專題9 分類討論思想解決等腰三角形中的兩解及多解問題（解析版）

專題9分類討論思想解決等腰三角形中的兩解及多解問題（解析版）類型一等腰三角形的要和底不明確時需討論1．（2022?宿遷）若等腰三角形的兩邊長分別是3cm和5cm，則這個等腰三角形的周長是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【思路引領】題目給出等腰三角形有兩條邊長為3cm和5cm，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形．【解答】解：當3cm是腰長時，3，3，5能組成三角形，當5cm是腰長時，5，5，3能夠組成三角形．則三角形的周長為11cm或13cm．故選：D．【總結提升】本題考查等腰三角形的性質及三角形三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．類型二等腰三角形頂角與底角不明確時需討論2．（2023秋?寶應縣月考）已知等腰三角形中，一個角為70°，則該等腰三角形的底角度數是70°或55°．【思路引領】根據題意，分已知角是底角與不是底角兩種情況討論，結合三角形內角和等于180°，分析可得答案．【解答】解：根據題意，一個等腰三角形的一個角等于70°，①當這個角是底角時，即該等腰三角形的底角的度數是70°，②設該等腰三角形的底角是x，則2x+70°＝180°，解可得，x＝55°，即該等腰三角形的底角的度數是55°；故答案為70°或55°【總結提升】本題考查了等腰三角形的性質，及三角形內角和定理；通過三角形內角和，列出方程求解是正確解答本題的關鍵．類型三等腰三角形形狀不確定時需討論（一）有高無圖時3．（2023?瓊中縣一模）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60°，則等腰三角形的底角度數為（）A．15° B．30° C．15°或75° D．30°或150°【思路引領】在等腰△ABC中，AB＝AC，BD為腰AC上的高，∠ABD＝40°，討論：當BD在△ABC內部時，如圖1，先計算出∠BAD＝30°，再根據等腰三角形的性質和三角形內角和可計算出∠ACB；當BD在△ABC外部時，如圖2，先計算出∠BAD＝30°，再根據等腰三角形的性質和三角形外角性質可計算出∠ACB．【解答】解：在等腰△ABC中，AB＝AC，BD為腰AC上的高，∠ABD＝40°，當BD在△ABC內部時，如圖1，∵BD為高，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣46°＝30°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB=12（180°﹣30°）＝當BD在△ABC外部時，如圖2，∵BD為高，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，而∠BAD＝∠ABC+∠ACB，∴∠ACB=12∠BAD＝綜上所述，這個等腰三角形底角的度數為75°或15°．故選：C．【總結提升】本題考查了等腰三角形的性質：等腰三角形的兩腰相等；等腰三角形的兩個底角相等；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．有垂直平分線時4．（2023春?新泰市期末）已知線段AB垂直平分線上有兩點C、D，若∠ADB＝80°，∠CAD＝10°，則∠ACB＝（）A．80° B．90° C．60°或100° D．40°或90°【思路引領】如圖，DE垂直平分AB，垂足為E，根據線段垂直平分線的性質得到DA＝DB，則根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理可計算出∠DAB＝∠DBA＝50°，當C點在線段DE上，∠CAD＝10°時，則∠CAB＝40°，則根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理可計算∠ACB＝100°；當C′點在ED的延長線上，∠C′AD＝10°時，則∠C′AB＝60°，根據等邊三角形的性質易得∠AC′B＝60°．【解答】解：如圖，DE垂直平分AB，垂足為E，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠DBA=12（180°﹣∠ADB）=12×（180當C點在線段DE上，∠CAD＝10°時，則∠CAB＝50°﹣10°＝40°，∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA＝40°，∴∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°；當C′點在ED的延長線上，∠C′AD＝10°時，則∠C′AB＝50°+10°＝60°，∵CA＝CB，∴∠AC′B＝60°，綜上所述，∠ACB的度數為60°或100°．故選：C．【總結提升】本題考查了線段垂直平分線的性質：垂直平分線垂直且平分其所在線段；垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．也考查了等腰三角形的性質．5．（2022秋?沭陽縣期中）已知等腰三角形一腰上的垂直平分線與另一腰所在直線的夾角是40°，則底角的度數為．【思路引領】作出圖形，分①三角形是銳角三角形，根據直角三角形兩銳角互余求出頂角，再根據等腰三角形兩底角相等列式計算即可得解；②三角形是鈍角三角形，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出頂角度數，再根據等腰三角形兩底角相等列式計算即可得解．【解答】解：①如圖1，三角形是銳角三角形時，∠A＝90°﹣40°＝50°，底角為：12×（180°﹣50°）＝②如圖2，三角形是鈍角三角形時，∠BAC＝90°+40°＝130°，底角為：12×（180°﹣130°）＝綜上所述，底角為65°或25°．故答案為：65°或25°．【總結提升】本題考查了等腰三角形的性質，線段垂直平分線上的性質，難點在于分情況討論，作出圖形更形象直觀．類型四圖形分割問題中的分類討論中線分割周長6．（2023?興化市校級一模）已知等腰三角形的底邊長為10cm，一腰上的中線把三角形的周長分為兩部分，其中一部分比另一部分長5cm，那么這個三角形的腰長為15cm．【思路引領】兩部分之差可以是底邊與腰之差，也可能是腰與底邊之差，解答時應注意．設等腰三角形的腰長是xcm，根據其中一部分比另一部分長5cm，即可列方程求解．【解答】解：如圖，設等腰三角形的腰長是xcm．當AD+AC與BC+BD的差是5cm時，即12x+x﹣（12x+10）＝解得：x＝15，15，15，10能夠組成三角形；當BC+BD與AD+AC的差是5cm時，即10+12x﹣（12x+x解得：x＝5，5，5，10不能組成三角形．故這個三角形的腰長為15cm．故答案為：15．【總結提升】本題考查等腰三角形的性質：等腰三角形有兩邊相等，同時考查了三角形的三邊關系．7．（2022秋?和平區(qū)校級期末）已知一個等腰三角形的周長為45cm，一腰上的中線將這個三角形的周長分為3：2的兩部分，則這個等腰三角形的腰長為18cm或12cm．【思路引領】本題可分別設出等腰三角形的腰和底的長，然后根據一腰上的中線所分三角形兩部分的周長來聯(lián)立方程組，進而可求得等腰三角形的底邊長．注意此題一定要分為兩種情況討論，最后還要看所求的結果是否滿足三角形的三邊關系．【解答】解：設該三角形的腰長是xcm，底邊長是ycm．根據題意得，一腰上的中線將這個三角形的周長分為27和18兩部分，∴x+x2=27解得x=18y=9或x=12經檢驗，都符合三角形的三邊關系．因此這個等腰三角形的腰長為18cm或12cm．故答案為：18cm或12cm．【總結提升】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；已知沒有明確3：2兩部分是哪一部分含有底邊，所以一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．過三角形一頂點的直線將等腰三角形分割成兩個小等腰三角形8．（2022?天寧區(qū)校級二模）已知△ABC是等腰三角形，過△ABC的一個頂點的一條直線，把△ABC分成兩個小三角形，如果這兩個小三角形也是等腰三角形，我們把這樣的等腰三角形叫做和諧三角形．請構造出所有符合條件的和諧三角形并標出相關角的度數．【思路引領】先根據題意做出等腰三角形，再根據直線過點A，B分四種情況，根據三角形內角和定理，三角形外角的性質等，分別求出內角的度數即可．【解答】解：一共有4種情況：①△ABC是等腰三角形，AB＝AC，直線AD是過頂點A．∵△ABD，△ACD是等腰三角形，∴AD＝BD，AD＝CD，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝∠C．∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C＝180°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝∠C＝45°，∴∠BAC＝90°；②△ABC是等腰三角形，AB＝AC，直線AD是過頂點A．∵△ABD，△ACD是等腰三角形，∴AB＝BD，AD＝CD，∴∠B＝∠C，∠DAC＝∠C，∠BAD＝∠BDA，∴∠BDA＝2∠C．∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴2∠B+3∠B＝180°，∴∠B＝36°，∴∠C＝36°，∠BAC＝108°；③如圖所示，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，直線BD是過頂點B．∵△ABD，△BCD是等腰三角形，∴AD＝BD，BD＝BC，∴∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠A，∠BDC＝∠C．∵∠BDC＝2∠A，∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∴5∠A＝180°，∴∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°；④如圖所示，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，直線BD是過頂點B．∵△ABD，△BCD是等腰三角形，∴AD＝BD，BC＝CD，∴∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠A，∠DBC＝∠CDB．∴∠BDC＝2∠A，∴∠DBC＝2∠A，∠ABC＝∠C＝3∠A．∴7∠A＝180°，解得∠A=180°則∠ABC=∠C=540°【總結提升】本題主要考查了等腰三角形的性質和判定，正確記憶三角形內角和定理，三角形外角的性質等，注意多種情況討論，不能丟解是解題關鍵．9．已知△ABC中，∠A＝80°，過△ABC的頂點B的直線將△ABC分割成兩個等腰三角形，求∠C的度數．（請畫圖分析）【思路引領】根據等腰三角形的性質和三角形外角的性質即可得到結論．【解答】解：如圖1，∵AB＝BD＝CD，∠A＝80°，∴∠ADB＝∠A＝80°，∠DBC＝∠C，∵∠ADB＝∠DBC+∠C，∴∠C=12∠ADB＝如圖2，∵AB＝AD＝BD，∠A＝80°，∴∠ADB＝∠ABD=12（180°﹣∠A）＝50°，∠DBC＝∠∵∠ADB＝∠DBC+∠C，∴∠C=12∠ADB＝如圖3，AD＝BD，BD＝CD，∴∠A＝∠ABD＝80°，∠DBC＝∠C＝10°．綜上所述，∠C的度數為40°或25°或10°．【總結提升】本題考查了等腰三角形的性質，三角形的內角和，三角形外角的性質，正確的作出圖形是解題的關鍵．10．（2016?章貢區(qū)模擬）有一三角形紙片ABC，∠A＝80°，點D是AC邊上一點，沿BD方向剪開三角形紙片后，發(fā)現(xiàn)所得兩紙片均為等腰三角形，則∠C的度數可以是25°或40°或10°．【思路引領】分AB＝AD或AB＝BD或AD＝BD三種情況根據等腰三角形的性質求出∠ADB，再求出∠BDC，然后根據等腰三角形兩底角相等列式計算即可得解．【解答】解：由題意知△ABD與△DBC均為等腰三角形，對于△ABD可能有①AB＝BD，此時∠ADB＝∠A＝80°，∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣80°＝100°，∠C=12（180°﹣100°）＝②AB＝AD，此時∠ADB=12（180°﹣∠A）=12（180°﹣∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣50°＝130°，∠C=12（180°﹣130°）＝③AD＝BD，此時，∠ADB＝180°﹣2×80°＝20°，∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣20°＝160°，∠C=12（180°﹣160°）＝綜上所述，∠C度數可以為25°或40°或10°．故答案為：25°或40°或10°．【總結提升】本題考查了等腰三角形的性質，難點在于分情況討論．11．（2021秋?東湖區(qū)校級期末）如圖，有一個三角形紙片ABC，∠C＝30°，點D是AC邊上一點，沿BD方向剪開三角形紙片后，發(fā)現(xiàn)所得的兩紙片均為等腰三角形，則∠A的度數可以是37.5°或15°或60°．【思路引領】分BC＝CD或BC＝BD或CD＝BD三種情況，求出∠ADB，再分AB＝AD或AB＝BD或AD＝BD三種情況根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理求出∠A即可得解．【解答】解：由題意知△ABD與△DBC均為等腰三角形，①BC＝CD，此時∠CDB＝∠DBC＝（180°﹣∠C）÷2＝75°，∴∠BDA＝180°﹣∠CDB＝180°﹣75°＝105°，AD＝BD，∠A＝（180°﹣∠ADB）÷2＝37.5°；②BC＝BD，此時∠CDB＝∠C＝30°，∴∠BDA＝180°﹣∠CDB＝180°﹣30°＝150°，AD＝BD，∠A＝（180°﹣∠ADB）÷2＝15°；③CD＝BD，此時∠CDB＝180°﹣2∠C＝120°，∴∠BDA＝180°﹣∠CDB＝180°﹣120°＝60°，AB＝AD時，∠A＝180°﹣2∠ADB＝60°；或AB＝BD，∠A＝60°；或AD＝BD，∠A＝（180°﹣∠ADB）÷2＝60°．綜上所述，∠A的度數可以是37.5°或15°或60°．故答案為：37.5°或15°或60°．【總結提升】本題考查了等腰三角形的性質，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題．類型五因動點引起的分類討論12．（2020秋?嵊州市期中）如圖，直線a，b相交于點O，∠1＝50°，點A是直線a上的一個定點，點B在直線b上運動，若以點O，A，B為頂點的三角形是等腰三角形，則∠OAB的度數是50°或65°或80°或25°．【思路引領】根據△OAB為等腰三角形，分三種情況討論：①當OB＝AB時，②當OA＝AB時，③當OA＝OB時，分別求得符合的點B，即可得解．【解答】解：要使△OAB為等腰三角形分三種情況討論：①當OB1＝AB1時，∠OAB＝∠1＝50°；②當OA＝AB2時，∠OAB＝180°﹣2×50°＝80°；③當OA＝OB3時，∠OAB＝∠OBA=12（18