電子測(cè)量 測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理

2．1測(cè)量誤差的基本概念

2.1.1測(cè)量誤差的定義測(cè)量的目的:獲得被測(cè)量的真值。真值:

在一定的時(shí)間和空間環(huán)境條件下，被測(cè)量本身所具有的真實(shí)數(shù)值。測(cè)量誤差

:所有測(cè)量結(jié)果都帶有誤差。2.1.2測(cè)量誤差的來源（1）儀器誤差：由于測(cè)量?jī)x器及其附件的設(shè)計(jì)、制造、檢定等不完善，以及儀器使用過程中老化、磨損、疲勞等因素而使儀器帶有的誤差。（2）影響誤差：由于各種環(huán)境因素（溫度、濕度、振動(dòng)、電源電壓、電磁場(chǎng)等）與測(cè)量要求的條件不一致而引起的誤差。（3）理論誤差和方法誤差：由于測(cè)量原理、近似公式、測(cè)量方法不合理而造成的誤差。（4）人身誤差：由于測(cè)量人員感官的分辨能力、反應(yīng)速度、視覺疲勞、固有習(xí)慣、缺乏責(zé)任心等原因，而在測(cè)量中使用操作不當(dāng)、現(xiàn)象判斷出錯(cuò)或數(shù)據(jù)讀取疏失等而引起的誤差。（5）測(cè)量對(duì)象變化誤差：測(cè)量過程中由于測(cè)量對(duì)象變化而使得測(cè)量值不準(zhǔn)確，如引起動(dòng)態(tài)誤差等。2.1.3測(cè)量誤差的表示方法

測(cè)量誤差有絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差兩種表示方法。1.絕對(duì)誤差（1）定義：由測(cè)量所得到的被測(cè)量值與其真值之差，稱為絕對(duì)誤差

實(shí)際應(yīng)用中常用實(shí)際值A(chǔ)（高一級(jí)以上的測(cè)量?jī)x器或計(jì)量器具測(cè)量所得之值、算術(shù)平均值、理論給出或計(jì)量學(xué)作出規(guī)定）來代替真值。絕對(duì)誤差：

有大小，又有符號(hào)和量綱2.1.3測(cè)量誤差的表示方法（續(xù)）（2）修正值與絕對(duì)誤差的絕對(duì)值大小相等，但符號(hào)相反的量值，稱為修正值測(cè)量?jī)x器的修正值可以通過上一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)的檢定給出，修正值可以是數(shù)值表格、曲線或函數(shù)表達(dá)式等形式。被測(cè)量的實(shí)際值2.1.3測(cè)量誤差的表示方法（續(xù)）2.相對(duì)誤差一個(gè)量的準(zhǔn)確程度，不僅與它的絕對(duì)誤差的大小，而且與這個(gè)量本身的大小有關(guān)。例：測(cè)量足球場(chǎng)的長(zhǎng)度和成都市到綿陽市的距離，若絕對(duì)誤差都為1米，測(cè)量的準(zhǔn)確程度是否相同？（1）相對(duì)真誤差、實(shí)際相對(duì)誤差、示值相對(duì)誤差相對(duì)誤差：絕對(duì)誤差與被測(cè)量的真值之比相對(duì)誤差是兩個(gè)有相同量綱的量的比值，只有大小和符號(hào)，沒有單位。2.1.3測(cè)量誤差的表示方法（續(xù)）實(shí)際相對(duì)誤差：用實(shí)際值A(chǔ)代替真值A(chǔ)0

示值相對(duì)誤差：用測(cè)量值X代替實(shí)際值A(chǔ)例：用圖中(a)、(b)兩種電路測(cè)電阻上的電壓和電流,若電壓表的內(nèi)阻為,電流表的內(nèi)阻為

,求測(cè)量值受電表影響產(chǎn)生的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差,并分析所得結(jié)果.。(a)(b)IIUU低阻測(cè)量V解、設(shè)被測(cè)電阻真值為對(duì)圖(a)

給出值

絕對(duì)誤差相對(duì)誤差對(duì)圖(b)

給出值

絕對(duì)誤差

相對(duì)誤差(b)IU

相對(duì)誤差=分?jǐn)?shù)法=百分法=千分法=1000系統(tǒng)誤差用準(zhǔn)確度表征2.1.3測(cè)量誤差的表示方法（續(xù)）（2）滿度相對(duì)誤差（引用相對(duì)誤差）用測(cè)量?jī)x器在一個(gè)量程范圍內(nèi)出現(xiàn)的最大絕對(duì)誤差與該量程值（上限值－下限值）之比來表示的相對(duì)誤差，稱為滿度相對(duì)誤差（或稱引用相對(duì)誤差）儀表各量程內(nèi)絕對(duì)誤差的最大值2.1.3測(cè)量誤差的表示方法（續(xù)）電工儀表就是按引用誤差之值進(jìn)行分級(jí)的。是儀表在工作條件下不應(yīng)超過的最大引用相對(duì)誤差我國電工儀表共分七級(jí)：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5及5.0。如果儀表為S級(jí)，則說明該儀表的最大引用誤差不超過S%測(cè)量點(diǎn)的最大相對(duì)誤差在使用這類儀表測(cè)量時(shí)，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)牧砍?，使示值盡可能接近于滿度值，指針最好能偏轉(zhuǎn)在不小于滿度值2/3以上的區(qū)域。

2.1.3測(cè)量誤差的表示方法（續(xù)）[例1-3]某待測(cè)電流約為100mA，現(xiàn)有0.5級(jí)量程為0～400mA和1.5級(jí)量程為0～100mA的兩個(gè)電流表，問用哪一個(gè)電流表測(cè)量較好？用1.5級(jí)量程為0～100mA電流表測(cè)量100mA時(shí)的最大相對(duì)誤差為解：用0.5級(jí)量程為0～400mA電流表測(cè)100mA時(shí)，最大相對(duì)誤差為2.1.3測(cè)量誤差的表示方法（續(xù)）（3）分貝誤差——相對(duì)誤差的對(duì)數(shù)表示分貝誤差是用對(duì)數(shù)形式（分貝數(shù)）表示的一種相對(duì)誤差，單位為分貝（dB）。電壓增益的測(cè)得值為誤差為用對(duì)數(shù)表示為增益測(cè)得值的分貝值分貝誤差2.1.3測(cè)量誤差的表示方法（續(xù)）2.2測(cè)量誤差的分類2.2.1誤差的來源儀器誤差——儀器本身不完善引起的誤差，如校準(zhǔn)誤差、測(cè)試系統(tǒng)分辨率不高引起的誤差、內(nèi)部噪聲引起的誤差影響誤差——由于各種環(huán)境因素（溫度、濕度、振動(dòng)、電源電壓、電磁場(chǎng)等）與測(cè)量要求的條件不一致而引起的誤差。方法誤差和理論誤差——測(cè)量時(shí)方法不完善、所依據(jù)的理論不嚴(yán)密以及對(duì)被測(cè)量定義不明確等人身誤差以及測(cè)量對(duì)象變化誤差2.2.2測(cè)量誤差的分類系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差三大類。古典誤差理論

(一)系統(tǒng)誤差定義：對(duì)同一個(gè)被測(cè)值在相同條件下進(jìn)行重復(fù)測(cè)量、誤差的絕對(duì)值和符號(hào)（大小和方向）不變，或在條件改變時(shí)按某種確定規(guī)律而變化的誤差。特點(diǎn)：只要測(cè)量條件不變，誤差即為確切的數(shù)值，用多次測(cè)量取平均值的辦法不能改變或消除；當(dāng)條件改變時(shí)，誤差也隨之遵循某種確定的規(guī)律而變化，具有可重復(fù)性。

產(chǎn)生的主要原因是儀器的制造、安裝或使用方法不正確，環(huán)境因素（溫度、濕度、電源等）影響，測(cè)量原理中使用近似計(jì)算公式，測(cè)量人員不良的讀數(shù)習(xí)慣等。

誤差的絕對(duì)值和符號(hào)在一定條件下保持不變的誤差（2）變值系差

——誤差的數(shù)值和符號(hào)在一定的條件下，按某一確定的規(guī)律變化。根據(jù)其變化規(guī)律又可分為三種

1）累進(jìn)性系差：在測(cè)量過程中誤差數(shù)值逐漸變化的系統(tǒng)誤差（電池充放電）

2）周期性系差：在測(cè)量過程中誤差數(shù)值周期性變化的系統(tǒng)誤差、恒溫箱隨環(huán)境溫度變化而周期性變化。

3）按復(fù)雜規(guī)律變化的系差：盡管誤差變化規(guī)律復(fù)雜，重復(fù)測(cè)量仍有重復(fù)性。（1）恒定系差(又稱恒差)

（二）隨機(jī)誤差

1．定義——在實(shí)際相同的條件下多次測(cè)量同一量時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)以不可預(yù)定的方式[有時(shí)大(小)，有時(shí)為負(fù)(正)]變化著的誤差稱為隨機(jī)誤差。（沒規(guī)律、不能預(yù)先確定）

eg.對(duì)某一頻率等精度測(cè)量10次，得下表；測(cè)量序號(hào)i測(cè)量結(jié)果Xi(MHZ)測(cè)量序號(hào)i 測(cè)量結(jié)果Xi(MHZ) 1 5.000032 6 5.000029 2 5.000029 7 5.000030 3 5.000030 8 5.000033 4 5.000019 9 5.000027 5 5.000031 10 5.000028

表中代表的隨機(jī)誤差與隨時(shí)間按復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差有著本質(zhì)的區(qū)別。無規(guī)律。只有通過大量觀測(cè)，才能確定其統(tǒng)計(jì)規(guī)律。2.隨機(jī)誤差的特點(diǎn):在多次等精度測(cè)量中

有界性；對(duì)稱性；（正負(fù)值出現(xiàn)的幾率相等）具有抵償性。AXn上界實(shí)際值(無系差)下界隨機(jī)誤差主要由對(duì)測(cè)量值影響微小但卻互不相關(guān)的大量因素共同造成。這些因素主要是噪聲干擾、電磁場(chǎng)微變、零件的摩擦和配合間隙、熱起伏、空氣擾動(dòng)、大地微震、測(cè)量人員感官的無規(guī)律變化等。3.精度：表現(xiàn)了測(cè)量結(jié)果的分散性，在誤差理論中，經(jīng)常用精密度(PRECISION)一詞來表征隨機(jī)誤差的大小。(a)(b)(c)(a)彈著點(diǎn)很分散-----正確度、精密度低(b)彈著點(diǎn)很集中但偏向一方-----正確度低精密度高(c)彈著點(diǎn)集中靶心----正確度、精密度都高，即準(zhǔn)確度高分析：正確、精密、準(zhǔn)確及精確。（三）粗大誤差粗大誤差又稱粗差、巨差或差錯(cuò)。它是指那些在一定條件下測(cè)量結(jié)果顯著地偏離其實(shí)際值時(shí)所對(duì)應(yīng)的誤差。

產(chǎn)生原因和消除方法：1）測(cè)量方法不當(dāng)，例如用普通萬用表電壓檔直接測(cè)量高內(nèi)阻電源的開路電壓2）測(cè)量操作疏忽和失誤，如未按規(guī)程操作、讀數(shù)錯(cuò)誤、記錄及計(jì)算錯(cuò)誤等

3）測(cè)量條件的突然變化，如電源電壓突然增高或降低，雷擊干擾，機(jī)械沖擊等含有粗差的測(cè)量值稱為壞值或異常值，在數(shù)據(jù)處理時(shí)，應(yīng)剔除掉。2.2.2測(cè)量誤差的分類（續(xù)）4.系差和隨差的表達(dá)式

在剔除粗大誤差后，只剩下系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差各次測(cè)得值的絕對(duì)誤差等于系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的代數(shù)和。在任何一次測(cè)量中，系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差一般都是同時(shí)存在的。系差和隨差之間在一定條件下是可以相互轉(zhuǎn)化A:實(shí)際值（真值）M(x):數(shù)學(xué)期望，其定義為：Xi:第i次測(cè)量示值。Xk:含有粗大誤差的測(cè)量示值，應(yīng)剔除。：系統(tǒng)誤差，其定義為

=M(x)-A

：隨機(jī)誤差，其定義為i=Xi-M(x)

因此,測(cè)量絕對(duì)誤差為當(dāng)

=0時(shí),則此條件見下圖

系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的特點(diǎn)：規(guī)律性：盡管非常復(fù)雜；系統(tǒng)誤差規(guī)律更難于掌握消除方法：系統(tǒng)誤差沒有比較有效的方法隨機(jī)誤差可用統(tǒng)計(jì)方法2.3測(cè)量誤差的估計(jì)和處理2.3.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法在測(cè)量中，隨機(jī)誤差是不可避免的。隨機(jī)誤差是由大量微小的沒有確定規(guī)律的因素引起的，比如外界條件（溫度、濕度、氣壓、電源電壓等）的微小波動(dòng)，電磁場(chǎng)的干擾，大地輕微振動(dòng)等。多次測(cè)量，測(cè)量值和隨機(jī)誤差服從概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律?？捎脭?shù)理統(tǒng)計(jì)的方法，處理測(cè)量數(shù)據(jù)，從而減少隨機(jī)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。2.3.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）（1）隨機(jī)變量的數(shù)字特征①

數(shù)學(xué)期望:反映其平均特性。其定義如下：X為離散型隨機(jī)變量：

X為連續(xù)型隨機(jī)變量：

1.隨機(jī)誤差的分布規(guī)律2.3.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）

②方差和標(biāo)準(zhǔn)偏差方差是用來描述隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的分散程度。設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)，則X的方差定義為：

D(X)=E(X－E(X))2

標(biāo)準(zhǔn)偏差定義為：

標(biāo)準(zhǔn)偏差同樣描述隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的分散程度，并且與隨機(jī)變量具有相同量綱。標(biāo)準(zhǔn)方差反映了測(cè)量的精密度，標(biāo)準(zhǔn)差小表示精密度高，測(cè)得值集中，大表示精密度低，測(cè)得值分散。2.3.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）測(cè)量中的隨機(jī)誤差通常是多種相互獨(dú)立的因素造成的許多微小誤差的總和。中心極限定理：假設(shè)被研究的隨機(jī)變量可以表示為大量獨(dú)立的隨機(jī)變量的和，其中每一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于總和只起微小作用，則可認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布。為什么測(cè)量數(shù)據(jù)和隨機(jī)誤差大多接近正態(tài)分布？(2)測(cè)量誤差的正態(tài)分布2.3.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和統(tǒng)計(jì)特性隨機(jī)誤差的概率密度函數(shù)為：測(cè)量數(shù)據(jù)X的概率密度函數(shù)為：

隨機(jī)誤差的數(shù)學(xué)期望和方差為：同樣測(cè)量數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)期望E(X)＝，方差D(X)＝2.3.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）正態(tài)分布時(shí)概率密度曲線

隨機(jī)誤差和測(cè)量數(shù)據(jù)的分布形狀相同，因?yàn)樗鼈兊臉?biāo)準(zhǔn)偏差相同，只是橫坐標(biāo)相差隨機(jī)誤差具有：①對(duì)稱性②單峰性③有界性④抵償性

2.3.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）標(biāo)準(zhǔn)偏差意義標(biāo)準(zhǔn)偏差是代表測(cè)量數(shù)據(jù)和測(cè)量誤差分布離散程度的特征數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)偏差越小，則曲線形狀越尖銳，說明數(shù)據(jù)越集中；標(biāo)準(zhǔn)偏差越大，則曲線形狀越平坦，說明數(shù)據(jù)越分散。2.3.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）

（3）測(cè)量誤差的非正態(tài)分布常見的非正態(tài)分布有均勻分布、三角分布、反正弦分布等。均勻分布：儀器中的刻度盤回差、最小分辨力引起的誤差等；“四舍五入”的截尾誤差；當(dāng)只能估計(jì)誤差在某一范圍內(nèi)，而不知其分布時(shí)，一般可假定均勻分布。

概率密度:均值:當(dāng)時(shí),標(biāo)準(zhǔn)偏差:

當(dāng)

時(shí)，2.3.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）

2.

有限次測(cè)量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值

求被測(cè)量的數(shù)字特征，理論上需無窮多次測(cè)量，但在實(shí)際測(cè)量中只能進(jìn)行有限次測(cè)量，怎么辦？用事件發(fā)生的頻度代替事件發(fā)生的概率，當(dāng)則令n個(gè)可相同的測(cè)試數(shù)據(jù)xi(i=1.2…,n)

次數(shù)都計(jì)為1,當(dāng)時(shí)，則（1）有限次測(cè)量的數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值——算術(shù)平均值被測(cè)量X的數(shù)學(xué)期望，就是當(dāng)測(cè)量次數(shù)時(shí)，各次測(cè)量值的算術(shù)平均值2.3.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）規(guī)定使用算術(shù)平均值為數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值，并作為最后的測(cè)量結(jié)果。即：

算術(shù)平均值是數(shù)學(xué)期望的無偏估計(jì)值、一致估計(jì)值和最大似然估計(jì)值。有限次測(cè)量值的算術(shù)平均值比測(cè)量值更接近真值？

2.3.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）

（2）算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差

故：算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差比總體或單次測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差小倍。原因是隨機(jī)誤差的抵償性。*算術(shù)平均值：2.3.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）

（2）有限次測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值

殘差：實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差（標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值），貝塞爾公式：算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值：2.3.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）

【例1】用溫度計(jì)重復(fù)測(cè)量某個(gè)不變的溫度，得11個(gè)測(cè)量值的序列（見下表）。求測(cè)量值的平均值及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。解：①平均值

②用公式計(jì)算各測(cè)量值殘差列于上表中③實(shí)驗(yàn)偏差④標(biāo)準(zhǔn)偏差2.3.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)3.

測(cè)量結(jié)果的置信問題（1）置信概率與置信區(qū)間：置信區(qū)間內(nèi)包含真值的概率稱為置信概率。置信限：

k——置信系數(shù)（或置信因子）置信概率是圖中陰影部分面積2.3.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）

（2）正態(tài)分布的置信概率

當(dāng)分布和k值確定之后，則置信概率可定

正態(tài)分布,當(dāng)k=3時(shí)置信因子k置信概率Pc10.68320.95530.997區(qū)間越寬，置信概率越大2.3.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）

（3）t分布的置信限

t分布與測(cè)量次數(shù)有關(guān)。當(dāng)n>20以后，t分布趨于正態(tài)分布。正態(tài)分布是t分布的極限分布。當(dāng)n很小時(shí)，t分布的中心值比較小，分散度較大，即對(duì)于相同的概率，t分布比正態(tài)分布有更大的置信區(qū)間。給定置信概率和測(cè)量次數(shù)n，查表得置信因子kt。自由度：v=n-12.3.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）2.3.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）

（4）非正態(tài)分布的置信因子

由于常見的非正態(tài)分布都是有限的，設(shè)其置信限為誤差極限，即誤差的置信區(qū)間為置信概率為100％。（P=1)反正弦均勻三角分布例：均勻分布

有故:2.3.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）

隨機(jī)誤差的均勻分布-----正態(tài)分布之外的一種主要分布均勻分布的特點(diǎn)：在其分布范圍內(nèi)，測(cè)量值或測(cè)量誤差出現(xiàn)的概率密度相等。

儀器最小分辨力限制引起的誤差;

數(shù)字顯示儀器的個(gè)字；四舍五入處理；對(duì)誤差分布并不了解，只知大致范圍時(shí)。分辨力——測(cè)量?jī)x器可能檢測(cè)出被測(cè)信號(hào)最小變化(準(zhǔn)確值)的能力。靈敏門值——測(cè)量?jī)x器不能檢測(cè)出的被測(cè)信號(hào)最大變化范圍值。產(chǎn)生的主要原因：(二)數(shù)學(xué)期望與標(biāo)準(zhǔn)誤差對(duì)于測(cè)量值x連續(xù)取值，其數(shù)學(xué)期望定義式為：(一)均勻分布的概率密度概率密度x)為x)=kaxb 0x<a;x>b

由于均勻分布的范圍是由a到b，因此概率為：(axb)a-b之間的概率密度：

對(duì)于測(cè)量值x連續(xù)取值，其標(biāo)準(zhǔn)誤差定義式為：

用滿量程為250mA，分辨力的靈敏門值為2mA，問測(cè)量電流的示值為200mA時(shí)，其實(shí)際值的范圍及標(biāo)準(zhǔn)誤差為多少？解:

由于分辨力造成的隨機(jī)誤差，其出現(xiàn)的概率密度是屬于均勻分布的。因此對(duì)于示值為x=200mA,其實(shí)際值是在其隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)誤差為2.3.2系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)）

1.系統(tǒng)誤差的特征：

在同一條件下，多次測(cè)量同一量值時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，或者在條件改變時(shí)，誤差按一定的規(guī)律變化。

多次測(cè)量求平均不能減少系差。2.3.2系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)）

2.系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法

（1）不變的系統(tǒng)誤差：校準(zhǔn)、修正和實(shí)驗(yàn)比對(duì)。（2）變化的系統(tǒng)誤差①

殘差觀察法，適用于系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差大的情況 將所測(cè)數(shù)據(jù)及其殘差按先后次序列表或作圖，觀察各數(shù)據(jù)的殘差值的大小和符號(hào)的變化。

存在線性變化的系統(tǒng)誤差無明顯系統(tǒng)誤差2.3.2系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)）②馬利科夫判據(jù)：若有累進(jìn)性系統(tǒng)誤差，D值應(yīng)明顯異于零。 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，③阿貝－赫梅特判據(jù)：檢驗(yàn)周期性系差的存在。2.3.2系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)）

3.系統(tǒng)誤差的削弱或消除方法

（1）從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差根源上采取措施減小系統(tǒng)誤差①

要從測(cè)量原理和測(cè)量方法盡力做到正確、嚴(yán)格。②

測(cè)量?jī)x器定期檢定和校準(zhǔn)，正確使用儀器。③注意周圍環(huán)境對(duì)測(cè)量的影響，特別是溫度對(duì)電子測(cè)量的影響較大。④

盡量減少或消除測(cè)量人員主觀原因造成的系統(tǒng)誤差。應(yīng)提高測(cè)量人員業(yè)務(wù)技術(shù)水平和工作責(zé)任心，改進(jìn)設(shè)備。（2）用修正方法減少系統(tǒng)誤差

修正值＝－誤差=－（測(cè)量值－真值） 實(shí)際值＝測(cè)量值＋修正值2.3.2系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)）

（3）采用一些專門的測(cè)量方法

①替代法：沃爾德稱重法、電橋測(cè)電阻②交換法：高斯稱重法③對(duì)稱測(cè)量法④減小周期性系統(tǒng)誤差的半周期法⑤反向補(bǔ)償法：消除接觸電動(dòng)勢(shì)測(cè)電阻系統(tǒng)誤差可忽略不計(jì)的準(zhǔn)則是： 系統(tǒng)誤差或殘余系統(tǒng)誤差代數(shù)和的絕對(duì)值不超過測(cè)量結(jié)果擴(kuò)展不確定度的最后一位有效數(shù)字的一半。2.3.3粗大誤差及其判斷準(zhǔn)則粗大誤差出現(xiàn)的概率很小，列出可疑數(shù)據(jù)，分析是否是粗大誤差，若是，則應(yīng)將對(duì)應(yīng)的測(cè)量值剔除。1.粗大誤差產(chǎn)生原因以及防止與消除的方法

粗大誤差的產(chǎn)生原因

①測(cè)量人員的主觀原因：操作失誤或錯(cuò)誤記錄；②客觀外界條件的原因：測(cè)量條件意外改變、受較大的電磁干擾，或測(cè)量?jī)x器偶然失效等。防止和消除粗大誤差的方法重要的是采取各種措施，防止產(chǎn)生粗大誤差。2.3.3粗大誤差及其判斷準(zhǔn)則（續(xù)）

2.

粗大誤差的判別準(zhǔn)則

統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法的基本思想是：給定一置信概率，確定相應(yīng)的置信區(qū)間，凡超過置信區(qū)間的誤差就認(rèn)為是粗大誤差，并予以剔除。萊特檢驗(yàn)法格拉布斯檢驗(yàn)法式中，G值按重復(fù)測(cè)量次數(shù)n及置信概率Pc確定2.3.3粗大誤差及其判斷準(zhǔn)則（續(xù)）

應(yīng)注意的問題①

所有的檢驗(yàn)法都是人為主觀擬定的，至今無統(tǒng)一的規(guī)定。當(dāng)偏離正態(tài)分布和測(cè)量次數(shù)少時(shí)檢驗(yàn)不一定可靠。②

若有多個(gè)可疑數(shù)據(jù)同時(shí)超過檢驗(yàn)所定置信區(qū)間，應(yīng)逐個(gè)剔除，重新計(jì)算，再行判別。若有兩個(gè)相同數(shù)據(jù)超出范圍時(shí)，應(yīng)逐個(gè)剔除。③在一組測(cè)量數(shù)據(jù)中，可疑數(shù)據(jù)應(yīng)很少。反之，說明系統(tǒng)工作不正常。例2—10P492.3.4測(cè)量結(jié)果的處理步驟

①對(duì)測(cè)量值進(jìn)行系統(tǒng)誤差修正，將數(shù)據(jù)依次列成表格；②求出算術(shù)平均值③列出殘差，并驗(yàn)證④按貝塞爾公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值⑤按萊特準(zhǔn)則，或格拉布斯準(zhǔn)則檢查和剔除粗大誤差；⑥判斷有無系統(tǒng)誤差。如有系統(tǒng)誤差，應(yīng)查明原因，修正或消除系統(tǒng)誤差后重新測(cè)量；⑦計(jì)算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差；⑧寫出最后結(jié)果的表達(dá)式，即（單位）。2.3.4測(cè)量結(jié)果的處理步驟（續(xù)）【例3．4】對(duì)某電壓進(jìn)行了16次等精度測(cè)量，測(cè)量數(shù)據(jù)中已記入修正值，列于表中。要求給出包括誤差在內(nèi)的測(cè)量結(jié)果表達(dá)式。2.3.4測(cè)量結(jié)果的處理步驟（續(xù)）2.3.4測(cè)量結(jié)果的處理步驟（續(xù)）2.3.4測(cè)量結(jié)果的處理步驟（續(xù)）

等精度測(cè)量與不等精度測(cè)量

等精度測(cè)量：即在相同地點(diǎn)、相同的測(cè)量方法和相同測(cè)量設(shè)備、相同測(cè)量人員、相同環(huán)境條件（溫度、濕度、干擾等），并在短時(shí)間內(nèi)進(jìn)行的重復(fù)測(cè)量。不等精度測(cè)量：在測(cè)量條件不相同時(shí)進(jìn)行的測(cè)量，測(cè)量結(jié)果的精密度將不相同。不等精度測(cè)量處理方法：權(quán)值與標(biāo)準(zhǔn)偏差的平方成反比。權(quán)值

測(cè)量結(jié)果為加權(quán)平均值

2.3.4測(cè)量結(jié)果的處理步驟（續(xù)）

2.3.5誤差的合成分析問題：用間接法測(cè)量電阻消耗的功率時(shí)，需測(cè)量電阻R、端電壓V和電流I三個(gè)量中的兩個(gè)量，如何根據(jù)電阻、電壓或電流的誤差來推算功率的誤差呢？2.3.5誤差的合成分析（續(xù)）2.3.5誤差的合成分析（續(xù)）在實(shí)際應(yīng)用中，由于分項(xiàng)誤差符號(hào)不定而可同時(shí)取正負(fù)，有時(shí)就采用保守的辦法來估算誤差，即將式中各分項(xiàng)取絕對(duì)值后再相加該公式常用于在設(shè)計(jì)階段中對(duì)傳感器、儀器及系統(tǒng)等的誤差進(jìn)行分析和估算，以采取減少誤差的相應(yīng)措施。但是，更嚴(yán)格和更準(zhǔn)確地計(jì)算合成誤差的方法是測(cè)量不確定度理論中的合成不確定度評(píng)定2.4測(cè)量不確定度

2.4.1不確定度的概念不確定度是說明測(cè)量結(jié)果可能的分散程度的參數(shù)?？捎脴?biāo)準(zhǔn)偏差表示，也可用標(biāo)準(zhǔn)偏差的倍數(shù)或置信區(qū)間的半寬度表示。1.術(shù)語（1）標(biāo)準(zhǔn)不確定度：用概率分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差表示的不確定度

①A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度：用統(tǒng)計(jì)方法得到的不確定度。②B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度：用非統(tǒng)計(jì)方法得到的不確定度2.4.1不確定度的概念（續(xù)）

（2）合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度*由各不確定度分量合成的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。*因?yàn)闇y(cè)量結(jié)果是受若干因素聯(lián)合影響。（3）擴(kuò)展不確定度*合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的倍數(shù)表示的測(cè)量不確定度，即用包含因子乘以合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度得到一個(gè)區(qū)間半寬度。

*包含因子的取值決定了擴(kuò)展不確定度的置信水平。*通常測(cè)量結(jié)果的不確定度都用擴(kuò)展不確定度表示

2.4.1不確定度的概念（續(xù)）

2.不確定度的分類

2.4.1不確定度的概念（續(xù)）

3.不確定度的來源

①被測(cè)量定義的不完善，實(shí)現(xiàn)被測(cè)量定義的方法不理想，被測(cè)量樣本不能代表所定義的被測(cè)量。②測(cè)量裝置或儀器的分辨力、抗干擾能力、控制部分穩(wěn)定性等影響。③測(cè)量環(huán)境的不完善對(duì)測(cè)量過程的影響以及測(cè)量人員技術(shù)水平等影響。④計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)和標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)的值本身的不確定度，在數(shù)據(jù)簡(jiǎn)化算法中使用的常數(shù)及其他參數(shù)值的不確定度，以及在測(cè)量過程中引入的近似值的影響。⑤在相同條件下，由隨機(jī)因素所引起的被測(cè)量本身的不穩(wěn)定性。2.4.2誤差與不確定度的區(qū)別測(cè)量誤差測(cè)量不確定度客觀存在的，但不能準(zhǔn)確得到，是一個(gè)定性的概念表示測(cè)量結(jié)果的分散程度，可根據(jù)試驗(yàn)、資料等信息定量評(píng)定。誤差是不以人的認(rèn)識(shí)程度而改變與人們對(duì)被測(cè)量和影響量及測(cè)量過程的認(rèn)識(shí)有關(guān)。隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差是兩種不同性質(zhì)的誤差A(yù)類或B類不確定度是兩種不同的評(píng)定方法，與隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差之間不存在簡(jiǎn)單的對(duì)應(yīng)關(guān)系。須進(jìn)行異常數(shù)據(jù)判別并剔除。剔除異常數(shù)據(jù)后再評(píng)定不確定度在最后測(cè)量結(jié)果中應(yīng)修正確定的系統(tǒng)誤差。在測(cè)量不確定度中不包括已確定的修正值，但應(yīng)考慮修正不完善引入的不確定度分量?！罢`差傳播定律”可用于間接測(cè)量時(shí)對(duì)誤差進(jìn)行定性分析。不確定度傳播律更科學(xué)，用于定量評(píng)定測(cè)量結(jié)果的合成不確定度2.5測(cè)量數(shù)據(jù)處理

2.5.1有效數(shù)字的處理1.數(shù)字修約規(guī)則由于測(cè)量數(shù)據(jù)和測(cè)量結(jié)果均是近似數(shù)，其位數(shù)各不相同。為了使測(cè)量結(jié)果的表示準(zhǔn)確唯一，計(jì)算簡(jiǎn)便，在數(shù)據(jù)處理時(shí)，需對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)和所用常數(shù)進(jìn)行修約處理。數(shù)據(jù)修約規(guī)則：（1）小于5舍去——末位不變。（2）大于5進(jìn)1——在末位增1。（3）等于5時(shí)，取偶數(shù)——當(dāng)末位是偶數(shù)，末位不變；末位是奇數(shù)，在末位增1（將末位湊為偶數(shù)）。2.5.1有效數(shù)字的處理（續(xù)）

例：將下列數(shù)據(jù)舍入到小數(shù)第二位。12.4344→12.43 63.73501→63.740.69499→0.6925.3250→25.32 17.6955→17.70 123.1150→123.12需要注意的是，舍入應(yīng)一次到位，不能逐位舍入。上例中0.69499，正確結(jié)果為0.69，錯(cuò)誤做法是：

0.69499→0.6950→0.695→0.70。在“等于5”的舍入處理上，采用取偶數(shù)規(guī)則，是為了在比較多的數(shù)據(jù)舍入處理中，使產(chǎn)生正負(fù)誤差的概率近似相等。2.5.1有效數(shù)字的處理（續(xù)）2.有效數(shù)字若截取得到的近似數(shù)其截取或舍入誤差的絕對(duì)值不超過近似數(shù)末位的半個(gè)單位，則該近似數(shù)從左邊第一個(gè)非零數(shù)字到最末一位數(shù)為止的全部數(shù)字，稱之為有效數(shù)字。例如：3.142 四位有效數(shù)字，極限誤差≤0.00058.700 四位有效數(shù)字，極限誤差≤0.00058.7×103

二位有效數(shù)字，極限誤差≤0.05×1030.0807 三位有效數(shù)字，極限誤差≤0.005

2.5.1有效數(shù)字的處理（續(xù)）中間的0和末尾的0都是有效數(shù)字，不能隨意添加。開頭的零不是有效數(shù)字。測(cè)量數(shù)據(jù)的絕對(duì)值比較大（或比較?。?，而有效數(shù)字又比較少的測(cè)量數(shù)據(jù)，應(yīng)采用科學(xué)計(jì)數(shù)法，即a×10n，a的位數(shù)由有效數(shù)字的位數(shù)所決定。測(cè)量結(jié)果（或讀數(shù)）的有效位數(shù)應(yīng)由該測(cè)量的不確定度來確定，即測(cè)量結(jié)果的最末一位應(yīng)與不確定度的位數(shù)對(duì)齊。例如，某物理量的測(cè)量結(jié)果的值為63.44，且該量的測(cè)量不確定度u＝0.4，測(cè)量結(jié)果表示為63.4±0.4。2.5.1有效數(shù)字的處理（續(xù)）3.近似運(yùn)算法則 保留的位數(shù)原則上取決于各數(shù)中準(zhǔn)確度最差的那一項(xiàng)。（1）加法運(yùn)算 以小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的為準(zhǔn)（各項(xiàng)無小數(shù)點(diǎn)則以有效位數(shù)最少者為準(zhǔn)），其余各數(shù)可多取一位。例如：

（2）減法運(yùn)算：當(dāng)兩數(shù)相差甚遠(yuǎn)時(shí)，原則同加法運(yùn)算；當(dāng)兩數(shù)很接近時(shí)，有可能造成很大的相對(duì)誤差，因此，第一要盡量避免導(dǎo)致相近兩數(shù)相減的測(cè)量方法，第二在運(yùn)算中多一些有效數(shù)字。

2.5.1有效數(shù)字的處理（續(xù)）（3）乘除法運(yùn)算 以有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)為準(zhǔn)，其余參與運(yùn)算的數(shù)字及結(jié)果中的有效數(shù)字位數(shù)與之相等。例如：

→也可以比有效數(shù)字位數(shù)最少者多保留一位有效數(shù)字。例如上面例子中的517.43和4.08各保留至517和4.08，結(jié)果為35.5。（4）乘方、開方運(yùn)算：運(yùn)算結(jié)果比原數(shù)多保留一位有效數(shù)字。例如：（27.8）2≈772.8 (115)2≈1.322×1043.4.2測(cè)量數(shù)據(jù)的表示方法1.列表法根據(jù)測(cè)試的目的和內(nèi)容，設(shè)計(jì)出合理的表格。列表法簡(jiǎn)單、方便，數(shù)據(jù)易于參考比較，它對(duì)數(shù)據(jù)變化的趨勢(shì)不如圖解法明了和直觀，但列表法是圖示法和經(jīng)驗(yàn)公式法的基礎(chǔ)。例：x024681012y1.512.119.131.342.148.659.13.4.2測(cè)量數(shù)據(jù)的表示方法2.圖示法圖示法的最大優(yōu)點(diǎn)是形象、直觀，從圖形中可以很直觀地看出函數(shù)的變化規(guī)律，如遞增或遞減、最大值和最小值及是否有周期性變化規(guī)律等。作圖時(shí)采用直角坐標(biāo)或極座標(biāo)。一般是先按成對(duì)數(shù)據(jù)（x，y）描點(diǎn)，再連成光滑曲線，并盡量使曲線于所有點(diǎn)接近，不強(qiáng)求通過各點(diǎn)，要使位于曲線兩邊的點(diǎn)數(shù)盡量相等3.4.2測(cè)量數(shù)據(jù)的表示方法（續(xù)）3.經(jīng)驗(yàn)公式法經(jīng)驗(yàn)公式法就是通過對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的計(jì)算，采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法，確定它們之間的數(shù)量關(guān)系，即用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示各變量之間關(guān)系。有時(shí)又把這種經(jīng)驗(yàn)公式稱為數(shù)學(xué)模型。類型有些一元非線性回歸可采用變量代換，將其轉(zhuǎn)化為線性回歸方程來解。一元線形回歸一元非線性回歸多元線性回歸多元非線性回歸變量個(gè)數(shù)11>1>1方次1>11>1y=a+bx

3.4.3建立經(jīng)驗(yàn)公式的步驟已知測(cè)量數(shù)據(jù)列(xi,yi

i=1,2,…,n),建立公式的步驟如下：（1)將自變量xi,作為橫坐標(biāo)，測(cè)量值yi作為縱坐標(biāo)，描繪在坐標(biāo)紙上，并把數(shù)據(jù)點(diǎn)描繪成測(cè)量曲線。（2）分析描繪的曲線，確定公式y(tǒng)=f(x)的基本形式。①直線，可用一元線性回歸方法確定直線方程。②某種類型曲線，則先將該曲線方程變換為直線方程，然后按一元線性回歸方法處理。③如果測(cè)量曲線很難判斷屬于何種類型，這可以按曲線多項(xiàng)式回歸處理。即：

（3）由測(cè)量數(shù)據(jù)確定擬合方程（公式）中的常量。3.4.3建立經(jīng)驗(yàn)公式的步驟（續(xù)）(4)檢驗(yàn)所確定的方程的準(zhǔn)確性。①用測(cè)量數(shù)據(jù)中的自變量代入擬合方程計(jì)算出函數(shù)值y′②計(jì)算擬合殘差③計(jì)算擬合曲線的標(biāo)準(zhǔn)偏差

式中：m為擬合曲線未知數(shù)個(gè)數(shù)，n為測(cè)量數(shù)據(jù)列長(zhǎng)度。如果標(biāo)準(zhǔn)偏差很大，說明所確定的公式基本形式有錯(cuò)誤，應(yīng)建立另外形式公式重做。3.4.4一元線性回歸

用一個(gè)直線方程y=a+bx來表達(dá)測(cè)量數(shù)據(jù)(xi,yi

i=1,2,…,n)之間的相互關(guān)系，即求出a和b，此過程就是一元線性回歸。

1.端點(diǎn)法此方法是將測(cè)量數(shù)據(jù)中兩個(gè)端點(diǎn)，起點(diǎn)和終點(diǎn)（即最大量程點(diǎn)）的測(cè)量值（x1,y1）和（xn,yn），代入y=a+bx

，則a,b分別為3.4.4一元線性回歸（續(xù)）2.平均選點(diǎn)法此方法是將全部n個(gè)測(cè)量值(xi,yi

i=1,2,…,n)分成數(shù)目大致相同的兩組，前半部k個(gè)測(cè)量點(diǎn)為一組，其余的n-k個(gè)測(cè)量點(diǎn)為另一組，兩組測(cè)量點(diǎn)都有自己的“點(diǎn)系中心”，其坐標(biāo)分別為

通過兩個(gè)“點(diǎn)系中心”的直線即是擬合直線y=a+bx，其中a，b分別為：3.4.4一元線性回歸（續(xù)）3.最小二乘法最小二乘法的基本原理是在殘差平方和為最小的條件下求出最佳直線。測(cè)量數(shù)據(jù)中的任何一個(gè)數(shù)據(jù)yi與擬合直線上y=a+bx對(duì)應(yīng)的理想值yi‘之殘差(i=1,2,…n為測(cè)量點(diǎn)數(shù)） 即求a和b的偏導(dǎo)數(shù)，并令它們?yōu)榱?，即可解得a和b的值。3.4.4一元線性回歸（續(xù)）【例3.10】對(duì)量程為10Mpa的壓力傳感器，用活塞式壓力計(jì)進(jìn)行測(cè)試，輸出由數(shù)字電壓表讀數(shù)，所得各測(cè)量點(diǎn)的輸出值列于下表中。試用端點(diǎn)法、平均選點(diǎn)法和最小二乘法擬合線性方程，并計(jì)算各種擬合方程的擬合精度。壓力（MPa）246810輸出（mV）10.04320.09330.13540.12850.0723.4.4一元線性回歸（續(xù)）壓力MPa輸出mV端點(diǎn)法平均選點(diǎn)法最小二乘法理想直線殘差理想直線殘差理想直線殘差210.04310.044－0.