可見，第一轉(zhuǎn)折頻率前為比例和積分的疊加，即：L(ω)=20lgK-20vlgω，

為過點（1，20lgK),斜率為-20v的直線此后，每遇到一個轉(zhuǎn)折頻率，斜率改變一次。

遇到慣性，斜率減小20；遇到一階微分，斜率增加20

遇到振蕩：斜率減小40；遇到二階微分，斜率增加402、順序頻率法傳遞函數(shù)G(s)化為若干典型環(huán)節(jié)頻率特性相乘的形式（尾1形式，振蕩環(huán)節(jié)可用標(biāo)準(zhǔn)形式）；求出各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率、阻尼比ξ等參數(shù)，并將轉(zhuǎn)折頻率按從小到大順序標(biāo)在頻率軸上（橫軸上）；第一轉(zhuǎn)折頻率前，過點（1,20lgK),做斜率為-20v的直線延長該直線，每遇到一個轉(zhuǎn)折頻率，斜率改變一次。

遇到慣性，斜率減小20；遇到一階微分，斜率增加20

遇到振蕩：斜率減小40；遇到二階微分，斜率增加40修正,若存在振蕩環(huán)節(jié)時，用修正；將各環(huán)節(jié)相頻曲線疊加，得到系統(tǒng)的相頻曲線。4.3.2系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)坐標(biāo)圖（伯德（Bode）圖）040-40-200.22201468103、畫近似幅頻折線和相頻曲線并疊加3轉(zhuǎn)折頻率有：，2，3相頻圖仍采用疊加法例3：已知試畫伯德圖解：伯德圖轉(zhuǎn)折頻率有：0.01，0.1，8，20對應(yīng)斜率：+40，-20，-20，-20例4：具有延遲環(huán)節(jié)的開環(huán)頻率特性為：畫出波德圖。解：加入了延遲環(huán)節(jié),系統(tǒng)幅頻特性不改變，相位特性滯后了。例題：系統(tǒng)框圖如圖所示，若K=100,試?yán)L制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性圖210虛線用于輔助找方向4.3.3由系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線（伯德圖）求開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)在低頻段的幅頻特性為(1)由低頻段確定K和ν（低頻段即為第一轉(zhuǎn)折頻率前的頻段）其對數(shù)幅頻特性點為過點(1,20lgK)，斜率為－20dB/dec，與零分貝線（橫軸）交點處的頻率為(2)由高頻段斜率確定系統(tǒng)的組成環(huán)節(jié)根據(jù)對數(shù)幅頻特性曲線上，各轉(zhuǎn)折頻率處斜率的變化確定各組成環(huán)節(jié)。開環(huán)傳遞函數(shù)一般式L(ω)=20lgK-20vlgω（1）0型系統(tǒng)（v=0)ω1低頻線的幅值為20lgK；低頻線斜率為0；特點：系統(tǒng)的類型對低頻段的影響：L(ω)=20lgK-20vlgω=20lgK低頻線（2）I型系統(tǒng)(v=1)1ω11ω1低頻線或延長線與0dB線的交點的頻率ω0

=K;低頻線斜率為-20dB/dec；低頻線或其延長線過點（1，20lgK）；特點：L(ω0)=0，則ω0=K低頻線L(ω)=20lgK-20vlgω=20lgK-20lg

ω（3）II型系統(tǒng)(v=2)低頻線或延長線與0dB線的交點的頻率；1ω11ω1低頻線斜率為-40dB/dec；低頻線或其延長線過點（1，20lgK）；特點：L(ω)=20lgK-20vlgω=20lgK-40lgω=

20lgK-20lgω2低頻線L(ω0)=0，則例題：已知系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性如圖所示，求系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。0.2ωT1ωnωT2-60dB/dec-40dB/dec-20dB/dec1410dBω/(rad/s)L(ω)/dB015.62）求K20lgK=15.6K=63）求ωnωT1

=0.2

=ωn5）求τωT2

=4=1/ττ=0.254）求ξ-20lg2ξ=10ξ=0.158解：斜率-20→-60→-40，所以含比例、積分、振蕩、一階微分傳遞函數(shù)為：思考？若所給的開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線上，并未給出ω=1時所對應(yīng)的幅值L(ω)=20lgK，如何求不同類型系統(tǒng)的開環(huán)增益K。例：系統(tǒng)系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性圖如圖，求系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)解：1)斜率-20→-40→-20→-60，所以含比例、積分、慣性、一階微分、振蕩，開環(huán)傳遞函數(shù)為：2）求K20lgK=20K=105）求ωnωT3

=20=ωn4）求τωT2=1/τ=5τ=0.26）求ξ-20lg2ξ=8ξ=0.23）求TωT1

=1/T=1T=14.3.4最小相位系統(tǒng)的概念最小相位系統(tǒng)：系統(tǒng)的零點和極點都分布在在[s]平面的左半平面，稱最小相位系統(tǒng)；否則，為非最小相位系統(tǒng)。兩個系統(tǒng)的幅頻特性完全相同而相頻特性不同000T1＞T2

＞0最小相位系統(tǒng)非最小相位系統(tǒng)例如：伯德圖最小相位系統(tǒng)的特點：

對于相同階次的基本環(huán)節(jié),當(dāng)連續(xù)變化時,最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍是最小的。如果最小相位系統(tǒng)的幅頻曲線在頻率范圍上給定，則相角曲線被唯一確定；但是非最小相位系統(tǒng)不成立。

實用的大多數(shù)系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，為了簡化工作量，對于最小相位系統(tǒng)的伯德圖，可以只畫幅頻特性。最小相位系統(tǒng)才符合對數(shù)幅頻特性的高頻漸進(jìn)線的斜率是-20(n-m)dB/dec，相頻都趨于-90°(n-m)。4.4閉環(huán)頻率特性及性能分析由GK(jω)求取GB(jω):4.4.1閉環(huán)頻率特性Xi(s)Xo(s)-G(s)H(s)4.4.2頻域性能指標(biāo)對于單位負(fù)反饋系統(tǒng)，若M(0)=1，說明系統(tǒng)輸出對輸入的跟隨性好，穩(wěn)態(tài)精度高。1、零頻幅值M(0)：頻率為0時，開環(huán)幅頻特性的值。ωM(ω)M(0)0.707M(0)0ωMω

rω

b反映系統(tǒng)的準(zhǔn)確性2、諧振頻率ωr與諧振峰值Mr諧振頻率：幅頻特性曲線最大峰值對應(yīng)的頻率。諧振峰值：諧振頻率處的對應(yīng)的峰值。ωM(ω)M(0)0.707M(0)0ωMωrωb1.0＜Mr＜1.4，

0.4＜ξ＜0.7Mp＜25%通常取經(jīng)驗值：反映瞬態(tài)響應(yīng)平穩(wěn)性二階系統(tǒng)：ωM(ω)M(0)0.707M(0)0ω

bωXi(ω)ωb系統(tǒng)

Φ(jω)ωXo(ω)ωb13、截止頻率ωb與帶寬0-ωb反映瞬態(tài)響應(yīng)的快速性

也反映系統(tǒng)系統(tǒng)對噪聲的濾波性能，表征系統(tǒng)能夠正常工作最高頻率范圍1、頻域指標(biāo)與時域指標(biāo)之間的關(guān)系對于給定的ξ，ωr與ts成反比，即ωr大，響應(yīng)快；ωr

小，響應(yīng)慢。ωr反應(yīng)快速性。Mr，Mp均