第3講 絕對值的化簡（知識講練）（教師版）

絕對值的化簡知識導(dǎo)航化簡絕對值的核心是判斷絕對值里面整體的正負(fù)，如果是正，直接去掉絕對值；如果是負(fù)，則利用取值范圍化簡絕對值本質(zhì)還是利用未知數(shù)的取值范圍，首先判斷出絕對值而去掉絕對值.對于有些難度比較大的題目，可以利用特值法，在取值范圍內(nèi)取一個合正負(fù)即可.（2022秋?宜春期末）若有理數(shù)a，b滿足ab≠0，則的值為0或2或﹣2．【思路點撥】分情況討論a與b的正負(fù)，利用絕對值的代數(shù)意義化簡，計算即可得到結(jié)果．【完整解答】解：當(dāng)a＞0，b＞0時，m＝1+1＝2；當(dāng)a＞0，b＜0時，m＝1﹣1＝0；當(dāng)a＜0，b＞0時，m＝﹣1+1＝0；當(dāng)a＜0，b＜0時，m＝﹣1﹣1＝﹣2，則m的值為0或2或﹣2．故答案為：0或2或﹣2．【考點提示】此題考查了有理數(shù)的除法，乘法，以及絕對值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．（2022秋?洛南縣期中）根據(jù)絕對值的概念，我們在一些情況下，不需要計算出結(jié)果也能把絕對值符號去掉，例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7．請根據(jù)以上規(guī)律計算：．【思路點撥】首先根據(jù)有理數(shù)的運算法則判斷式子的符號，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)正確化簡即可．【完整解答】解：＝1﹣+…+﹣＝1﹣＝．【考點提示】此題考查了絕對值，有理數(shù)的加減混合運算，做題時，要注意多觀察各項之間的關(guān)系．（2021秋?廣豐區(qū)期末）對于式子|x﹣1|+|x﹣5|在下列范圍內(nèi)討論它的結(jié)果．（1）當(dāng)x＜1時；（2）當(dāng)1≤x≤5時；（3）當(dāng)x＞5時．【思路點撥】根據(jù)x的取值范圍確定x﹣1，x﹣5的符號，再根據(jù)絕對值的意義進(jìn)行化簡即可．【完整解答】解：（1）當(dāng)x＜1時，x﹣1＜0，x﹣5＜0，∴|x﹣1|+|x﹣5|＝1﹣x+5﹣x＝6﹣2x；（2）當(dāng)1≤x≤5時，x﹣1＞0，x﹣5＜0，∴|x﹣1|+|x﹣5|＝x﹣1+5﹣x＝4；（3）當(dāng)x＞5時，x﹣1＞0，x﹣5＞0，∴|x﹣1|+|x﹣5|＝x﹣1+x﹣5＝2x﹣6．【考點提示】本題考查絕對值，理解絕對值的意義是正確解答的前提，根據(jù)x的取值范圍確定x﹣1，x﹣5的符號是解決問題的關(guān)鍵．（2022秋?南安市期中）已知|x|+4＝12，|y|+3＝5：（1）求x，y的取值；（2）當(dāng)x﹣y＜0，求2x+y的值．【思路點撥】（1）先變形得到|x|＝8，|y|＝2，然后根據(jù)絕對值的意義得到x和y的值；（2）利用x﹣y＜0確定x、y的兩組值，然后計算對應(yīng)的2x+y的值．【完整解答】解：（1）∵|x|+4＝12，|y|+3＝5，∴|x|＝8，|y|＝2，∴x＝±8；y＝±2；（2）∵x﹣y＜0，∴x＝﹣8，y＝2或x＝﹣8，y＝﹣2，當(dāng)x＝﹣8，y＝2時，2x+y＝2×（﹣8）+2＝﹣14；當(dāng)x＝﹣8，y＝﹣2時，2x+y＝2×（﹣8）+（﹣2）＝﹣18；即2x+y的值為﹣14或﹣18．【考點提示】本題考查了絕對值：當(dāng)a＞0，|a|＝a；當(dāng)a＝0，|a|＝0；當(dāng)a＜0，|a|＝﹣a．（2021秋?浉河區(qū)校級期末）已知a，b有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列四個結(jié)論中正確的是（）A．a(chǎn)＞b B．|a|＜|b| C．a(chǎn)b＞0 D．﹣a＞b【思路點撥】根據(jù)數(shù)軸上的點表示的數(shù)以及大小關(guān)系、有理數(shù)的乘法法則、絕對值等知識逐一分析即可．【完整解答】由數(shù)軸可知：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，A．由a＜0，b＞0，得a＜b，所以A錯誤，不符合題意；B．由數(shù)軸可知|a|＞|b|，所以B錯誤，不符合題意；C．由a＜0，b＞0，得ab＜0，所以C錯誤，不符合題意；D．由a＜﹣1，得﹣a＞1，又因為b＜1，所以﹣a＞b，所以D正確，符合題意．故選：D．【考點提示】本題主要數(shù)軸上的點表示的數(shù)以及大小關(guān)系、有理數(shù)的乘法和絕對值，熟練掌握數(shù)軸上的點表示的數(shù)以及大小關(guān)系、有理數(shù)的乘法法則、絕對值是解決本題的關(guān)鍵．（2021秋?椒江區(qū)期末）如圖，a，b是數(shù)軸上的兩個有理數(shù)，下面說法中正確的是（）A．a(chǎn)＞b B．b＞a C．|a|＞|b| D．|b|＞|a|【思路點撥】根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)，一般來說，當(dāng)數(shù)軸方向朝右時，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，即可得a＜b，即可判斷A選項不符合題意，因為圖中沒有給出原點的位置，所以當(dāng)a＜b＜0時，|a|＞|b|，即可判定C選項不符合題意，所以當(dāng)為當(dāng)0＜a＜b時，|a|＜|b|，即可判定D選項不符合題意．【完整解答】解：根據(jù)題意可得，b＞a．A．所以A選項不正確，故A選項不符合題意；B．所以B選項正確，故B選項符合題意；C．因為當(dāng)a＜b＜0時，|a|＞|b|，所以C選項不正確，故C選項不符合題意；D．因為當(dāng)0＜a＜b時，|a|＜|b|，所以D選項不正確，故D選項不符合題意；故選：B．【考點提示】本題主要考查了數(shù)軸的應(yīng)用，熟練掌握數(shù)軸的性質(zhì)進(jìn)行判定是解決本題的關(guān)鍵．（2021秋?仁壽縣期末）已知a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：|2a+b|﹣|2c﹣b|﹣|c﹣a|＝﹣a﹣3c．【思路點撥】根據(jù)a，b，c在數(shù)軸上的位置可得a＜0，b＜0，c＞0，且|2a|＜|b|，即可得出2a+b＜0，2c﹣b＞0，c﹣a＞0，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）進(jìn)行化簡即可得出答案．【完整解答】解：由圖可知，∵a＜0，b＜0，c＞0，且|2a|＜|b|，∴2a+b＜0，2c﹣b＞0，c﹣a＞0，∴|2a+b|﹣|2c﹣b|﹣|c﹣a|＝﹣（2a+b）﹣（2c﹣b）﹣（c﹣a）＝﹣2a﹣b﹣2c+b﹣c+a＝﹣a﹣3c．故答案為：﹣a﹣3c．【考點提示】本題主要考查數(shù)軸的應(yīng)用及絕對值的性質(zhì)，熟練掌握數(shù)軸的應(yīng)用及絕對值的性質(zhì)進(jìn)行計算是解決本題的關(guān)鍵．（2022秋?郫都區(qū)校級期末）有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖：（1）判斷正負(fù)，用“＞”或“＜”填空：b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0．（2）化簡：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．【思路點撥】（1）根據(jù)數(shù)軸判斷出a、b、c的正負(fù)情況，然后分別判斷即可；（2）去掉絕對值號，然后合并同類項即可．【完整解答】解：（1）由圖可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|，所以，b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0；故答案為：＜，＜，＞；（2）|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|＝（c﹣b）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣a）＝c﹣b﹣a﹣b﹣c+a＝﹣2b．【考點提示】本題考查了絕對值的性質(zhì)，數(shù)軸，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖觀察出a、b、c的正負(fù)情況是解題的關(guān)鍵．（2021秋?蕭山區(qū)期中）已知﹣2≤x≤1，則化簡代數(shù)式|x+2|﹣2|x﹣1|+|3﹣x|的結(jié)果是（）A．4x﹣3 B．2x+3 C．﹣2x+7 D．﹣2x+3【思路點撥】根據(jù)x的取值范圍，利用絕對值的性質(zhì)化簡即可解答．【完整解答】解：∵﹣2≤x≤1，∴x+2≥0，x﹣1≤0，3﹣x＞0，∴|x+2|﹣2|x﹣1|+2|3﹣x|＝x+2+2x﹣2+3﹣x＝2x+3，故選：B．【考點提示】本題考查了絕對值，解決本題的關(guān)鍵是熟記絕對值的性質(zhì)．（2020秋?九龍坡區(qū)校級期末）已知﹣1≤x≤2，則化簡代數(shù)式3|x﹣2|﹣|x+1|的結(jié)果是（）A．﹣4x+5 B．4x+5 C．4x﹣5 D．﹣4x﹣5【思路點撥】由于﹣1≤x≤2，根據(jù)不等式性質(zhì)可得：x﹣2≤0，x+1≥0，再依據(jù)絕對值性質(zhì)化簡即可．【完整解答】解：∵﹣1≤x≤2，∴x﹣2≤0，x+1≥0，∴3|x﹣2|﹣|x+1|＝3（2﹣x）﹣（x+1）＝﹣4x+5；故選：A．【考點提示】本題考查了不等式性質(zhì)，絕對值定義和性質(zhì)，整數(shù)加減運算等，熟練掌握并運用絕對值性質(zhì)化簡是解題關(guān)鍵．（2022秋?電白區(qū)期中）已知x＞3，化簡：|3﹣x|＝x﹣3．【思路點撥】根據(jù)絕對值的定義即可得到結(jié)論．【完整解答】解：∵x＞3，∴3﹣x＜0，∴|3﹣x|＝x﹣3，故答案為：x﹣3．【考點提示】本題考查了絕對值的定義，熟記絕對值的定義是解題的關(guān)鍵．（2022秋?晉江市期末）若abcd≠0，則＝5或1或﹣3．【思路點撥】對a、b、c、d中正數(shù)的個數(shù)進(jìn)行討論，即可求解．【完整解答】解：當(dāng)a、b、c、d中沒有負(fù)數(shù)時，都是正數(shù)，則原式＝1+1+1+1+1＝5；當(dāng)a、b、c、d中只有一個負(fù)數(shù)時，不妨設(shè)a是負(fù)數(shù)，則原式＝﹣1+1+1+1﹣1＝1；當(dāng)a、b、c、d中有2個負(fù)數(shù)時，不妨設(shè)a，b是負(fù)數(shù)，則原式＝﹣1﹣1+1+1+1＝1；當(dāng)a、b、c、d中有3個負(fù)數(shù)時，不妨a，b，c是負(fù)數(shù)，則原式＝﹣1﹣1﹣1+1﹣1＝﹣3；當(dāng)a、b、c、d都是負(fù)數(shù)時，則原式＝﹣1﹣1﹣1﹣1+1＝﹣3，綜上所述：代數(shù)式的值是5或1或﹣3．故答案為：5或1或﹣3．【考點提示】本題考查了有理數(shù)的除法法則和乘法法則，正確進(jìn)行討論是關(guān)鍵．知識導(dǎo)航將無條件化簡轉(zhuǎn)變成有條件化簡常見變形如下：（2022秋?東?？h期中）式子|x﹣1|+2取最小值時，x等于（）A．0 B．1 C．2 D．3【思路點撥】根據(jù)絕對值非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解答即可．【完整解答】解：∵|x﹣1|≥0，∴當(dāng)|x﹣1|＝0時，|x﹣1|+2取最小值，∴x﹣1＝0，解得x＝1．故選：B．【考點提示】本題考查了絕對值非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，比較簡單．（2021秋?裕華區(qū)校級期末）當(dāng)x＝2時，|x﹣2|+3最小，最小值是3．【思路點撥】根據(jù)絕對值非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解答即可．【完整解答】解：x﹣2＝0，即x＝2時，|x﹣2|+3最小，最小值是3．故答案為：2；3．【考點提示】本題考查了絕對值非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握絕對值非負(fù)數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．（2021秋?富拉爾基區(qū)校級期中）若|a﹣4|+|b+5|＝0，則a﹣b＝9．【思路點撥】本題可根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)“兩個非負(fù)數(shù)相加，和為0，這兩個非負(fù)數(shù)的值都為0”解出a、b的值，再代入所求代數(shù)式即可．【完整解答】解：依題意得：a﹣4＝0，b+5＝0，∴a＝4，b＝﹣5．a(chǎn)﹣b＝4+5＝9．【考點提示】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，初中階段有三種類型的非負(fù)數(shù)：（1）絕對值；（2）偶次方；（3）二次根式（算術(shù)平方根）．當(dāng)它們相加和為0時，必須滿足其中的每一項都等于0．根據(jù)這個結(jié)論可以求解這類題目．（2022秋?彭山區(qū)校級月考）（1）已知|a+2|+|b﹣1|＝0，則a+b的值是﹣1．（2）當(dāng)a＝1時，|1﹣a|+2會有最小值，且最小值是2．（3）當(dāng)x＝時，5﹣|2x﹣3|有最大值．【思路點撥】（1）根據(jù)絕對值的非負(fù)性解決此題．（2）根據(jù)絕對值的非負(fù)性解決此題．（3）根據(jù)絕對值的非負(fù)性解決此題．【完整解答】解：（1）∵|a+2|≥0，|b﹣1|≥0，∴當(dāng)|a+2|+|b﹣1|＝0，則a+2＝0，b﹣1＝0．∴a＝﹣2，b＝1．∴a+b＝﹣2+1＝﹣1．故答案為：﹣1．（2）∵|1﹣a|≥0，∴|1﹣a|+2≥2．∴當(dāng)1﹣a＝0，即a＝1，此時|1﹣a|+2取得最小值2．故答案為：1，2．（3）∵|2x﹣3|≥0，∴﹣|2x﹣3|≤0．∴5+（﹣|2x﹣3|）＝5﹣|2x﹣3|≤5．∴當(dāng)2x﹣3＝0，即x＝時，5﹣|2x﹣3|取得最大值5．故答案為：．【考點提示】本題主要考查絕對值，熟練掌握絕對值的定義是解決本題的關(guān)鍵．一．選擇題1．（2022秋?平橋區(qū)期中）若|m|＝m，則m的值不可能是（）A．2022 B．1 C．0 D．﹣1解：∵|m|＝m，∴m≥0，∴m的值不可能是﹣1．故選：D．2．（2021秋?八步區(qū)期末）如果|x﹣3|+|y+1|＝0，那么x﹣y等于（）A．﹣4 B．4 C．2 D．﹣2解：由題意得，x﹣3＝0，y+1＝0，解得x＝3，y＝﹣1，所以，x﹣y＝3﹣（﹣1）＝3+1＝4．故選：B．3．（2022秋?方城縣月考）設(shè)實數(shù)a、b、c滿足a＜b＜c（ac＜0），且|c|＜|b|＜|a|，則|x﹣a|+|x﹣b|+|x+c|的最小值是（）A． B．c﹣a C．c+a D．﹣c﹣a解：∵ac＜0，∴a，c異號，∵a＜b＜c，∴a＜0，c＞0，∵|c|＜|b|＜|a|，∴a＜b＜﹣c＜0＜c．∵|x﹣a|+|x﹣b|+|x+c|是表示數(shù)x的點到a，b，﹣c三點的距離之和，∴當(dāng)x在a與﹣c之間時，這個距離之和最小，即a≤x≤﹣c時，|x﹣a|+|x﹣b|+|x+c|取得最小值，最小值為a與﹣c之間的距離，∴|x﹣a|+|x﹣b|+|x+c|的最小值是﹣c﹣a，故選：D．4．（2020秋?仁壽縣校級期末）下列說法正確的是（）①已知a＞0，b＜0，則；②若|a+4|＝﹣4﹣a，則化簡|b+3|﹣|a﹣4|＝a﹣b﹣7；③如果定義{a，b}＝，當(dāng)ab＜0，a+b＞0，|a|＞|b|時，則{a，b}的值為a+b．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③解：①∵a＞0，b＜0，∴|a|＝a，|b|＝﹣b，ab＜0，∴|ab|＝﹣ab，∴，，，∴，故①正確，符合題意；②∵|a+4|＝﹣4﹣a，|b﹣3|＝b﹣3，∴a+4≤0，b﹣3≥0，∴a≤﹣4，b≥3，∴b+3＞0，a﹣4＜0，∴|b+3|﹣|a﹣4|＝b+3﹣（4﹣a）＝a+b﹣1，故②錯誤，不符合題意；③∵ab＜0，a+b＞0，|a|＞|b|，∴a＞0＞b，∴{a，b}＝a+b，故③正確，符合題意；∴①③正確，故選：B．5．（2022秋?巴東縣校級月考）設(shè)abc≠0，且a+b+c＝0，則+++的值可能是（）A．0 B．±1 C．±2 D．0或±2解：∵abc≠0，且a+b+c＝0，∴a、b與c中可能有1個字母小于0，也可能有2個字母小于0．當(dāng)a、b與c中有1個字母小于0，如a＜0，則b＞0，c＞0，∴+++＝﹣1+1+1﹣1＝0．當(dāng)a、b與c中有2個字母小于0，如a＜0，b＜0，則c＞0，∴+++＝﹣1﹣1+1+1＝0．綜上：+++＝0．故選：A．6．（2021秋?城廂區(qū)期末）若a＜0，則2a+5|a|等于（）A．3a B．﹣3a C．7a D．﹣7a解：∵a＜0，∴|a|＝﹣a，∴原式＝2a﹣5a＝﹣3a，故選：B．二．填空題7．（2023春?道里區(qū)期末）如果|x﹣3|＝3﹣x，則x的范圍是x≤3．解：∵|x﹣3|＝3﹣x，∴x﹣3≤0，解得x≤3，故答案為：x≤3．8．（2022秋?金東區(qū)期中）已知有理數(shù)a，b，c滿足+，則＝﹣1．解：根據(jù)絕對值的意義，知：一個非零數(shù)的絕對值除以這個數(shù)，等于1或﹣1．又+，則其中必有兩個1和一個﹣1，即a，b，c中兩正一負(fù)．則＝﹣1．9．（2022秋?輝縣市期中）若|a﹣|+|b+1|＝0，則a+b＝．解：∵，∴a﹣＝0，a＝，b+1＝0，b＝﹣1，∴a+b＝﹣1＝﹣．故答案為：﹣．10．（2021秋?綿竹市期末）代數(shù)式|x+1009|+|x+506|+|x﹣1012|的最小值是2021．解：∵|x+1009|＝|x﹣（﹣1009）|，|x+506|＝|x﹣（﹣506）|，由絕對值的定義可知：|x+1009|代表x到﹣1009的距離；|x+506|代表x到﹣506的距離；|x﹣1012|代表x到1012的距離；結(jié)合數(shù)軸可知：當(dāng)x在﹣1009與1012之間，且x＝﹣506時，距離之和最小，∴最小值＝1012﹣（﹣1009）＝2021，故答案為：2021．11．（2022春?杜爾伯特縣期中）若|x﹣3|與|2y+3|互為相反數(shù)，則x+y＝．解：∵|x﹣3|與|2y+3|互為相反數(shù)，∴|x﹣3|+|2y+3|＝0，∴x﹣3＝0，2y+3＝0，解得x＝3，y＝﹣，所以，x+y＝3+（﹣）＝．故答案為：．12．（2020秋?饒平縣校級期中）當(dāng)式子|x+1|+|x﹣2|取最小值時，相應(yīng)的x的取值范圍是﹣1≤x≤2，最小值是3．解：由數(shù)形結(jié)合得，若|x+1|+|x﹣2|取最小值，那么表示x的點在﹣1和2之間的線段上，所以﹣1≤x≤2，最小值是3．故答案為：﹣1≤x≤2，3．13．（2014秋?巴南區(qū)期末）已知a、b、c的位置如圖：則化簡|﹣a|﹣|c﹣b|﹣|a﹣c|＝b﹣2c．解：|﹣a|﹣|c﹣b|﹣|a﹣c|＝﹣a﹣（c﹣b）+a﹣c＝b﹣2c故答案為：b﹣2c．三．解答題14．（2022秋?冷水灘區(qū)月考）已知|x﹣3|+|y+2|＝0，求x，y，3x﹣y的值．解：∵|x﹣3|+|y+2|＝0，|x﹣3|≥0，|y+2|≥0，∴x﹣3＝0，y+2＝0，解得x＝3，y＝﹣2，∴3x﹣y＝9﹣（﹣2）＝11，答：x＝3，y＝﹣2，3x﹣y＝11．15．（2022秋?泗水縣校級月考）已知m，n滿足|m﹣2|+|n﹣3|＝0，求2m+n的值．解：∵|m﹣2|+|n﹣3|＝0，而|m﹣2|≥0，|n﹣3|≥0，∴|m﹣2|＝0，|n﹣3|＝0∴m﹣2＝0，n﹣3＝0，解得m＝2，n＝3，∴2m+n＝4+3＝7，答：2m+n的值為7．16．（2021秋?寧遠(yuǎn)縣校級月考）若|x﹣2|+|y+2|＝0，求x+y的值．解：由題意，得：x﹣2＝0，y+2＝0，∴x＝2，y＝﹣2．∴x+y＝2﹣2＝0．17．（2017秋?興慶區(qū)校級期中）a、b所表示的有理數(shù)如圖所示，化簡|a+b|﹣|a﹣b|解：∵從數(shù)軸可知：b＜0＜a，∴a﹣b＞0，a+b＜0，∴|a+b|﹣|a﹣b|＝﹣a﹣b﹣a+b＝﹣2a．18．（2016秋?青羊區(qū)校級期中）a、b所表示的有理數(shù)如圖所示，化簡|a+b|﹣|a﹣b|﹣2（b﹣a）．解：∵從數(shù)軸可知：b＜0＜a，|b|＞|a|，∴a﹣b＞0，a+b＜0，∴|a+b|﹣|a﹣b|﹣2（b﹣a）＝﹣a﹣b﹣a+b﹣2b+2a＝﹣2b．19．（2021秋?南昌縣期中）分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)方法，如在化簡|a|時，可以這樣分類：當(dāng)a＞0時，|a|＝a；當(dāng)a＝0時，|a|＝0；當(dāng)a＜0時，|a|＝﹣a．用這種方法解決下列問題：（1）當(dāng)a＝5時，