北大 《固定收益證券》課后習題詳解

固定收益證券第一章作業(yè)

1解：

年復利：/?=1000/(1+10%)3=751.31

半年復利：/?=1000/(1+5%)6=74622

季復利：“=1000/(1+2.5%產(chǎn)=743.65

月復利:/?=1000/(1+10%/12)36=741.74

天復利：p=1000/(1+10%/365)1095=74(185

連續(xù)復利:p=1000/(1+10%/n)3'1=1000/e03=74082

2解：

年復利400Q1+ri=2000nr=0.0905

半年復利JOOfll+r/2)16=2000nr=0.0885

季復利：Q+r/4)32=2=>r=0.0876

月利率:Q+r/12)96=2=>r=0.0870

天利率：Q+r/365)2920=2=>r=0.0867

連續(xù)利率(1+r/〃產(chǎn)=2nr=0.0866

3解：

復利4%,年計息：

1+4%=err=In1.04=0.0392

復利20%,年計息：

l+20%=er=>r=lnl.2=0.1823

復利20%,季計息：

(1+20%/4尸=e'r=lnl.O54=0.1952

復利20%,月計息:

(1+20%/12)12=nr=ln(l+20%/12)i2=0.1984

4解：

凈價=101+23/32=101.71875

應計利息=100x0.09125^2x79/184

人/人10(X1+0.09125^2)

金=-----------------

,?105

1+r年x

2184

全價=凈價+應計利息

解得:x=0.029911851故買入收益率為0.029911851

同理賣出收益率為0.027782327

5解：

答：(1)設逆浮動利率債券的利率公式為X

5000*9%=3000*(LIBOR+3%)+2000X

解得X=18%T.5LIB0R

逆浮動利率債券的利率確定公式為18%-1.5monthLIBOR

(2)因為0<LIB0R〈=12%

浮動利率債券的利率=lmonthLIBOR+3%,故頂為15%,底為3%

逆浮動利率債券的利率=18%T.5monthLIB0R,故頂為18%,底

為0

6解：

5000/100*98.25=4912.5元

所以投資者購買該債券需支付的金額4912.5元

7解:

浮動利率=LIBOR+1.25%=6.5%+l.25%=7.725%

半年支付的利率水平=7.725%/2=3.875%

第二章作業(yè)

1.設債券的面值是P,到期收益率為5%時的債券價格為3到

期收益率為6%時的債券價格為之則

c6%尸6%P60/0P+P

'(1+5%)(1+5%)2(1+5%)3

c6%P6%尸6%尸+尸

2(1+6%)(1+6%)2(1+6%)3

^—^■=0.027

P

即價格下降2.72%

2.

FV=100x3%x(l+3%)5+100x3%x(1+3%)4+100x3%x(1+3%)3

+100X3%X(1+3%)2+100X3%X(1+3%)+100X3%+100

=119.4

3、假定某債券面值為100元，期限為3年，票面利率為年6%,一年

支付2次利息，投資者購買價格為103元，請計算在再投資收益率為

年4%的情況下投資者的年收益率。

解:

(1

100+3x[±^zl

2%

=(1+;72)6

103

l+r/2=1.024

年實際收益率為(l+r/2)2-1=4.91%

4、一個投資者按85元的價格購買了面值為100元的2年期零息債券。

投資者預計這兩年的通貨膨脹將分別為4%和5%o請計算該投資者

購買這張債券的真實到期收益率。

解：85(1+4%X1+5%)(1+y)2=100

y=3.8%

5、到期收益率:

10100x2.5%100

105功

(l+r/2)z(l+r/2)10

/=1解得:

r=3.88%

年有效收益率：

由于半年計息一次，所以年有效收益率為：

喏效=(l+r/2)2-1=3.92%

6、此債券的到期收益率即當將債券持有至到期的收益率，根據(jù):

弋100x3%100

-^(l+r/2),+(l+r/2)40解得：r=52%

至第一回購日的收益率根據(jù)現(xiàn)在價格和回購日的回購價格:

4100x3%100

=/1+后購/2),+(1+眉購/，解得……98%

7、設債券的到期收益率為y,則

QO/

1000*(")

161000

E2+=1100

t—1(i+|y(1+^)16

2

y=6.38%

總利息為

(1+6.38%/2嚴—1

=818.47

W%

利息:

1000*8%*8=640

利息的利息:

(1+6.38%/2)16-1

40x-640=178.47

3.19%

資本利得：

1000-1100=-100

收益：

640+178.47-100=718.47

利息所占的比例為

-^-=89.08%

718.47

利息的利息的比例為

資本利得為-13.92%

8、(1)

100=T

(1+M)

%=135%

p二-550=454.54

(1+10%)

225

100=--

1+劣

%=125%

225

=204.545

21+10%

450

100=

1+%

為=350%

450

二409

1+10%

債券A最為被低估，債券C的到期收益率最高

2。壁+忌

y=213%

i+y

y=237.5%

所以A和C組合的到期收益率為213%,B和C組合的到期收益

率為237.5%

(3)凈現(xiàn)值A和C為836.64-200=636.64

B和C為613.64-200=413.64

比較兩個組合，A、C組合的凈現(xiàn)值大于B、C組合，但是

到期收益率比B、C組合小，所以到期收益率不是一個可靠的投

資決策指標。

A、C組合的收益率為213%,而A和C的收益率之加權

平均為(135%+350%)/2=242.5%

組合的到期收益率并不等于其各個成分的到期收益率的簡

單加權平均。

9.設債券在零期的價格為P

債券以3年期的平價收益率的復利計算所得的終值應該等

于每一期現(xiàn)金流按照相應年限對應的平價收益率所得終值之和。

即：

P(1+20%)3=10x(1+15%)2+10x(1+10%)+110

求得P=77.84元

10.根據(jù)P120的公式

1

一(1+y7yl百.

yr-H=—YH-]

本題中注意牙=90天=；年；H=30天年

(1+4.25%)%(年

故((1+4%)%—"%

固定收益證券第三章作業(yè)

pD=(y--C--1---F--

、(1)o占(1+%>(1+%0產(chǎn)

C=1000*8%F=1000

%=86285

二—C____F

-Z(i+y"6+(i+M9.5)

45=903.92

qCF

「白(1+y)+(1+卅)19

P1=866.66

⑵%=1%

同理P。=944.76

PO.5=985.42

Pi=974.53

⑶為=y+i%

1^=791.61

P0.5=832.90

PI=796.05

2、

A:1000di=905di=0.905

B:1000d2=800d2=0.8

C:P=100d1+1100d2=970.5

證券價值高于證券價格說明證券價值被低估了因此存在套利機會

應該買入債券C賣空債券A和B

3、

由題意A、B、C的價格與現(xiàn)金流量情況如下表:

012

A11001001100

B96100

C93100

由B、C求折現(xiàn)因子：

96=100**得d[=0.96

93=100*d2得d2=0.93

由此給A定價：

100*d1+1100*d2=100*0.96+l100*0.93=1119

因此A被低估了，存在套利機會。

套利的辦法就是購買A,賣空B、C的某種組合:

100NB=100

100Nc=1100

得NB=1

Nc=ll

一個可行的套利組合是購買1個A,賣空1個B,賣空11個C。

4、

A、B、C的價格與現(xiàn)金流量情況如下表:

012345

A1006666106

B943333103

c995555105

dt為債券第t年的折現(xiàn)因子

債券A理=]6dt+100d5=100

債券BX13dt+100d5=94

債券CSU5dt+100d5=99

令2Ldt=A100d5=B則上面三式可簡化成

6A+B=100(1)

3A+B=94(2)

5A+B=99(3)

解方程可知三個等式互相矛盾，即債券定價有不合理。以AB兩債

券為準，得債券C定價應為98

5、

由A、B、C的價格及現(xiàn)金流量求折現(xiàn)因子：

93=1OOdj

92.85=5d1+105d￡

100.2=10d1+10d2+110d3

得：山=0.93

d2=0.84

d3=0.75

由此給D定價：

20d1+20d2+120d3=125.4

因此D被低估了，存在套利機會。

10NA+100NB+5NC=20

10NA+105NC=20

110NA=120

得：NA=12/11

NB=20/231

Nc=20/231

可行的套利策略為：

買入231個D,賣空252個A,賣空20個B,賣空20個C。

6、

⑴若購買零息債券.則需購買

1面值270萬元一年期的零息債券，成本為245.457萬元;

2面值470萬元的兩年期零息債券，成本為376萬元；

3面值548萬元的三年期零息債券，成本為391.4364萬元，

4面值612萬元的四年期零息債券，成本為382.5萬元.

總成本約為1395.4萬元.

⑵設ABCD四種債券各自購買的數(shù)量為NANBNCND

則：

11NA+12NB+8NC+36ND=270.......................①

111NA+12NB+8NC+36ND=470.......................②

112NB+8NC+36ND=548.......................③

108NC+36ND=612.......................④

解得：NA=2NB=3NC=4ND=5

故購買的總成本為2*98.7+3*103.5+4*87.9+5*110.7=1413萬

元.

7、

設投資者買入ABCDE的數(shù)量分別為賣出A

BCDE的數(shù)量分別為NAbNBbNcbNDbNEbn

MinZ=

93.32NAa+90.41NBa+86.65NCa+108.02NDa+112.7NEa-

91.81NAb-88.97NBb-84.14NCb-105.07NDb-110.9NEb

約束條件：

100NAa+8NDa+12NEa-100NAb-8NDb-12NEb>50

100NBa+8NDa+112NEa-100NBb-8NDb-112NEb>200

100NCa+108NDa-100NCb-108NDb>160

NA@、Npa、Nca、ND@、Ngg'.NAI,、NRI,、NQ,、NDB、>0

用excel求解線性規(guī)劃問題，得到Z=366.5529.

此時NAa=0.2857,NCa=1.6,NEa=1.7857其它均為0.

第四章持續(xù)期與凸性

1、有效持續(xù)期為

^effective-H_/p」05.5-100/]02,5=5.37%

1

所以有效持續(xù)期為5.37%o

2、根據(jù)1的結果，D=5.37%

△P=D*1%=5.37%

P,=102.5*(l+5.37%)=1086

債券價格為108元

3、(不會)參考答案：因為是浮動利率債券，所以比率持續(xù)期接近

0.5o

4、5.49%*98.63*2=10.79

債券價格的變化為10.79

5、設N3為持有3年期零息債券的數(shù)目，Wo為持有20年期債券數(shù)目

投資者權益在初始狀態(tài)下的金額持續(xù)期為3*200-185*9=1065

為了讓資產(chǎn)組合與負債在持續(xù)期上匹配，并且要保證權益價值，因此

建立下面的策略

1OON3+1OON2O=2OOOO

3N3+20N20-185*9=0

N3=137.35,N20=62.65

即投資者應當持有3年期零息債券數(shù)量為137.35個單位，價值13735,

持有20年期零息債券數(shù)量為62.65個單位，價值為6265o

6.已知，一年期零息債券的到期收益率為5.02%時，價值為51.60,到

期收益率為4.98%時，價值為51.98。

Q=△金額/PDc=(P-P'\y+—y.)/P

在到期收益率為5%時，。=De,(5%為中點)

.*.△金額=P-P'\y+-y-

代入，得A金額=(51.98-51.6)/(5.02%-4.98%)=950

；?A金額=950*1%=9.5

7已知，一年期零息債券的到期收益率為5.02%時，價值為51.60,到

期收益率為5.06%時，價值為51.40。

同理，得△金額=51.60-51.4/5.06%-5.02%=500

，△金額=500*1%=5

8.當?shù)狡谑找媛蕿?.02時

r=Dl-D2/A=9.5-5/0.04%=112.5%

9、D=15.4210x1000+25.7615x250-39.9846x1300=-30118.605

3D=9O355.8

又=770.05X1000+645.04x250-573.21x1300=186137

V=186137-90355.8=95781.2

所以解得1|0/

V17%=186137+90355.8=267192.8

資產(chǎn)負債表資產(chǎn)凈值與利率的關系圖如下：

r=0.41X1000+1.04X250-2.90X1300=-3100

A=-x9F=-3100x9=13950

22

V14%=770.05x1000+645.04x250-573.21x1300=186137

%%'=95781.2-13950=81831.2

V17%'=267192.8—13950=253242.8

資產(chǎn)負債表資產(chǎn)凈值與利率的關系圖如下：

20001000

10、1)i.i3+TF-=2015.79

2）設兩年期零息債券投資x,十年期投資y比例，則有:

X2000/I.I3cccoc

—=-------=2.9282

y1000/1.17

所以根據(jù)x+y=l,得到x=74.4%；y=25.6%

3）利率突然上升，組合虧損

100?

11、（1）、一年期的即期收益率為4==一1=6%

兩年期的即期收益率G

109.59.5

=105.403

(1+幻21+4

解得弓=7%

三年期的即期收益率為

100

1=7.5%

(M

(2)、01■仕*。21版)x+)2

解得。九二8.01%

100x(l+6%)(l+0九)(l+o%3)=100x(l+7.5%y

解得。力,3=&51%

(3)、99.56

sc9%FV9%FV9%FV+FV

(4)、100=---------+------------+-----------------r

1+6%(1+7%)-(1+7.5%)-

解得FV=90.35

nFVx9%Wx9%+fV

=93.69

(1+7%)2

nFVx9%FVx9%+FV

r=----------=93.69

1+r(l+r[

解得r?7%

770770_______

(5)、1錢+(1%)法(+3)1-(+y)+(+y)

107

-+2x--------+3x

1+y(1+獷7

xl%=2.61

i+y

(6)2.61%

(7)因為凸性的存在，在市場利率下降時，債券價格會上升，但上

升的幅度比單單通過持續(xù)期估計的價格上升幅度來得大；而如果市場

利率上升，債券價格下降的幅度，要小于單單通過持續(xù)期估計的價格

下降的幅度。

弟八早

1.由于期貨合約的價格為95.25美元,因此,暗含的單利利率為(100-95.25)%=4.75%。在

到期日，利率變成了5.25%,期貨合約的價格為94.75美元。

融資者出售期貨合約，因此可以賺取1250美元，即

(95.25-94.75)*2500=1250美元

或者(525-475)*25=1250美元

投資者在期貨合約到期日可以獲得這筆錢。

在2005年12月，融資者可以按照當期利率5.25%,借入100萬美元，期限為90天。90天

之后他支付本息1013125美元,即

1000000(1+0.0525(90)/360)=1013125

而在2005年12月融資者收到的資金為1001000美元，其中1000美元是賣出歐洲美元期貨

合約獲得的收入，叩

1000000+1000=1001000美元

有效利率(基于360天)為4.744%,即

1001000(l+r(90)/360)=1013125

r=4.744%

2.

假定在0時點，2.5年期國債的到期收益率為5%,6個月回購協(xié)議的利率為4%(基于360

的計息規(guī)則)。債券價格為883854.29美元。

1000000/(1.025)(1.025)(1.025)(1.025)(1.025)=883854.29

在0時點：訂立6個月的回購協(xié)議，借入資金883854.29美元，以100萬美元面值的債券為

抵押品。同時，在市場上購買面值100萬美元的債權，價格為883854.29美元，并以此作為

抵押品。凈現(xiàn)金流量為0。

6個月之后：償還回購協(xié)議的借款，并支付利息：-883854.29(1+4%*180/360)=-901531.376

美元；同時得到面值為100萬美元的債券，期限為2年.

(1+y)(1+y)=1000000\901531.376

y=5.32%

3、方案一：T=0,買入期貨合約，價格為X；

賣標的債券得95元，并把所得的錢借出;

T=0.5,買標的債券支付X+100*7%/2

收回借出的錢，得本息95+95*5%/2

如果不存在套利機會，則

X+100*7%/2=95+95*5%/2

X=93.875

方案二：T=0,賣出期貨合約，價格為Y；

借錢95元，期限為6個月；

T=0.5,買入債券支付Y+100*3.5%

償還本息95+95*4.5%

如果不存在套利機會，則

Y+100*3.5%=95+95*4.5%

Y=95.775

所以，期貨交易的合理區(qū)間為93.875—95.775

如果該債券的期貨價格為97元，超過合理定價區(qū)間，則存在套利機會,

T=0,賣出期貨合約，價格為97元；

借入資金95元購買債券；

T=0.5賣出債券得97+100*3.5%=100.5

償還本息95+95*5%/2=99.275

凈收益為100.5-99.275=1.225

4、(1)凈利率變動1個百分點，則債券組合價值波動3.2個百分點

(2)互換現(xiàn)金流(持續(xù)四年)

4.25%

你自己＜2公司B

LIBOR+0.2%

互換之所以降低了風險價值。是因為它降低了組合的持續(xù)期。你己經(jīng)把期限較長，持續(xù)修正

期為3.2年的資產(chǎn)組合，轉換成了償還期只有6個月的資產(chǎn)。實際上，你的違約風險也降低

了。

第六章5

18年期票面利率6%的債權的轉化系數(shù)為1.0

16年期票面利率5.4%的債券的轉換系數(shù)為0.949,即

Py=6%12.75100

=0.949

100100(1+3%)'(1+3%)32

支付18年期債券的損失為3,即102-105=3

支付16年期債權的收益為0.751,即102x0.949-96.05=0.751

所以，應該交付期限為16年、票面利率為5.5%的債權。

第七章

1、根據(jù)l(X)=96x(l+Rj

求得一年期零息債券的到期收益率R=4.17%

兩年期零息債券一年后的期望價值設為P

根據(jù)無套利定理有

90x(l+R,)=93P+97(l-P)

解得PT

16

期權價格C=[(97-93)(1-P)+0XPL

0.54

1+R|

2、

Ho-Lee模型

dr=九柏dt+(jdo)

_____4+(4+4)dt+2o\ldt

)0+(4+幾2)力

-%+(4+%)龍一2(Xyldt

兩年期的零息債券價格變化的二項樹圖

100

1+6%+%+0.5%

88.75100

1+6%+%-0.5%

解下面方程:

(110011001

?1.06=88.75

[21+6%+4+0.5%21+6%+^-0.5%)

解得：4=0.3%

------6%+(4+%2)+2c

6.8%

6%+(X]+石)

5.8%~~~+(辦+AQ)-2cr

3年期零息債券的市場價格是83.34元，那么三年期的二項式樹

圖節(jié)點為

100

1+7.3%+22

100

Pud

1+6.3%+%2

100

1+5.3%+/^2

0.5%+0.5蜀

Pd

1+6.8%

p=。.5吃+0.5以

“1+5.8%

解得4=0.2%

三年期的利率樹圖為

7.5%

6.8%

6%6.5%

5.8%5.5%

第八章

rt

(1)C=SN(dx)-Ke-N(d2)

d2=dj—aVT

S=7K=6.5『5%o=20%T=l/6

代入得C-2.01

故公司選擇權的價值為2.01元，100股的期權價值為201元。

(2)P{S(t)>K}=P[Z>aVt-dj=N(di-o5/t)=N(d2)

P{S(t)>K]=0.835

(3)根據(jù)B-S公式的推論，避險組合的權重即為△值。

de,、

△=—=N(di)=0.8554

ds

習題8.2

8%

解：在時點2,市場利率分別是8%,6%,4%o

如果是8%,固定利率支付方最后支付額的現(xiàn)值=(100000+600)/

1.08=9814.81;而浮動利率最后支付額的現(xiàn)值=10800/1.08=10000o期

權價值為0o

如果是10%,固定利率支付方最后支付額的現(xiàn)值=(100000+600)/

1.06=10000;而浮動利率最后支付額的現(xiàn)值=10600/1.06=10000o期

權價值為0.

如果是4%,固定利率支付方最后支付額的現(xiàn)值=(100000+600)/

1.04=10192.3;而浮動利率最后支付額的現(xiàn)值=10400/1.04=10000o

期權價值為192.3o

在時點1,市場利率分別是7%,5%.

如果是7%,剩下的固定利率支付方支付額的現(xiàn)值=600/

1.07+0.5(10600/1.08+10600/1.06)/1.07=9820;浮動利率支付的現(xiàn)

值=10000.故不執(zhí)行.

等待的價值為0.5*0+0.5*0=0o故期權價值為Oo

如果是5%,剩下的固定利率支付方支付額的現(xiàn)值=600/

1.05+0.5(10600/1.06+10600/1.04)/1.05=10186.81;浮動利率支付的

現(xiàn)值=10000.故執(zhí)行價值為186.81.

等待的價值為0.5*0+0.5*192.3=96.15。故期權價值為186.81。

在時點0,利率為6%,剩下的固定利率支付額的現(xiàn)值=10000.839,執(zhí)

行價值0.839

等待價值=(。5*0+。5*186.81)/1.06=88.11

故期權的價值為88.11

習題8.3

(1)

Time0Time1Time2

⑵在時刻貸款的價值嚅+聾贏)*

1vt=0.5

在時刻。貸款的價值V。=息=99.956萬

(3)由題可知，若貸款不含箍，則其現(xiàn)金流應該是按照市場利率貼現(xiàn)。則很明顯，貸款的

現(xiàn)值應為100萬，現(xiàn)在含箍的貸款現(xiàn)值為99.956萬。所以箍的價值應為不含箍的貸款現(xiàn)值

減去含箍的貸款現(xiàn)值，即100萬-99.956萬=0.044萬。即應付給銀行440元就與不含箍的貸

款一樣了。

4、作為不可回購債權時，價格為:

V=98.779

C=0

r0=10%

所含期權價值C為

第九章資產(chǎn)證券化

1.證券化的基本結構：

(1)確定資產(chǎn)證券化目標，組成資產(chǎn)池

發(fā)起人首先分析自身的資產(chǎn)證券化要求，衡量借款人信用、評估抵押擔保物的價值、預測資

產(chǎn)現(xiàn)金流，并根據(jù)證券化目標確定資產(chǎn)池規(guī)模，將資產(chǎn)進行組合構成資產(chǎn)池。

(2)資產(chǎn)轉讓

發(fā)起人與特殊目的實體簽訂買賣合同，發(fā)起人將資產(chǎn)池中的資產(chǎn)轉讓給特殊目的實體。

(3)信用增級

內(nèi)部：由SPV用基礎資產(chǎn)中所產(chǎn)生的部分現(xiàn)金流來提供；

外部：由外部第三方提供的信用增級工具。

(4)信用評級

信用評級由專門評級機構應資產(chǎn)證券發(fā)起人或承銷商的請求進行。

(5)證券發(fā)行和資產(chǎn)轉讓支付

確定信用評級結果后，承銷商以包銷或代銷方式向投資者發(fā)行證券籌集資金。

(6)資產(chǎn)售后管理和服務

發(fā)起人指定一家資產(chǎn)管理公司管理資產(chǎn)池，負責收取、記錄由資產(chǎn)池產(chǎn)生的現(xiàn)金收入，并將

現(xiàn)金收入存入受托管理人的收款專戶。

2.SPV在資產(chǎn)證券化中扮演著非常重要的作用：

(1)從經(jīng)濟學原理上看，由特殊目的載體發(fā)行資產(chǎn)支持證券有優(yōu)勢

它使得貸款的發(fā)起者、證券的發(fā)行者、承銷者、擔保者、評級者等進行了專業(yè)的分工。

(2)在法律上，由特殊目的載體發(fā)行MBS更為方便

特殊目的載體從銀行那里購買到信貸資產(chǎn)后，可以比較容易實現(xiàn)破產(chǎn)隔離。

3.傳統(tǒng)的固定利率貸款、可調(diào)整利率抵押貸款、漸進償還抵押貸款、反向年金抵押貸款、價

格水平調(diào)整抵押貸款、分享增值抵押貸款、質押存款賬戶抵押貸款等。

4.固定利率抵押貸款對于借款人來說，有兩個好處：一是借款人可以預先知道借款的成本和

每月償還的數(shù)額，二是借款人可以在對他有利的情況下提前清償貸款余額。

但是在利率較高和較低的時候，發(fā)放固定利率抵押貸款對于商業(yè)銀行的收益會產(chǎn)生非常大的

差別。例如，在利率較低的時候發(fā)放不動產(chǎn)抵押貸款，由于這種貸款的期限很長，在利率上

升時，商業(yè)銀行的資金成本勢必增大，從而商業(yè)銀行一定會遭受損失；而在高利率時發(fā)放住

房抵押貸款，在利率下降后，借款人將發(fā)生非常大的損失。盡管一般說來借款人可以提前償

還貸款，但償還貸款需要再融資的能力，并不是每個借款人都具有再融資能力的，因此，在

市場利率下降時借款人發(fā)生損失是不可避免的。

可調(diào)整利率抵押貸款分為無限制的和有限制的兩類。無限制可調(diào)整利率貸款，利率風險完全

由銀行轉移到借款人身上，因為這時銀行的存貸利率都隨著市場利率而變動