高考數(shù)學(xué)牛人及高考數(shù)學(xué)拋物線試題匯編

概率，排列組合，函數(shù)三角函數(shù)，圓錐曲線中的“四心”數(shù)列型不等式的放縮技巧1．(2010·瑞安中學(xué))國慶閱兵中，某兵種A、B、C三個(gè)方陣按一定次序通過主席臺，若先后次序是隨機(jī)排定的，則B先于A、C通過的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)[答案]B[解析]用(A，B，C)表示A第一，B第二，C第三的次序，則所有可能的次序有(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)共6種，其中B先于A、C通過的有(B，C，A)和(B，A，C)兩種，故所求概率為P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).2．(文)(2010·陜西寶雞)點(diǎn)P在邊長為1的正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離|PA|<1的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(π,4) D．π[答案]C[解析]由題意可知，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P位于扇形ABD內(nèi)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離|PA|<1，根據(jù)幾何概型可知，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離|PA|<1的概率為eq\f(S扇形ABD,S正方形ABCD)＝eq\f(π,4)，故選C.(理)(2010·廣州市模擬、江南十校聯(lián)考)在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為()A.eq\f(π,12) B．1－eq\f(π,12)C.eq\f(π,6) D．1－eq\f(π,6)[答案]B[解析]到點(diǎn)O的距離小于等于1的點(diǎn)，組成一個(gè)以O(shè)為球心，1為半徑的半球，∵V正方體＝23＝8，V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2π,3).故所求概率為P＝eq\f(8－\f(2π,3),8)＝1－eq\f(π,12).3．(文)(2010·浙江金華十校聯(lián)考)在一個(gè)袋子中裝有分別標(biāo)注1,2,3,4,5的五個(gè)小球，這些小球除標(biāo)注的數(shù)字外完全相同，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2個(gè)小球，則取出小球標(biāo)注的數(shù)字之差的絕對值為2或4的概率是()A.eq\f(1,10) B.eq\f(3,10)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,4)[答案]C[解析]取兩個(gè)小球的不同取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共十種，其中標(biāo)注的數(shù)字絕對值之差為2或4的有(1,3)，(2,4)，(3,5)，(1,5)，共四種，故所求的概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).(理)(2010·濟(jì)南市模擬)已知a、b、c為集合A＝{1,2,3,4,5,6}中三個(gè)不同的數(shù)，如下框圖給出的一個(gè)算法運(yùn)行后輸出一個(gè)整數(shù)a，則輸出的數(shù)a＝5的概率是()A.eq\f(1,30) B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,10) D.eq\f(1,2)[答案]C[解析]由程序框圖知，輸入a、b、c三數(shù)，輸出其中的最大數(shù)，由于輸出的數(shù)為5，故問題為從集合A中任取三個(gè)數(shù)，求最大數(shù)為5的概率，∴P＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).4．(文)有5條長度分別為1、3、5、7、9的線段，從中任意取出3條，則所取3條線段可構(gòu)成三角形的概率是()A.eq\f(3,5) B.eq\f(3,10)C.eq\f(2,5) D.eq\f(7,10)[答案]B[解析]構(gòu)不成三角形的為(1,3,5)，(1,3,7)，(1,3,9)，(3,5,9)，(1,5,7)，(1,5,9)，(1,7,9)，能構(gòu)成三角形的有(3,5,7)，(3,7,9)，(5,7,9)，∴所求概率為eq\f(3,10).(理)在圓周上有10個(gè)等分點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，每3個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)三角形，如果隨機(jī)選擇3個(gè)點(diǎn)，剛好構(gòu)成直角三角形的概率是()A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)[答案]C[解析]從10個(gè)點(diǎn)中任取三個(gè)有Ceq\o\al(3,10)種方法，能構(gòu)成直角三角形時(shí)，必須有兩點(diǎn)連線為直徑，這樣的直徑有5條，∴能構(gòu)成直角三角形5×8＝40個(gè)，∴概率P＝eq\f(40,C\o\al(3,10))＝eq\f(1,3).5．m∈{－2，－1,0,1,2,3}，n∈{－3，－2，－1,0,1,2}，且方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1有意義，則方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1可表示不同的雙曲線的概率為()A.eq\f(36,25) B．1C.eq\f(9,25) D.eq\f(13,25)[答案]D[解析]由題設(shè)知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0,n<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0,n>0))，1°eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0,n<0))時(shí)有不同取法3×3＝9種．2°eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0,n>0))時(shí)有不同取法2×2＝4種，∴所求概率P＝eq\f(9＋4,5×5)＝eq\f(13,25).6．已知正三棱錐S－ABC的底面邊長為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC的概率是()A.eq\f(7,8) B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)[答案]A[解析]當(dāng)P在三棱錐的中截面及下底面構(gòu)成的正三棱臺內(nèi)時(shí)符合要求，由幾何概型知，P＝1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8)，故選A.7．連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，設(shè)向量a＝(m，n)與向量b＝(1，－1)的夾角為θ，則θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的概率是()A.eq\f(5,12) B.eq\f(1,2)C.eq\f(7,12) D.eq\f(5,6)[答案]C[解析]∵cosθ＝eq\f(m－n,\r(2)·\r(m2＋n2))，θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴m≥n，滿足條件m＝n的概率為eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，m>n的概率與m<n的概率相等，∴m>n的概率為eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,6)))＝eq\f(5,12)，∴滿足m≥n的概率為P＝eq\f(1,6)＋eq\f(5,12)＝eq\f(7,12).8．(2010·廣東廣州六中)在區(qū)間[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則使cosx的值介于0到eq\f(1,2)之間的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,π)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)[答案]A[解析]∵x∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]，∴要使0≤cosx≤eq\f(1,2)，應(yīng)有－eq\f(π,2)≤x≤－eq\f(π,3)或eq\f(π,3)≤x≤eq\f(π,2)，由幾何概型知，所求概率P＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,3)))＋\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2))))),\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2))))＝eq\f(1,3).9．(2010·山東肥城聯(lián)考)若a是從區(qū)間[0,3]內(nèi)任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]內(nèi)任取的一個(gè)數(shù)，則關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根的概率是()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,9) D.eq\f(1,2)[答案]B[解析]試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|0≤a≤30,0≤b≤2}，由Δ＝4a2－4b2≥0及a>0，b>0知，構(gòu)成事件“關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根”的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}．所以所求的概率為P＝eq\f(3×2－\f(1,2)×22,3×2)＝eq\f(2,3).10．(文)(2010·廣東羅湖區(qū)調(diào)研)已知Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向區(qū)域Ω內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落在區(qū)域A內(nèi)的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,9) D.eq\f(2,9)[答案]D[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＝0,x＋y＝6))得D(4,2)，區(qū)域Ω為△OAB，區(qū)域A為△OCD，所求概率P＝eq\f(S△OCD,S△OAB)＝eq\f(\f(1,2)×4×2,\f(1,2)×6×6)＝eq\f(2,9).(理)(2010·膠州三中)已知函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4,0≤c≤4，記函數(shù)f(x)滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(2)≤12,f(－2)≤4))的事件為A，則事件A發(fā)生的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(5,8)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,8)[答案]C[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(2)≤12,f(－2)≤4))得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＋c≤8,－2b＋c≤0))，畫出0≤b≤4,0≤c≤4表示的平面區(qū)域和事件A所表示的平面區(qū)域，由幾何概型易知，所求概率P＝eq\f(1,2).二、填空題11．(文)(2010·江蘇)盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球．若從中隨機(jī)地摸出兩只球，兩只球顏色不同的概率是________．[答案]eq\f(1,2)[解析]設(shè)3只白球?yàn)锳，B，C,1只黑球?yàn)閐，則從中隨機(jī)摸出兩只球的情形有：AB，AC，Ad，BC，Bd，Cd共6種，其中兩只球顏色不同的有3種，故所求概率為eq\f(1,2).(理)(2010·江蘇金陵中學(xué))先后兩次拋擲同一枚骰子，將得到的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b.將a，b,5分別作為三條線段的長，則這三條線段能構(gòu)成等腰三角形的概率是________．[答案]eq\f(7,18)[分析]本題有兩點(diǎn)要點(diǎn)：一是構(gòu)成三角形，須滿足較小的兩個(gè)數(shù)的和大于第三個(gè)數(shù)；二是構(gòu)成等腰三角形，須有兩個(gè)數(shù)相等．[解析]基本事件的總數(shù)為6×6＝36.∵三角形的一邊長為5，∴當(dāng)a＝1時(shí)，b＝5符合題意，有1種情況；當(dāng)a＝2時(shí)，b＝5符合題意，有1種情況；當(dāng)a＝3時(shí)，b＝3或5符合題意，即有2種情況；當(dāng)a＝4時(shí)，b＝4或5符合題意，有2種情況；當(dāng)a＝5時(shí)，b∈{1,2,3,4,5,6}符合題意，即有6種情況；當(dāng)a＝6時(shí)，b＝5或6符合題意，即有2種情況．故滿足條件的不同情況共有14種，所求概率為P＝eq\f(14,36)＝eq\f(7,18).12．(文)(2010·蘇北四市?？?已知函數(shù)f(x)＝ax2－bx－1，其中a∈(0,2]，b∈(0,2]，則此函數(shù)在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)的概率為________．[答案]eq\f(3,4)[解析]函數(shù)f(x)＝ax2－bx－1在[eq\f(b,2a)，＋∞)上為增函數(shù)，據(jù)已知條件可知，eq\f(b,2a)≤1，∴b≤2a，如圖可知，所求概率P＝eq\f(\f(1,2)(1＋2)×2,2×2)＝eq\f(3,4).(理)(2010·陜西理)從如圖所示的長方形區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn)M(x，y)，則點(diǎn)M取自陰影部分的概率為________．[答案]eq\f(1,3)[解析]長方形的面積為S1＝3，S陰＝eq\i\in(0,1,)3x2dx＝x3eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,0)))＝1，則P＝eq\f(S陰,S1)＝eq\f(1,3).13．(2010·廣東茂名質(zhì)檢)已知一顆粒子等可能地落入如圖所示的四邊形ABCD內(nèi)的任意位置，如果通過大量的試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)粒子落入△BCD內(nèi)的頻率穩(wěn)定在eq\f(2,5)附近，那么點(diǎn)A和點(diǎn)C到直線BD的距離之比約為________．[答案]eq\f(3,2)[解析]由幾何概型知粒子落在△ABD與△CBD中的概率之比等于△ABD與△CBD的面積之比，而△ABD與△CBD的面積之比又等于點(diǎn)A和點(diǎn)C到直線BD的距離之比，所以點(diǎn)A和點(diǎn)C到直線BD的距離之比約為eq\f(\f(3,5),\f(2,5))＝eq\f(3,2)，故填eq\f(3,2).14．在區(qū)間[1,5]和[2,4]分別各取一個(gè)數(shù)，記為m和n，則方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的概率是________．[答案]eq\f(1,2)[解析]∵方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，∴m>n.由題意知，在矩形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)P(m，n)，求P點(diǎn)落在陰影部分的概率，易知直線m＝n恰好將矩形平分，∴p＝eq\f(1,2).三、解答題15．(文)(2010·山東文)一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1,2,3,4.(1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號為n，求n<m＋2的概率．[解析](1)從袋中取球編號之和不大于4的基本事件有1和2,1和3兩個(gè)，而隨機(jī)取兩球其一切可能的基本事件有6個(gè)．∴所求概率為P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(2)由題意其一切結(jié)果設(shè)為(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個(gè)．又滿足條件n≥m＋2的事件為(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3個(gè)，P1＝eq\f(3,16).故滿足條件n<m＋2的事件的概率為1－P1＝1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).(理)(2010·福建文)設(shè)平面向量am＝(m,1)，bn＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}．(1)請列出有序數(shù)組(m，n)的所有可能結(jié)果；(2)記“使得am⊥(am－bn)成立的(m，n)”為事件A，求事件A發(fā)生的概率．[解析](1)有序數(shù)組(m，n)的所有可能結(jié)果為：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)，(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)共16個(gè)．(2)由am⊥(am－bn)得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2由于m，n∈{1,2,3,4}，故事件A包含的基本事件為(2,1)(3,4)，共2個(gè)．又基本事件的總數(shù)為16，故所求的概率為P(A)＝eq\f(2,16)＝eq\f(1,8).16．(文)(2010·山東濟(jì)南模擬)將一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體(六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字0,1,2,3,4,5)和一個(gè)正四面體(四個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4)同時(shí)拋擲1次，規(guī)定“正方體向上的面上的數(shù)字為a，正四面體的三個(gè)側(cè)面上的數(shù)字之和為b”．設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi.(1)若集合A＝{z|z為純虛數(shù)}，用列舉法表示集合A；(2)求事件“復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)(a，b)滿足a2＋(b－6)2≤9”的概率．[解析](1)A＝{6i,7i,8i,9i}．(2)滿足條件的所有基本事件的個(gè)數(shù)為24.設(shè)滿足“復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)(a，b)滿足a2＋(b－6)2≤9”的事件為B.當(dāng)a＝0時(shí)，b＝6,7,8,9滿足a2＋(b－6)2≤9；當(dāng)a＝1時(shí)，b＝6,7,8滿足a2＋(b－6)2≤9；當(dāng)a＝2時(shí)，b＝6,7,8滿足a2＋(b－6)2≤9；當(dāng)a＝3時(shí)，b＝6滿足a2＋(b－6)2≤9.故事件B中包含的基本事件為(0,6)，(0,7)，(0,8)，(0,9)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(3,6)，共計(jì)11個(gè)．所以P(B)＝eq\f(11,24).(理)已知某校高三文科班學(xué)生的化學(xué)與物理的水平測試成績抽樣統(tǒng)計(jì)如下表，若抽取學(xué)生n人，成績分為A(優(yōu)秀)、B(良好)、C(及格)三個(gè)等級，設(shè)x，y分別表示化學(xué)成績與物理成績．例如：表中化學(xué)成績?yōu)锽等級的共有20＋18＋4＝42人，已知x與y均為B等級的概率是0.18.(1)求抽取的學(xué)生人數(shù)；(2)設(shè)在該樣本中，化學(xué)成績優(yōu)秀率是30%，求a，b的值；(3)在物理成績?yōu)镃等級的學(xué)生中，已知a≥10,12≤b≤17，隨機(jī)變量ξ＝|a－b|，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ).ABCA7205B9186Ca4b[解析](1)由題意可知eq\f(18,n)＝0.18，得n＝100.故抽取的學(xué)生人數(shù)是100.(2)由(1)知n＝100，所以eq\f(7＋9＋a,100)＝0.3，故a＝14，而7＋9＋a＋20＋18＋4＋5＋6＋b＝100，故b＝17.(3)由(1)易知a＋b＝31，且a≥10,12≤b≤17，滿足條件的(a，b)有(14,17)，(15,16)，(16,15)，(17,14)，(18,13)，(19,12)，共有6組，因?yàn)棣危絴a－b|，故ξ的可能取值為1,3,5,7，P(ξ＝1)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝3)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝5)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝7)＝eq\f(1,6).ξ的分布列為：ξ1357Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,6)∴E(ξ)＝1×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,3)＋5×eq\f(1,6)＋7×eq\f(1,6)＝eq\f(10,3).[點(diǎn)評]本題屬于概率與統(tǒng)計(jì)的綜合解答題，這類試題一般以隨機(jī)抽樣知識或者統(tǒng)計(jì)圖表引入，根據(jù)抽樣要求和統(tǒng)計(jì)圖表進(jìn)行計(jì)算，重點(diǎn)考查統(tǒng)計(jì)中的抽樣計(jì)算、頻率計(jì)算等，然后根據(jù)這些計(jì)算結(jié)果設(shè)計(jì)考查概率的問題，一般是利用列舉法就可以找到基本事件的古典概型的計(jì)算問題．17．(文)(2010·廈門市質(zhì)檢)袋子中放有大小和形狀相同的小球若干個(gè)，其中標(biāo)號為0的小球1個(gè)，標(biāo)號為1的小球1個(gè)，標(biāo)號為2的小球n個(gè)．已知從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，取到標(biāo)號是2的小球的概率是eq\f(1,2).(1)求n的值；(2)從袋子中不放回地隨機(jī)抽取兩個(gè)小球，記第一次取出的小球標(biāo)號為a，第二次取出的小球標(biāo)號為b.①設(shè)事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率；②在區(qū)間[0,2]內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．[解析](1)由題意可知：eq\f(n,1＋1＋n)＝eq\f(1,2)，解得n＝2.(2)將標(biāo)號為2的小球記作a1，a2①兩次不放回抽取小球的所有基本事件為：(0,1)，(0，a1)，(0，a2)，(1,0)，(1，a1)，(1，a2)，(a1,0)，(a1,1)，(a1，a2)，(a2,0)，(a2,1)，(a2，a1)，共12個(gè)，事件A包含的基本事件為：(0，a1)，(0，a2)，(a1,0)，(a2,0)，共4個(gè)．∴P(A)＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).②記“x2＋y2>(a－b)2恒成立”為事件B，則事件B等價(jià)于“x2＋y2>4”，(x，y)可以看成平面中的點(diǎn)，則全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B所構(gòu)成的區(qū)域B＝{(x，y)|x2＋y2>4，x，y∈Ω}，∴P(B)＝eq\f(SB,SΩ)＝eq\f(2×2－π,2×2)＝1－eq\f(π,4).(理)(2010·福建龍巖市質(zhì)檢)小王、小李兩位同學(xué)玩擲骰子(骰子質(zhì)地均勻)游戲，游戲規(guī)則：小王先擲一枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)記為x；小李后擲一枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)記為y.(1)在直角坐標(biāo)系xOy中，以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)共有幾個(gè)？試求點(diǎn)(x，y)落在直線x＋y＝7上的概率；(2)規(guī)定：若x＋y≥10則小王贏，若x＋y≤4則小李贏，其他情況不分輸贏．試問這個(gè)游戲規(guī)則公平嗎？請說明理由．[解析](1)因?yàn)閤、y可取1、2、3、4、5、6，故以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)共有36個(gè)．記“點(diǎn)(x，y)落在直線x＋y＝7上”為事件A，則事件A包含的點(diǎn)有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)，共6個(gè)，所以事件A的概率P(A)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).(2)記“x＋y≥10”為事件A1，“x＋y≤4”為事件A2.用數(shù)對(a，b)表示x、y的取值，則事件A1包含(4,6)、(5,5)、(5,6)、(6,4)、(6,5)、(6,6)共6個(gè)數(shù)對；事件A2包含(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)共6個(gè)數(shù)對．由(1)知基本事件總數(shù)為36，所以事件A1的概率P(A1)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，事件A2的概率P(A2)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).即小王和小李兩位同學(xué)贏的可能性是均等的．所以這個(gè)游戲規(guī)則是公平的．摘要：通過對三角形四心與圓錐曲線的有機(jī)結(jié)合，達(dá)到訓(xùn)練學(xué)生的思維，提升學(xué)生的解題能力。同時(shí)起到培養(yǎng)學(xué)生的說思路、練本領(lǐng)、強(qiáng)素質(zhì)的作用．關(guān)鍵詞：思維流程內(nèi)心外心重心垂心解題能力正文：圓錐曲線是每年高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，從近幾年的命題風(fēng)格看，既注重知識又注重能力，既突出圓錐曲線的本質(zhì)特征，又體現(xiàn)傳統(tǒng)內(nèi)容的橫向聯(lián)系和新增內(nèi)容的縱向交匯，而三角形在圓錐曲線中更是如魚得水，面積、弦長、最值等成為研究的常規(guī)問題?！八男摹弊哌M(jìn)圓錐曲線，讓我們更是耳目一新。因此，在高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)中，通過讓學(xué)生研究三角形的“四心”與圓錐曲線的結(jié)合問題，快速提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，增強(qiáng)學(xué)生的信心，從而戰(zhàn)勝高考．例1、已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過、、三點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程：（Ⅱ）若點(diǎn)D為橢圓上不同于、的任意一點(diǎn)，，當(dāng)Δ內(nèi)切圓的面積最大時(shí)，求Δ內(nèi)心的坐標(biāo)；由橢圓經(jīng)過A由橢圓經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)設(shè)方程為得到的方程組解出（Ⅰ）由由內(nèi)切圓面積最大轉(zhuǎn)化為面積最大轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對值最大最大為橢圓短軸端點(diǎn)面積最大值為得出得出點(diǎn)坐標(biāo)為解題過程：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為將、、代入橢圓E的方程，得解得.∴橢圓的方程． （Ⅱ），設(shè)Δ邊上的高為當(dāng)點(diǎn)在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，最大為，所以的最大值為．設(shè)Δ的內(nèi)切圓的半徑為，因?yàn)棣さ闹荛L為定值6．所以，所以的最大值為．所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為.點(diǎn)石成金： 例2、橢圓長軸端點(diǎn)為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點(diǎn)，且，．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）記橢圓的上頂點(diǎn)為，直線交橢圓于兩點(diǎn)，問：是否存在直線，使點(diǎn)恰為的垂心？若存在，求出直線的方程;若不存在，請說明理由。思維流程：寫出橢圓方程由，寫出橢圓方程由，，由由F為的重心（Ⅱ） 兩根之和，兩根之積得出關(guān)于兩根之和，兩根之積得出關(guān)于m的方程解出m解題過程：（Ⅰ）如圖建系，設(shè)橢圓方程為,則又∵即∴故橢圓方程為（Ⅱ）假設(shè)存在直線交橢圓于兩點(diǎn)，且恰為的垂心，則設(shè)，∵，故，于是設(shè)直線為，由得∵又得即由韋達(dá)定理得解得或（舍）經(jīng)檢驗(yàn)符合條件．點(diǎn)石成金：垂心的特點(diǎn)是垂心與頂點(diǎn)的連線垂直對邊，然后轉(zhuǎn)化為兩向量乘積為零．例3、在橢圓C：中，分別為橢圓C的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的且在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，的重心為G，內(nèi)心為I．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）已知為橢圓C上的左頂點(diǎn)，直線過右焦點(diǎn)與橢圓C交于兩點(diǎn)，若的斜率滿足，求直線的方程．思維流程：由已知得由已知得，設(shè)重心I的縱坐標(biāo)為∥由由，可知的斜率一定存在且不為0，設(shè)為k的方程為消去y得利用得的方程解出解題過程：（Ⅰ）設(shè)，重心，由已知可知，則，由又內(nèi)心I的縱坐標(biāo)為∥即．（Ⅱ）若直線斜率不存在，顯然不合題意；則直線l的斜率存在．設(shè)直線為，直線l和橢交于，。將依題意：由韋達(dá)定理可知：又而從而求得符合故所求直線MN的方程為：點(diǎn)石成金：重心的特點(diǎn)為坐標(biāo)．例4、已知雙曲線C以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以橢圓的左右頂點(diǎn)為焦點(diǎn)．（Ⅰ）求雙曲線C的方程；（Ⅱ）若為雙曲線C的左右焦點(diǎn)，為雙曲線C上任意一點(diǎn)，為的外心，且,求點(diǎn)的坐標(biāo)．思維流程：由已知易得雙曲線中由已知易得雙曲線中寫出雙曲線的方程是是的外心在y軸上，且在中，解題過程：（Ⅰ）由已知可知，雙曲線的，則雙曲線的方程為（Ⅱ）因?yàn)闉橥庑?，所以，則點(diǎn)在線段的垂直平分線上即在軸上又同弧上的圓心角是圓周角的2倍，則在中，則即．點(diǎn)石成金：外心的特點(diǎn)為到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等或說是三邊的垂直平分線的交點(diǎn)．能力提升：1、橢圓：求橢圓的焦點(diǎn)三角形內(nèi)心的軌跡方程．解：如圖（1），設(shè)點(diǎn)P，內(nèi)心為，焦點(diǎn)，，，則．過內(nèi)心I作垂直于點(diǎn)．∵點(diǎn)I是△的內(nèi)心，點(diǎn)是內(nèi)切圓的切點(diǎn)，圖（1）∴由切線長定理，得方程組：，結(jié)合，解得：．而，∴，既．……①又∵△面積，，∴，既=．…………………②將①②代入，得．可知，橢圓焦點(diǎn)三角形內(nèi)心的軌跡是一個(gè)橢圓，它的離心率是．2、橢圓：求橢圓的焦點(diǎn)三角形垂心的軌跡方程；解：如圖（2），設(shè)點(diǎn)P，垂心為，焦點(diǎn)，則，．∵⊥，∴=0．圖（2）又∵，∴．……..①而，∴……….②將②式代入①式，整理得：．由方程可以看出，橢圓焦點(diǎn)三角形垂心的軌跡不是兩條拋物線，它與哪些初等函數(shù)圖象有關(guān)？請大家思考．3、已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與定直線相切．（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線與軌跡相交于、兩點(diǎn)，若在直線存在點(diǎn)，使為正三角形，求直線方程.（Ⅲ）當(dāng)直線得斜率大于零時(shí)，求外心的坐標(biāo)．解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓圓心為，根據(jù)題意，得化簡得故動(dòng)圓圓心的軌跡的方程為.（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，，弦中點(diǎn)為（?。┊?dāng)時(shí)，由得此時(shí)，有圖形的對稱性可知，上的點(diǎn)只可能是而故，不合題意.（ⅱ）當(dāng)時(shí)，由得則即若在直線上存在點(diǎn)，使為正三角形則設(shè)直線，與聯(lián)立，解得，即由，得即化簡得即故直線的方程為（Ⅲ）由(Ⅱ）知，，直線的方程為，點(diǎn)得則，則的外心坐標(biāo)為，即4、橢圓：求橢圓的焦點(diǎn)三角形重心的軌跡方程；提示：橢圓焦點(diǎn)三角形重心的軌跡仍是一個(gè)橢圓，如圖（5），它的離心率與的離心率相同，方程為．證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下九種：一利用重要不等式放縮均值不等式法例1設(shè)求證解析此數(shù)列的通項(xiàng)為，，即注：=1\*GB3①應(yīng)注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成則得，就放過“度”了！=2\*GB3②根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來選取所需要的重要不等式，這里其中，等的各式及其變式公式均可供選用。例2已知函數(shù)，若，且在[0，1]上的最小值為，求證：（02年全國聯(lián)賽山東預(yù)賽題）簡析例3求證.簡析不等式左邊=，故原結(jié)論成立.2．利用有用結(jié)論例4求證簡析本題可以利用的有用結(jié)論主要有：法1利用假分?jǐn)?shù)的一個(gè)性質(zhì)可得即法2利用貝努利不等式的一個(gè)特例(此處)得注：例4是1985年上海高考試題，以此題為主干添“枝”加“葉”而編擬成1998年全國高考文科試題；進(jìn)行升維處理并加參數(shù)而成理科姊妹題。如理科題的主干是：證明(可考慮用貝努利不等式的特例)例5已知函數(shù)求證：對任意且恒成立。（90年全國卷壓軸題）簡析本題可用數(shù)學(xué)歸納法證明，詳參高考評分標(biāo)準(zhǔn)；這里給出運(yùn)用柯西（）不等式的簡捷證法：而由不等式得(時(shí)取等號)（），得證！例6已知用數(shù)學(xué)歸納法證明；對對都成立，證明（無理數(shù)）（05年遼寧卷第22題）解析結(jié)合第問結(jié)論及所給題設(shè)條件（）的結(jié)構(gòu)特征，可得放縮思路：。于是，即注：題目所給條件（）為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當(dāng)然，本題還可用結(jié)論來放縮：，即例7已知不等式表示不超過的最大整數(shù)。設(shè)正數(shù)數(shù)列滿足：求證（05年湖北卷第（22）題）簡析當(dāng)時(shí)，即于是當(dāng)時(shí)有注：=1\*GB3①本題涉及的和式為調(diào)和級數(shù)，是發(fā)散的，不能求和；但是可以利用所給題設(shè)結(jié)論來進(jìn)行有效地放縮；=2\*GB3②引入有用結(jié)論在解題中即時(shí)應(yīng)用，是近年來高考創(chuàng)新型試題的一個(gè)顯著特點(diǎn)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與創(chuàng)新意識。例8設(shè)，求證：數(shù)列單調(diào)遞增且解析引入一個(gè)結(jié)論：若則（證略）整理上式得（），以代入（）式得即單調(diào)遞增。以代入（）式得此式對一切正整數(shù)都成立，即對一切偶數(shù)有，又因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，所以對一切正整數(shù)有。注：=1\*GB3①上述不等式可加強(qiáng)為簡證如下：利用二項(xiàng)展開式進(jìn)行部分放縮：只取前兩項(xiàng)有對通項(xiàng)作如下放縮：故有=2\*GB3②上述數(shù)列的極限存在，為無理數(shù)；同時(shí)是下述試題的背景：已知是正整數(shù)，且（1）證明；（2）證明（01年全國卷理科第20題）簡析對第（2）問：用代替得數(shù)列是遞減數(shù)列；借鑒此結(jié)論可有如下簡捷證法：數(shù)列遞減，且故即。當(dāng)然，本題每小題的證明方法都有10多種,如使用上述例4所提供的假分?jǐn)?shù)性質(zhì)、貝努力不等式、甚至構(gòu)造“分房問題”概率模型、構(gòu)造函數(shù)等都可以給出非常漂亮的解決！詳見文[1]。二部分放縮例10設(shè)數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)證明對所有有；（02年全國高考題）解析用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)時(shí)顯然成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)成立即，則當(dāng)時(shí)，成立。利用上述部分放縮的結(jié)論來放縮通項(xiàng)，可得注：上述證明用到部分放縮，當(dāng)然根據(jù)不等式的性質(zhì)也可以整體放縮：；證明就直接使用了部分放縮的結(jié)論。三添減項(xiàng)放縮上述例4之法2就是利用二項(xiàng)展開式進(jìn)行減項(xiàng)放縮的例子。例11設(shè)，求證.簡析觀察的結(jié)構(gòu)，注意到，展開得，即，得證.例12設(shè)數(shù)列滿足（Ⅰ）證明對一切正整數(shù)成立；（Ⅱ）令，判定與的大小，并說明理由（04年重慶卷理科第（22）題）簡析本題有多種放縮證明方法，這里我們對（Ⅰ）進(jìn)行減項(xiàng)放縮，有法1用數(shù)學(xué)歸納法（只考慮第二步）；法2則四利用單調(diào)性放縮構(gòu)造數(shù)列如對上述例1，令則，遞減，有，故再如例4，令則，即遞增，有，得證！注：由此可得例4的加強(qiáng)命題并可改造成為探索性問題：求對任意使恒成立的正整數(shù)的最大值；同理可得理科姊妹題的加強(qiáng)命題及其探索性結(jié)論，讀者不妨一試！2．構(gòu)造函數(shù)例13已知函數(shù)的最大值不大于，又當(dāng)時(shí)（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)，證明（04年遼寧卷第21題）解析（Ⅰ）=1；（Ⅱ）由得且用數(shù)學(xué)歸納法（只看第二步）：在是增函數(shù)，則得例14數(shù)列由下列條件確定：，．（I）證明：對總有；(II)證明：對總有（02年北京卷第（19）題）解析構(gòu)造函數(shù)易知在是增函數(shù)。當(dāng)時(shí)在遞增，故對(II)有，構(gòu)造函數(shù)它在上是增函數(shù)，故有，得證。注：=1\*GB3①本題有著深厚的科學(xué)背景：是計(jì)算機(jī)開平方設(shè)計(jì)迭代程序的根據(jù)；同時(shí)有著高等數(shù)學(xué)背景—數(shù)列單調(diào)遞減有下界因而有極限：=2\*GB3②是遞推數(shù)列的母函數(shù)，研究其單調(diào)性對此數(shù)列本質(zhì)屬性的揭示往往具有重要的指導(dǎo)作用。類題有06年湖南卷理科第19題：已知函數(shù),數(shù)列{}滿足:證明:(ⅰ);(ⅱ).（證略）五換元放縮例15求證簡析令，這里則有，從而有注：通過換元化為冪的形式，為成功運(yùn)用二項(xiàng)展開式進(jìn)行部分放縮起到了關(guān)鍵性的作用。例16設(shè)，，求證.簡析令，則，，應(yīng)用二項(xiàng)式定理進(jìn)行部分放縮有，注意到，則（證明從略），因此六遞推放縮遞推放縮的典型例子，可參考上述例10中利用部分放縮所得結(jié)論進(jìn)行遞推放縮來證明，同理例6中所得和、例7中、例12（Ⅰ）之法2所得都是進(jìn)行遞推放縮的關(guān)鍵式。七轉(zhuǎn)化為加強(qiáng)命題放縮如上述例10第問所證不等式右邊為常數(shù)，難以直接使用數(shù)學(xué)歸納法，我們可以通過從特值入手進(jìn)行歸納探索、或運(yùn)用逆向思維探索轉(zhuǎn)化為證明其加強(qiáng)命題：再用數(shù)學(xué)歸納法證明此加強(qiáng)命題，就容易多了（略）。例17設(shè)，定義，求證：對一切正整數(shù)有解析用數(shù)學(xué)歸納法推時(shí)的結(jié)論，僅用歸納假設(shè)及遞推式是難以證出的，因?yàn)槌霈F(xiàn)在分母上！可以逆向考慮：故將原問題轉(zhuǎn)化為證明其加強(qiáng)命題：對一切正整數(shù)有（證明從略）例18數(shù)列滿足證明（01年中國西部數(shù)學(xué)奧林匹克試題）簡析將問題一般化：先證明其加強(qiáng)命題用數(shù)學(xué)歸納法，只考慮第二步：因此對一切有例19已知數(shù)列｛an｝滿足：a1＝，且an＝（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；（2）證明：對一切正整數(shù)n有a1a2……an2n?。?6年江西卷理科第22題）解析：（1）將條件變?yōu)椋?－＝，因此｛1－｝為一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1－＝，公比，從而1－＝，據(jù)此得an＝（n1）……1（2）證：據(jù)1得，a1a2…an＝，為證a1a2……an2只要證nN時(shí)有……2顯然，左端每個(gè)因式都是正數(shù)，先證明一個(gè)加強(qiáng)不等式：對每個(gè)nN，有1－（）……3（用數(shù)學(xué)歸納法，證略）利用3得，1－（）＝1－＝1－。故2式成立，從而結(jié)論成立。八分項(xiàng)討論例20已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足（Ⅰ）寫出數(shù)列的前3項(xiàng)；（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）證明：對任意的整數(shù)，有（04年全國卷Ⅲ）簡析（Ⅰ）略，（Ⅱ）；（Ⅲ）由于通項(xiàng)中含有，很難直接放縮，考慮分項(xiàng)討論：當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)（減項(xiàng)放縮），于是=1\*GB3①當(dāng)且為偶數(shù)時(shí)=2\*GB3②當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)（添項(xiàng)放縮）由=1\*GB3①知由=1\*GB3①=2\*GB3②得證。九數(shù)學(xué)歸納法例21（Ⅰ）設(shè)函數(shù)，求的最小值；（Ⅱ）設(shè)正數(shù)滿足，證明（05年全國卷Ⅰ第22題）解析這道高考題內(nèi)蘊(yùn)豐富，有著深厚的科學(xué)背景：直接與高等數(shù)學(xué)的凸函數(shù)有關(guān)！更為深層的是信息科學(xué)中有關(guān)熵的問題。（Ⅰ）略，只證（Ⅱ）：法1由為下凸函數(shù)得又，所以考慮試題的編擬初衷，是為了考查數(shù)學(xué)歸納法，于是借鑒詹森（jensen）不等式（若為上的下凸函數(shù)，則對任意，有特別地，若則有若為上凸函數(shù)則改“”為“”）的證明思路與方法有：法2（用數(shù)學(xué)歸納法證明）（i）當(dāng)n=1時(shí)，由（Ⅰ）知命題成立.（ii）假定當(dāng)時(shí)命題成立，即若正數(shù)，則當(dāng)時(shí)，若正數(shù)（*）為利用歸納假設(shè)，將（*）式左邊均分成前后兩段：令則為正數(shù)，且由歸納假定知（1）同理，由得（2）綜合（1）（2）兩式即當(dāng)時(shí)命題也成立.根據(jù)（i）、（ii）可知對一切正整數(shù)n命題成立.法3構(gòu)造函數(shù)利用（Ⅰ）知，當(dāng)對任意.=2\*GB3②（=2\*GB3②式是比①式更強(qiáng)的結(jié)果）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論.（i）當(dāng)n=1時(shí)，由（I）知命題成立.（ii）設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即若正數(shù)對（*）式的連續(xù)兩項(xiàng)進(jìn)行兩兩結(jié)合變成項(xiàng)后使用歸納假設(shè)，并充分利用=2\*GB3②式有由歸納法假設(shè)得即當(dāng)時(shí)命題也成立.所以對一切正整數(shù)n命題成立.注：式=2\*GB3②也可以直接使用函數(shù)下凸用（Ⅰ）中結(jié)論得到；為利用歸納假設(shè)，也可對（*）式進(jìn)行對應(yīng)結(jié)合：而變成項(xiàng)；本題可作推廣：若正數(shù)滿足，則（簡證：構(gòu)造函數(shù)，易得故）第三節(jié)拋物線高考試題考點(diǎn)一拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程

1.(2010年陜西卷,理8)已知拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線與圓x2+y2-6x-7=0相切,則p的值為()(A)QUOTE12 (B)1(C)2 (D)4解析:圓x2+y2-6x-7=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+y2=16,∴圓心為(3,0),半徑是4,拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線是x=-QUOTEp2,∴3+QUOTEp2=4,又p>0,解得p=2.故選C.答案:C2.(2011年遼寧卷,理3)已知F是拋物線y2=x的焦點(diǎn),A,B是該拋物線上的兩點(diǎn),|AF|+|BF|=3,則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為()(A)QUOTE34 (B)1 (C) (D)QUOTE74解析:∵|AF|+|BF|=xA+xB+QUOTE12=3,∴xA+xB=QUOTE52.∴線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為QUOTExA+xB2=QUOTE54.故選C.故選C.答案:C3.(2012年四川卷,理8)已知拋物線關(guān)于x軸對稱,它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O,并且經(jīng)過點(diǎn)M(2,y0).若點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3,則|OM|等于()(A)2QUOTE2 (B)2QUOTE3 (C)4 (D)2QUOTE5解析:由題意設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),則M到焦點(diǎn)的距離為xM+QUOTEp2=2+QUOTEp2=3,∴p=2,∴y2=4x.∴QUOTEy02=4×2,∴|OM|=QUOTE4+y02=QUOTE4+8=2QUOTE3.故選B.答案:B4.(2010年上海卷,理3)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(2,0)的距離與它到直線x+2=0的距離相等,則點(diǎn)P的軌跡方程是.

解析:由拋物線的定義知,點(diǎn)P的軌跡是以F為焦點(diǎn),定直線x+2=0為準(zhǔn)線的拋物線,故其標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=8x.答案:y2=8x5.(2012年陜西卷,理13)如圖所示是拋物線形拱橋,當(dāng)水面在l時(shí),拱頂離水面2m,水面寬4m.水位下降1m后,水面寬m.

解析:建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p>0),則A(2,-2),將其坐標(biāo)代入x2=-2py,得p=1.∴x2=-2y.當(dāng)水面下降1m,得D(x0,-3)(x0>0),將其坐標(biāo)代入x2=-2y得QUOTEx02=6,∴x0=QUOTE6,∴水面寬|CD|=2QUOTE6m.答案:2QUOTE66.(2010年浙江卷,理13)設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A(0,2),若線段FA的中點(diǎn)B在拋物線上,則B到拋物線準(zhǔn)線的距離為.

解析:由已知得B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,橫坐標(biāo)為QUOTEp4,即BQUOTEp4,1QUOTEp4,將其代入y2=2px得1=2p×QUOTEp4,解得p=QUOTE2,則B點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為QUOTEp2+QUOTEp4=QUOTE34p=QUOTE342.答案:QUOTE342考點(diǎn)二拋物線的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用

1.(2011年四川卷,理10)在拋物線y=x2+ax-5(a≠0)上取橫坐標(biāo)為x1=-4,x2=2的兩點(diǎn),過這兩點(diǎn)引一條割線,有平行于該割線的一條直線同時(shí)與拋物線和圓5x2+5y2=36相切,則拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為()(A)(-2,-9) (B)(0,-5)(C)(2,-9) (D)(1,-6)解析:當(dāng)x1=-4時(shí),y1=11-4a;當(dāng)x2=2時(shí),y2=2a-1,所以割線的斜率k=QUOTE11-4a-2a+1-4-2=a-2.設(shè)直線與拋物線的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0,由y′=2x+a得切線斜率為2x0+a,∴2x0+a=a-2,∴x0∴直線與拋物線的切點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-a-4),切線方程為y+a+4=(a-2)(x+1),即(a-2)x-y-6=0.圓5x2+5y2=36的圓心到切線的距離d=QUOTE6(a-2)2+1.由題意得QUOTE6(a-2)2+1=QUOTE65,即(a-2)2又a≠0,∴a=4,此時(shí)y=x2+4x-5=(x+2)2-9,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-9).故選A.答案:A2.(2009年四川卷,理9)已知直線l1:4x-3y+6=0和直線l2:x=-1,拋物線y2=4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()(A)2 (B)3 (C)QUOTE115 (D)QUOTE3716解析:如圖所示,動(dòng)點(diǎn)P到l2:x=-1的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離.由圖可知,距離和的最小值即F到直線l1的距離d=QUOTE|4+6|32+42=2.故選答案:A3.(2009年福建卷,理13)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),若線段AB的長為8,則p=.

解析:∵FQUOTEp2,0,∴設(shè)AB:y=x-QUOTEp2,與y2=2px聯(lián)立,得x2-3px+QUOTEp24=0.∴xA+xB=3p.∴|AB|=xA+xB+p=4p=8,得p=2.答案:24.(2010年大綱全國卷Ⅱ,理15)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線為l,過M(1,0)且斜率為QUOTE3的直線與l相交于點(diǎn)A,與C的一個(gè)交點(diǎn)為B,若QUOTEAM→=QUOTEMB→,則p=.

解析:如圖所示,由AB的斜率為QUOTE3,知∠α=60°,又QUOTEAM→=QUOTEMB→,∴M為AB的中點(diǎn).過點(diǎn)B作BP垂直準(zhǔn)線l于點(diǎn)P,則∠ABP=60°,∴∠BAP=30°.∴|BP|=QUOTE12|AB|=|BM|,∴M為焦點(diǎn),即QUOTEp2=1,∴p=2.答案:2考點(diǎn)三直線與拋物線位置關(guān)系

1.(2013年大綱全國卷,理11)已知拋物線C:y2=8x與點(diǎn)M(-2,2),過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A、B兩點(diǎn),若QUOTEMA→·QUOTEMB→=0,則k等于()(A)QUOTE12 (B)QUOTE22 (C)QUOTE2 (D)2解析:法一設(shè)直線方程為y=k(x-2),A(x1,y1)、B(x2,y2),由QUOTEy=k(x-2),得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0,∴x1+x2=QUOTE4(k2+2)k2x1x2=4,由QUOTEMA→·QUOTEMB→=0,得(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=(x1+2)(x2+2)+[k(x1-2)-2][k(x2-2)-2]=0,代入整理得k2-4k+4=0,解得k=2.故選D.法二如圖所示,設(shè)F為焦點(diǎn),取AB中點(diǎn)P,過A、B分別作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為G、H,連接MF,MP,由QUOTEMA→·QUOTEMB→=0,知MA⊥MB,則|MP|=QUOTE12|AB|=QUOTE12(|AG|+|BH|),所以MP為直角梯形BHGA的中位線,所以MP∥AG∥BH,所以∠GAM=∠AMP=∠MAP,又|AG|=|AF|,|AM|=|AM|,所以△AMG≌△AMF,所以∠AFM=∠AGM=90°,則MF⊥AB,所以k=-QUOTE1kMF=2.答案:D2.(2010年遼寧卷,理7)設(shè)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P為拋物線上一點(diǎn),PA⊥l,A為垂足,如果直線AF的斜率為-QUOTE3,那么|PF|等于()(A)4QUOTE3 (B)8 (C)8QUOTE3 (D)16解析:如圖所示,直線AF的方程為y=-QUOTE3(x-2),與準(zhǔn)線方程x=-2聯(lián)立得A(-2,4QUOTE3).設(shè)P(x0,4QUOTE3),代入拋物線y2=8x,得8x0=48,∴x0=6,∴|PF|=x0+2=8,選B.答案:B3.(2012年安徽卷,理9)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).若|AF|=3,則△AOB的面積為()(A)QUOTE22 (B)QUOTE2(C)QUOTE322 (D)2QUOTE2解析:如圖所示,由題意知,拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0),又|AF|=3,由拋物線定義知:點(diǎn)A到準(zhǔn)線x=-1的距離為3,∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2.將x=2代入y2=4x得y2=8,由圖知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y=2QUOTE2,∴A(2,2QUOTE2),∴直線AF的方程為y=2QUOTE2(x-1).聯(lián)立直線與拋物線的方程QUOTEy=22(x-1),解之得QUOTEx=12,y=-2或QUOTEx=2,y由圖知BQUOTE12,-2,∴S△AOB=|OF|·|yA-yB|=QUOTE12×1×|2QUOTE2+QUOTE2|=QUOTE322.故選C.答案:C4.(2009年天津卷,理9)設(shè)拋物線y2=2x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)M(QUOTE3,0)的直線與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)C,|BF|=2,則△BCF與△ACF的面積之比QUOTES△BCFS△ACF等于()(A)QUOTE45 (B)QUOTE23 (C)QUOTE47 (D)QUOTE12解析:如圖所示,設(shè)過點(diǎn)M(QUOTE3,0)的直線方程為y=k(x-QUOTE3),代入y2=2x并整理,得k2x2-(2QUOTE3k2+2)x+3k2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=QUOTE23k2+2k2,x1x因?yàn)閨BF|=2,所以|BB′|=2,∴x2=2-QUOTE12=QUOTE32,從而x1=QUOTE3x2=2.設(shè)點(diǎn)F到直線AC的距離為d,則QUOTES△BCFS△ACF=QUOTE12|BC|·d12|AC|·d==QUOTE22+故選A.答案:A5.(2009年大綱全國卷Ⅱ,理9)已知直線y=k(x+2)(k>0)與拋物線C:y2=8x相交于A、B兩點(diǎn),F為C的焦點(diǎn),若|FA|=2|FB|,則k等于()(A)QUOTE13 (B)QUOTE23 (C)QUOTE23 (D)QUOTE223解析:將y=k(x+2)代入y2=8x,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為xA,xB,則xA+xB=QUOTE8k2-4,①xA·xB=4.又|FA|=xA+2,|FB|=xB+2,|FA|=2|FB|,∴2xB+4=xA+2.∴xA=2xB+2.②∴將②代入①得xB=QUOTE83k2-2,xA=QUOTE163k2-4+2=QUOTE163k2-2.故xA·xB=QUOTE83k2-2163解之得k2=QUOTE89.而k>0,∴k=QUOTE223,滿足Δ>0.故選D.答案:D6.(2013年安徽卷,理13)已知直線y=a交拋物線y=x2于A,B兩點(diǎn).若該拋物線上存在點(diǎn)C,使得∠ACB為直角,則a的取值范圍為.

解析:設(shè)直線y=a與y軸交于點(diǎn)M,拋物線y=x2上要存在C點(diǎn),使得∠ACB為直角,只要以|AB|為直徑的圓與拋物線y=x2有交點(diǎn)即可,也就是使|AM|≤|MO|,即QUOTEa≤a(a>0),所以a≥1.答案:[1,+∞)7.(2012年重慶卷,理14)過拋物線y2=2x的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),若|AB|=QUOTE2512,|AF|<|BF|,則|AF|=.

解析:由于y2=2x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為QUOTE12,0,設(shè)AB所在直線的方程為y=kQUOTEx-12,A(x1,y1),B(x2,y2),x1<x2,將y=kQUOTEx-12代入y2=2x,得k2QUOTEx-122=2x,∴k2x2-(k2+2)x+QUOTEk24=0.∴x1x2=.而x1+x2+p=x1+x2+1=QUOTE2512,∴x1+x2=QUOTE1312.∴x1=QUOTE13,x2=.∴|AF|=x1+QUOTEp2=QUOTE13+QUOTE12=QUOTE56.答案:QUOTE568.(2010年重慶卷,理14)已知以F為焦點(diǎn)的拋物線y2=4x上的兩點(diǎn)A、B滿足QUOTEAF→=3QUOTEFB→,則弦AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.

解析:F的坐標(biāo)為(1,0).設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),∵=3QUOTEFB→,∴(1-x1,-y1)=3(x2-1,y2),∴1-x1=3x2-3,且-y1=3y2,即x1+3x2=4,y1=-3y2.設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1),AB中點(diǎn)為P(x0,y0).由QUOTEy2=4x,y=k(x∴y1y2=-4.∴QUOTEy12=12,QUOTEy22=QUOTE43.∴x1=3,x2=QUOTE13.∴x0=QUOTEx1+x22=QUOTE53.∴中點(diǎn)P到準(zhǔn)線x=-1的距離d=QUOTE53-(-1)=QUOTE83.答案:QUOTE839.(2012年遼寧卷,理15)已知P,Q為拋物線x2=2y上兩點(diǎn),點(diǎn)P,Q的橫坐標(biāo)分別為4,-2,過P,Q分別作拋物線的切線,兩切線交于點(diǎn)A,則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為.

解析:y=QUOTE12x2,y′=x,由題意P(4,8),k1=y′|x=4=4,切線為y=4x-8,Q(-2,2),k2=y′|x=-2=-2,切線為y=-2x-2.由QUOTEy=4x-8,y=-2x-2答案:-410.(2012年北京卷,理12)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F,且與該拋物線相交于A,B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A在x軸上方,若直線l的傾斜角為60°,則△OAF的面積為.

解析:∵拋物線y2=4x,∴焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0).又∵直線l傾斜角為60°,∴直線斜率為QUOTE3,∴直線方程為y=QUOTE3(x-1).聯(lián)立方程QUOTEy=3(x-1),解得QUOTEx1=13,y1=-233或由已知得A的坐標(biāo)為(3,2QUOTE3),∴S△OAF=QUOTE12|OF|·|yA|=QUOTE12×1×2QUOTE3=QUOTE3.答案:QUOTE311.(2012年新課標(biāo)全國卷,理20)設(shè)拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,A為C上一點(diǎn),已知以F為圓心,FA為半徑的圓F交l于B,D兩點(diǎn).(1)若∠BFD=90°,△ABD的面積為4QUOTE2,求p的值及圓F的方程;(2)若A,B,F三點(diǎn)在同一直線m上,直線n與m平行,且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn),求坐標(biāo)原點(diǎn)到m,n距離的比值.解:(1)由已知可得△BFD為等腰直角三角形,|BD|=2p,圓F的半徑|FA|=QUOTE2p,又點(diǎn)A到l的距離d=|FA|=QUOTE2p,而S△ABD=4QUOTE2.∴QUOTE12|BD|·d=4QUOTE2.即QUOTE12×2p×QUOTE2p=4QUOTE2,∴p=-2(舍去)或p=2,∴圓F的方程為x2+(y-1)2=8.(2)∵A、B、F三點(diǎn)在同一直線m上,所以AB為圓F的直徑,∠ADB=90°.又由拋物線定義知|AD|=|FA|=QUOTE12|AB|,∴∠ABD=30°,m的斜率為-QUOTE33或QUOTE33,當(dāng)m的斜率為QUOTE33時(shí),可設(shè)n方程為y=QUOTE33x+b.代入x2=2py得x2-QUOTE233px-2pb=0,由于n與C只有一個(gè)公共點(diǎn),故Δ=QUOTE43p2+8pb=0∴b=-,又∵m的截距b1=QUOTEp2,QUOTE|b1||b|=3,∴坐標(biāo)原點(diǎn)到m、n距離的比值為3.當(dāng)m的斜率為-QUOTE33時(shí),由圖形對稱性知,坐標(biāo)原點(diǎn)到m、n的距離之比仍為3.12.(2013年廣東卷,理20)已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)F(0,c)(c>0)到直線l:x-y-2=0的距離為QUOTE322,設(shè)P為直線l上的點(diǎn),過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點(diǎn).(1)求拋物線C的方程;(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)為直線l上的定點(diǎn)時(shí),求直線AB的方程;(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí),求|AF|·|BF|的最小值.解:(1)依題意,設(shè)拋物線C的方程為x2=4cy,則QUOTE|0-c-2|2=QUOTE322,結(jié)合c>0,解得c=1.所以拋物線C的方程為x2=4y.(2)拋物線C的方程為x2=4y,即y=QUOTE14x2,求導(dǎo)得y′=QUOTE12x.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)（其中y1=QUOTEx124,y2=QUOTEx224）,則切線PA,PB的斜率分別為QUOTE12x1,QUOTE12x2.所以切線PA的方程為y-y1=QUOTEx12(x-x1),即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0.同理,可得切線PB的方程為x2x-2y-2y2=0.因?yàn)榍芯€PA,PB均過點(diǎn)P(x0,y0),所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0.所以(x1,y1),(x2,y2)為方程x0x-2y0-2y=0的兩組解.所以直線AB的方程為x0x-2y0-2y=0.(3)由拋物線定義可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.聯(lián)立方程QUOTEx0x-2y-2消去x整理得y2+(2y0-)y+=0,由根與系數(shù)的關(guān)系可得y1+y2=QUOTEx02-2y0,y1y2=QUOTEy02,所以|AF|·|BF|=y1y2+(y1+y2)+1=QUOTEy02+QUOTEx02-2y0+1.又點(diǎn)P(x0,y0)在直線l上,所以x0=y0+2.所以+QUOTEx02-2y0+1=2QUOTEy02+2y0+5=2（y0+QUOTE12）2+QUOTE92.所以當(dāng)y0=-時(shí),|AF|·|BF|取得最小值,且最小值為QUOTE92.13.(2013年湖南卷,理21)過拋物線E:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)F作斜率分別為k1,k2的兩條不同直線l1,l2,且k1+k2=2,l1與E相交于點(diǎn)A,B,l2與E相交于點(diǎn)C,D,以AB,CD為直徑的圓M,圓N(M,N為圓心)的公共弦所在直線記為l.(1)若k1>0,k2>0,證明:QUOTEFM→·QUOTEFN→<2p2;(2)若點(diǎn)M到直線l的距離的最小值為QUOTE755,求拋物線E的方程.解:(1)由題意知,拋物線E的焦點(diǎn)為F,直線l1的方程為y=k1x+QUOTEp2.由QUOTEy=k1x+得x2-2pk1x-p2=0.設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則x1,x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,從而x1+x2=2pk1,y1+y2=k1(x1+x2)+p=2pQUOTEk12+p.所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（pk1,pQUOTEk12+QUOTEp2）,QUOTEFM→=(pk1,pQUOTEk12).同理可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為(pk2,pQUOTEk22+QUOTEp2),QUOTEFN→=(pk2,pQUOTEk22),于是QUOTEFM→·QUOTEFN→=p2(k1k2+QUOTEk12k22).因?yàn)閗1+k2=2,k1>0,k2>0,k1≠k2,所以0<k1k2<2=1.故QUOTEFM→·QUOTEFN→<p2(1+12)=2p2.(2)由拋物線的定義得|FA|=y1+QUOTEp2,|FB|=y2+QUOTEp2,所以|AB|=y1+y2+p=2pQUOTEk12+2p,從而圓M的半徑r1=pQUOTEk12+p.故圓M的方程為(x-pk1)2+(y-p-QUOTEp2)2=(pQUOTEk12+p)2,化簡得x2+y2-2pk1x-p(2+1)y-QUOTE34p2=0.同理可得圓N的方程為x2+y2-2pk2x-p(2QUOTEk22+1)y-QUOTE34p2=0.于是圓M,圓N的公共弦所在直線l的方程為(k2-k1)x+(QUOTEk22-QUOTEk12)y=0.又k2-k1≠0,k1+k2=2,則l的方程為x+2y=0.因?yàn)閜>0,所以點(diǎn)M到直線l的距離為d=QUOTE|2pk12+=QUOTEp|2k12+=QUOTEp[2(k1+14故當(dāng)k1=-QUOTE14時(shí),d取最小值QUOTE7p85.由題設(shè),QUOTE7p85=QUOTE755,解得p=8.故所求的拋物線E的方程為x2=16y.14.(2013年陜西卷,理20)已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(4,0),且在y軸上截得弦MN的長為8.(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程;(2)已知點(diǎn)B(-1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,若x軸是∠PBQ的角平分線,證明直線l過定點(diǎn).(1)解:如圖所示,設(shè)動(dòng)圓圓心O1(x,y),由題意,|O1A|=|O1M|,當(dāng)O1不在y軸上時(shí),過O1作O1H⊥MN交MN于H,則H是MN的中點(diǎn),∴|O1M|=QUOTEx2+42,又|O1A|=QUOTE(x-4)2+y∴QUOTE(x-4)2+y2=QUOTEx2+4化簡得y2=8x(x≠0).又當(dāng)O1在y軸上時(shí),O1與O重合,點(diǎn)O1的坐標(biāo)(0,0)也滿足方程y2=8x,∴動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為y2=8x.(2)證明:由題意,設(shè)直線l的方程為y=kx+b(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),將y=kx+b代入y2=8x中,得k2x2+(2bk-8)x+b2=0,其中Δ=-32kb+64>0.由根與系數(shù)的關(guān)系得,x1+x2=QUOTE8-2bkk2,①x1x2=QUOTEb2k2,②因?yàn)閤軸是∠PBQ的角平分線,所以QUOTEy1x1+1=-,即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,③將①②代入③,得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,∴k=-b,此時(shí)Δ>0,∴直線l的方程為y=k(x-1),∴直線l過定點(diǎn)(1,0).15.(2013年遼寧卷,理20)如圖,拋物線C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0).點(diǎn)M(x0,y0)在拋物線C2上,過M作C1的切線,切點(diǎn)A,B(M為原點(diǎn)O時(shí),A,B重合于O).當(dāng)x0=1-QUOTE2時(shí),切線MA的斜率為-QUOTE12.(1)求p的值;(2)當(dāng)M在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí),求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程(A,B重合于O時(shí),中點(diǎn)為O).解:(1)因?yàn)閽佄锞€C1:x2=4y上任意一點(diǎn)(x,y)的切線斜率為y′=QUOTEx2,且切線MA的斜率為-QUOTE12,所以A點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,QUOTE14),故切線MA的方程為y=-QUOTE12(x+1)+QUOTE14.因?yàn)辄c(diǎn)M(1-QUOTE2,y0)在切線MA及拋物線C2上,于是y0=-QUOTE12(2-QUOTE2)+QUOTE14=-QUOTE3-224,①y0=-QUOTE(1-2)22p=-QUOTE3-222p.②由①②得p=2.(2)設(shè)N(x,y),A(x1,QUOTEx124),B(x2,QUOTEx224),x1≠x2,由N為線段AB中點(diǎn)知x=QUOTEx1+x22,③y=QUOTEx12+x228切線MA,MB的方程為y=QUOTEx12(x-x1)+.⑤y=QUOTEx22(x-x2)+QUOTEx224.⑥由⑤⑥得MA,MB的交點(diǎn)M(x0,y0)的坐標(biāo)為x0=QUOTEx1+x22,y0=QUOTEx1x24因?yàn)辄c(diǎn)M(x0,y0)在C2上,即QUOTEx02=-4y0,所以x1x2=-QUOTEx12+x226由③④⑦得x2=QUOTE43y,x≠0.當(dāng)x1=x2時(shí),A,B重合于原點(diǎn)O,AB中點(diǎn)N為O,坐標(biāo)滿足x2=QUOTE43y.因此線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程為x2=QUOTE43y.模擬試題考點(diǎn)一拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程及其應(yīng)用

1.(2013福建廈門高三上質(zhì)檢)已知F是拋物線y2=4x的焦點(diǎn),P是圓x2+y2-8x-8y+31=0上的動(dòng)點(diǎn),則|FP|的最小值是()(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:圓x2+y2-8x-8y+31=0的圓心C坐標(biāo)為(4,4),半徑為1,∵|PF|≥|CF|-1,∴當(dāng)P、C、F三點(diǎn)共線時(shí),|PF|取到最小值,由y2=4x知F(1,0),∴|PF|min=QUOTE(4-1)2+42-1=4.故選答案:B2.(2013山東濰坊一模)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F與雙曲線QUOTEx24-QUOTEy25=1的右焦點(diǎn)重合,拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K,點(diǎn)A在拋物線上且|AK|=QUOTE2|AF|,則A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()(A)2QUOTE2 (B)3 (C)2QUOTE3 (D)4解析:由QUOTEx24-QUOTEy25=1得c2=4+5=9.∴雙曲線右焦點(diǎn)為(3,0),∴拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),拋物線方程為y2=12x.設(shè)d為點(diǎn)A(x0,y0)到準(zhǔn)線的距離,由拋物線定義知d=|AF|=x0+3,由題意得|y0|=x0+3,代入拋物線