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第4章湍流的統(tǒng)計特性及對激光大氣傳輸?shù)挠绊懛治黾す獯髿鈧鬏斖牧餍?yīng)本質(zhì)上就是光在湍流大氣中的傳播問題。20世紀50年代前蘇聯(lián)學(xué)者Tatarskii引入Kolmogorov和Obukhov發(fā)展的湍流統(tǒng)計理論，求解湍流大氣中波傳播方程，取得的一些理論結(jié)果相當好地解釋了在此以前所取得的實驗結(jié)果，從而奠定的光波在湍流大氣中傳播的理論基礎(chǔ)。然而，由于激光在湍流大氣中的傳播是一個十分復(fù)雜的隨即非線性過程，特別是大氣湍流存在的間歇性對激光傳輸有著難以估計的影響。大氣湍流的成因在大氣中，任一點的大氣運動速度的方向和大小無時無刻不發(fā)生著不規(guī)則變化，產(chǎn)生了各個大氣分子團相對于大氣整體平均運動的不規(guī)則運動，這種現(xiàn)象稱為大氣湍流。通常情況下大氣都處于湍流狀態(tài)，大氣的隨機運動產(chǎn)生了大氣湍流，由于大氣湍流的存在，大氣溫度和折射率也時刻發(fā)生著不規(guī)則的變化。形成大氣湍流的原因大致有四點。第一，太陽的照射造成的大氣溫度差，太陽輻射對地表不同地區(qū)造成加熱不同;第二，地球表面對氣流拉伸移位導(dǎo)致了風(fēng)速剪切;第三，地表熱輻射產(chǎn)生了熱對流;第四，伴隨著熱量釋放的相變過程（沉積、結(jié)晶）導(dǎo)致了溫度和速度場變化。圖4.1形象的表述了湍流的形成。上圖是英國的物理學(xué)家形chardson描繪的湍流的一個級串模型，雖然湍流的運動很復(fù)雜，但通過上圖仍能對湍流有一個形象的認識。上圖表示湍流含有尺度不同的湍渦，而各種能量從大尺度湍渦一步一步向小尺度湍渦傳遞。外界的能量傳遞給第一級大湍渦，由于受風(fēng)剪切等因素的影響，大湍渦逐漸變得不穩(wěn)定形成次級小湍渦，小湍渦再次失穩(wěn)后再形成更次一級的許多小湍渦。從圖中可以看出，湍渦的大小有限，最大的湍渦的尺寸大小是外尺度L，最小的湍渦是內(nèi)尺度l。00尤其重要的是，這些大大小小的湍渦沒有分散存在于大氣中，而是交叉重疊的存在于大氣中。Kolmogorov-Oboukhov湍流統(tǒng)計理論雖然迄今為止人們對湍流的基本物理機制尚還不十分清楚，但已形成幾個公認的基本概念，包括隨機性、渦粘性、級串、和標度率。隨機性構(gòu)成了湍流統(tǒng)計理論的基礎(chǔ)；渦粘性揭示了湍流相近尺度間的相互作用行為；級串給了我們最直觀、在直觀的湍流現(xiàn)象中，Richardson首先給出了湍流的級串圖：湍流中存在著不同尺度間的逐級能量傳遞，由大尺度湍渦向小尺度湍渦輸送能量。第一級大湍渦的能量來自外界，大湍渦失穩(wěn)后形成次級的小湍渦，再失穩(wěn)后產(chǎn)生更次一級的小湍渦。在大雷諾數(shù)下，所有可能的運動模式都被激發(fā)?；赗ichardson級串模型。Kolmogorov認為在大雷諾數(shù)下，這些不同尺度的湍渦共存，在級串過程中小尺度湍流最終達到統(tǒng)計平衡狀態(tài)，形成局地各向同性湍流。并提出三個假設(shè)：(1)因湍流機理而遭到破壞的Navier-Stokes方程的所有可能的統(tǒng)計意義上的對稱性在小尺度上都得到恢復(fù)。即5u(r+p)=5u(r)。湍流在小尺度上是自相似的，即存在一個標度指數(shù)h，使得5u(r+九l)=九h5u(r+l)湍流有一個有限非零的平均耗散率e。在Kolmogorov的統(tǒng)計理論中使用結(jié)構(gòu)函數(shù)描述湍流的統(tǒng)計特征。Oboukhov把Kolmogorov關(guān)于湍流速度場的分析推廣到湍流溫度場°,引入溫度脈動耗散率n:N=k<(V0)2>Kolmogorov的上述理論的核心在于：對于充分發(fā)展的高雷諾數(shù)湍流，總能找到一個尺度范圍。在此范圍內(nèi)，上述有關(guān)結(jié)構(gòu)函數(shù)和譜密度滿足標度律。在這個尺度范圍一般稱之為慣性區(qū)。湍流的統(tǒng)計特性4.3.1雷諾數(shù)雷諾在研究湍流時，于1883年引進一個無量綱數(shù)Re=ul/v其中u和l分別是流體的特征速度和特征尺度，而v是流體的運動粘滯系數(shù)，從那以后，Re就被稱為雷諾數(shù)。其物理意義是湍流具有的動能與耗散能之比。在給定流體幾何參數(shù)的情況下，其特征尺度也是恒定的，動態(tài)粘滯系數(shù)嚴格來講依賴于流體的性質(zhì)并隨溫度變化，但為簡單起見，假定它對給定的流體也是不變的，于是在雷諾數(shù)中唯一變化的量就是流體的特征速度，而且雷諾數(shù)正比于其特征速度。反過來說，對于雷諾數(shù)小于某一臨界值時，流體具有光滑而清晰的流線，并稱之為片流，當雷諾數(shù)大雨臨界值時，流體作不規(guī)則的隨機運動，并稱之為湍流。此臨界值成為臨界雷諾數(shù)，它的數(shù)值依賴于流體的幾何特征并和湍流的產(chǎn)生方式有關(guān)。對于雷諾數(shù)的大小有個數(shù)量級的概念，一大氣為例，典型情況下，粘滯系數(shù)典型值為1.5x10-5m2-s-1，取流體速度為1.5m-s-1，流體的特征尺度為10m，得到雷諾數(shù)為106。4.3.2Kolomogrov局地均勻各向同性湍流上世紀50年代末Kolmogorov對湍流的物理機制作出了新的解釋，他的局地均勻各向同性湍流理論認為，首先出現(xiàn)的湍流是與流動整體特征尺度相當?shù)木薮笸牧髌涑叨冉凶魍獬叨?，用L表示。對于大氣湍流，通常在數(shù)十米到數(shù)百米的范圍。0在充分發(fā)育的湍流中，大尺度運動通過破碎將動能傳遞給較小尺度的運動。當雷諾數(shù)降到某一足夠低的數(shù)值時，由于粘滯耗散，動能將轉(zhuǎn)化為熱能，這時的運動尺度稱為湍流的內(nèi)尺度，用l表示。而l只有幾個毫米。滿足l<r<L的區(qū)域稱0000為慣性區(qū)，所描述的湍流被稱為Kolmogorov湍流。它是建立在以下三個假設(shè)的基礎(chǔ)上：1)雖然流動整體是非各向同性的，但在給定的微小區(qū)域內(nèi)，可以近似地把它看作各向同性的；2)在局地均勻各向同性區(qū)域中，流體運動僅僅由內(nèi)摩擦力和慣性力決定；3)在大雷諾數(shù)值時，存在稱為慣性范圍的尺度空間l<r<L，稱00為慣性子區(qū)，在此范圍內(nèi)，內(nèi)摩擦力的影響是不重要的，可以略去。湍流場的統(tǒng)計特性目前的大氣湍流折射率起伏功率譜的研究主要是以Kolmogorov湍流理論為基礎(chǔ)展開的。折射率起伏與溫度起伏之間存在簡單的關(guān)系。設(shè)大氣溫度T的空間起伏為t=T-<T>其中<?>表示求系綜平均，則其空間結(jié)構(gòu)函數(shù)定義為D(r,r)=<[t(r)-t(r)]2>t1 2 2 1空間結(jié)構(gòu)函數(shù)除了依賴兩點距離外，還會和單位質(zhì)量氣體單位時間的損耗能及溫度的起伏產(chǎn)生率有關(guān)考慮到量綱關(guān)系應(yīng)有D=C2r2/3tt其中比例常數(shù)C2稱為溫度結(jié)構(gòu)常數(shù)。t隨機溫度場可以用空間功率譜密度描述，這里參數(shù)為空間波矢，塔塔爾斯基證明一維譜①(K)=0.033C2K-ii/3tt而三維譜①(K)=0.414C2K-5/3tt這里K代表空間波數(shù)，并符合込□K□竺Ll

00有相同的研究方法可得到折射率空間結(jié)構(gòu)函數(shù)D=C2r2/3nn①(K)=AC2K-5/3n0n這就是著名的“三分之二次方定律”和所謂的“負三分之五次方定律”。在慣性區(qū)i<r<L(衍射區(qū))湍流譜符合Kolmogorov譜00①(K)=0.033C2K-11/3nn在耗散區(qū)r?l(幾何光學(xué)區(qū))湍流譜可采用Tatarskii譜0①(K)=0.033C2K-ii/3exp[-(KI/5.92)2]nn0在r?L湍流譜可采用完全的vanKarman譜0①(K)=0.033C2(K2+L-2)-ii/6nn0折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)C2通常用來描述光學(xué)湍流的起伏強度，其取值范圍是10-12m-2/3n到10-18m-2/3，隨著C2的增大，湍流的強度增強。當C2<10-16m-2/3時為弱湍流，nn當C2?10-14m-2/3時為中等強度湍流，當C2>10-14m-2/3時為強湍流。C2隨高度變nnn化十分復(fù)雜，但大體可以認為是，當高度升高，C2變小。n與溫度及折射率空間結(jié)構(gòu)函數(shù)相類似，相位的空間結(jié)構(gòu)函數(shù)也有相類似的表達式弗雷德引入大氣相關(guān)長度2兀fLr=[0.423( )2jLC2(z)dz]-3/50 九0nL為積分路徑的長度，z表示沿著光傳播方向的積分變量，這便被稱為費雷德常數(shù)。從而可以使相位空間結(jié)構(gòu)函數(shù)簡化為r6.88()5/3r0當積分路徑與天頂方向之間有一非零夾角時r=[0.423secy（竺）2『C2（z）dz]-3/50 九0n費雷德常數(shù)是大氣光學(xué)中非常重要的參數(shù)，其典型的取值范圍為幾厘米到幾十厘米。其與折射率空間結(jié)構(gòu)函數(shù)一樣是研究大氣湍流重要的物理量。其變化特點是，隨著大氣相關(guān)長度的增大湍流的強度變?nèi)酢?.4湍流對激光大氣傳輸?shù)挠绊?.4.1相位起伏光波在湍流大氣等不均勻介質(zhì)中傳播時，相位受到最明顯的影響。如果初始入射光波橫截面上的相位相同，當進入非均勻介質(zhì)后，各處的相位便發(fā)生改變，截面上任意兩點的相位差與兩點間的距離p和介質(zhì)的不均勻度l（可將這個尺度內(nèi)的介質(zhì)當做一個漩渦）的相對關(guān)系有關(guān)，這兩種距離尺度的相對關(guān)系可分為以下三種情況：（1） lp，這種小尺度的不均勻?qū)牲c間的相位差的影響不大。主要原因在于，一方面，其本身的起伏不大，另一方面，在較長的傳播路徑上，兩條光線所經(jīng)歷的這種小尺度不均勻性在統(tǒng)計上數(shù)量應(yīng)該基本相同。（2） i~p,這種和兩點間距離相仿的不均勻尺度對相位的影響最大，光線相對于不均勻區(qū)域的位置的不同以及兩條光路上不均勻區(qū)域數(shù)量的差別都對相位有明顯的影響。i口p,這種大尺度不均度對兩點間的相位差的影響也不大，因為他們一般覆蓋了兩條光束經(jīng)歷了相同的相位改變。因此，在分析兩點間的相位差時，我們主要考慮和兩點間距離相仿的湍流的影響。在整個傳播路徑上，lup的湍流的數(shù)量為N=L/p，總的相位差為AS仝dS，ii二1總的相位差的方差是<AS2>=N<dS2>=k2LpD(p)in因此相位結(jié)構(gòu)函數(shù)與折射率結(jié)構(gòu)函數(shù)成正比：D(p)=const.C2k2LpD(p)S n n在工程系統(tǒng)實際應(yīng)用中，與橫向相位差密切相關(guān)的是到達角。到達角與相位差的因此基線p上的到達角a與相位差aS的定量關(guān)系為a=AL/p=AS/(kp)到達角a的起伏方差<a>2=<AS2>/(kp)2=D(p)/(kp)2S根據(jù)相位起伏方差的結(jié)果，當觀測距離位于湍流慣性區(qū)內(nèi)的情況下L□p□/的00到達角a的起伏方差表述為<a>2=const.C2Ll-1/3n04.4.2光強起伏大氣湍流在影響光波相位的同時，也引起振幅的變化。振幅變化導(dǎo)致光強的起伏，這也就是通常所說的閃爍現(xiàn)象即大氣閃爍。例如星光閃爍、激光閃爍。定性地分析大氣湍流對光波振幅的影響比對相位的影響要復(fù)雜的多，之力主要借助于湍流的“隨機透鏡”假設(shè)。我們把湍流中的一個個湍渦當做透鏡，例如尺度l的湍流透鏡的焦距為f=l/An，其中An是湍渦內(nèi)外折射率的差值。l有衍射理論知道，尺度為l的湍渦對波長為九的光波衍射在距離L處的圖像的光斑的尺度約為九L/1。當衍射光斑尺度與湍渦尺度相仿時，稱之為Fresnel尺度，即l=、敢。當傳播條件使得1<1<l時，湍渦才引起光強的明顯變化。Fr 0Fr0所有具有相同尺度的湍渦透鏡引起的總的歸一化光強起伏方差(閃爍指數(shù))，大氣閃爍頻率大多在千赫茲以下，峰值頻率約為幾十至百赫茲之間，相關(guān)的理論和實驗研究主要是圍繞著閃爍指數(shù)展開的。<12>-1<I>2在l<i<l的傳播條件下，具有Fresnel尺度的湍渦起主要作用，此時0Fr 0卩20(L/l)3D(l)=C2九-7/6L11/6I FrnFr n光強起伏方差與湍流強度、波長和傳播距離的函數(shù)關(guān)系是弱起伏條件下的最重要的結(jié)果。對于大氣非均勻介質(zhì)而言，折射率函數(shù)的起伏在時間上是一個隨機過程，因而需要用統(tǒng)計理論描述。對于湍流大氣中的光束傳輸已經(jīng)發(fā)展了很多方法，下面介紹引入微擾假設(shè)，適用于弱起伏湍流的Rytov方法Rytov方法是Tatarskii基于Rytov近似提出的一種理論分析模型。對波動方程作RytOV變換u=exp(屮)，對于大氣湍流n(r)?1+n(r)，n(r)表示大氣折射率的起11伏。令屮=屮+屮+屮+...，且屮滿足方程0120V即+(V屮)2+k2=0000可忽略V屮以上的高階項。1令實際電磁波分量u的振幅和相位為A和s，u的非擾動波分量(即未受到湍流影響)u的振幅和相位為A和S，則有000u=Aexp(jS)u=Aexp(jS)000可得A屮=屮_屮=In +j(S-S)1 0 A 00屮的實部記為咒，代表大氣湍流導(dǎo)致的傳輸光束振幅的對數(shù)起伏，稱為對數(shù)振1幅起伏；屮的虛部記為S，代表大氣湍流導(dǎo)致的傳輸光束相位的起伏，稱為相16位起伏。咒和S的統(tǒng)計特性可以用它們的各階矩來描述，而屮的各階矩可由折射率起伏61n(r)的矩來表示。對于給定折射率起伏的功率譜①(K)，可求出屮的各階矩。1 n 1Rytov方法的優(yōu)越性已被實驗所驗證，在大氣閃爍弱起伏區(qū)，振幅服從對數(shù)正態(tài)分布。對于Kolmogorov譜，該條件為對數(shù)振幅方差b2=0.307C2k7/6z11/6<0.2□0.5I n隨著湍流強度或傳輸距離的增大，對數(shù)振幅方差大于該極限時，Rytov方法不再適用。在強湍流條件下，特別是所謂的“閃爍飽和效應(yīng)”可采用Markov近似,在此不詳細論述。而在極強的起伏條件下。光斑完全破碎，光強起伏方差與湍流強度和傳播距離無關(guān)，從而達到完全飽和，即起伏方差為1。4.5實驗