南通市海安市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

海安市2022-2023學(xué)年第一學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試卷高二數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試卷滿分150分，考試時間為120分鐘.考試結(jié)束后，請將答題卷交回.2．答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座位號用0.5毫米黑色字跡簽字筆填寫在答題卷上.3．請監(jiān)考員認(rèn)真核對在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、考試證號與你本人的是否相符．4．作答選擇題必須用2B鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案．作答非選擇題必須用書寫黑色字跡的0.5毫米的簽字筆寫在答題卷上的指定位置，在其它位置作答一律無效.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用交集的定義直接求解作答.【詳解】集合，所以.故選：A2.復(fù)數(shù)，則（）A. B. C.-1 D.1【答案】A【解析】【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，然后利用即可求出結(jié)果．詳解】解：，，故選：A．3.已知點(diǎn)，，若直線與直線垂直，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出直線的斜率，再根據(jù)兩直線垂直斜率乘積為即可求的值．【詳解】依題意可得直線的斜率為，

因?yàn)橹本€與直線垂直，且直線的斜率為，

所以，解得．故選：B．

4.數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一個數(shù)列，，，，，，其中從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)之和，即，，這樣的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，移項(xiàng)得：

，使用累加法求得，然后將的系數(shù)倍展開即可求解．【詳解】由從第三項(xiàng)起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，，由，得

，所以，，，

，將這個式子左右兩邊分別相加可得：，所以.

所以.

故選：C．5.已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，漸近線方程為，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得，從而求得雙曲線的離心率.【詳解】由題意，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，由于雙曲線的漸近線方程為，所以，即，

所以.故選：A6.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將求導(dǎo)并代入即可得出，即可得到的具體解析式，再代入即可得出答案.【詳解】，，令，則，，則，故選：D7.已知等差數(shù)列中，記，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分離常數(shù)可得，設(shè)，當(dāng)，時，可得，故可得數(shù)列的前項(xiàng)和．【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)得設(shè)，當(dāng)，時，故故選：C8.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且是奇函數(shù)，記，若是奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)

是奇函數(shù)，可得

，兩邊求導(dǎo)推得，，再結(jié)合題意可得4是函數(shù)的一個周期，且，進(jìn)而可求解．【詳解】因?yàn)?/p>

是奇函數(shù)，所以

，

兩邊求導(dǎo)得

，

即，

又，

所以

，即，

令

，可得

，

因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，即．

因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，

所以

，又，

所以，則，，

所以4是函數(shù)的一個周期，

所以．

故選：B．二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知圓，則（）A.點(diǎn)在圓C內(nèi) B.直線與圓C相切C.圓與圓C相切 D.圓與圓C相切【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系判斷A選項(xiàng)，根據(jù)圓心與直線距離判斷B選項(xiàng)，根據(jù)圓心間距離和半徑和差比較判斷圓圓位置關(guān)系判斷C,D選項(xiàng).

【詳解】點(diǎn)代入圓可得,點(diǎn)在圓C外，A選項(xiàng)錯誤；圓,圓,直線,圓心到直線距離,B選項(xiàng)正確；圓,圓心,,圓與圓C相外切,C選項(xiàng)正確;圓,圓心,,圓與圓C相內(nèi)切,D選項(xiàng)正確.故選:BCD.10.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值，則滿足的最大的正整數(shù)k一定不等于（）A.12 B.13 C.14 D.15【答案】AD【解析】【分析】由題意可得，公差，且，，分別求出，討論的符號即可求解．【詳解】因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值，所以，公差，且，．所以，所以，則滿足的最大的正整數(shù)k一定不等于12.，，故時，．當(dāng)時，，則滿足的最大的正整數(shù)為；當(dāng)時，，則滿足的最大的正整數(shù)為，故滿足的最大的正整數(shù)可能為與，一定不等于12與15.故選：AD．11.已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上一動點(diǎn)，點(diǎn)，則（）A當(dāng)時，B.當(dāng)時，在點(diǎn)處的切線方程為C.的最小值為D.的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】當(dāng)時，求出判斷A；設(shè)切線與拋物線聯(lián)立使求出切線方程判斷B；利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化求解的最小值可判斷C；根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊判斷D．【詳解】因?yàn)閽佄锞€，所以準(zhǔn)線的方程是.對于，當(dāng)時，，此時，故A正確;對于B，當(dāng)時，，令切線方程為:，與聯(lián)立得，令，解得，即切線方程為:，即，故B錯誤;對于C，過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足為

則，所以的最小值為故C正確.對于D，因?yàn)榻裹c(diǎn)，所以，所以的最大值為故D正確.故選：ACD12.已知，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，計算出x與y的關(guān)系，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析.【詳解】因?yàn)?，即?/p>

令，則有，

則，令，則，

令，可得，

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，

故，

所以總有，故單調(diào)遞減；所以，即；

對于A，，故A錯誤；

對于B，設(shè)，則，

故在上單調(diào)遞增，所以，

所以，因?yàn)?，所以，故B正確；

對于C，，即．

設(shè)，則，

則，所以單調(diào)遞增．

因?yàn)?，所以，故C正確；

對于D，，即，

令，則，

因?yàn)?，所以為偶函?shù)，

所以即為．

則，令，則，所以單調(diào)遞增．

又，

所以當(dāng)時，，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，，函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，故D錯誤；故選：BC.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知等比數(shù)列的公比不為，，且，，成等差數(shù)列，則__________．【答案】##0.0625【解析】【分析】根據(jù)條件求出公比q，再運(yùn)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出.【詳解】根據(jù)題意得

，，且，

解得，，；故答案為：.14.已知點(diǎn)，，點(diǎn)滿足直線，的斜率之積為，則的面積的最大值為__________．【答案】20【解析】【分析】根據(jù)條件，運(yùn)用斜率公式求出P點(diǎn)的軌跡方程，再根據(jù)軌跡確定面積的最大值.【詳解】設(shè)，由題意可知，，

整理得；

得動點(diǎn)的軌跡為以，為長軸頂點(diǎn)的橢圓除去，兩點(diǎn)，

顯然當(dāng)點(diǎn)位于上下頂點(diǎn)時面積取得最大值，

因?yàn)?，?/p>

所以；故答案為：20.15.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，為奇函數(shù)，且則不等式的解集為__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，由導(dǎo)數(shù)法可得單調(diào)遞減，可轉(zhuǎn)化為，根據(jù)單調(diào)性即可求解．【詳解】設(shè)，則，故單調(diào)遞減．

因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，定義域?yàn)椋?，故?/p>

可轉(zhuǎn)化為，即．

因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以，解得．

故答案為：．16.已知實(shí)數(shù)，，，滿足，，，則的最大值是___________．【答案】##【解析】【分析】由已知得分別在圓和圓上，利用數(shù)形結(jié)合法，將所求問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)到直線和的距離和的倍，再利用三角函數(shù)求出其最大值即可．【詳解】解：由，可知，點(diǎn)，分別在圓和圓上，如圖，作直線，過作于，過A作于，而，其中表示A到直線的距離，表示到直線的距離，因?yàn)榕c，平行，且與的距離為，與的距離為，要使的取最大值，則需在直線的左下角這一側(cè)，所以，，由得，設(shè)，因?yàn)?，所以，從而，故，其中，故?dāng)時，取最大值，從而，即的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，數(shù)形結(jié)合，再借助三角函數(shù)的性質(zhì)求出最值.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知中，．（1）求；（2）若，，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】由正弦定理得，再由余弦定理得，可得，從而得出；

由正弦定理得，得出，再得出，由三角形面積公式可得的面積．【小問1詳解】設(shè)，，對邊長，，

因?yàn)?/p>

由正弦定理，

所以，

所以，

即，

所以，

因?yàn)椋?/p>

所以；【小問2詳解】中，，，，

因?yàn)椋?/p>

所以，

所以，

因?yàn)椋?/p>

所以

．

．18.已知數(shù)列中，，當(dāng)時，記，．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）證明見解析，（2）．【解析】【分析】（1）對遞推公式變形，求出的通項(xiàng)公式，再求出的通項(xiàng)公式；（2）運(yùn)用錯位相減法求和.【小問1詳解】因?yàn)榍耶?dāng)時，，

所以當(dāng)時，，

所以，因?yàn)?，即?/p>

所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，

所以，

所以；【小問2詳解】由知，

則…①…②，①-②得

所以；綜上，，.19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最大值；（2）記，．若函數(shù)既有極大值，又有極小值，求的取值范圍．【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的最值；

（2）條件等價于方程在區(qū)間上有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，列關(guān)于的不等式，求解即可．【小問1詳解】由函數(shù)，則其定義域?yàn)椋?/p>

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

所以函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；在區(qū)間為減函數(shù)，

所以；【小問2詳解】由，則，因?yàn)榧扔袠O大值，又有極小值，

即等價于方程在區(qū)間上有兩個不相等實(shí)數(shù)根，

即，解得，

所以所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．20.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)積為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）記區(qū)間內(nèi)整數(shù)的個數(shù)為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使得的最小正整數(shù)．【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，類比與的關(guān)系求通項(xiàng)即可；

（2）根據(jù)定義求出的通項(xiàng)，再由公式法求和，最后解不等式即可.【小問1詳解】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)積，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，

除以得，

又時，滿足，

所以.【小問2詳解】因?yàn)閰^(qū)間內(nèi)整數(shù)的個數(shù)為，

所以，

所以.

由，得，即，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，

因?yàn)殡S的增大而增大，

所以的最小整數(shù)為．21.已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，的周長為點(diǎn)，異于兩點(diǎn)且在上，直線，，的斜率分別為，，，且（1）證明為定值（2）求點(diǎn)到直線距離的最大值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用題意得到關(guān)于的等式，聯(lián)立方程組即可求得，設(shè)，代入橢圓方程可得到，然后利用兩點(diǎn)斜率公式即可求證；（2）先推斷出直線斜率必不，設(shè)其方程為，與橢圓進(jìn)行聯(lián)立得到二次方程，可得到代入即可算出答案【小問1詳解】設(shè)橢圓焦距為，由題知，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，依題意，，設(shè)橢圓上任一點(diǎn)，則，所以；【小問2詳解】設(shè)，若直線的斜率為，則，關(guān)于軸對稱，必有，不合題意，所以直線斜率必不為，設(shè)其方程為，與橢圓聯(lián)立，整理得：，所以，且由（1）知，即，即，即，即，即，所以，此時，故直線恒過軸上一定點(diǎn)，所以點(diǎn)到直線的最大距離為【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.22.已知函數(shù)，其中，（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）若，函數(shù)有兩個相異的零點(diǎn)，，求證：．【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（2）不妨令，用分析法對進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，最后可構(gòu)造函數(shù)即可證明結(jié)論成立．【小問1詳解】當(dāng)時，，定義域?yàn)椋?/p>

所以，，

所以，時，在上恒成立，

故在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時，令得，

所以，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，

時，，單調(diào)遞減，

綜上，時，在上單調(diào)遞增，

時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；【小問2詳解】由題知，，

因?yàn)楹瘮?shù)有兩個相異零點(diǎn)，，且，

所以且，，即，

所以，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

令，則，

故當(dāng)時