鹽城中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

江蘇省鹽城中學(xué)2022—2023學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高二年級(jí)數(shù)學(xué)試卷（2023.01）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知橢圓:，則橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先確定焦點(diǎn)位置是在軸還是在軸，再由標(biāo)準(zhǔn)方程求得即可求得焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】因?yàn)闄E圓方程是，所以，所以，即，又因?yàn)闄E圓焦點(diǎn)在軸上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：B.2.已知，則（）A.0 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義與運(yùn)算法則即可得出【詳解】已知，得，由導(dǎo)數(shù)的定義可得.故選：D3.已知、，直線過定點(diǎn)，且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】【分析】設(shè)直線與線段交于點(diǎn)，其中，利用斜率公式可求得的取值范圍.【詳解】設(shè)直線與線段交于點(diǎn)，其中，所以，.故選：A.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求導(dǎo)直接求解即可.【詳解】解：求導(dǎo)得，所以，解得故選:B5.已知直線過點(diǎn)，且斜率為，若圓上有4個(gè)點(diǎn)到的距離為1，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先由點(diǎn)斜式求出直線方程，再確定圓心，由題意知圓心到直線的距離小于1，即可求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)閳A上有4個(gè)點(diǎn)到的距離為1，所以圓心到直線的距離小于1，設(shè)圓的圓心到直線的距離為，又因?yàn)檫^點(diǎn)，且斜率為的直線方程為，即，所以，解得，即.故選：C.6.已知圓，為圓內(nèi)一點(diǎn)，將圓折起使得圓周過點(diǎn)(如圖)，然后將紙片展開，得到一條折痕，這樣繼續(xù)下去將會(huì)得到若干折痕，觀察這些折痕圍成的輪廓是一條圓錐曲線，則該圓錐曲線的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由圖形可知結(jié)果為定值，進(jìn)而根據(jù)橢圖的定義推斷出點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】，，點(diǎn)關(guān)于折痕對(duì)稱點(diǎn)在圓周上，折痕為線段的垂直平分線，折痕與相交于點(diǎn)，如圖所示：則有，可知，所以點(diǎn)的軌跡是以為左、右焦點(diǎn)的橢圓，其中長軸，焦距，所以點(diǎn)的軌跡方程為，即折痕圍成輪廓的圓錐曲線的方程為.故選：A7.若數(shù)列滿足，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)題干中的遞推公式進(jìn)行逐項(xiàng)代入，即可判別出數(shù)列為周期數(shù)列，再根據(jù)周期數(shù)列的性質(zhì)即可計(jì)算出的值．【詳解】數(shù)列滿足，且，，，，，則數(shù)列是以4為最小正周期的周期數(shù)列，即，∴.故選：B8.“中國剩余定理”一般指“孫子定理”，是中國古代求解一次同余式組的方法，是數(shù)論中一個(gè)重要定理，若將被3除余2且被5除余2的正整數(shù)從小到大排列，組成數(shù)列，則為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由條件確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，由此確定.【詳解】被3除余數(shù)為2的正整數(shù)從小到大排列可得，，被5除余數(shù)為2的正整數(shù)從小到大排列可得，，兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大排列可得，，所以為首項(xiàng)為2，公差為15的等差數(shù)列，所以．故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分．部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.若曲線，且分別是1與9的等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)，則下列描述正確的是（）A.曲線可以表示焦點(diǎn)在軸的橢圓B.曲線可以表示焦距是的雙曲線C.曲線可以表示離心率是的橢圓D.曲線可以表示漸近線方程是的雙曲線【答案】AB【解析】【分析】先求出，的值，分類討論即可求解.【詳解】由題知，分別是1與9的等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)，，，解得：，；當(dāng)，時(shí)，此時(shí)曲線的方程為：，因此曲線為橢圓，焦點(diǎn)在軸上，離心率，故選項(xiàng)A正確，C錯(cuò)誤；當(dāng)，時(shí)，此時(shí)曲線的方程為：，因此曲線為雙曲線，由得，解得：，焦距為：，漸近線方程為：即故選項(xiàng)B正確，D錯(cuò)誤；故選：AB.10.若數(shù)列為等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列數(shù)列一定成等比的有（）A數(shù)列 B.數(shù)列C. D.數(shù)列【答案】AD【解析】【分析】設(shè)出等比數(shù)列的公比，利用定義及通項(xiàng)并結(jié)合公比的取值情況逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】令等比數(shù)列的公比為，則，對(duì)于A，，，數(shù)列是等比數(shù)列，A是；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列不是等比數(shù)列，B不是；對(duì)于C，當(dāng)，且為正偶數(shù)時(shí)，，此時(shí)不成等比數(shù)列，C不是；對(duì)于D，，則數(shù)列是等比數(shù)列，D是.故選：AD11.下列求導(dǎo)運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，逐項(xiàng)計(jì)算、判斷作答.【詳解】對(duì)于A，，A不正確；對(duì)于B，，B不正確；對(duì)于C，，C不正確；對(duì)于D，，D正確.故選：ABC12.“黃金雙曲線”是指離心率為“黃金分割比”的倒數(shù)的雙曲線（將線段一分為二，較大部分與全長的比值等于較小部分與較大部分的比值，則這個(gè)比值稱為“黃金分割比”），若黃金雙曲線的左右兩頂點(diǎn)分別為，虛軸上下兩端點(diǎn)分別為，左右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線任意一條不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸的弦，為的中點(diǎn).設(shè)雙曲線的離心率為，則下列說法正確的有（）A.B.C.直線與雙曲線的一條漸近線垂直D.【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)分析判斷：對(duì)于A由黃金雙曲線的定義即可求得離心率，對(duì)于B由點(diǎn)差法即可得出的值，對(duì)于C分別求出直線及漸近線的斜率，求得斜率之積是否為，對(duì)于D將所給線段長度由代入，再由之間的關(guān)系化簡即可判斷.【詳解】對(duì)于A：若是黃金雙曲線，則，故A正確；對(duì)于B：設(shè)，，其中，又在雙曲線上，即兩式相減得，即則得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，漸近線得斜率，則，即，則直線與雙曲線的一條漸近線垂直，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，，所以所以，即，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在平面直角坐標(biāo)系中，若是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上的一點(diǎn)，則________．【答案】【解析】【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程，求出的值，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用拋物線的定義可求得.【詳解】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程可得，即點(diǎn)，易知點(diǎn)，由拋物線的定義可得.故答案為：.14.若是直線上的一點(diǎn)，點(diǎn)是曲線上的一點(diǎn)，則的最小值為________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，利用點(diǎn)到直線的距離可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求出，即可得到答案【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是曲線上的一點(diǎn)，故設(shè)，所以到直線的距離為，令，則當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減；所以，所以所以的最小值為故答案為：15.對(duì)于數(shù)列，若集合為有限集，則稱數(shù)列為“好數(shù)列”.若“好數(shù)列”滿足，則____________．【答案】1【解析】【分析】由題意可得，分，和三種情況進(jìn)行分類討論，檢驗(yàn)是否滿足“好數(shù)列”即可【詳解】由可得，當(dāng)即時(shí)，所以，，，此時(shí)，滿足，故此時(shí)數(shù)列為“好數(shù)列”；當(dāng)即，則，，，由可得，當(dāng)時(shí)，，所以是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以此時(shí)每項(xiàng)并不相同，由于在定義域內(nèi)是遞增函數(shù)，故每項(xiàng)并不相同，則集合為無限集，故數(shù)列不為“好數(shù)列”；當(dāng)時(shí)，則，所以是從第二項(xiàng)起公比為2的等比數(shù)列，所以，所以從第二項(xiàng)起，每項(xiàng)并不相同，由于在定義域內(nèi)遞增函數(shù)，故從第二項(xiàng)起，每項(xiàng)并不相同，則集合為無限集，故數(shù)列不為“好數(shù)列”；綜上所述，故答案為：116.已知是橢圓上三個(gè)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，經(jīng)過右焦點(diǎn)，若且，則該橢圓的離心率是_____．【答案】##【解析】【分析】方法一：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，由條件證明四邊形為矩形，設(shè)，結(jié)合橢圓的定義求，，利用勾股定理列方程可得關(guān)系由此可求離心率.方法二：設(shè)，，由可得，由可得，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橢圓方程列方程，消元可得關(guān)系由此可求離心率.【詳解】方法一：設(shè)橢圓的半焦距為，左焦點(diǎn)為，則因?yàn)閮牲c(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，又，所以，所以四邊形為矩形，設(shè)，因?yàn)?，所以，由橢圓的定義可得，，在，，，，所以，所以，故，，在中，，所以，所以，所以離心率.方法二：設(shè)橢圓的半焦距為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且①，②，②×4－①可得，，因?yàn)榻?jīng)過右焦點(diǎn)，，所以，所以，故，所以，又，所以，因?yàn)椋?，又，所以，所以，所以，即，又，所以，所以離心率.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：橢圓離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．四、解答題：本題共6小題，17題10分，其余每小題12分共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列中不在數(shù)列中的項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）由題知，進(jìn)而得等差數(shù)列的公差為，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和指對(duì)互化即可得答案；（2）由題知數(shù)列的前50項(xiàng)是由數(shù)列的前55項(xiàng)去掉數(shù)列的前5項(xiàng)后構(gòu)成的，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列，等比數(shù)列的求和公式求解即可.【小問1詳解】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列和等比數(shù)列滿足，，所以，所以等差數(shù)列的公差為，所以，，所以，，，【小問2詳解】解：由（1），即是數(shù)列中的第項(xiàng)．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，因?yàn)樗詳?shù)列的前50項(xiàng)是由數(shù)列的前55項(xiàng)去掉數(shù)列的前5項(xiàng)后構(gòu)成的，所以．18.已知圓．（1）若一直線被圓C所截得的弦的中點(diǎn)為，求該直線的方程；（2）設(shè)不過圓心的直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，把的面積S表示為m的函數(shù)，并求S的最大值．【答案】（1）；（2），；.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出圓心坐標(biāo)，再利用圓的性質(zhì)求解作答.（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式，求出邊AB上的高，再求出弦AB長即可求解作答.【小問1詳解】圓圓心，半徑，顯然點(diǎn)在圓C內(nèi)，由圓的性質(zhì)知，當(dāng)為圓C弦的中點(diǎn)時(shí)，該弦所在直線垂直于直線，直線的斜率，則有所求直線斜率為1，方程為：，即，所以該直線的方程為.【小問2詳解】直線與圓相交時(shí)，圓心C到直線l的距離，解得，又直線l不過圓心，即，因此且，，的面積，因?yàn)榍?，則，當(dāng)，即或時(shí)，，所以，，當(dāng)或時(shí)，.19.設(shè)函數(shù)（a為非零常數(shù)）（1）若曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】（1）1；（2）分類討論，答案見解析.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出曲線在點(diǎn)處的切線方程，再代入計(jì)算作答.（2）求出函數(shù)定義域，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合分類討論求解單調(diào)區(qū)間作答.【小問1詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得：，則有，而，因此曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則有，即，而，則，所以實(shí)數(shù)的值為1.【小問2詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，恒有，當(dāng)且僅當(dāng)且取等號(hào)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由解得，，當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間是，，遞減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間是.20.已知數(shù)列各項(xiàng)均不為，且，為數(shù)列的前項(xiàng)的積，為數(shù)列的前項(xiàng)的和，若.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求的通項(xiàng)公式.【答案】（1）證明見解析；（2），.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式，結(jié)合前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系，列式推理作答.（2）利用（1）的結(jié)論求出，再利用前n項(xiàng)積的意義求出通項(xiàng)作答.【小問1詳解】為數(shù)列的前項(xiàng)的和，當(dāng)時(shí)，，又，則有，依題意，，因此，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列.【小問2詳解】由（1）知，，即，當(dāng)時(shí)，，而不滿足上式，因?yàn)闉閿?shù)列的前項(xiàng)的積，則當(dāng)時(shí)，，而，均不滿足上式，所以的通項(xiàng)公式是，.21.在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知橢圓：的離心率為，橢圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的最大距離為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），與軸交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，試探究：是否為定值？若是定值，請求出該定值；若不是定值，請說明理由.【答案】（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2），理由見解析.【解析】【分析】(1)表示橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，求其最大值，解方程求，根據(jù)離心率及關(guān)系可求，由此可得橢圓方程；(2)由條件知可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程可得的坐標(biāo)關(guān)系，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)并化簡，由此證明為定值.【小問1詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，設(shè)點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，則，，因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，取最大值，最大值為，由已知，所以，又橢圓的離心率為，所以，所以，故，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】若直線的斜率不存在，則，與已知矛盾，故設(shè)直線的方程為，令可得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，聯(lián)立，消可得，，方程的判別式，設(shè)，則，因?yàn)闉闄E圓的上、下頂點(diǎn)，所以，所以直線的方程為，直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立直線和直線的方程可得，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，又，即，所以，所以，【點(diǎn)睛】(1)解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．22.我們知道，如果，那么，反之，如果，那么.后者常稱為求數(shù)列前項(xiàng)和的“差分法”（或裂項(xiàng)法）.（1）請你用差