專題02 直線的最值問題歸納（原卷版）

專題02史上最全直線的最值問題【題型歸納目錄】題型一：“距離之和”型的最值問題題型二：“距離之差”型的最值問題題型三：“距離乘積”型的最值問題題型四：“截距之和”型的最值問題題型五：“周長”型的最值問題題型六：“面積”型的最值問題題型七：“平行線間距離”型的最值問題題型八：“距離的平方和”型的最值問題題型九：“點到直線距離”型的最值問題題型十：“斜率”型的最值問題【典型例題】題型一：“距離之和”型的最值問題例1．直線分別交軸和軸于，兩點，是直線上的一點，要使最小，則點的坐標是A． B． C． D．，例2．設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值是A．2 B． C．3 D．例3．已知直線及點，，．（1）試在上求一點，使最??；（2）試在上求一點，使最大．例4．直線，在上求一點，使得．（1）到和的距離之差的絕對值最大；（2）到，的距離之和最?。?．（2022·四川達州·高一期末（理））在直角坐標系中，若、、，則的最小值是______．例6．（2022·寧夏·銀川二中高一期中）平面直角坐標系內(nèi)有四個定點A（1，0），B（1，0），C（2，3），D（2，6），在四邊形ABCD內(nèi)求一點，使取得最小值時的坐標為_________．例7．（2022·江蘇·高二）已知點P是x軸上的任意一點，，，則的最小值為_________．例8．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知點?，點P在x軸上，則的最小值為___________．題型二：“距離之差”型的最值問題例9．已知點，直線．（1）在上求一點，使的值最??；（2）在上求一點，使的值最大．例10．已知直線和兩點，．（1）在直線上求一點，使最??；（2）在直線上求一點，使最大．例11．（1）已知兩點，，直線，在直線上求一點，使最小．（2）已知兩點，，直線，在直線上求一點，使最大．例12．已知兩點、，直線，在直線上求一點．（1）使最??；（2）使最大．例13．已知直線及點，，．（1）試在上求一點，使最小，并求這個最小值；（2）試在上求一點，使最大，并求這個最大值．題型三：“距離乘積”型的最值問題例14．過點作直線分別交軸的正半軸，軸的正半軸于，兩點．（1）當取最小值時，求出最小值及直線的方程；（2）當取最小值時，求出最小值及直線的方程．例15．過點作直線分別交，軸正半軸于，兩點．（1）當面積最小時，求直線的方程；（2）當取最小值時，求直線的方程．例16．直線過點且分別與、軸正半軸于，兩點，為原點．（1）當取最小時，求直線的方程；（2）當取最小值時，求直線的方程．例17．設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值是A．3 B．4 C．5 D．6例18．已知直線過點，且分別與軸的正半軸、軸的正半軸交于，兩點，為原點，當取得最小值時，直線的方程為．題型四：“截距之和”型的最值問題例19．過點作直線與兩坐標軸的正半軸相交，當直線在兩坐標軸上的截距之和最小時，求此直線方程．例20．直線經(jīng)過點，且與兩坐標軸的正半軸相交，當兩截距之和最小時直線的方程為．例21．若直線過點，則該直線在軸，軸上的截距之和的最小值為A．1 B．2 C．4 D．8例22．若直線過點，則該直線在軸、軸上的截距之和的最小值為A．1 B．4 C．9 D．16例23．若直線經(jīng)過點，則直線在軸和軸上的截距之和的最小值為A． B． C． D．題型五：“周長”型的最值問題例24．（2022·重慶第二外國語學(xué)校高二階段練習(xí)）已知在平面直角坐標系中直線l恒過定點（2，1）．與x正半軸y正半軸分別相交A、B兩點，O為坐標原點，則△周長的最小值是_____________．例25．（2022·湖北·監(jiān)利市教學(xué)研究室高二期末）已知定點，動點分別在直線和上運動，則的周長取最小值時點的坐標為__________．例26．（2022·江蘇·高二）已知點，試在y軸和直線上各取一點B、C，使的周長最?。ㄌ崾荆簢L試使用對稱方法，用幾何性質(zhì)簡化運算）例27．已知點，在直線和上分別有點和使的周長最短，求點、的坐標．例28．已知點，在直線和軸上各找一點和，使的周長最?。?9．在直角坐標系中，已知和直線，試在直線上找一點，在軸上找一點，使三角形的周長最小，最小值為．題型六：“面積”型的最值問題例30．過點作直線交軸、軸的正半軸于，兩點，為坐標原點．（1）當?shù)拿娣e為時，求直線的方程；（2）當?shù)拿娣e最小時，求直線的方程．例31．已知過點且斜率為的直線與軸、軸分別交于、，過、作直線的垂線，垂足為、，求四邊形面積的最小值．例32．已知直線．（Ⅰ）若直線的傾斜角，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若直線分別與軸，軸的正半軸交于，兩點，是坐標原點，求面積的最小值及此時直線的方程．例33．已知直線．（1）若直線的斜率等于2，求實數(shù)的值；（2）若直線分別與軸的正半軸、軸的正半軸交于，兩點，是坐標原點，求面積的最大值及此時直線的方程．例34．已知直線經(jīng)過直線與的交點．（Ⅰ）若經(jīng)過點，求的方程；（Ⅱ）若直線分別與軸、軸的正半軸交于、兩點，為原點，是否存在使面積最小的直線？若存在，求出直線方程；若不存在，請說明理由．例35．已知直線，，當時，直線，與兩坐標軸圍成一個四邊形，當四邊形的面積最小時，實數(shù)．例36．已知點，，，直線將分割為面積相等的兩部分，則的取值范圍是A． B． C． D．題型七：“平行線間距離”型的最值問題例37．已知，是分別經(jīng)過，兩點的兩條平行直線，當，之間的距離最大時，直線的方程是．例38．已知，是分別經(jīng)過，兩點的兩條平行直線，當，之間的距離最大時，直線的方程是．例39．直線，是分別經(jīng)過，兩點的兩條平行直線，當，間的距離最大時，直線的方程是A． B． C． D．題型八：“距離的平方和”型的最值問題例40．已知光線通過點，經(jīng)直線反射，其反射光線通過點．（1）求反射光線所在的方程；（2）在直線上求一點，使；（3）若點在直線上運動，求的最小值．例41．已知直線過點，且與軸，軸的正半軸分別相交于，兩點，為坐標原點．求：（1）當十取得最小值時，直線的方程；（2）當取得最小值時，直線的方程．例42．已知三點，，，過原點作一直線，使得點，，到此直線的距離的平方和最小，求此直線方程．例43．（2022·江蘇·高二）已知直線，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．題型九：“點到直線距離”型的最值問題例44．（2022·江蘇·高二）點P為直線上任意一個動點，則P到點的距離的最小值為___________．例45．（2022·江蘇·高二）直線，為直線l上動點，則的最小值為___________．例46．（2022·上海虹口·高二期末）已知點在直線上，則的最小值為________．例47．（2022·江蘇鹽城·高二期末）已知點在直線上的運動，則的最小值是（

）A． B． C． D．例48．已知直線經(jīng)過直線與的交點．（1）若點到的距離為3，求的方程；（2）求點到的距離的最大值，并求此時的方程．例49．已知，直線經(jīng)過直線與直線的交點．（1）若直線與直線平行，求直線的方程；（2）當點到直線的距離最大時，求直線的方程．例50．若點在直線上，則的最小值是．例51．已知動直線恒過點且到動直線的最大距離為3，則的最小值為A． B． C．1 D．9題型十：“斜率”型的